Prova Esame gennaio 8 Risposte agli esercizi d esame Testo: Esercizio La crescita dei tumori può essere modellata con l equazione di Gompertz: dr R = a R ln K dove R è la dimensione (raggio [=] L) della massa tumorale, a è un parametro che descrive l aggressività nel tempo del tumore ([=] T - ) e K ([=] L) è il raggio massimo della massa tumorale in assenza di un adeguata terapia.. Proporre una ragionevole adimensionalizzazione del modello con un opportuna scelta dei tempi e delle lunghezze caratteristiche.. Quanti sono i parametri adimensionali che compaiono nel modello? È possibile osservare biforcazioni nel modello adimensionale (e, di conseguenza, nel modello dimensionale?) 3. Individuare e classificare (se possibile) le soluzioni stazionarie del modello. Eventualmente commentare quali situazioni esse rappresentino dal punto di vista fisico. Si assume che un eventuale strategia di cura preveda una chemioterapia la cui aggressività sia direttamente proporzionale alla dimensione del tumore. Tale cura può essere modellata come un termine di decrescita direttamente proporzionale alla massa del tumore stesso. dr = a R ln R K mr Nel modello il parametro m ([=]T - ) descrive l aggressività nel tempo della chemioterapia. a. Adimensionalizzare il modello proposto (si suggerisce di lasciare i tempi e le lunghezze caratteristiche individuate precedentemente) b. Individuare i possibili parametri adimensionali che è possibile osservare per il modello in esame. c. Studiare la dinamica del sistema al variare dei parametri adimensionali individuati. È possibile osservare biforcazioni? Nel caso di risposta negativa, dare un interpretazione fisica di tale eventualità: la strategia di terapia proposta è in grado di portare alla definitiva scomparsa della malattia? Svolgimento: Quesito : La scelta dei tempi e delle lunghezze caratteristiche è obbligata per il caso in esame dato che sono presenti un solo parametro con le dimensioni del tempo ed un solo parametro con le dimensioni della lunghezza:
t l c c = a = K Adimensionalizzando il modello con tali dimensioni caratteristiche: t τ = = at t c R R r = = l K c τ t = a R = rk E sostituendo nel modello dimensionale: dr R = Ka = arln = akrln r dτ K Si ricava: rln r dτ = Quesito : Nel modello adimensionale ottenuto non compaiono parametri adimensionali. Di conseguenza non si possono osservare cambiamenti qualitativi del comportamento dinamico del sistema. Non è quindi possibile osservare biforcazioni nel modello al variare dei parametri a e K. Quesito 3: Si riporta di seguito lo studio della funzione f(r)=-r lnr. La funzione è definita solo per r>. Si possono innanzitutto valutare gli zeri della funzione: r ( r r) lim ln = rln r = r= Esistono quindi due zeri della funzione per r = (dal punto di vista fisico corrisponde all estinzione del tumore) e r = (ovvero R = K, tumore completamente sviluppato). Inoltre si può notare che f > per < r < ed è negativa per r>. È possibile calcolare la derivata della funzione nei punti di singolarità:
d d ( ) rln r = ln r =+ ( ) r= r= r= rln r = ln r = < r= In corrispondenza di r S = la derivata della funzione diverge positivamente, mentre la derivata per r S = è negativa. Tale analisi permette già di stabilire che la soluzione di estinzione è di natura instabile, mentre la soluzione di saturazione è l unica soluzione stazionaria stabile presente nel modello. Continuando lo studio della funzione è possibile analizzare la presenza di eventuali punti di interesse quali per esempio minimi e/o massimi. Difatti è facile verificare che: d rln r = ln r = ln r = r =.3679 e ( ) Tale punto corrisponde ad un massimo, in corrispondenza del quale la funzione assume valore: f = ln =.3679 e e e e In conclusione, è possibile rappresentare la funzione e descrivere le corrispondenti linee delle fasi: Nella seconda parte dell esercizio è introdotto un ulteriore termine che intende modellare l influenza di un eventuale terapia di intensità direttamente proporzionale alla massa tumorale: 3
