Risoluzione degli esercizi del Secondo Appello 9//) Sia y = gx) l equazione della retta tangente alla curva C di equazione y = 8x 4 x 3 + nel punto x,y ) =,3) di C. Allora g) vale... Svolgimento. La derivata di 8x 4 x 3 + per x = vale 4 8 3 = Quindi l equazione della retta sarà y = gx) = f) + x )f ) = 3 + x ) = x 8. Quindi g) = 9 Sia per x fx) := x 5 + x + x +. Sia g la funzione inversa di f. Allora 9g ) + vale... Svolgimento. Si ha y = fx)) = quando x 5 + x + x + =, che per x ha la sola soluzione x =. Quindi g ) = f ) = =. Infine 9g ) + = 6 3 Sia fx) := sin3x) + arctan 4x) + vale... x 3 e x x per ogni x e f) :=. Allora f ) Svolgimento. L esercizio, praticamente uguale a un esercizio dato nella prova del 3 Gennaio, la cui soluzione era stata messa in rete), si può fare in vari modi. Il modo più rapido è quello di notare che essendo f) = ), f ) := x fx) f) x = x fx) x, ma si può evidentemente procedere in modo più tradizionale, calcolando le derivate nel generico x e poi prendendo x =. Banalmente le derivate di sin 3x e di arctan 4x, in, sono uguali, rispettivamente, a 3 e a 4. Quindi la derivata in di sin3x) + arctan 4x) vale. Per il termine rimanente, osserviamo che e x x x x / da cui 3 e x x 4x e la sua derivata in fa 4. Finalmente si ha f ) = + 4 =. 4. e / x + e x arctan x) cos x) ) + + x x x =... Svolgimento. Preso atto che x e / x =, x e x =, arctan x) x, cos x) x),
x e / x +e x arctan x) cos x )+ + x x = +)++ x) = + 49 = 3 5 Sia fx) := x e x + e sia x m l unico punto di minimo relativo della funzione f su R. Allora fx m ) + vale... Svolgimento. Sembrerebbe facile vedere che fx) x e che f) =, e quindi per x = si ha un punto di minimo assoluto. Fidandosi del testo che parla di unico punto di minimo relativo) si deduce che x m = da cui fx m )+ = 34. Ma facciamo finta di non esserci accorti e calcoliamo la derivata di fx) per x visto che per x = la funzione non è derivabile). Abbiamo, per x <, che fx) = xe x + da cui f x) = x ) e x che, per x <, non si annulla mai è sempre negativa). Per x > abbiamo invece fx) = xe x + da cui f x) = x) e x che è positiva per < x <, è negativa per < x e si annulla per x = che risulta quindi un massimo relativo. Del resto, f ) = e < bocca che piange), come si conviene ad un onesto massimo relativo. Quindi il minimo relativo deve per forza essere in... 6 Sia f : R R definita da fx) := x e x 8, x R. Quali delle seguenti proprietà ha la funzione f in tutto R? A) f è continua; B) f è derivabile; C) f è itata inferiormente; D) f è dispari; E) f è itata superiormente; F) f è pari; G) f è monotona; H) f è periodica. N.B. La risposta a questa domanda sarà considerata esatta, se e solo se saranno indicate tutte e sole le proprietà che ha effettivamente la funzione f, fra quelle riportate qui sopra.) Svolgimento. Questo esercizio aveva due varianti: una è quella scritta sopra con e x moltiplicato per una potenza dispari di x qui, x )). La variante consisteva nell uso di una potenza pari di x : ad esempio fx) := x 6 e x 8. Cominciamo con fx) := x e x 8, che risulta immediatamente continua e derivabile in tutto R. Si vede anche facilmente che i iti per x che tende a + e per x che tende a sono entrambi = 8. Deduciamo quindi che la funzione deve essere itata sia inferiormente che superiormente). Si vede anche facilmente che f non è pari e neppure dispari. Pensare che sia periodica è da ricovero fortunatamente non l ha detto nessuno) e una funzione monotona che parte da 8 a ) e arriva a 8 a + ) è molto difficile da immaginare, a meno che la funzione non sia costante che non era il nostro caso; ma, sfortunatamente, la monotonia ha comunque ottenuto parecchi consensi). Quindi la risposta giusta era A, B, C, E. Nel caso invece della funzione fx) := x 6 e x 8, abbiamo le stesse proprietà di prima per gli stessi motivi), ma inoltre la funzione risulta anche essere pari. Quindi la risposta giusta era A, B, C, E, F.
