Utilità attesa Appunti per il corso di Economia dei mercati monetari e finanziari A.A. 2002/2003 Eduardo Rossi Università di Pavia 1 Elementi di teoria della probabilità Esperimento casuale: L esito non è noto con certezza. L insieme dei possibili esiti definisce lo spazio campionario Θ. Generico esito: θ i. Un evento A è un sottoinsieme dello spazio campionario. Dopo l esperimento, si dice che l evento si è avverato se l esito appartiene a tale insieme. Una funzione p che associa un numero ad ogni evento è una misura di probabilità se rispetta i seguenti vincoli per qualsiasi evento A, 0 p (A) 1 P (Θ) =1 per qualsiasi successione A 1, A 2,... di eventi disgiunti p ( i=1 A i)= X p (A i ). Una variabile casuale X è una funzione che assegna valore X i X (θ i ) all esito θ i X : Θ R 1
La funzione di distribuzione F (x) =F (X x) x funzione di densità f (x) =F 0 (x) quando il codomonio di X è numerabile si indica con p i = f (X = x i )=p(x = x i ) la probabilità che la X assuma il valore x i. 2
2 Rappresentazione delle preferenze Decisioni degli individui in condizioni di incertezza e loro implicazioni per la valutazione delle attività finanziarie. 2.1 Ipotesi Ogni consumo o investimento individuale è caratterizzato come se l investitore determinasse le probabilità dei possibili payoff, assegnando un indice ad ogni possibile consumo e scegliendo consumo e investimento (risparmio destinato all acquisto di attività finanziarie) in modo da massimizzare il valore atteso dell indice. Le preferenze di un individuo hanno una rappresentazione in termini di utilità attesa se esiste una funzione u ( ) tale che il consumo casuale ex è preferito al consumo casuale ey se e solo se: E [u (ex)] E [u (ey)] Due date 0 e 1, un solo bene di consumo disponibile per il consumo al tempo 1. Incertezza nell economia è modellata dall incertezza negli stati di natura che si realizzeranno al tempo 1. Collezione dei possibili stati di natura: ω Ω. Gli individui sanno che il vero stato di natura è un elemento di Ω ma non conosconolostatochesiverificherà al tempo 1. Piano di consumo: specificazione del numero di unità del singolo bene di consumo nei differenti stati di natura x = {x ω : ω Ω} x ω,èlaspecificazione del numero di unità del bene di consumo nello stato ω specificato da x. Un piano di consumo può essere interpretato come una variabile casuale. Relazioni di preferenza. Comparazione di differenti piani di consumo. Vogliamo che le preferenze di un individuo siano rappresentate da una funzione di utilità. 3
E conveniente pensare ad una comparazione tra piani di consumo come certi e ad una probabilità che dia la relativa verosimiglianza degli stati di natura tale che la la relazione di preferenza può essere rappresentata come un utilità attesa nel senso che il piano di consumo ex è preferito ex 0 se e solo se Z Ω E [u (ex)] E [u (ex 0 )] Z u (x ω ) dp (ω) Ω u (x 0 ω) dp (ω) Un piano di consumo è certo se il numero di unità di consumo non varia nei diversi stati di natura, ex ω = z ex 0 ω = z 0 ω Ω con z, z 0 costanti. In questo caso la funzione di utilità attesa si riduce ad una funzione di utilità su elementi certi: E [u (ex)] = u (z) E [u (ex 0 )] = u (z 0 ) Non tutte le relazioni di preferenza hanno una rappresentazione in termini di funzione di utilità attesa. Due approcci possibili perchè una relazione di preferenza abbia una rappresentazione in termini di utilità attesa: Funzione di utilità Von Neumann-Morgestern Approccio soggettivo di Savage. 4
