Ordinanza 374 Proettazione di edifici in zona sismica FONAMENTI I INAMICA ELLE STRUTTURE In. Marco Cada marco.cada@niphe.com SISTEMA SOF (oscillatore semplice Schemi di oscillatore semplice sati nella Meccanica Razionale e nella inamica delle Strttre La posizione della massa m è definita da na sola coordinata laraniana (t marco.cada@niphe.com
Sistema di forze orizzontali (t f I (t f f S (t = p(t = m(t & = c(t & (t forza inerziale forza dissipativa di natra viscosa forza di richiamo elastico forzante m & (t + c(t & + (t = p(t Eqazione di eqilibrio marco.cada@niphe.com 3 Sistema non smorzato in vibrazione libera m && (t + (t = La solzione dell eqazione differenziale è data da: (t = Asen( ωt + Bcos( ωt ( mω + (Asen( ωt + Bcos( ωt = marco.cada@niphe.com 4
Solzione non banale: ( mω + = eqazione caratteristica ω = m atovalore o plsazione natrale T π = ω periodo natrale di oscillazione o periodo proprio ω = π f freqenza natrale marco.cada@niphe.com 5 Sistema smorzato in vibrazione libera m && (t + c(t & + (t = && (t + ξω (t & + ω(t = eqazione del moto avendo posto ω = ; m ξ = c mω fattore percentale di smorzamento marco.cada@niphe.com 6
Fattore percentale di smorzamento mω coefficiente di smorzamento critico c = mω ξ = SMORZAMENTO CRITICO Valori di ξ nei sistemi strttrali ordinari:.5 % per strttre in acciaio 5% per strttre in calcestrzzo armato 5% per strttre mnite di sistemi di smorzamento spplementari qali controventi dissipativi o isolatori alla base marco.cada@niphe.com 7 Risposta transitoria (t t = e ξω (Asen( ω t + Bcos( ω t ω = ω ξ plsazione natrale del sistema smorzato marco.cada@niphe.com 8
Sistema smorzato con forzante armonica m&& (t + c(t & + (t = F sen( ϖt & (t + ξω (t & + ω(t = Fsen( ϖt eqazione del moto marco.cada@niphe.com 9 solzione completa: (t F (Asen( ωt + Bcos( ωt + ( β + (ξβ [( β sen( ϖt ξβcos( t ] t = e ξω ϖ TRANSITORIO REGIME β = ϖ ω β = RISONANZA marco.cada@niphe.com
Sistema smorzato con forzante non periodica m && (t + c(t & + (t = p(t & (t + ξω (t & + ω(t = p(t eqazione del moto solzione dell eqazione differenziale: ξω (t = F( τ e mω t ( τ senω (t τdτ marco.cada@niphe.com SISTEMA SOF CON ACCELERAZIONE ALLA BASE Le ipotesi sono le stesse del sistema SOF con forzante applicata alla massa marco.cada@niphe.com
Sistema di forze orizzontali f (t = m(x(t & + & x (t I (t f f S (t = = cx(t & (t forza inerziale forza dissipativa di natra viscosa forza di richiamo elastico m(x(t & + && x (t + cx(t & + x(t = Eqazione di eqilibrio marco.cada@niphe.com 3 Eqazione del moto m& x(t + cx(t & + x(t = && x && x(t + && x + ξωx(t & + ωx(t = (t solzione dell eqazione differenziale (interale di hamel: t ξω (t = mx( && τ e mω ( τ senω (t τdτ ξω ( τ ξ << (t && x( τ e senω (t τdτ ω t marco.cada@niphe.com 4
VELOCITA SPETTRALE O PSEUOVELOCITA t ξω (t τ PSV ( ξ, ω = && x ( τe senω(t τ Ha le dimensioni di na velocità; coincide con la velocità massima per sistemi a smorzamento nllo max SPOSTAMENTO SPETTRALE S = x max = ω PS V marco.cada@niphe.com 5...dall eqazione del moto && x(t + && x + ξωx(t & + ωx(t = && x(t + && x = & [ ξω x(t + ω x(t ] ω x(t ACCELERAZIONE SPETTRALE O PSEUOACCELERAZIONE max && x(t + & x = ω max x(t = ω S = ω PS = PS V A marco.cada@niphe.com 6
