CAPITOLO SESTO ANALOGIE FRA SISTEMI TERMODINAMICI E SISTEMI ELETTROMECCANICI Varie forme di potenza Il lavoro compiuto nell unità di tempo rappresenta una potenza. Il lavoro che può essere compiuto da una quantità di calore è rappresentato dalla sua energia utilizzabile Q T a S e pertanto tale grandezza, riferita all unità di tempo è data da: P= T a Ṡ : essendo: il flusso di calore in W t ; T a la temperatura assoluta ambientale, in K Ṡ il flusso di entropia, in W t /K Un fluido invece trasporta una energia data dal prodotto della portata per l energia utilizzabile dovuta al calore (exergia specifica), sommata alla energia Cap. 6 Pagina 1 di 10
cinetica ed a quella gravitazionale: e f =b c2 2 gz. A queste relazioni possiamo aggiungere quelle di potenza elettrica e meccanica: Potenza elettrica v i W Potenza meccanica f c W Potenza meccanica ω C p W essendo: v la tensione elettrica istantanea espressa in Volt (V), i f c la corrente elettrica istantanea espressa in Ampère (A), la forza meccanica espressa in Newton (N), la velocita espressa in metri al secondo (m/s). C p la coppia meccanica espressa in Newton per metro (N m), ω la velocità angolare espressa in radianti al secondo (rad/s). Le varie potenze (cioé quelle convertibili fra loro ed espresse in W) possono essere considerate come il prodotto di una grandezza di stato (o di potenziale) per una di flusso, come indicato dalla tabella 6.1. Esiste pertanto una perfetta corrispondenza fra i fenomeni meccanici, elettrici e termici sotto questo profilo. Cap. 6 Pagina 2 di 10
Tabella 6.1 Grandezze di potenziale e di flusso che contribuiscono alla costituzione della potenza. Campo Potenziale Flusso Potenza Nome Simbolo Unità Nome Simbolo Unità Unità Meccanico Forza f N Velocità c m/s W Meccanico Coppia C p Nm Velocità angolare ω rad/s W Elettrico Tensione v V i A W Termico Exergia b J/kg G kg/s W Macchine Le macchine sono attrezzature che effettuano la conversione di energia sia entro uno stesso campo (il trasformatore elettrico è una macchina che converte una potenza da una tensione ad un altra), sia fra campi diversi (un motore termico converte l energia di combustione in energia meccanica di rotazione dell albero motore). Le macchine, dei tre campi citati, possono essere immaginate senza perdite per attriti, ottenendo macchine ideali; queste ultime sono interessanti per indagini sui modi più adatti per effettuare le trasformazioni energetiche richieste. Le macchine reali, associate alle corrispondenti macchine ideali, permettono di esaminare gli effetti aggiuntivi legati alle perdite (per attriti, per scambi di calore con salti finiti di temperatura, per resistenza elettrica dei cavi percorsi da corrente elettrica, per isteresi magnetica, ecc.). Tutte le macchine possono essere rappresentate ed analizzate allo stesso modo e con simbologia simile, facendo riferimento alle coppie di grandezze Cap. 6 Pagina 3 di 10
indicate nella tabella 6.1. La sostanza che viene usata, generalmente è costituita da un unico componente chimico (o almeno schematizzabile come tale) che, per facilità di trasferimento da una parte all altra della macchina, è normalmente in fase fluida (liquida o aeriforme); sono quindi esclusi i solidi. Per lo studio del funzionamento ideale e reale delle macchine termiche è necessario conoscere la funzione energia utilizzabile (exergia), in valore totale ovvero in valore specifico se si considera la macchina termica come sistema aperto. In questo secondo caso vanno tenute in conto le energie cinetiche e gravitazionali come specificato al capitolo quinto. La funzione energia utilizzabile (exergia) è derivabile da altre grandezze caratteristiche dello stato del fluido. Legge generale della potenza di un sistema complesso (meccanotermoelettrico) Un componente meccanico, termico od elettrico avrà un certo numero di collegamenti con l esterno attraverso i quali fluiscono energie trasportate da elementi meccanici, da correnti elettriche o da fluidi. Immaginando la contemporanea presenza delle elencate forme di energia, si può costruire un vettore potenziale avente la forma: V = v f C p N c e f essendo: v la tensione elettrica in V, f la forza meccanica in N, C p la coppia meccanica in Nm, Cap. 6 Pagina 4 di 10