3 Relazione di preferenza X collezione dei piani di consumo Relazione binaria º su X: collezione di coppie di piani di consumo (x, y). Se (x, y) sono in relazione scriviamo x º y, sex è debolemente preferito a y. 1. Una relazione binaria è transitiva, cioè: x º y, y º v x º v 2. Completa. Se per due piani di consumo x e y si ha che: x º y o y º x Due piani di consumo possono essere sempre comparati. Una relazione di prefenza è una relazione binaria, transitiva e completa. Possiamo inoltre definire tra due piani di consumo: Indifferenza: Strettamente preferito: x º y e y º x x y x  y se x º y e y ² x. Osservazione 1 Quando X ha un numero finito di elementi, una relazione di preferenza º può essere sempre rappresentata da una funzione di utilità. Esempio 2 Tre piani di consumo in X, x 1, x 2 e x 3.Prendiamounqulasiasi piano di consumo, persempio, x 3 edefiniamo: H (x 3 ) b Prendiamo adesso x 1. Poichè la relazione di preferenza è completa, x 1 e x 3 possono essere comparati, con H funzione di utilità: b + 1 se x 1  x 3 H (x 1 ) b 1 se x 3  x 1 b se x 3 x 1 5
Compariamo ora x 1, x 2 e x 3 Da ciò che è stato detto H (x 2 ) b 1 se x 3 Â x 2 b se x 3 x 2 b + 1/2 se x 1 Â x 2 Â x 3 b + 1 se x 2 x 1 b +2 se x 2 Â x 1 H (x n ) H (x m ) se e solo se x n º x m Problemi: quando un individuo esprime le sue preferenze su un insieme di piani di consumo in numero infinito non numerabile. In questo caso relazioni di preferenza che non possono essere rappresentate dalla funzione di utilita (ad esempio le preferenze lessicografiche). 6
4 La funzione di utilità attesà Denotiamo con P la probabilità definita sullo spazio degli stati Ω che puo essere obiettiva o soggettiva. Un piano di consumo e una variabile casuale, le cui caratteristiche probabilistiche sono specificate da P. Il consumo e casuale perche dipende da quale stato di natura si realizza. La funzione di distribuzione per un piano di consumo x: F x (z) =P {ω Ω : x ω z} Se una relazione di preferenza º ha una rappresentazione in termini di utilità attesa con una funzione di utilità u sugli eventi certi, l utilità attesa derivata da x e E [u (ex)] = Z + u (z) df x (z) Se due piani di consumo x e x 0 hanno la stessa funzione di distribuzione, avranno anche la stessa funzione di utilità e saranno indifferenti. Osservazione 3 L individuo esprime le proprie preferenze sulle distribuzioni di probabiltà del consumo. Per semplificare, assumiamo che l individuo esprima le sue preferenze sulle distribuzioni di probabilità (d.p.) definite su un insieme finito Z. Cioè la collezione dei piani di consumo X sul quale un individuo esprime le proprie preferenze deve avere la proprietà che x ω Z, ω Ω, x X Esempio 4 Z = {1, 2, 3} unità di consumo in ogni stato Possiamo rappresentare un piano di consumo come una variabile casuale discreta, p (z) =p (x = z) è la probabilità che x = z, conp (z) 0, z Z Definizione 5 La variabile casuale X è detta discreta se assume valori in qualche sottoinsieme numerabile {x 1,x 2,...} di R. 7
