Pretazioni di itemi di controllo con feedback Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada
Sommario Requiiti dinamici Pretazioni dinamiche Requiiti tatici Pretazioni tatiche 2
Ipotei di bae - w - y Nello tudio delle pretazioni i aumerà che Il itema di controllo ia aintoticamente tabile analii delle pretazioni è priva di eno e manca la tabilità aintotica 3
Ipotei di bae - 2 w - y Si aumerà anche che Siano verificate le ipotei di applicabilità del criterio di Bode non ha poli con parte reale poitiva P Il diaramma di Bode di j attravera una ola volta l ae a db Quindi, la preenza dell'aintotica tabilità implica >, ϕ o m > 4
Schemi a blocchi w - n y chemi a blocchi equivalenti w - e - n y 5
Funzioni di traferimento w - Inrei Ucite e - n w, d, y, u, e n y S F R G Q R Y U E F Q S S F Q Q S F W D N 6
Funzioni di enitività w - e - n y R G Funzione di enitività Funzione di enitività complementare Funzione di enitività del controllo S F R F G Q R Si oervi che S F S 7
imiti alle pretazioni w - e - n y Y U E F Q S S F Q Q S F W D N Se n, la ituazione ideale per la variabile controllata e l errore embra eere F, S Y W, E Tuttavia riulterebbe F G G Q e ad alta frequenza lo forzo di controllo arebbe molto elevato Tipicamente G infatti è trettamente propria e perciò lim Q j 8
Eempio 9
Eempio
Eempio
Requiiti dinamici di un itema di controllo Requiiti eenziali di un itema di controllo ono quelli che fanno riferimento alle pretazioni dinamiche, oia all andamento nei t ranitori Step Repone Sono di primario interee: la velocità di ripota, oia la velocità con cui la var. controllata ineue bruche variazioni del riferimento ad eempio quelle a calino velocità di ripota elevata t a piccolo Amplitude 2 8 6 4 2 2 3 4 5 6 Time econd lo morzamento dei tranitori, oia l aenza o la modeta rilevanza di ocillazioni o ovraelonazioni morzamento dei tranitori elevatoocillazioni o ovraelonazioni aenti o tracurabili la reiezione dei diturbi, iano ei ulla linea di andata o u quella di retroazione Amplitude Step Repone 2 5 5 5 5 Time econd 2
Velocità di ripota e banda paante y Step Repone H, τ > τ τ H j 2 db Diaramma di Bode - Modulo 8 5 6 db Amplitude 4 5 2 y τ τ 2 4 6 8 Time econd -5 - pulazione l etremo uperiore della banda paante è un indice della rapidità di ripota, dal momento che riulta uuale all invero della cotante di tempo τ 3
Velocità di ripota e banda paante Fatta la premea precedente, torniamo al itema di controllo in anello chiuo: w - y a funzione di traferimento dal riferimento alla variabile controllata è Y W F FFunzione di enitività complementare A reime i vuole yt molto proima a wt quindi è lecito attenderi che ia F a baa frequenza. Inoltre, F è trettamente propria e lo è e quindi il modulo della ua ripota in frequenza tende a - db per 4
-2-2 Banda paante e velocità di ripota Inoltre, dal momento che i vuole che il itema di controllo non attenui le componenti del riferimento fino alla pulazione in cui il modulo di F inizia a calare, un andamento plauibile di Fj arà: F j db - 3dB b Bode Diaram -2-3 -4 Manitude db -5-6 -7-8 F i comporta quindi da filtro paabao con etremo uperiore della banda paante pari a b definiamo BANDA PASSANTE DE SISTEMA DI CONTROO Frequency rad/ [, ] BP b e i fa in modo che la pendenza di Fj dopo b ia -, i potrà approimare F con un itema del ordine: F concludendo che b è un indice della velocità di ripota poiché la ripota allo calino i eaurice in ta 4 5/ b b
6 Banda paante e pulazione critica F j j j F e poibile fare un approimazione del modulo di F, a partire dal modulo di, ricorrendo alla euente coniderazione: << >> db j e j db j e db j j j F a queto punto, e da ora in avanti, ci mettiamo nelle ipotei di applicabilità del Criterio di Bode, ciò comporta, oltre al fatto che non abbia poli a parte reale poitiva, che il diaramma di tali l ae a db una ola volta dall alto vero il bao in corripondenza di c. E poibile individuare un indice di velocità di ripota leato a o a F?