Velocità ed accelerazione massima marco.cada@niphe.com 7 Noto lo Spostamento Spettrale è qindi possibile ricavare ttte le altre randezze di interesse marco.cada@niphe.com 8
SPETTRO I RISPOSTA ELASTICO Loo dei pnti in n sistema di riferimento S -T onno dei qali rappresenta il valore massimo della risposta di n SOF a comportamento elastico, caratterizzato da n periodo proprio di vibrazione T e da no smorzamento ξ, per n assenato terremoto. S (T = ω S A (T = T π S A (T marco.cada@niphe.com 9 Costrzione di no spettro di risposta marco.cada@niphe.com
Costrzione di no spettro di risposta marco.cada@niphe.com Spettri di risposta elastica secondo l Ordinanza n. 374 Spettro di risposta in termini di accelerazione S (T = a S + ( η,5 T T T B e T T T S (T = a S η, 5 B T C e B T T C T T T S (T = a S e e (T TC S η,5 T TC T S η,5 T = a marco.cada@niphe.com
Lo spettro di risposta elastica in termini di spostamento pò essere ricavato applicando l espressione: S e T (T = Se(T π Se sl sistema non ravano altre azioni oltre a qella del sisma si pò ricavare immediatamente lo spostamento massimo marco.cada@niphe.com 3 Spettro di risposta della componente verticale dell accelerazione S (T =,9 a S + ( η 3, T T T B B T C ve T S (T =,9 a S η 3, ve T T B T T C T T T S S ve ve (T =,9 a TC S η 3, T TC T (T =,9 a S η 3, T marco.cada@niphe.com 4
Parametri che inflenzano li Spettri di Risposta Smorzamento viscoso η = 5 + ξ Stratirafia del solo di sedime S Fattore di amplificazione T B, T C, T Accelerazione di ancoraio a Accelerazione di ancoraio marco.cada@niphe.com 5 Accelerazione di ancoraio allo spettro (a Zona 3 4 a,35,5,5,5 Ha il sinificato di accelerazione massima s solo di cateoria A marco.cada@niphe.com 6
...altri parametri spettrali Componente orizzontale Cat. solo S T B T C T A,5,4 B,C,E,5,5,5,35,,8 Componente verticale Cat. solo S T B T C T A,B,C,,E,5,5 marco.cada@niphe.com 7 Spettri di risposta per diverse cateorie di solo Zona a =,5 marco.cada@niphe.com 8
Spettro di risposta per accelerazione verticale Zona a =,5 marco.cada@niphe.com 9 UTTILITA efinizione: rapporto tra lo spostamento ltimo x (in sitazione di collasso e lo spostamento al limite elastico Forza di plasticizzazione Fattore di dttilità µ = x x c marco.cada@niphe.com 3
Confronto tra SOF elastico ed elasto-plastico marco.cada@niphe.com 3 Al di sotto di T B è qindi possibile tilizzare n valore della forza F y ridotto rispetto alla forza Fmax corrispondente ad n sistema indefinitamente elastico F max ( T = m Se y F x Fmax S µ = = e( T Fy = m x e Fy µ Nel caso che la strttra sia fornita di na certa sovraresistenza: F d F = µ y s ( T S ( T Se e Fd m = m µ µ q = q = Fattore di strttra s marco.cada@niphe.com 3
...come fornire na sfficiente dttilità al di sotto di T? µ R x = x m e x > x e = µ F x µ = x m e x = x e dttilità richiesta > dttilità fornita marco.cada@niphe.com 33 Spettri di proetto secondo l Ordinanza n. 374 T T T T T B B T C T C T T T T,5 S e(t = a S + TB q S (T = a e S (T = a e S (T e S,5 q,5 TC S η q T,5 TC T S η q T = a marco.cada@niphe.com 34
