Appunti di Controlli Automatici 1 Capitolo 7 parte III Luoghi ad M e ad N costanti Introduzione... 1 Costruzione dei luoghi ad M costante... 5 Costruzione dei luoghi a N costante... 6 Introduzione Consideriamo un generico sistema avente funzione di trasferimento in anello aperto (s). Supponiamo di chiudere questo sistema in un anello di retroazione unitaria: u(s) + (s) y(s) Sappiamo che la funzione di trasferimento ad anello chiuso assume la seguente espressione: (s) (s) (s) Sappiamo anche che, per studiare il modo con cui l anello di reazione modifica la posizione dei poli rispetto a quella in anello aperto, basta utilizzare il luogo delle radici. Possiamo perciò esprimerci dicendo che il passaggio da (s) a (s) si ottiene mediante il luogo delle radici. Ci chiediamo, allora, come si ottenga il passaggio dalla funzione di risposta armonica (j in anello aperto alla funzione di risposta armonica in anello chiuso (j: (j (j (j A livello puramente analitico, se scriviamo che (j ) Re{ (j + jim{ (j abbiamo che Re{ (j + jim{ (j ( Re{ (j ) + jim{ (j jγ( (j M( e,
Appunti di Controlli Automatici 1 Capitolo 7 parte III Esprimendo, cioè, la funzione (j come somma di una parte reale e di una parte immaginaria, siamo in subito in grado di determinare analiticamente il modulo M( e la fase γ( della funzione (j. Noti M( e γ(, possiamo ad esempio tracciare il diagramma di Bode di (j. Tuttavia, per tracciare questo diagramma possiamo procedere in modo più rapido, anche se meno rigoroso e quindi meno preciso. Supponiamo, ad esempio, che il diagramma di Bode delle ampiezze della funzione (j sia del tipo seguente: log 1 ( j B log 1 Consideriamo allora l espressione (j (j, da cui ricaviamo che (j (j (j (j a bassa frequenza, è evidente, dal diagramma, che (j >>1, per cui possiamo scrivere, con buona approssimazione, che (j 1 : possiamo cioè affermare che, a bassa frequenza, il diagramma di Bode dell ampiezza di (j coincide con l asse orizzontale; viceversa, ad alta frequenza, risulta (j <<1, per cui possiamo scrivere, con buona approssimazione, che (j (j : possiamo cioè affermare che, ad alta frequenza, la reazione negativa non ha praticamente più influenza sul sistema ad anello aperto, per cui il diagramma di Bode dell ampiezza di (j coincide con quello di (j. Possiamo dunque cominciare a tracciare il diagramma delle ampiezze di (j nel modo seguente:
Luoghi ad M e ad N costanti log ( j 1 ) B log 1 N.B. E bene osservare che, mentre quella di ritenere (j (j ad alta frequenza è una approssimazione lecita, può esserlo di meno quella di ritenere (j 1 a bassa frequenza: è più realistico dire che, a bassa frequenza, (j risulta approssimativamente costante sul valore che assume per (cioè in continua), ossia dire che (j) (j (j) (j) Se la quantità (j), cioè il guadagno statico ad anello aperto, è abbastanza maggiore di 1 (per esempio è non inferiore a ), allora l approssimazione (j 1 (e quindi (j db ) è buona. A questo punto, una volta individuati i tratti asintotici, dovremmo tracciare il diagramma nell intorno della frequenza di crossover B. Volendo procedere in modo qualitativo, possiamo semplicemente congiungere in B i due tratti asintotici appena tracciati: log (j 1 ) B log 1 In modo, invece, più rigoroso, potremmo calcolare la (j in corrispondenza di 4 o 5 valori di nell intorno di B ed effettuare una interpolazione, ottenendo così un diagramma del tipo seguente: 3
Appunti di Controlli Automatici 1 Capitolo 7 parte III log ( j 1 ) B log 1 Il discorso da fare per costruire, in modo qualitativo, il diagramma di Bode delle fasi di (j a partire da quello di (j è assolutamente analogo. Tornando invece al diagramma di Bode delle ampiezze di (j, è possibile fare alcuni passaggi analitici al fine di capire come disegnare il diagramma, in modo abbastanza rigoroso, anche nell intorno della frequenza di crossover B. Il punto di partenza consiste nello scrivere la funzione di risposta armonica ad anello aperto nella forma seguente: (j A( e jϕ( A( [ cos ϕ( + jsinϕ( ] (j Sostituendo nell espressione (j e facendo qualche semplice (j manipolazione algebrica, si ottiene quanto segue: (j A( + jsinϕ( ] A( + jsin ϕ( ] (j (j A( + jsinϕ( ] [ A( cosϕ( ] + ja( sin { A( + jsin ϕ( ] {[ A( cosϕ( ] + ja( sin ϕ(... [ A( cosϕ( ] + [ A( sin ϕ( ] A( + jsin ϕ( ] + A ( A ( + A( cosϕ( ϕ( Da qui, separando la parte reale da quella immaginaria, si ottiene che + jsin ϕ( ] + A ( Re{ ( A( (j A ( + A( cosϕ( (j + (j + Re { ( Im ( + j (j { + Re{ ( Questa formula consente di calcolare in modo più rapido sia il modulo sia la fase di (j: 4
