Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell Architettura

Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell Architettura Seconda Università di Napoli Facoltà di Architettura Corso di Laurea in Architettura Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell Architettura B Prof. Nicola Pisacane 01. IL METODO DELLE DOPPIE PROIEZIONI ORTOGONALI

01a Il riferimento nello spazio e sul piano 14 Il metodo di Monge o della doppia proiezione ortogonale assume come riferimento nello spazio due piani 1 e 2 mutuamente ortogonali tra loro e due centri di proiezione O e O, rispettivamente ortogonali ai suddetti piani. Il piano 1 è assunto come primo piano di proiezione, mentre il piano 2 come secondo piano di proiezione. La retta intersezione tra i due piani è detta linea di terra l. I due piani individuano quattro diedri (I, II, III e IV). Il metodo di Monge assume come riferimento nel piano il foglio da disegno coincidente con il piano 1, mentre il piano 2 si suppone ribaltato (con una rotazione per convenzione antioraria intorno alla linea di terra l) sul piano 1.

01b Rappresentazione degli enti fondamentali. Il punto 15 Assegnato un punto P nello spazio, la sua prima immagine o prima proiezione si avrà condcendo una retta contenente il centro di proiezione O per il punto P, l intersezione della suddetta retta con il piano di proiezione 1 darà la prima proiezione P del punto P. La seconda immagine o seconda proiezione si avrà condcendo una retta contenente il centro di proiezione O per il punto P, l intersezione della suddetta retta con il piano di proiezione 2 darà la prima proiezione (P ) del punto P. Nel ribaltamento di 2 su 1, la seconda proiezione (P ) di P assumerà la posizione nel punto P. Il punto P sarà dunque rappresentato dalla sue due proiezioni P e P allineate su una retta ortogonale alla linea di terra detta retta di richiamo, viceversa dati due punti P e P allineati su una retta ortogonale alla linea di terra, questi saranno la proiezione di uno ed un solo punto dello spazio. La distanza del punto P dal piano 1 è detta quota, la distanza del punto P dal piano 2 è detta aggetto.

01b Rappresentazione degli enti fondamentali. Il punto 16 sul piano, i casi in cui i punti P, Q, R e S appartengano rispettivamente al I, II, III e IV diedro.

01c Rappresentazione degli enti fondamentali. La retta 17 Assegnata una retta r nello spazio, la sua prima proiezione r si avrà conducendo un piano (detto piano proiettante in prima proiezione) contenente il centro di proiezione O e la retta r, l intersezione del suddetto piano con il piano di proiezione 1 darà la prima proiezione r del punto r. La seconda proiezione si avrà condcendo un piano (detto piano proiettante in seconda proiezione) contenente il centro di proiezione O e la retta r, l intersezione del suddetto piano con il piano di proiezione 2 darà la prima proiezione (r ) della retta r. Nel ribaltamento di 2 su 1, la seconda proiezione (r ) di r assumerà la posizione nella retta r. I punti S r e T r in cui la retta r interseca i piani di proiezione sono detti rispettivamente prima traccia di r e seconda traccia di r. Il primo ha quota nulla, il secondo ha aggetto nullo. La retta r sarà rappresentata nel riferimento piano dalle rette r e r, viceversa date due rette r e r queste saranno le proiezioni di una e una sola retta dello spazio. Analogamente, assegante nel piano le tracce S r e T r, sarà possibile individuare le rette r e r (proiezioni di r) congiungendo le prime e le seconde proiezioni delle suddette tracce.

01c Rappresentazione degli enti fondamentali. La retta 18 Se la retta r interseca i piani 1 e 2 nel secondo quadrante, le tracce S r e T r cadono entrambe al di sopra della linea di terra.

01c Rappresentazione degli enti fondamentali. La retta. Casi particolari 19 Se la retta o appartiene a un piano parallelo a 1 è detta retta orizzonatale. La seconda proiezione o sarà parallela alla linea di terra l e la prima proiezione o parallela alla retta obiettiva o. La prima traccia S è il punto improprio di o (e quindi di o ).

01c Rappresentazione degli enti fondamentali. La retta. Casi particolari 20 Se la retta f appartiene a un piano parallelo a 2 è detta retta di fronte. La prima proiezione f sarà parallela alla linea di terra l e la seconda proiezione f parallela alla retta obiettiva f. La seconda traccia T è il punto improprio di f (e quindi di f ).

