Esercizi di GEOMETRIA B (Ing. Meccanica e Ingegneria dei Materiali) 1. Nel piano euclideo si consideri la retta r di equazione 6x+8y = 0 ed il punto P (, ). Si determinino: (a) le coordinate della proiezione ortogonale P di P su r; (b) le coordinate del simmetrico P di P rispetto a r; (c) l equazione della retta r simmetrica di r rispetto alla retta s di equazione 4x y 1 = 0;. Nel piano euclideo sono date le trasformazioni x = y + 1 x = x + y = x + y = y + 1. Verificare che sono isometrie, stabilire se sono dirette e determinarne i punti fissi.. Nel piano euclideo scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto alla retta di equazione x y + 5 = 0. 4. Classificare, al variare del parametro reale k, la conica del piano euclideo di equazione (5 k)x + (5 4k)y + 4kxy 0x 10y = 0 5. Studiare le seguenti coniche di E, determinandone, se possibile, centro, asintoti, assi, vertici, fuochi ed una equazione canonica. Nel caso dell iperbole equilatera determinare anche l equazione riferita agli asintoti. (a) x + y 1x + y + 1 = 0; (b) x y 6x y + = 0; (c) x + 4y 4xy 6x 1y + 9 = 0; (d) xy x + 6y = 0. 1
6. Scrivere l equazione della polare del punto P (1, 0), rispetto ad ognuna delle coniche dell esercizio 1; nei casi (b),(c),(d) stabilire quindi la posizione del punto P rispetto alla conica. 7. Classificare la quadrica di E di equazione x 6z + 8yz + x + y z + 1 = 0, determinarne i piani principali ed una equazione canonica. 8. Classificare la quadrica di E di equazione x + y + z + 4y 4z + 5 = 0, verificare che è di rotazione, determinarne il sottospazio di rotazione e scriverne una equazione canonica. 9. Dato il fascio di quadriche di E di equazione: (1 k)x + (1 + k)y + (1 + k)z + y z + k = 0, (a) classificare le quadriche non specializzate del fascio al variare di k R; (b) determinare la quadrica Q del fascio avente come centro C (0, 1, 1 ); (c) scrivere l equazione del piano diametrale di Q, che passa per i punti P 1 (1, 0, 1) e P (0, 1, 1). 10. Dati in E i seguenti fasci di quadriche: F 1 : ( α)x + y 4yz + αx + 4y α 1 = 0 F : x + αy + z xz + z + α = 0 F : 5x + 5y αz 6xy + αyz 8x + 8y + 4 4α = 0 (a) classificare le quadriche non specializzate di ciascun fascio al variare di α R; (b) determinare gli eventuali valori di α per i quali le quadriche di F 1 sono di rotazione e determinare i relativi sottospazi di rotazione; (c) studiare il paraboloide del fascio F 1, determinandone i piani principali ed una equazione canonica.
11. Studiare in modo completo (classificazione, centro, assi, vertici, eq. canonica, fuochi) la conica del piano euclideo di equazione: x + y xy 6x 14y + 19 = 0 1. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asintoti, assi, vertici, eq. canonica, fuochi) la conica del piano euclideo di equazione: x + 4xy x 1 = 0 1. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asse, vertice, eq. canonica, fuoco, direttrice) la conica del piano euclideo di equazione: x + y + xy x 10y + 1 = 0 14. Studiare in modo completo (classificazione, centro, assi, vertici, eq. canonica) la conica del piano euclideo di equazione: 17x + 1xy + 8y 68x 4y = 0 15. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asintoti, assi, vertici, eq. canonica) la conica del piano euclideo di equazione: 4xy y 8y 5 = 0 16. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asse, vertice) la conica del piano euclideo di equazione: x + 4xy + 4y + 44x 7y 16 = 0 17. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asintoti, assi, vertici, eq. canonica, fuochi) la conica del piano euclideo di equazione: 7x + 50xy + 7y + x + y 16 = 0
Soluzioni 1. (a) P ( 1, 0); (b) P ( 1, ); (c) r = r.. Isometria diretta con punto fisso C (, 1 ) (rotazione) e isometria inversa senza punti fissi. x =. 5 x + 4 5 y y = 4 5 x 5 y + 4. 4. iperbole k > 1, ellisse k < 1, conica degenere per k = 1. 5. (a) ellisse di centro C (, ), assi y + = 0 e x = 0, vertici V 1 (, 0), V (, ), V 1 (1, ), V 1 (, ), equazione canonica x + y = 1 e fuochi F 1 (, ), F (, ); (b) iperbole di centro C (1, ), asintoti x + y = 0, x y = 0, assi y+ = 0 e x 1 = 0 (trasverso), vertici V 1 (1, ), V (1, 0), equazione canonica x y = 1 e fuochi F 1 (1, ), F (1, ); (c) parabola di asse 5x 10y + 9 = 0, vertice V ( 5, 4 5 ), equazione canonica y = 5 5 4 x e fuoco F ( 5, 6 5 ); (d) iperbole equilatera di centro C (, 1), asintoti y 1 = 0, x+ = 0, assi x y + 4 = 0 e x + y + = 0 (trasverso), vertici V 1 (, 1 + ), V ( +, 1 ), equazione canonica x 6 y 6 = 1, equazione riferita agli asintoti xy = e fuochi F 1 ( 6, 1 + 6), F ( + 6, 1 6). 6. (b) P appartiene al supporto della conica e la retta è tangente; (c) punto esterno; (d) punto interno. 7. iperboloide iperbolico; piani principali x 1 = 0, 8y 16z + = 0, 4y + z + 1 = 0 ; X 17 + Y 17 Z 17 = 1. 8 4 8. ellissoide reale; asse di rotazione y + = 0 ;X + Y + Z = 1. z = 0 9. (a) k < 1 iperboloidi iperbolici, 1 < k < 0 ellissoidi reali; 0 < k < 1 ellissoidi immaginari; k > 1 iperboloidi ellittici. (b) k =. (c) piano diametrale 5x + 6y + 4z 1 = 0. 10. (a) F 1 : α < iperboloidi ellittici, < α < iperboloidi iperbolici, α >, α iperboloidi ellittici, α = paraboloide ellittico. F : α < 0 iperboloidi iperbolici, 0 < α < 1 ellissoidi reali, α > 1 ellissoidi immaginari. 4
F : α < 16 5 iperboloidi ellittici, α = 16 16 5 paraboloide ellittico, 5 < α < ellissoidi reali, < α < 0 ellissoidi immaginari, α > 0 iperboloidi iperbolici. y z + 1 = 0 (b) α =, asse di rotazione ; α =, asse di rotazione 4x 1 = 0 x = 0 y z + 1 = 0 5