Un corpo in assenza di accelerazione compie un moto detto. Come avviene di regola il moto di un corpo è determinato una volta note la posizione e la velocità iniziali e l accelerazione durante il moto. v 0 = î v0x + ĵ v0y x 0 = î x0x + ĵ x0y 1 / 17
Integrazione delle equazioni del moto Abbiamo visto in precedenza che nota la traiettoria x(t) = î x(t) + ĵ y(t) + k z(t) di un corpo possiamo determinarne velocità e accelerazione mediante successive derivazioni. v(t) = a(t) = dx(t) dt dv(t) dt = î dx(t) dt = î dvx(t) dt + ĵ dy(t) dt + ĵ dvy(t) dt dz(t) + k dt dvz(t) + k dt Il problema inverso - integrazione delle equazioni del moto, ovvero nota l accelerazione trovare velocità e traiettoria di un corpo - è in generale molto più difficile da risolvere in via analitica 2 / 17 si chiama integrazione perché consiste nell operazione v(t) = a(t) e x(t) = v(t) risolvere in via analitica significa esprimere mediante una combinazione di funzioni elementari le grandezze v(t) e x(t) la derivata di una combinazione di funzioni elementari è sempre esprimibile come combinazione di funzioni elementari, mentre l integrale lo è solo in un insieme ristretto di casi.
Integrazione del moto Nel caso del moto tuttavia visto che l accelerazione è nulla è possibile integrare facilmente il moto: v(t) = v 0 + a dt = v 0 v x (t) = v 0x v y (t) = v 0y La velocità del corpo è un vettore costante 3 / 17
A partire dalla velocità poi e possibile costruire la posizione in funzione del tempo: x(t) = x 0 + v dt = = x 0 + î v 0 x (t t 0 ) + ĵ v 0 y (t t 0 ) x(t) = x 0x + v 0x (t t 0 ) y(t) = x 0y + v 0y (t t 0 ) 4 / 17
: posizione e spostamento Interpretazione vettoriale x(t) x 0 = x(t) x = v 0x t y = v 0y t 5 / 17
Il moto dei rappresenta un caso particolare di moto nello spazio. Il moto dei può essere molto complicato e dipendere dall attrito dell aria, dalla forma del proiettile, dalle condizioni di vento e da molti altri fattori, che vengono di solito tenuti in conto quando si richiede un calcolo preciso utile per cannoneggiare un obiettivo. Non essendo affatto questo il nostro scopo trascureremo di regola l attrito dell aria ed altri fattori e ci limiteremo a modellizzare il moto del proiettile come un moto di un corpo nello spazio con accelerazione costante in direzione, intensità e verso. 6 / 17
del proiettile Come avviene di regola il moto di un proiettile è determinato una volta note la posizione e la velocità iniziali e l accelerazione durante il moto. Se proviamo a visualizzare traiettoria, velocità e accelerazione del corpo ci rendiamo conto che la velocità iniziale e l accelerazione (costante) individuano un piano, e su tale piano si svolge il moto. Parliamo quindi di moto bidimensionale. È conveniente quindi rappresentare il moto su un piano cartesiano bidimensionale, e lo si può fare senza perdere in generalità. 7 / 17
Sistema di riferimento e coordinate Abbiamo visto che per fare i calcoli è utile passare alla descrizione del moto attraverso l evoluzione delle coordinate nel tempo. Visto che il moto è bidimensionale bastano due coordinate, che chiameremo orizzontale e verticale. Per convenzione d ora in poi assegneremo la coodinata lungo l asse cartesiano x il ruolo di coordinata orizzontale, e a quella lungo l asse cartesiano ŷ il ruolo di coordinata verticale. Sempre per convenzione prendiamo come verso dell asse ŷ l alto, per cui l accelerazione di gravità sarà un vettore parallelo all asse ŷ e diretto in verso opposto all asse. 8 / 17
Sistema di riferimento e grandezze nel moto del proiettile v 0 = î v0x + ĵ v0y tan(θ 0) = v0y v 0x v 0x = v 0 cos(θ 0) v 0y = v 0 sin(θ 0) g = ĵ( g ) 9 / 17
