1 Problema 1 Una vettura di Formula 1 parte da fermo, con accelerazione costante a per un tratto D=400 m in cui raggiunge la velocitá massima v f. Al tempo T = 16.5 s ha percorso L=1 km (tutto in rettilineo). Calcolare: (a) l accelerazione e (b) la velocità massima. (c) Se si vuole che l auto si arresti dopo 200 m, che decelerazione dovranno produrre i freni? Il moto della macchina si divide in due parti; prima un moto uniformemente accelerato e poi un moto rettilineo ed uniforme. 1) Moto uniformemente accelerato in cui raggiunge una certa velocità in un dato spazio. Sia t 1 il tempo che dura il moto accelerato. Possiamo scrivere D= 1 2 at2 1 v f = at 1 1) Moto rettiline ed uniforme. Questo moto avviene a velocità v f, dura un tempo T t 1 e durante questo moto la macchina percorre un tratto di strada L D. Possiamo allora scrivere L D=v f (T t 1 ) Otteniamo così un sistema di tre equazioni nelle tre incognite v f, a e t 1, che possiamo risolvere facilmente. Sostituendo la relazione v f = at 1 nelle altre, abbiamo. E dalla prima di queste si ricava D= 1 2 at2 1 L D=at 1 (T t 1 ) at 1 = 2D t 1 che sostituita nella seconda ci da una semplice equazione di primo grado in t 1 che vale Da questa troviamo poi L D= 2D t 1 (T t 1 ) t 1 = 2DT L+D = 9.43 s a= 2D t 2 1 = 9 m/s 2 v f = at 1 = 84.8 m/s Se vogliamo che la macchina si arresti in d = 200 m, abbiamo un moto uniformemente decelerato con velocità iniziale v f e, se t 2 è il tempo che la macchina impiega a fermarsi, scriveremo Risolvendo nelle due incognite t 2 e a troviamo d = v f t 2 1 2 a t 2 2 0=v f a t 2 a = v2 f = 18 m/s2 2d
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11 Problema 2 Un tram parte dalla fermata A e accelera uniformemente per 30 s fino a raggiungere la velocità v 0 = 36 km/h. Prosegue a questa velocità per 50 s e inizia a frenare 40 m prima della fermata B dove si arresta. Calcolare: (a) l accelerazione iniziale a 0 ; (b) il tempo di viaggio fra A e B; (c) la velocità media fra A e B. Abbiamo un moto diviso in tre parti 1) Moto uniformemente accelerato in cui raggiunge una certa velocità in un certo tempo x(t)= 1 2 a 0 t 2 v(t)=a 0 t Se t 1 è il tempo del moto unif. accelerato, dall equazione sulla velocità abbiamo Calcoliamo anche lo spazio percorso, utile dopo. v(t 1 )=a 0 t 1 = v 0 a 0 = v 0 t 1 = 0.333 m/s 2 l 1 = 1 2 a 0 t 1 = 1 2 v 0t 1 = 150 m 2) Moto rettilineo uniforme Calcoliamo lo spazio percorso in t 2 = 50 s x(t)=v 0 t v(t)=v 0 l 2 = v 0 t 2 = 500 m 3) Moto uniformemente decelerato dove, da una velocità v 0 il tram si ferma in uno spazio l 3 = 40 m. x(t)=v 0 t 1 2 a 1 t 2 v(t)=v 0 a 1 t Al tempo t 3 la velocità si annulla e cioè e sostituendo nell equazione dello spazio troviamo v(t 3 )=v 0 a 1 t 3 = 0 t 3 = v 0 a 1 e volendo conoscere t 3 l 3 = x(t 3 )=v 0 t 3 1 2 a 1 t 2 3 = v2 0 2l 3 a 1 = v2 0 2l 3 t 3 = v 0 = 2l 3 = 8 s a 1 v 0 Il tempo totale è la somma dei tre tempi La velocità media è lo spazio totale diviso il tempo totale, cioè T tot = t 1 + t 2 + t 3 = 88 s v= l 1+ l 2 + l 3 t 1 + t 2 + t 3 = f rac150+500+4088=7.84 m/s
12 Problema 3 Un punto materiale si muove lungo una retta di moto uniformemente accelerato. Si misura la sua velocità a due istanti successivi, t 1 = 3 s e t 2 = 9 s trovando v 1 = 10 m/s, v 2 = 8 m/s. Sapendo che a t = 0 x=0 trovare: (a) l accelerazione; (b) la velocità iniziale v 0 all istante t = 0; (c) il valore di x in cui la sua velocità si annulla. Scriviamo le equazioni orarie di un moto uniformemente decelerato x(t)=v 0 t 1 2 at2 v(t)=v 0 at avendo messo il segno meno nell equazione sarà a>0. Imponiamo ora che ai tempi t 1 e t 2 la velocità valga v 1 e v 2 rispettivamente. v(t 1 )=v 0 at 1 = v 1 v(t 2 )=v 0 at 2 = v 2 che è un sistema di due equazioni e due incognite (a e v 0 ). Sottraendo la seconda dalla prima abbiamo e sostituendo tale valore di a nella prima equazione abbiamo Se t è l istante in cui si ferma v 1 v 2 = v 0 a(t 2 t 1 ) a= v 1 v 2 t 2 t 1 = 0.333 m/s 2 v 0 = v 1 + at 1 = 11 m/s v(t )=v 0 at = 0 t = v 0 a che sostituito nell equazione oraria dello spazio percorso ci da x = x(t )=v 0 t 1 2 at 2 = v2 0 2a = 181.5 m