dr R = a R ln mr K Quesito a Adimensionalizzando il modello con le stesse dimensioni caratteristiche adottate precedentemente: dr R = Ka = a Rln mr= akrln r mkr dτ K ovvero: m = rln r µ r µ = > dτ a Quesito b Nel modello compare quindi un solo parametro adimensionale, µ, che rappresenta dal punto di vista fisico il rapporto tra l intensità della terapia e l aggressività del tumore. Quesito c Per la caratterizzazione del modello al variare del parametro µ, sono possibili diverse strade che sono riportate schematicamente nel seguito: Procedura (senza caratterizzazione di stabilità) Osservando che r = è sempre soluzione del modello matematico, il secondo membro può essere riscritto: ( ) ln r µ = r = exp µ S In conclusione esistono due soluzioni stazionarie per il modello, una corrispondente all estinzione del tumore (r = ) ed un altra per cui r, il cui valore decresce all aumentare del parametro µ. Da osservare che queste due differenti soluzioni sono sempre ben distinte per ogni valore di µ. 4
Procedura (secondo membro come differenza di due funzioni) Il modello: = r ln r µ r può essere riscritto come: f f = f () r = r () r = µ r () r f () r ln r La funzione f è stata già introdotta nella discussione della precedente procedura. La funzione f è una retta passante per l origine la cui pendenza cresce al crescere del parametro µ. Qualunque sia il valore di µ, le due curve si intersecano per r = e per un valore di r positivo che corrisponde alla soluzione stazionaria. La natura delle intersezioni non cambia al variare del parametro µ: si ha sempre una soluzione stazionaria di tipo instabile in corrispondenza di r = ed una soluzione stazionaria stabile per r >. Tale soluzione stazionaria stabile si avvicina all origine per µ +, ma è sempre ben distinta da essa. Da osservare che la pendenza della f per r è infinita, per cui tale funzione assume sempre valori maggiori della f, qualunque sia il valore di µ. Una procedura elegante per verificare l assenza di biforcazioni nel modello è verificare se le condizioni di non iperbolicità sono verificate per qualche coppia di valori (r,µ ): 5
f ( r, µ ) df = µ ln r ( r, µ ) = r ln r µ r = = E si può facilmente verificare l unica soluzione r che soddisfa le equazioni si ha per r =, a cui non corrisponde nessun valore finito di µ. Non è quindi possibile osservare biforcazioni nel sistema in esame. In conclusione, dallo studio del presente modello si può intuire che la terapia proposta non è in grado di distruggere completamente il tumore e al termine della terapia rimarrà nell organismo un residuo del tumore la cui dimensione sarà inversamente proporzionale all intensità della terapia che è stata effettuata. Testo: Esercizio 3 Dato il seguente sistema non lineare bidimensionale dx = x x dy = y x y. Individuare i punti critici del modello matematico.. Classificare (se possibile) i punti critici individuati. 3. Rappresentare (se possibile, e qualitativamente) il diagramma delle fasi nei pressi dei punti critici. 4. Rappresentare (qualitativamente) un diagramma delle fasi completo del modello Quesito La determinazione dei punti critici del sistema può essere affrontata osservando innanzitutto che la prima equazione dipende solo dalla x, pertanto le ascisse dei punti critici saranno forniti dagli zeri di tale equazione non lineare. x x xs, xs = = = Sostituendo nella seconda equazione: y x y = y = s s analogamente : y x y = y = s s 6
Avremo quindi due punti critici nel sistema: ( s s) = ( ( ) = ( PC.. x, y, PC.. x, y, s s ) ) Quesiti -3 Per la classificazione dei punti critici è necessario valutare lo Jacobiano del sistema in corrispondenza dei punti critici, di seguito scritto nella sua forma generica: J ( xy, ) x = y x In corrispondenza dell origine (P.C. ): J (,) = Lo Jacobiano è una matrice diagonale, pertanto gli autovalori coincidono con gli elementi sulla diagonale e gli autovettori coincidono con gli assi di riferimento. In particolare, essendo gli autovalori reali e di segno opposto, si può concludere che l origine è una sella in cui l asse delle x (autovettore corrispondente all elemento diagonale J =λ =) coincide con la varietà instabile e l asse delle y (autovettore corrispondente all elemento diagonale J =λ =-) coincide con la varietà stabile. È possibile quindi una rappresentazione immediata del diagramma delle fasi nei pressi del punto critico: In corrispondenza dell altro punto critico: J (, ) = 7