F x (z 0 )= X z z 0 p (z) X p (z) =1 z Z E [u (ex)] = X z Z p (z) u (z) Un piano di consumo puo essere pensato come una lotteria con premi in Z. La probabilità del premio e p (z). Lo spazio delle probabilità su Z è P ed i suoi elementi sono p, q e r. Se p P, la probabilità di z secondo p è p (z). 4.1 Assiomi Gli assiomi sono necessari e sufficienti perchè una relazione definita su P abbia una rappresentazione in termini di utilità attesa. Assioma 6 º è una relazione di preferenza su P. Assioma 7 Assioma di indipendenza o sostituzione. Per tutti i p,q e r P e a (0, 1). p  q ap +(1 a) r  aq +(1 a) r. Supponiamo che la scelta tra le lotterie p e r sia affidata ad un esperimento casuale semplice del tipo lancio della moneta. Se esce testa si ottiene la lotteria p, se croce la lotteria r. Lalotteriacompostaèap +(1 a) r. La differenza tra ap +(1 a) r e aq +(1 a) r ècosasuccedeseescetesta nel lancio della moneta (probabilità a). Cioè la differenza tra le due lotterie dipende dalle preferenze su p e q. In altre parole, la soddisfazione del consumo in un dato evento (testa) non dipende da cosa sarebbe stato il consumo in una altro stato del mondo (croce). Assioma 8 Assioma Archimedeo. Supponiamo che p, q e r siano tre distribuzioni di probabilità tali che: p  q  r. Esistono allora a, b (0, 1) : ap +(1 a) r  q  bp +(1 b) r. 8
L assioma archimedeo ci dice che poichè p é strettamente migliore di q, allora nonimporta quanto cattivo sia r, possiamo trovare una combinazione di p e r, ap +(1 a) r, con peso su p vicino a uno tale che la combinazione è migliore di q. Analogamente, non importa quanto sia migliore p rispetto a q, possiamo trovare un b sufficientemente vicino a zero tale che bp +(1 b) r sia peggiore di q. Esempio 9 p paga con certezza 100 Euro, q paga con certezza 10 Euro, r consiste nella propria morte. Uno potrebbe sostenere che r è tanto peggiore di q che nessuna probabilità a sufficientemente vicino a 1 rende preferibile ap +(1 a) r a q. Immaginiamo adesso una situazione nella quale ci venga offerto di guadagnare con certezza 10 Euro subito ed un altra nella quale ci venga data la possibilità di guadagnare 100 Euro, a patto di percorrere un piccolo tratto di strada in auto. E molto probabile che la maggioranza di noi sarebbe disposta a percorrere un piccolo tratto in auto pur di guadagnare 100 Euro, ma cosi facendo aumenteremmo le possibilità di morte. 9
4.2 Proprietà Notation 10 Per z Z, siap z la distribuzione di probabilità degenere a z ½ 1 se z P z (z 0 )= 0 = z 0 se z 0 6= z cioè P z rappresenta il piano di consumo sicuro che ha z unità di consumo in ogni stato. Quando valgono i tre assiomi valgono le seguenti proprietà per la relazione di preferenza: 1. p  q, 0 a<b 1 bp +(1 b) q  ap +(1 a) q 2. p º q º r e p  r esiste un unico a [0, 1] :q a p +(1 a ) r 3. p  q e r  s e a [0, 1] ap +(1 a) r  aq +(1 a) s 4. p q e a [0, 1] p ap +(1 a) p 5. p q e a [0, 1] ap +(1 a) r aq +(1 a) r, r P. 6. Esistono z 0, z 0 Z: P z 0 º p º P z0, p P (z 0 massimo, z 0 minimo). La relazione º ha una rappresentazione come utilità attesa se e solo se soddisfa i tre assiomi. Proviamola. Caso 1. P z 0 P z0. Allora p q per tutti p, q P. Quindi ogni u (z) =k per una costante k sarà una funzione di utilità per eventi certi. Caso 2. P z 0  P z0.perp P definiamo tale che H (p) = a a [0, 1] ap z 0 +(1 a) P z0 p cioè H (p) è quel peso che, assegnato in una lotteria ponderata, rende P z 0 indifferente a p. Per la proprietà 2 a è unico, ovvero H (p) èbendefinito per tutti i p P. 10