13 Problema 4 Un treno (punto materiale) viaggia dalla stazione di Marina alla stazione di Castello distante 19 km. Partendo da Marina, accelera con accelerazione costante A fino a raggiungere la velocità V 0 = 39 km/h. Nella fase di accelerazione impiega t a = 4 minuti. Mantiene poi questa velocità fino a quando si trova ad una distanza L dalla stazione di Castello. Inizia quindi a frenare con accelerazione A = 2A fino ad arrestarsi a Castello. (a) Quanto vale la distanza L? (b) Per quanto tempo il treno viaggia a velocità costante? (c) Qual è la velocità media del treno fra le due stazioni? Anche in questo caso abbiamo tre moti successivi diversi 1) Moto uniformemente accelerato in cui raggiunge una certa velocità in un certo tempo x(t)= 1 2 At2 v(t)=at Se t 1 = t a è il tempo del moto unif. accelerato, dall equazione sulla velocità abbiamo Calcoliamo anche lo spazio percorso, utile dopo. v(t 1 )=At 1 = V 0 A= V 0 t 1 = 0.0451 m/s 2 l 1 = At 1 2 = V 0 t 1 2 = 1300 m 2) Moto rettilineo uniforme in cui vale l 2 = V 0 t 2 3) Moto uniformemente decelerato dove conosco la velocità iniziale V 0 e la decelerazione e trovo spazio (l 3 ) e tempo (t 3 ) di frenata. e per lo spazio percorso v(t 3 )= V 0 2At 3 = 0 t 3 = V 0 2A = t 1 2 = 120 s l 3 = V 0 t 3 At 2 3 = V 0t 3 2 = 650 m Per calcolare il tempo in cui il treno viaggia a velocità costante e la velocità media, calcoliamo lo spazio l 2 percorso a v costante, che vale l 2 = L l 1 l 3 = 17050 mt e quindi t 2 = l 2 L = 1574 s v= = 9.82 m/s V 0 t 1 + t 2 + t 3
14 Problema 5 Nel salto con sci assistito lo sciatore viene accelerato su un piano inclinato (supposto senza attrito) che funge da trampolino mediante una massa M e una carrucola (vedi figura). Dati: inclinazione del piano θ=40 o ; massa dello sciatore m=70 kg; massa del blocco M = 340 kg; altezza del trampolino H = 15 m. Lo sciatore parte da quota zero e la corda e la carrucola sono prive di massa. Trovare (a) l accelerazione dello sciatore sul piano; (b) il modulo della sua velocità quando si stacca dal trampolino; (c) la lunghezza del salto misurata dalla base del trampolino. Calcoliamo il tempo che ci mette il proiettile ad arrivare all altezza H = 2000 m.
15 Problema 6 Un punto materiale si muove lungo una retta secondo la legge oraria x(t) = V 0 t B t 3 (V 0 = 12 m/s). Misurando la velocità al tempo T = 5 s si trova che ha il valore V 0. Determinare: (a) il valore della costante B; (b) la velocità media nel tempo 0 T; (c) l accelerazione media nello stesso intervallo.
16 Problema 7 Un tram parte da fermo e procede con accelerazione costante per un tratto l 1 = 800 m raggiungendo la velocità V 0 = 48 km/h. Procede a tale velocità per un tempo t 2, dopodichè inizia a frenare con accelerazione costante a = 0.4 m/s 2. Sapendo che il tempo totale del viaggio è T = 6 min trovare: (a) l accelerazione iniziale a; (b) il tempo di viaggio a velocità costante t 2 ; (c) la lunghezza totale del viaggio L.
17 Problema 8 Su un circuito di Formula 1 una Ferrari e una Renault compiono il primo giro (lunghezza 1 km) alla stessa velocità media di 144 km/h. La Ferrari ha accelerato con accelerazione costante a 1 per t 1 = 5 s e poi ha continuato a velocità costante v 1. La Renault ha accelerato con accelerazione a 2 per t 2 = 6 s portandosi alla velocità v 2. Determinare: (a) l accelerazione della Ferrari; (b) l accelerazione della Renault; (c) la differenza di velocità v 1 v 2.