Di nuovo, si ha una matrice in forma diagonale per cui gli autovalori coincidono con gli elementi sulla diagonale e gli autovettori sono paralleli agli assi di riferimento. Gli autovalori sono entrambi reali e negativi per cui si ha un punto critico di tipo nodo stabile. L autovettore q (λ = -) è parallelo all asse delle x, mentre q (λ = -) coincide con la direzione verticale. Per la rappresentazione grafica si può notare che la dinamica del sistema linearizzato: () t = c exp( λ t) + c exp( λ t) z q q per t + (ovvero nei pressi del punto critico) è dominata dalla componente cui compete autovalore più piccolo in valore assoluto: () t c exp( λ t) = c exp( t) z q q Ovvero le orbite si avvicinano al punto critico seguendo la direzione descritta dall autovettore q (ovvero l asse x). Analogamente, per t - (lontano dal punto critico) le orbite saranno parallele alla direzione descritta dall autovettore q (direzione verticale). È possibile quindi affrontare la rappresentazione grafica del sistema linearizzato nei pressi del punto critico: v u Quesito 4 È possibile tentare una rappresentazione qualitativa globale del sistema, estrapolando in maniera plausibile i diagrammi di fase ottenuti localmente: 8
Esercizio 4 Testo: Si consideri la seguente equazione di Laplace bidimensionale per la variabile u(x,y) con le assegnate condizioni al contorno: u u + = x y u u u x (, y) = u(, y) = ( x,) = ( x,) = sin( 3πx ) sinh( 3π ) [, ], y [,]. Classificare l equazione differenziale a derivate parziali in parabolica/iperbolica/ellittica. Classificare le condizioni al contorno rispetto alla variabile x e rispetto alla variabile y in omogenee/non omogenee, Dirichlet/Neumann/miste 3. Risolvere l equazione di Laplace applicando il metodo di separazione delle variabili. L equazione di Laplace è in genere una PDE lineare omogenea di tipo ellittico. Nel caso specifico le condizioni al contorno sono di tipo Dirichlet, e sono omogenee lungo la variabile x e non omogenee lungo la y. Col metodo di separazione delle variabili si suppone che la soluzione sia del tipo: (, ) = X ( x) Y( y) u x y essendo X(x) e Y(y) funzioni solo della x e della y, rispettivamente. Sostituendo nell equazione iniziale si perviene a: X '' Y + Y'' X = 9
ovvero: X '' Y '' = X Y Il primo membro è una funzione della sola x, mentre il secondo membro è funzione della sola y. Come stabilito dal metodo di separazione delle variabili, l unica possibilità per cui sia verificata l eguaglianza è che primo e secondo membro siano entrambi costanti. Inoltre il problema è omogeneo lungo la direzione x, per cui è possibile cercare le autofunzioni lungo tale coordinata. X '' = λ, X ( ) = X ( ) = X Per λ > la generica soluzione dell equazione differenziale ordinaria è: ( ) = sin λ + X x c x c cos λ x Applicando le condizioni al contorno: X X ( ) () c = c = = sin λ = λ = nπ λn = n π Il problema omogeneo lungo x avrà quindi autovalori λ n e corrispondenti autofunzioni: n ( ) = α sin ( π ) X x n x n Con gli autovalori calcolati è possibile quindi calcolare il problema differenziale lungo y: Y '' = λn = n π Y ovvero: Y n Y '' π = che ammette come soluzione generale:
n ( ) = π e + Y y ae a n y nπ y Ponendo la condizione al contorno per y=: ( ) Yn = a + a = a = a per cui: nπy nπy ' ( ) = ( ) = Y sinh n y a e e a y Una soluzione della PDE sarà quindi: (, ) = ( ) ( ) = γ sin( π ) sinh( π ) u x y X x Y y n x n y n n n n Tale funzione per y= sarà: (,) = ( ) ( ) = γ sin ( π ) sinh ( π) u x X x Y n x n n n n n Osservando che per la nostra condizione al contorno: ( x, ) = f ( x) sin( 3πx ) sinh( 3π ) u = Tale condizione al contorno coincide con una particolare soluzione del problema differenziale ovvero quella per n = 3, per cui si può concludere che la soluzione della PDE sarà: u ( x, y) = sin( 3πx ) sinh( 3πy )