Banda paante e pulazione critica Coniderando un tipico andamento di : 4 2 F c? db -2-4 -6-8 rad/ approimazione precedente conite quindi nel porre: F j approimazione buona per valori di pulazione lontani dalla pulazione critica ma non è chiaro quanto ia buona per valori vicini e << c j e >> c Sotto quali condizioni allora l approimazione rafica opra riportata è attendibile? Se lo foe, la banda paante del itema in anello chiuo arebbe ben approimata dalla pulazione critica 7
Banda paante e pulazione critica Sembra, tuttavia evidente che F i comporti come un filtro paabao con uadano unitario e pulazione di talio approimativamente uuale a c, che quindi cotituice un indice di pretazione. 4 db 2-2 -4 F c? Detto altrimenti: i poli dominanti di F [cioè i poli dominanti in anello chiudo] embrano eere localizzati intorno ad c -6-8 rad/ 8
Validità dell approimazione j F j c jc j c F j 9
- - 2 2 3 3 Banda paante e pulazione critica Sulla natura di queti poli dominanti abbiamo però ancora una notevole incertezza, come i può motrare con i euenti due eempi: riulta F db 4 3 2 Diaramma di Bode - Modulo polo dominante reale anche nella F vera - -2 pulazione F riulta 2 2 2 F.5 ξf..5 db 4 2-2 Diaramma di Bode - Modulo ξ?? -4 a F vera ha 2 poli dominanti complei, molto -6 ben approimati quanto a pulazione naturale ma dei quali i perde completamente lo morzamento piccolo -8 che provoca una rionanza! pulazione 2
Smorzamento e marine di fae Per approfondire la natura dei poli dominanti di F e capire che morzamento realmente abbiano, ma enza calcolo eplicito di F, proviamo a calcolare il valore di Fj in c : F j c jc j c coϕ 2 c e jϕ c coϕ 2coϕ inϕ Si oervi che e ϕ m 9 riulta: F jc F jc 3 db 2 e che e ϕ m > 6 cioè il marine di fae ha valori inferiori a 9 ma comunque elevati riulta: F j F j < c < c db c 2 c c j inϕ coϕ 2 coϕ etremo della banda paante è ben approimato dalla pulazione critica e non vi è rionanza 2 c c m ϕm 2in 2 etremo della banda paante coincide con la pulazione critica Ricorda anche che valori coì elevati di ϕ m i ottenono quando talia l ae a db con pendenza -! 2
Smorzamento e marine di fae Prima concluione: poiamo fare conettura che per valori elevati > 6 del marine di fae ϕ m, F ia ben approimata da un itema del ordine, oia con polo dominante reale alla pulazione c : F C τ a 4.6 c Tempo di aetamento della ripota allo calino Per valori inferiori di ϕ m < 6, occorre un approimazione a poli dominanti di F più complea, preciamente a 2 poli c.c. con pulazione naturale c : F c 2 2 2 2ζc c tiene conto della rionanza nel itema Fj c > τ a 4.6 ζ c Tempo di aetamento della ripota allo calino 22
Smorzamento e marine di fae 23
w - y Eempio.25 2 Determinare l andamento qualitativo della ripota di yt a uno calino di ampiezza di wt db 4 3 2 - -2-3 -4 2 3 w rad/ Poiché ϕ m è elevato va bene l approimazione: F i traccia il diaramma di Bode del modulo aintotico i determina c rad/ i determina ϕ m : ϕ m 8 ϕc 8 9 2arctan 4 8 9 2 4 62 c. y.8.6.4 w Ripota a calino y.2 τ...2.3.4.5.6.7 t 24
Reiezione dei diturbi in linea di andata Diturbo dt ulla linea di andata d w - e y a funzione di traferimento dal diturbo alla variabile controllata è Y D S SFunzione di enitività N.B. a fdt tra il diturbo e l errore differice da quella opra olo per il eno! 25
26 Reiezione dei diturbi in linea di andata << >> db j e db db j e j j j S Per il tracciamento del diaramma del modulo della funzione di enitività i oervi che: Nelle ipotei di applicabilità del Criterio di Bode i ha poi: >> << C C db j j j S Il diaramma di Bode del modulo di i ottiene ribaltando, ripetto all ae delle pulazioni, quello di j j
Reiezione dei diturbi in linea di andata Coniderando un tipico andamento di i ha quindi l approimazione rafica: 4 2 / db -2 S c approimazione buona per valori di pulazione lontani dalla pulazione critica ma non è chiaro quanto ia buona per valori vicini -4-6 -8 rad/ Concluione: le componenti armoniche del diturbo dt interne alla banda paante cioè inferiori a C venono attenuate ull errore e anche ulla var. controllata tanto più quanto maiore è ulla banda paante il modulo di. e componenti del diturbo eterne alla banda paante non ubicono apprezzabili attenuazioni. 27
Funzione di enitività Validità dell approimazione Verifica della bontà dell'approimazione nell'intorno di C Calcolo del valore di picco S M up S j 28