N c e f il numero di Carnot in J/J t il potenziale termomeccanico in J/kg, ed un vettore flusso: I = i c ω Φ G essendo: i la corrente elettrica in A, c la velocità lineare in m/s, ω la velocità angolare in rad/s, Φ il flusso di calore in W t G la portata massica in kg/s. La potenza entrante per un sistema stazionario (nessun accumulo) sarà rappresentata dal prodotto vettoriale (il prodotto matriciale si ottiene effettuando il prodotto riga per colonna): P = V I anch esso vettore le cui componenti rappresentano rispettivamente le potenze elettrica, meccanica (per moto lineare e per moto rotatorio) e termica (per flusso di calore o per portata di fluido). Il modulo della potenza può essere considerato come la somma algebrica delle componenti di tale vettore presentando ciascuna componente le unità di misura di W (Volt per Ampère; N per m/s; Nm per rad/s; J/J t per J t /s; J/kg per kg/s). Cap. 6 Pagina 5 di 10
Sistemi complessi stazionari Un sistema complesso elettrotermomeccanico può essere concepito, per i nostri scopi, nella forma semplice di nbipolo e come semplificazione doppio bipolo: 1) come un nbipolo cioé come una scatola con n collegamenti doppi con l esterno, parte in ingresso (indice i) e parte in uscita (indice u), a due a due percorsi dalla stessa grandezza di flusso, lo schema funzionale è rappresentato in figura 6.1 e, in assenza di perdite: V i I i = V u I u il segno positivo a secondo membro dipende dal fatto che il flusso di energia in uscita viene considerato come positiva. Nel caso di doppio bipolo lineare e senza perdite (le perdite possono essere conteggiate inserendo altri elementi sui collegamenti), fra grandezze in ingresso ed in uscita possono scriversi due relazioni di proporzionalità del tipo: V i =A 11 V u A 22 I u I i =A 21 V u A 22 I u da cui: V i I i =A 11 A 21 I u A 12 A 22 V u A 11 A 22 A 12 A 21 V u I u. Essendo il componente senza perdite, l uguaglianza delle potenze fra ingresso ed uscita porta alla relazione, valida per qualsiasi valore di V e di I: Cap. 6 Pagina 6 di 10
V i I i =V u I u, da cui, fra i parametri del quadripolo A xy dovranno sussistere le relazioni: A 11 A 22 A 12 A 21 =1 ed: A 11 =1/ A 22 e di conseguenza : A 12 =A 21 =0. Per i doppi bipoli esistono teorie ampiamente sviluppate cui si rinvia per ulteriori approfondimenti; per gli nbipoli l estensione non è difficile. 2) come un bipolo si intende un involucro nel quale entra energia attraverso una apertura di ingresso ed esce una energia differente attraverso una seconda apertura di uscita (es. una portata di fluido che porta energia entro un tronco di tubazione e la stessa portata in uscita con un contenuto specifico energetico diverso; un conduttore elettrico con una corrente che lo percorre e diverso potenziale fra entrata ed uscita, ecc..); al suo interno avvengono trasformazioni che lasciano inalterato il vettore di flusso (es. corrente elettrica, portata di massa, ecc.): Apponendo l indice 1 per il collegamento di ingresso e l indice 2 Cap. 6 Pagina 7 di 10
ii iu vi vu ci cu fi fu ωi ωu Cpi Cpu Nci efi Φi Gi Ncu Φu Gu efu Figura 6.1 Schema di nbipolo termoelettromeccanico. per quello in uscita (vedi Figura 6.2), la potenza persa nel bipolo sarà: P p =P 1 P 2 = V 1 V 2 I. Cap. 6 Pagina 8 di 10
Figura 6.2 Schema di bipolo termoelettromeccanico Seguendo l impostazione dell elettrotecnica che considera direttamente la differenza di potenziale piuttosto che la differenza dei valori assoluti di potenziale, si può rinominare con: V = V 1 V 2 ; in tal caso si può definire per il bipolo in esame una funzione resistenza esprimibile in forma matriciale: v / i f / c R e R ml R = V / I = C p / ω = R ma N c / Φ e / G R q R t avendo indicato con: R e la resistenza elettrica in Ohm ( ), R ml la resistenza meccanica al moto lineare in Ns/m, R ma la resistenza meccanica al moto rotatorio in Nms/rad, R q la resistenza termodinamica al moto dell energia termica in Js/J t2, R t la resistenza termodinamica al flusso dell energia termica trasportata dal fluido in Js/kg 2. Cap. 6 Pagina 9 di 10
Allora, matricialmente: e: V =R I P=V I =V 2 / R=R I 2 con P potenza complessivamente scambiata con l esterno. Con questa simbologia appare evidente che una resistenza elettrica avrà in ingresso ed in uscita vettori costituiti con le sole grandezze di tensione e di corrente e la funzione caratteristica sarà costituita dalla resistenza elettrica dello stesso componente. Discorso simile può essere fatto per una tubazione, nella quale intervengono solo le grandezze meccaniche e la funzione caratteristica è rappresentata dalla resistenza al passaggio del fluido. Cap. 6 Pagina 10 di 10