Luoghi ad M e ad N costanti M( γ( arg (j (j ( Re{ (j + (j ) + ( Im{ (j ) (j + Re{ (j Im{ ( arctg Re{ ( + (j Costruzione dei luoghi ad M costante La determinazione della funzione (j è ovviamente molto facilitata se sul foglio dove è disegnato il diagramma polare della funzione (j sono anche indicati, per ogni punto, l ampiezza e la fase della corrispondente (j. In altre parole, devono essere disegnati i luoghi dei punti corrispondenti a (j costante (detti luoghi ad M costante) e i luoghi dei punti a arg (j costante (detti luoghi ad N costante). Vediamo allora come si costruiscono tali luoghi. Cominciamo dai luoghi ad M costante: abbiamo prima trovato che il modulo la funzione (j si può esprimere nella forma Re{ (j + jim{ (j ( Re{ (j ) + jim{ (j jγ( (j M( e da cui scaturisce che il modulo di tale funzione ha espressione M( ) (j Re{ (j + j Im{ (j ( Re{ (j ) + j Im{ (j Elevando al quadrato ambo i membri, abbiamo dunque che M ( ) Re{ (j + j Im{ (j ( Re{ (j ) + jim{ (j Re { (j + Im { (j ( Re{ (j ) + Im { (j Per semplicità di notazione, poniamo y Im (j : { M x M + y ( x) + y ( ) M e inoltre x Re{ (j e Da qui, sviluppando semplicemente i calcoli, si ottiene la seguente equazione: ( M 1) x + ( M 1) y + M x + M Questa è l equazione di una circonferenza con centro nel punto dell asse reale M M, e con raggio r. 1 M 1 M 5
Appunti di Controlli Automatici 1 Capitolo 7 parte III Nella figura seguente sono rappresentate le circonferenze corrispondenti a diversi valori di M, ossia appunti i cosiddetti luoghi a M costante: Ognuna di queste circonferenze corrisponde dunque a punti in cui la (j ha modulo M( costante: ciò significa che, tracciando il diagramma polare della (j, in ogni punto in cui tale diagramma interseca una di queste circonferenze siamo immediatamente in grado di conoscere il modulo della corrispondente (j. Si osservano alcune circonferenze particolari: per M, la circonferenza degenera in un punto (l origine), per M1 in una retta (la retta verticale x-1/) e per M ancora in un punto (il punto critico -1). Costruzione dei luoghi a N costante Consideriamo ancora la (j espressa nella forma Re{ (j + jim{ (j x + jy ( Re{ (j ) + jim{ (j ( x) jy (j + Razionalizzando questa funzione, si ottiene x(1 + x) (j In base a questa espressione, possiamo porre + y + j[ y( x) xy] ( x) + y N tan arg [ y( x) xy] y (j tan arc tan x(1 + x) + y y x(1 + x) + y 6
Luoghi ad M e ad N costanti Riscrivendo questa in altra forma, abbiamo che Nx + Ny + Nx y Questa è l equazione di una circonferenza con centro nel punto 1 1, N e con 1 N + 1 raggio r. N Nella figura seguente sono rappresentate le circonferenze corrispondenti a diversi valori di N, ossia a diversi valori dell argomento di (j, ossia appunto i cosiddetti luoghi a N costante: Ognuna di queste circonferenze corrisponde dunque a punti in cui la (j ha argomento γ( costante (infatti, nella figura sono indicati direttamente i valori di γ( e non quelli di N): ciò significa che, tracciando il diagramma polare della (j, in ogni punto in cui tale diagramma interseca una di queste circonferenze siamo immediatamente in grado di conoscere l argomento della corrispondente (j. Si osservano anche in questo caso alcune circonferenze particolari: per N, la circonferenza degenera nell asse delle ascisse, mentre per N essa ha centro nel punto (-.5,) e raggio.5. Si osserva inoltre che tutte le circonferenze intersecano l asse delle ascisse nei due punti x e x-1 (come si deduce facilmente ponendo y nell equazione generale di tali circonferenze) ed anche che le circonferenze corrispondenti a valori di N uguali in moduli e opposti in segno sono simmetriche rispetto all asse delle ascisse. 7
Appunti di Controlli Automatici 1 Capitolo 7 parte III Una volta tracciati questi diagrammi, l utilità è, come detto, quella di poter dedurre molto velocemente i valori assunti dalla (j noto che sia il diagramma polare di (j. Per esempio, supponiamo di avere a disposizione una carta per diagrammi polari come quella indicata nella figura seguente: Su questa carta sono riportati un certo numero di luoghi a M ed N costante. Allora, se il diagramma polare della funzione di risposta armonica ad anello aperto (j viene tracciato su tale carta o, meglio, su un foglio di carta lucida ad essa sovrapposto, si possono facilmente dedurre numerosi valori della funzione di risposta armonica ad anello chiuso (j, tra i quali poi eseguite una opportuna interpolazione. e-mail: sandry@iol.it sito personale: http://users.iol.it/sandry 8