Reiezione dei diturbi in linea di andata a banda paante del itema di controllo deve eere ufficientemente ampia da contenere: le armoniche di interee del enale di riferimento 2 le armoniche del diturbo in linea di andata che è indipenabile attenuare 29
Pretazioni wt e/o dt inuoidali Sotto quali condizioni riulta t lim e t per w e d inuoidali? w w e - t Ain t e t A S j in t ar S j S j j D D j j N j d y S j D j errore i azzera e e olo e la funzione di traferimento d anello ha poli in Im ± j Re In enerale, per tudiare l errore a reime con w e d inuoidali i ua il t.r.i.f. 3
Reiezione dei diturbi in retroazione Diturbo nt ulla linea di retroazione Si conideri ora un diturbo ul traduttore n w - e - y a funzione di traferimento dal diturbo n alla variabile controllata y è Y N F N.B. a fdt tra il diturbo n e l errore e differice da quella opra olo per il eno! 3
Reiezione dei diturbi in retroazione 4 Diaramma di Bode - Modulo 3 2 db F C - -2-2 3 pulazione Concluione: le componenti armoniche del diturbo nt eterne alla banda paante cioè uperiori a C venono attenuate ull errore e anche ulla var. controllata mentre ciò NON avviene all interno della banda paante. 32
Reiezione dei diturbi in retroazione I diturbi ulla linea di retroazione cioè ui traduttori ono peraltro tipicamente in alta frequenza rumori di miura quindi è importante che la banda paante non ia ampliata al punto da comprendere le armoniche inificative di nt 33
Moderazione del controllo Conideriamo un itema di controllo: d w - R u G y n a funzione di traferimento dal riferimento w alla variabile di controllo u è: U W R R Q QFunzione di enitività R G del controllo N.B. Queta è anche la fdt a meno del eno dai diturbi d e n a u! 34
35 Siccome w,d,n hanno caratteritiche e contenuti pettrali diveri, è opportuno che il modulo della enitività del controllo ia limitato u tutto l ae delle pulazioni cioè che Q attenui ovunque! Moderazione del controllo >> << << >> C C j j R j j G j j R j Q : : Riulta poi: Fuori dalla banda paante R deve aumere valori contenuti.
db 4 2-2 -4-6 -8 Moderazione del controllo Vediamo ora coa uccede all interno della banda paante del itema di controllo Ipotizziamo un andamento paa-bao G /G per il diaramma di G, con banda paante [, G ] G c Se c è molto più rande della banda del itema,g, in anello aperto, G, oia il itema in anello chiuo è molto più veloce di quello in anello aperto / G, e quindi Q, può crecere molto. rad/ Quindi: la banda paante non deve eere ecceivamente ampia ripetto alla banda che caratterizza la dinamica in anello aperto, proprio per evitare ecceive ollecitazioni della variabile di controllo N.B. Ciò è importante, oltre che per raioni economiche e di icurezza, anche per arantire che l approimazione introdotta relativa al coniderare lineare il comportamento dinamico del itema di controllo, non vena a cadere. 36
Moderazione del controllo Ripota in frequenza Q j R j R j j G R j j G j,, > c c cioè Il diaramma di Q più bao tra quelli di e di G G j R j j < G j R j j R j è il Diaramma a maima attenuazione Q j E opportuno che a frequenza "alta" R elevato j non ia troppo 37
Requiiti tatici di un itema di controllo e pretazioni tatiche i rifericono al comportamento a tranitorio eaurito ed in particolare all entità dell errore tra riferimento/diturbi e variabile controllata a reime, cercando le condizioni per cui queto errore è nullo, o finito ma non nullo, o infinito Chiaramente, requiito per parlare di pretazioni tatiche è l aintotica tabilità in anello chiuo 38
.2.4.6.8 Requiiti tatici di un itema di controllo Conideriamo quindi un itema di controllo retroazionato: w - R u G d y n Per l analii a tranitorio eaurito prenderemo in coniderazione i enali canonici calino, rampa, parabola come inrei del itema. Ei infatti, per t, ono rappreentativi di enali molto più enerici. Step Repone Step Repone 2 4 3.5 2 Amplitude Amplitude.5 - -2 2 3 4 5 6 Time econd Time econd 39
Errore dovuto al enale di riferimento Nell analii dell errore frutteremo, razie alla linearità del itema, il principio di eparazione deli effetti, per cui conidereremo eparatamente il contributo dei inoli inrei riferimento e diturbi e facciamo riferimento alla riformulazione dello chema a blocchi che mette in evidenza l errore e w y d y y w n d y w e y n a funzione di traferimento dal riferimento w all errore e è: E W S funzione di enitività 4