Per definizione di H e per la proprietà 1 si ha: seesolose H (p) H (q) H (p) P z 0 +(1 H (p)) P z0 º H (q) P z 0 +(1 H (q)) P z0 quindi, se e solo se p º q. Quindi H è una funzione di utilità che rappresenta º. Il secondo passo è dimostrare che esiste una funzione u ( ) definita su Z tale che: H (p) = X z Z u (z) p (z). Perlaproprietà5epertuttip, q P e a [0, 1] ap +(1 a) q a [H (p) P z 0 +(1 H (p)) P z0 ]+(1 a)[h (q) P z 0 +(1 H (q)) P z0 ] [ah (p)+(1 a) H (q)] P z 0 +[1 ah (p) (1 a) H (q)] P z0 0 <ah(p)+(1 a) H (q) < 1 H rappresenta º, nesegueche H (ap +(1 a) q) = p z } { H [ah (p)+(1 a) H (q)] P {z } z 0 +[1 ah (p) (1 a) H (q)] P {z } z0 a (1 a) = H (p) Dalla definizione di H (p) =a dove a [0, 1] tale che ap z 0 +(1 a) P z0 p. H deve essere lineare H (p) =a = ah (p)+(1 a) H (q) H [ap +(1 a) q] =ah (p)+(1 a) H (q). 11
Definiamo una funzione u ( ) su Z con u (z) H (P z ) z Z dove P z è il piano di consumo sicuro. Questa è una funzione Von Neumann Morgerstern. Infatti u (z) è l utilità, secondo H, perilpianodiconsumo sicuro P z e la funzione di utilità VNM è una funzione su cose sicure. Prova. Siap P. Si puó mostrare che p X p (z) P z z Z Poichè H rappresenta º Ã! X H (p) = H p (z) P z z Z = X p (z) H (P z ) z Z = X p (z) u (z). z Z Ogni relazione binaria su P che soddisfi i tre assiomi ha una rappresentazione di utilità attesa. Viceversa, se una relazione binaria ha una rappresentazione di utilità attesa esiste una u ( ) tale che, per p, q P p º q sse X p (z) u (z) X u (z) q (z) allora º soddisfa i tre assiomi. Si può mostrare che u ( ) è determinata unicamente a meno di una trasformazione lineare strettamente positiva. Se anche bu è una funzione di utilità VNM, allora esistono due costanti c>0 e d tale che bu = d + cu. Quando Z è un insieme infinito, per esempio quando Z contiene tutti i numeri reali positivi, il teorema di rappresentazione non vale più. Si ha bisogno di un quarto assioma chiamato il principio della cosa sicura. 12
4.3 Utilità attesa con consumo su più date Quando il consumo si verifica su più date: t =0, 1,...,T. Sia Z la collezione di vettori (T + 1) 1: (z 0,...,z T ) dove z t rappresenta il numero di unità di consumo certo al tempo t. Supponiamo che Z sia un insieme finito. Una probabilità p su Z è una funzione con le seguenti proprietà: 1. p (z) [0, 1] z Z; 2. P z Z p (z) =1. Gli individui esprimono le preferenze sulle probabilità definite su Z o, equivalentemente, sulle lotterie i cui premi sono i consumi ai tempi t = 0, 1,...,T. La relazione binaria º è una relazione di preferenza che soddisfa l assioma di sostituzione e quello Archimedeo se e solo se esiste una funzione di utilità VNM u ( ) sulle cose sicure tale che per tutti p, q P, p º q seesolose X u (z 0,...,z T ) p (z = z 0,...,z T ) X u (z 0,...,z T ) q (z = z 0,...,z T ) z Z z Z dove p (z = z 0,...,z T ) è la probabilità che il consumo dal tempo 0 al tempo T sia (z 0,...,z T ). Assunzione di additività temporale: u (z 0,...,z T )= TX u t (z t ) t=0 13
Una conseguenza della teoria dell utilità attesa è che la funzione di utilità di VNM è necessariamente limitata quando le distribuzioni di probabilità del consumo implicano livelli di consumo non limitati. Questa è una conseguenza dell Assioma Archimedeo. Per vedere questo, supponiamo che u sia non limitata. Senza perdita di generalità, supponiamo che u sia non limitata dall alto e che Z contenga tutti i livelli positivi di consumo. Allora esiste una sequenza di livelli di consumo {z n } n=1 tale che z n e u (z n )= 1, 2 n n = 1, 2,... Questo piano di consumo ha livelli di consumo non limitati. L utilità attesa di questo piano di consumo è X u (z n ) p (z n ) n=1 X 2 n 1 2 = n Ora, siano q,r P tali che p  q  r. Sappiamo che le utilità attese con q e r devono essere finite. E quindi evidente che l assioma Archimedeo non può essere soddisfatto. n=1 14