18 Problema 9 Un cannone antiaereo (vedi figura) spara un proiettile con velocità v 0 = 400 m/s e alzo α = 60 o e colpisce un aereo che vola orizzontalmente alla quota H = 2000 m. Il proiettile è stato sparato un tempo T = 1 s prima che l aereo passasse sulla verticale del cannnone. Trovare: (a) il t tempo trascorso fra lo sparo e l impatto del proiettile con l aereo; (b) la velocità dell aereo; (c) se l aereo inizia a precipitare a quale distanza dal cannone cadrà? Calcoliamo il tempo che ci mette il proiettile ad arrivare all altezza H = 2000 m. da cui otteniamo H = v 0 sinαt 1 2 gt 2 t = v 0 sinα± v 2 0 sin2 α 2gH Va presa la soluzione col segno meno in quanto corrisponde alla traiettori ascendente del proiettile, quella più grande (segno più) alla parte di traiettoria discendente. Poichè l aereo transita sulla coordinata x del cannone dopo un tempo T = 1 s dallo sparo del cannone, la velocità dell aereo vale g H t* t=0 α V 0 = L t T = v 0 cosαt t T e L è la distanza orizzontale del punto in cui l aereo è colpito dal cannone. Una volta colpito, l aereo fa la traiettoria di un punto materiale con velocità iniziale V 0 diretta lungo x che cade da un altezza H = 2000 m. Troviamo il tempo che ci mette per precipitare (da quando è colpito a quando impatta al suolo. H 1 2H 2 gt2 = 0 t = g In questo tempo l aereo percorre lo spazio: L = V 0 t = V 0 2H g La distanza totale del punto in cui cade l aereo dal cannone si ottiene sommando a questa la distanza del punto in cui l aereo viene colpito dal cannone L t ot = v 0 cosαt + L
19 Problema 10 Un corpo pesante è lasciato cadere da un altezza H = 2 m rispetto al suolo. Ad una distanza (orizzontale) d = 3 m dalla traiettoria verticale è posto un piccolo cannone che può sparare in orizzontale ad un altezza h=30 cm dal suolo (vedi figura). Si vuole che il cannone colpisca il corpo proprio nel momento che questo arriva al suolo. Trovare (a) la velocità v 0 con cui il proiettile deve essere sparato; (b) il tempo t che intercorre tra l istante in cui il corpo viene lasciato cadere e lo sparo del cannone; (c) l angolo α tra le due traiettorie al momento dell impatto al suolo Sia t 1 il tempo che ci mette il corpo a scendere dall altezza H e sia t 2 il tempo che ci mette il proiettile a toccare il suolo. t 1 = 2H g = 0.6387 s t 2h 2 = g = 0.2474 s Da queste ricaviamo la velocitá del proiettile e il t H v 0 = d t 2 = 12.13 m/s t = t 2 t 1 = 0.3913 s Per calcolare α, calcoliamo dapprima l angolo θ che il proiettile forma con l orizzontale. Le componenti della velocitá del proiettile al momento dell impatto ( ) v x = v 0 = 0.6387 s v y = gt 2 = 2.426 s θ=tan 1 vy = 11.31 v x L angolo tra le due traiettorie sarà allora h α=90 θ= 78.69 v 0 d α
20 Problema 11 Un corpo pesante, inizialmente fermo, viene lasciato cadere da un altezza di H = 12 m. Ad una distanza orizzontale d = 4m dal punto di arrivo del corpo al suolo è posizionato un piccolo cannone che può sparare un proiettile con velocità iniziale v 0 = 12 m/s e alzo α=60 o (vedi figura). Affinchè il proiettile del cannone colpisca il corpo in volo, calcolare (a) quanto tempo t deve passare tra l istante in cui il corpo inizia la sua caduta e lo sparo del cannone; (b) a che altezza h il proiettile colpisce il corpo; (c) quanto vale la velocità del proiettile al momento in cui colpisce il corpo. Siano t 1 e t 2 i tempi che impiegano rispettivamente il proiettile e il corpo in caduta verticale ad arrivare al punto d incontro. Possiamo allora scrivere h = H 1 2 gt2 2 h = v 0 sinαt 1 1 2 gt2 1 d = v 0 cosαt 1 cioè un sistema di tre uqazioni e tre incognite. Dalla terza ricaviamo subito H t 1 = d v 0 cosα v 0 = 0.667 s e sostituendo questo valore nella seconda troviamo h=v 0 sinαt 1 1 2 gt2 1 = 4.75 m Trovato h dalla prima equazione del sistema troviamo anche t 2 2(H h) t 2 = = 1.216 s g A questo punto il tempo che bisogna aspettare a sparare col cannone dall istante che il corpo è stato lanciato vale h t = t 2 t 1 = 0.549 s Per calcolare la velocità del proiettile al momento dell impatto passiamo per le componenti v 0 α d v x v y = v 0 cosα=6m/s = v 0 sinα gt 1 = 3.855 m/s v = v 2 x+ v 2 y = 7.13 m/s
21 Problema 12 La velocità di un proiettile sparato da un cannone è v 0 = 50 m/s. Se la gittata vale L = 200 m e la massima altezza raggiunta è h=103 m, calcolare (a) l angolo che il cannone forma con l orizzontale e (b) il tempo di volo del proiettile. Si calcoli infine (c) per quale altro angolo si ottiene la stessa gittata. Il problema si risolve... v 0 000000000000000000 111111111111111111 α 000000000000000000 111111111111111111 L
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