01c Rappresentazione degli enti fondamentali. La retta. Casi particolari 21 Se la retta h è perpendicolare al primo piano di proiezione 1, la sua prima proiezione h coinciderà con la prima traccia S h, mentre la seconda proiezione h sarà perpendicolare alla linea di terra l. La seconda traccia T sarà il punto improprio della retta h (e quindi di h ). Se la retta k è perpendicolare al secondo piano di proiezione 2, la sua seconda proiezione k coinciderà con la seconda traccia T k, mentre la prima proiezione k sarà perpendicolare alla linea di terra l. La prima traccia S sarà il punto improprio della retta k (e quindi di k ).

01d Rappresentazione degli enti fondamentali. Il piano 22 Assegnato un piano nello spazio, non parallelo né appartenenete ai piani di proiezione, incontrerà 1 e 2 secondo due rette, generalmente proprie, dette tracce. In paricolare, s, retta intersezione con il primo piano di proiezione, sarà la prima traccia; t, retta intersezione con il secondo piano di proiezione, sarà la seconda traccia. Queste rette si intersecano in un punto della linea di terra l, intersezione dei piani 1, 2 e. Dato un piano è sempre possibile determinare le sue tracce, viceversa, assegnate due rette che si intersecano in un punto di l resta individuato uno e un solo piano.

01d Rappresentazione degli enti fondamentali. Il piano. Casi particolari 23 Un piano perpendicolare al primo piano di proiezione 1, si dice piano proiettante in prima proiezione e avrà la seconda traccia t perpendicolare alla linea di terra l. Un piano perpendicolare al secondo piano di proiezione 2, si dice piano proiettante in seconda proiezione e avrà la prima traccia s perpendicolare alla linea di terra l.

01d Rappresentazione degli enti fondamentali. Il piano. Casi particolari 24 Un piano, parallelo al primo piano di proiezione 1, si dice piano orizzontale e avrà la seconda traccia t parallela alla linea di terra l mentre la prima traccia s sarà impropria e avrà la giacitura di 1 (e quindi di ). Un piano, parallelo al secondo piano di proiezione 2, si dice piano di fronte e avrà la prima traccia s parallela alla linea di terra l mentre la seconda traccia t sarà impropria e avrà la giacitura di 2 (e quindi di ).

01e Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Appartenenza di un punto ad una retta 25 Data una retta r, un punto P appartiene ad r se le immagini del punto P (P e P ) appartengono alle immagini omonime della retta r (r ed r ).

01e Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Appartenenza di una retta ad un piano 26 Dato un piano, una retta r appartiene ad se le tracce delle retta r (S r e T r ) appartengono alle tracce omonime del piano (s e t ).

01e Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Appartenenza di una retta orizzontale ad un piano 27 Dato un piano, una retta orizzontale o appartiene ad se le tracce delle retta o (S e T o ) appartengono alle tracce omonime del piano (s e t ). Poiché la prima traccia S è impropria, la pima immagine o dovrà essere parallela alla prima traccia s.

01e Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Appartenenza di un punto ad un piano 28 Dato un piano, un punto P appartiene ad se il punto appartiene ad una retta di. Se il piano non è parallelo alla linea di terra ci si può servire di una retta orizzontale o di, la cui prima immagine o passi per P e la seconda immagine o passi per P.

01e Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Parallelismo tra piani 29 Due piani e sono paralleli se le tracce omonime sono parallele, ossia s è parallelo a s e t è parallelo a t.

01e Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Parallelismo tra rette 30 Due rette r e v sono parallele se le immagini omonime sono parallele, ossia r è parallela a v e r è parallela a v.

01e Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Retta ortogonale ad un piano 31 Una retta n è perpendicolare al piano se le immagini della retta sono perpendicolari alle tracce del piano, ossia n è perpendicolare a s e n è perpendicolare a t.

01f Problemi grafici fondamentali. Retta individuata da due punti 32 Assegnati due punti A (A e A ) e B (B e B ), le proiezioni della loro congiungente r saranno A B r e A B r.

01f Problemi grafici fondamentali. Piano individuato da due rette incidenti 33 Assegnate due rette r (r e r ) e v (v e v ), incidenti in P (P e P ), il piano individuato da r e v avrà le tracce s e t contenenti le tracce omonime delle due rette, ossia s conterrà S r e S v e t conterrà T r e T v.