Spettri di proetto normalizzati per solo di cateoria A marco.cada@niphe.com 35...e allo Stato Limite di anno? Non è possibile sfrttare le risorse plastiche della strttra PERCHE Sfrttamento delle risorse plastiche = anno a carico del materiale Non si pò tilizzare lo spettro di proetto marco.cada@niphe.com 36
Stato Limite di anno Si tilizza no spettro elastico con na probabilità di speramento del % in anni P = e t TR T R = 95 anni E sfficiente ridrre le ordinate spettrali di n fattore,5 marco.cada@niphe.com 37 Spettri elastici normalizzati per solo di cateoria A marco.cada@niphe.com 38
Analisi dinamica di n sistema a molti radi di libertà (MOF marco.cada@niphe.com 39 Eqilibrio istantaneo delle forze marco.cada@niphe.com 4
Eqilibrio istantaneo delle forze f I (t+f (t+f S (t=p (t f I (t+f (t+f S (t=p (t Eqilibrio di ciascno dei de impalcati in ci: f (t = f a (t+ fb (t f S (t = f a S (t+ fb S (t marco.cada@niphe.com 4 Eqilibrio di n MOF in forma matriciale m && (t + c & m && (t + c (t + (t c [ & (t & (t ] [ (t (t ] [ & (t & (t] + [ (t (t] = p (t = p (t m && (t (c + c + m && (t c c & (t ( + + c & (t (t p(t = (t p(t [ m ]{&& (t } + [ c]{ (t & } + [ ]{ (t } = { p(t } marco.cada@niphe.com 4
marco.cada@niphe.com 43 Formlazione del problema ali atovalori [ ]{ } [ ]{ } (t (t m = + && Come per il SOF risolviamo l eqazione omoenea associata senza smorzamento Oscillazioni libere non smorzate Solzione del sistema di eqazioni differenziali: { } { } t sen( (t (t ω = marco.cada@niphe.com 44 Eqazione caratteristica del sistema MOF [ ] [ ] ( { } { } m = ω = ω + m m ( = Solzione banale: = ω ω + m m (
La solzione non banale si ottiene annllando il determinante dei coefficienti delle inconite ( + ω m ( ω m =...introdcendo nel sistema di eqazioni omoeneo l i-esimo atovalore posso determinare il rapporto tra de ampiezze di spostamento qalsiasi (relative a qell atovalore, ( ( + ω m + ω m = =, + ( ω m,,,, = =,, ( ω m marco.cada@niphe.com 45 Modi di vibrare di n sistema a de radi di libertà shear-type marco.cada@niphe.com 46
Atovalori ed atovettori con più di de.d.l. ( + ω m ω m = + m ω m ω = i de sistemi sono analohi marco.cada@niphe.com 47 Fattore di partecipazione Qantifica la partecipazione del modo i-esimo alla composizione della risposta complessiva del sistema β j = N i= N i= m i i m ij ij { F } = ± [ m]{ } S (T i β i Risposta di ciascn modo e marco.cada@niphe.com 48
Qali modi di vibrazione occorre sare? E necessario calcolare la massa partecipante (pnto 4.5.3 M N i= j = N i= m Φ i m Φ i ij ij Fornisce n indicazione s qanta massa viene fisicamente accelerata dal modo di vibrare marco.cada@niphe.com 49 Come combinare i contribti dei diversi modi di vibrare? Procedra SRSS (Sqare Root of the Sm of Sqares N E = i= E i Si applica ali effetti, NON alle forze La procedra è valida se de modi qalsiasi hanno na differenza di periodo natrale maiore del % marco.cada@niphe.com 5
Procedra CQC (Complete Qadratic Combination E N N = ρ i= j= EiE j ij I coefficienti ρ ij tenono conto dell inflenza reciproca dei modi di vibrare e dipendono dalle plsazioni ωij e dalla percentale di smorzamento viscoso ξ marco.cada@niphe.com 5