Sistema di riferimento e grandezze nel moto del proiettile Può essere utile qualche volta prendere un sistema di riferimento in cui la posizione iniziale non coincide con l origine. v 0 = î v0x + ĵ v0y x 0 = î x0x + ĵ x0y tan(θ 0) = v0y v 0x v 0x = v 0 cos(θ 0) v 0y = v 0 sin(θ 0) g = ĵ( g ) 10 / 17
del proiettile: velocità Visto che l accelerazione è costante è possibile integrare facilmente il moto: v(t) = v 0 + a dt = v 0 + a(t t 0 ) v x (t) = v 0x v y (t) = v 0y + ( g)(t t 0 ) La velocità del corpo è un vettore che ha la componente lungo l orizzontale costante e la componente lungo la verticale uguale a quella del moto mente accelerato in una dimensione. Si suole esprimere questo stato dicendo che il moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti. 11 / 17
del proiettile: posizione A partire dalle velocità poi e possibile costruire la posizione in funzione del tempo: x(t) = x 0 + v dt = = x 0 + î v 0 x (t t 0 ) + ĵ v 0 y (t t 0 ) + ĵ ( g) (t t 0 ) 2 2 x(t) = x 0x + v 0x (t t 0 ) y(t) = x 0y + v 0y (t t 0 ) + 1/2( g)(t t 0 ) 2 Queste equazioni permettono di determinare la posizione del corpo ad un istante qualunque del moto. 12 / 17
del proiettile: posizione e spostamento Interpretazione vettoriale x(t) x 0 = x(t) x = v 0x t y = v 0y t 1/2g t 2 13 / 17
parabolico del proiettile La traiettoria x(t) è espressa in forma parametrica, ovvero da i punti occupati dal corpo durante il moto al variare del parametro tempo. È possibile eliminare il tempo ed esprimere la traiettoria come una funzione y(x): x(t) = x 0x + v 0x (t t 0 ) y(t) = x 0y + v 0y (t t 0 ) 1/2 g (t t 0 ) 2 14 / 17 t t 0 = x(t) x 0 x v 0x y(t) = x 0y + v 0 y v 0x (x(t) x 0x ) 1/2 g (x(t) x 0 x ) 2 v 2 0 x y = v 0 y v 0x x 1/2g x2 v 2 0 x
Traiettoria del proiettile Nell ultima equazione abbiamo eliminato la dipendenza di y(t) dal tempo ed espresso tutto in funzione degli spostamenti x e y: formalmente abbiamo quindi una funzione y(x) che nota la coordinata della posizione del corpo lungo l asse orizzontale permette di determinare la coordinata verticale. equazione di secondo grado: zero, uno o due valori di x per ogni y. la grandezza x y=0 nel punto in cui y = 0 è detta gittata orizzontale v 0y v 0x ± ( v 0y v 0x ) 2 +2x 0y g v 2 0x x = g v 0x 2 l espressione per x y=0 si semplifica molto se x 0y = 0: x y=0 = v0 2 g sin 2θ 0 15 / 17
Traiettoria del proiettile (cont...) Nel caso di partenza dal suolo x 0y = 0 si ha: La traiettoria e una parabola convessa simmetrica rispetto all asse che passa per il vertice la gittata orizzontale è il doppio della distanza orizzontale tra punto di massima altezza e punto di lancio del proiettile. il tempo impiegato per salire è t ymax = v 0y /g il tempo impiegato dall oggetto per salire è uguale al tempo impiegato dall oggetto per scendere. il tempo di volo è t volo = 2v 0y /g il punto di massima altezza è y max = x 0y + v2 0y 2g 16 / 17
Traiettoria del proiettile 17 / 17 Riguardo alle velocità possiamo dire, sempre nel caso di partenza dal suolo: la minima velocità del proiettile si ha nel punto di massima altezza (questo è sempre vero...). la velocità del proiettile al momento dell impatto col suolo è uguale in modulo alla velocità di lancio. l angolo che la velocità forma con il suolo al momento dell impatto è uguale ed opposto all angolo di lancio. la massima altezza si raggiunge con un proiettile sparato verticalmente - a parità di velocità iniziale a parità del modulo della velocità iniziale la massima gittata si raggiunge per un angolo di lancio di π/4 la gittata per un angolo di lancio di π/4 + x è uguale alla gittata per un angolo di lancio di π/4 x