01f Problemi grafici fondamentali. Piano individuato da due rette incidenti/piano individuato da tre punti non allineati 34 Assegnato un punto P (P e P ) e una retta r (r e r ) non contenente P, per costruire il piano individuato da P e da r condurrò una retta s (s e s ) per P. Le tracce del piano saranno determinate dalle tracce omonime delle rette r ed s, ossia ossia s conterrà S r e S s e t conterrà T r e T s. Assegnati tre punti A (A e A ), B (B e B ) e C (C e C ), costruite le rette AB v e AC r, le tracce del piano, individuato dai punti A, B e C, saranno determinate dalle tracce omonime delle rette v ed r, ossia ossia s conterrà S v e S r e t conterrà T v e T r.

01f Problemi grafici fondamentali. Retta intersezione tra due piani/punto comune a tre piani 35 Assegnati due piani e non paralleli, la retta r di intersezione, dovendo soddisfare le condizioni di appartenenza rispetto ad e, avrà le tracce S r e T r nei punti di intersezione delle tracce omonime dei due piani, ossia S r all intersezione tra s e s e T r all intersezione tra t e t. Assegnati tre piani, e, il punto P comune ai tre piani si determina costrunedo le rette r e v intersezione rispettivamente di con e di con. Il punto P, intersezione delle suddette rette, dovendo soddisfare le condizioni di appartenenza rispetto ad, e e ad r e v, avrà la prima immagine P nel punto di intersezione tra le prime immagini r e v delle rette r e v e la seconda immagine P nel nel punto di intersezione tra le prime immagini r e v delle rette r e v.

01g Omologia rappresentativa del piano 36 Dato un piano (s e t ), individuiamo la relazione proiettiva che lega le prime e le seconde immagini delle. Consideriamo, ad esempio, un punto P (P e P ): è possibile passare da P a P (e di proiezione e sezione. Proiettando P da O su, otteniamo P; proiettando P da O su 2 otteniamo (P ); ribaltando 2 su 1, ovvero proiettando (P ) su 2 1 dal centro improprio ortogonale al secondo piano bisettore 2, otteniamo P. P e P, e tutte le prime e seconde proiezioni dei punti di, si corrisponderanno in un omologia avente come centro il punto improprio ortogonale alla linea di terra l ed asse la retta x x, luogo dei punti uniti della retta x data dall intersezione di con il secondo piano bisettore 2. È possibile determinare l asse dell omologia facendola passare per il punto di concorso delle tracce del piano e per un qualsiasi altro punto che appartenga ad e a 2. Tale punto può essere l intersezioni tra la prima e la seconda immagine di una retta di e per semplicità di costruzione una sua retta orizzontale o (o una retta di, ad esempio, il triangolo ABC, determinata la sua prima proiezione A B C, con la suddetta omologia posso

01h Determinazione della vera forma e grandezza. Ribaltamento di un piano proiettante 37 rappresentazione del piano a cui appartiene e da una delle ma soprattutto per la determinazione della vera forma e misure lineari ed angolari, è necessario ribaltare il piano al piano (s e t ) proiettante in prima proiezione. Il punto P*, ottenuto dal ribaltamento del piano su 1, è sulla perpendicolare ad s conotta per P ad una distanza da s pari alla quota del punto P, ovvero P 0 P =P P*. Procedendo in tal modo è possibile conoscere la vera ad proiettante in prima proiezione, o analogamente proiettante in seconda proiezione.

01h Determinazione della vera forma e grandezza. Ribaltamento di un piano generico 38 Il ribaltamento di un piano generico consente la appartenente al piano ma anche la risoluzione di alcuni problemi metrici. La prima proiezione P di un punto P di su 1 e il ribaltato P* del punto P nel ribaltamento del piano su 1 si corrispondono in un omologia (cfr. Cenni di geometria proiettiva, pag.13), in quanto proiezione e ribaltato (ovvero proiezione da un centro improprio ortogonale piano bisettore del diedro attraversato nel un piano su due piani sovrapposti 1. L omologia, in traccia s di (intersezione tra e 1 ) e centro improprio ortogonale ad s. Resta da determinare una coppia di punti corrispoindenti, ad esempio P e P*. Noto P, P* cade sulla perpendicolare ad s per P ad una distanza KP*, pari all ipotenusa del triangolo rettangolo PP K. Dato un punto P (P e P ) appartenente ad e condotta per P la perpendicolare a s, si stacchi su o a partire da P un segmento pari alla quota di P, ovvero P 0 P =P 1 P*. Dove la circonferenza di centro K e raggio KP 1 interseca, ad esempio, il triangolo ABC, attraverso le tracce s e t e la prima proiezione A B C, con la suddetta omologia posso determinare la vera forma e grandezza A*B*C* attraverso il ribaltamento di su 1