4 Errore dovuto al enale di riferimento Si pona k k i i T τ [ ] W W W T W E t e e k k i i t τ lim lim lim lim lim lim in bae al teorema del valore finale i ha:
42 Errore dovuto al enale di riferimento wt Acat > <,,, lim lim A A A A e wt Aramt 2,,, lim lim 2 A A A e wt Apart 3, 2,, lim lim 2 2 3 A A A e i oervi che la preenza di zeri nell oriine derivatori, oia <, porta a errore uuale al riferimento e quindi y! Non è di interee chiaramente nei controlli automatici e quindi non la prenderemo in coniderazione
Errore dovuto al enale di riferimento Per valori, i può compilare una tabella: Acat Aramt Apart A A 2 errore e è nullo A errore e è tanto più piccolo quanto più rande è Si oerva che: a pari inreo, l errore diminuice all aumentare del tipo a pari tipo, l errore aumenta paando da calino a rampa a parabola quando l errore è finito e non nullo, eo è tanto minore quanto maiore è il uadano d anello 43
Errore dovuto al enale di riferimento e pretazioni tatiche ono quindi determinate da 2 parametri di, il tipo e il uadano d anello 44
Eempio Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile per il Criterio di Bode eendo ϕ m 9 Il tipo di è e il uadano d anello è Otteniamo dalla tabella: w t w t w t ca t ram t par t e e e 45
Eempio wt cat.9 Step Repone wt.8 yt.7.6.5 Amplitude.4.3 errore tende a zero.2. et..2.3.4.5.6.7.8.9 Time econd 46
Eempio wt ramt wt.8.6 yt.4.2 et errore tende ad un valore cotante A//.2.4.6.8 47
Eempio wt part.45.4 wt.35.3.25.2.5. yt et errore tende ad infinito.5.2.4.6.8 48
Errore dovuto al diturbo d n d y e y a funzione di traferimento dal diturbo d all errore e è: E S D A parte il eno, coincide quindi con la fdt dal riferimento all errore Dal momento che interea di fatto l errore a tranitorio eaurito in modulo, poiamo ritenere valida la tabella ricavata precedentemente a parte il eno e tutte le coniderazioni fatte come commento 49
Errore dovuto al diturbo d Se il diturbo non entra nello chema a blocchi del itema di direttamente in ucita alla funzione di traferimento del proceo, per poter utilizzare ancora la tabella delle pretazioni tatiche, occorre riportare il diturbo in ucita. d H wy e y dh wy e y ali effetti tatici, e H non ha poli a parte reale poitiva, i ha: D H H D H d dg wy e y wy e y R G diturbo di carico o diturbo ull attuatore ali effetti tatici, e G non ha poli a parte reale poitiva, i ha: D G G G D 5
5 Errore dovuto al diturbo n y y d n e a funzione di traferimento dal diturbo n all errore e è: F N E Studiamo l errore a tranitorio eaurito prodotto da nt con andamenti canonici: [ ] N N N E t e e t lim lim lim lim lim
52 Errore dovuto al diturbo n nt Acat >,, lim lim A A A A e nt Aramt, lim lim 2 A A e nt Apart, lim lim 2 2 3 A A e
Errore dovuto al diturbo n Per valori, la tabella che i ottiene è: Acat Aramt Apart A A 2 A Si oerva che: olo con diturbo n a calino l errore non diventa infinito nel cao di n a calino l errore a tranitorio eaurito è pari al valore del diturbo per e poco differente da eo per, dal momento che è di norma >> e quindi / è circa. E quindi evidente che in preenza di diturbi ul traduttore, il itema non può raiunere una preciione miliore di quella oriinaria del traduttore teo! 53
Robutezza delle pretazioni tatiche Condizioni per cui t lim e t otto l ipotei di aintotica tabilità d Aca t t Aca t w t Ain t t Ain t w t d polo di poli di in in ± j Im Im Re Re Sono i poli della traformata di aplace dei enali eterni! 54
Robutezza delle pretazioni tatiche C è qualche differenza tra il cao in cui i poli iano contenuti nel proceo e quello in cui iano contenuti nel reolatore? w - e - n y Di reola il proceo è oetto a perturbazioni e non ci i può "fidare" del fatto che queti poli non "compaiano" a caua della variazione dei parametri Invece G, α α Se i poli ono contenuti nel reolatore l errore i azzera aintoticamente in modo robuto 55
Robutezza delle pretazioni tatiche Ipotei Il dc è aintoticamente tabile I poli delle traformate di aplace di w e d hanno parte reale poitiva o nulla w - e - n y Principio del modello interno Indipendentemente da perturbazioni di G riulta t lim e t e e olo e R contiene tutti i poli di W e D con le loro molteplicità Quando i poli ono in G la proprietà di reolazione a zero dell errore non è robuta 56