Svolgimento. Calcoliamo separatamente e poi x ) 8x + x 8 dx = ) dx = [arcsin x] = π/ π/)) = π; 8x 8 8x + x ) dx = 8 + x dx 8 + x dx = 8[arctanx] = 8π/4 π/4)) = 9π; da cui segue facilmente che I = π 9π = π e I π =. 8 Sia J := xe x + e x/4) dx. Allora J + 4 vale... Svolgimento. Calcoliamo separatamente xe x dx = [ x e x ) ] + e x ) dx = [ e x] + =, e x/4 dx = [ 4e x/4] + = 4, da cui J := xe x + e x/4) dx = + 4 =, e J + 4 = 5. ) n 9 Considerata la serie, dire per quali valori di x essa converge assolutamente. N.B. Attenti a distinguere < da e > da + n ) x/ )) Svolgimento. Ricordiamo che una serie a n converge assolutamente se la serie suoi valori assoluti) converge. Nel nostro caso, quindi, bisogna vedere per quali x converge la serie a n dei + n ) x/. Ricordiamo ora che una serie del tipo n α x/) >, cioè 4 x > cioè x < 3. converge per α >. Quindi dobbiamo imporre
a distinguere < da e > da )) Svolgimento. Ricordiamo che una serie del tipo k n cioè una serie geometrica) converge se e solo se k <. Quindi, nel nostro caso, dopo avere scritto la nostra serie come dobbiamo imporre che x + ) n+ 6 n = 6x + ) x + ) n x + <, 6 6 n = 6x + ) x + cioè che x + < 6, cioè che la distanza di x da sia minore di 6. Questo avviene quando 6 < x < + 6 cioè quando 3 < x < 6 ) n Sia y : R R la soluzione del problema di Cauchy : y t) + 3y t) = 3, t R ; y) =, y ) = 4. Allora 3y) + y ) + vale... Svolgimento. Consideriamo dapprima l equazione omogenea associata, cioè y t)+3y t) =, il cui integrale generale è dato da y om = C e 3 t + C. Poi cerchiamo una soluzione particolare y p della equazione completa. Verrebbe voglia di provare con y p = A cercando A in modo che y p risolva l equazione). Questo tentativo è però destinato a fallire, in quanto le costanti come C o come la A che vorremmo cercare) risolvono, come abbiamo visto, l equazione omogenea associata y +3y = ) e quindi, certamente, non possono risolvere l equazione completa y + 3y = 3 ). Quindi bisogna alzare il grado e provare con y p = At. Si ha facilmente y p = A e y p =, che sostituiti nella equazione danno +3A = 3 e quindi A = e y p = t. L integrale generale della equazione completa è quindi dato da y = y om + y p = C e 3 t + C t, a cui dobbiamo ora imporre le condizioni iniziali y) = e y ) = 4 per trovare C e C. Abbiamo y) = C + C = e y ) = 3C = 4, da cui facilmente C = e C =. La soluzione è quindi data da yt) = e 3 t t. Per buona prudenza controlliamo che y t) + 3y t) faccia davvero 3, che y) faccia e che y ) faccia 4. La verifica è lasciata al lettore... A questo punto calcoliamo y) = e 3 e y ) = 3e 3. Quindi 3y) + y ) + vale 3e 3 ) + 3e 3 ) + = 3 + =.
u 8 ) =. Allora 6log u 6 ) + 8 vale... Svolgimento. Anche questo esercizio è praticamente una versione leggermente semplificata di un esercizio quasi identico dato nella prova del 3 gennaio, la cui soluzione era stata messa in rete. Si tratta di una equazione a variabili separabili che risolviamo col trucco di Leibniz : da otteniamo senza saper bene cosa vuol dire) che du dx = u/ x u / du = x dx da cui, integrando, [ ] u 8 v8/ = Svolgendo i calcoli si ha da cui e finalmente [ ] x. t 8/ 8 u8/ 8 = x 8/ 8 u8/ = x ux) = ) /8 8. x Ora calcoliamo u 6 ) /8 ) /8 8 ) = 6 = = /8 da cui 6log u 6 ) ) + 8 = 6 + 8 = 4 + 8 = 6. 8