Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica - Ingegneria Gestionale (H-PO) Prof. Silvia Strada Prima prova in itinere del 25 Novembre 206 Tempo a disposizione:.30 h. Nome e Cognome................................................................................ Matricola......................................................................................... Firma............................................................................................. ESERCIZIO punti: 6 su 33 E assegnato il sistema dinamico a tempo continuo, lineare e invariante con ingresso u(t) e uscita y(t) descritto dalle seguenti equazioni ẋ (t) = x (t) + x 2 (t) + u(t) ẋ 2 (t) = u(t) y(t) = x (t) + x 2 (t). Si determinino gli autovalori della matrice dinamica A del sistema e i corrispondenti autovettori. Si scrivano quindi i modi del sistema.
2. Si calcoli il movimento libero dello stato del sistema con stato inziale generico x(0) = [x (0) x 2 (0)] T. 3. Si trovi uno stato iniziale x(0), se esiste, per cui il movimento libero dell uscita non diverga. 2
4. Si scrivano i comandi Matlab necessari per calcolare il movimento libero dello stato e dell uscita del sistema dinamico assegnato a partire dallo stato inziale x(0) = [0 0] T ESERCIZIO 2 punti: 6 su 33 Un sistema dinamico autonomo a tempo continuo, non lineare e invariante è descritto dalla seguente rappresentazione di stato ẋ (t) = x (t)(6 x 2 (t)) ẋ 2 (t) = x 2 (t)(6x (t) 2) y(t) = x (t)x 2 (t). Si determinino stati ed uscite di equilibrio per il sistema (attenzione: sistema autonomo significa ingresso costante e identicamente nullo). 3
2. Si scrivano le equazioni del sistema linearizzato attorno all origine del piano di stato. Si studi poi la stabilità del sistema linearizzato e, se possibile, la stabilità dell associato equilibrio del sistema non lineare di partenza. 4
ESERCIZIO 3 punti: 7 su 33 La funzione di trasferimento di un sistema dinamico LTI è G(s) = 2s + 0s +. Si determinino tipo, guadagno, poli e zeri di G(s). 2. Si trovino il valore iniziale e, se possibile, il valore di regime della risposta forzata allo scalino unitario del sistema con funzione di trasferimento G(s). 3. Si dica, motivando la risposta, quale dei seguenti grafici rappresenta la risposta allo scalino unitario del sistema con funzione con trasferimento G(s). (a) (b) 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 50 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 50 (c) 3 (d) 0.8 2.5 0.6 0.4 2.5 0.2 0.5 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 50 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 50 5
ESERCIZIO 4 punti: 5 su 33 Un sistema dinamico LTI a tempo discreto con ingresso u(k) e uscita y(k) è descritto dall equazione alle differenze y(k) = 0.5y(k ) + u(k ) + u(k 2). Si ricavi la funzione di trasferimento che lega u(k) a y(k), a partire dall equazione alle differenze (si ricordi che Z[y(k )] = z Y (z)). 2. Si calcoli il valore dei campioni della risposta forzata all impulso, y fi (k), per k = 0,, 2, 3, 4. 6
ESERCIZIO 5 punti: 3 su 33 Si consideri il sistema con ingresso u(t) ed uscita y(t) di figura, ottenuto mediante interconnessione di due sistemi dinamici LT I del ordine. Si ricavi la funzione di trasferimento complessiva da u(t) a y(t). u(t) + - s+5 0 s+ + + y(t) 7
ESERCIZIO 6 punti: 6 su 33 Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando molto brevemente le risposte. A. Una scelta adeguata delle variabili di stato in un sistema massa-molla è quella di scegliere la costante elastica della molla e il coefficiente di attrito. B. Si consideri un sistema LTI a tempo continuo con equazione caratteristica (s + α) 2 + α 2 = 0, dove α è una costante positiva. Il sistema è instabile. C. Il movimento forzato dell uscita di un sistema LTI a tempo continuo asintoticamente stabile tende a zero. D. Per diminuire la sovraelongazione massima relativa della risposta allo scalino di un sistema del secondo ordine (2 poli; nessuno zero) è necessario aumentare lo smorzamento dei poli. E. Il tempo di assestamento della risposta forzata di un sistema LTI con funzione di trasferimento G(s) = 20 + 2s allo scalino u(t) = 0sca(t), è il doppio di quello dello stesso sistema allo scalino u(t) = 5sca(t). F. La funzione del tempo che ammette F (s) = s + 3 s 2 + 6s + 25 come Trasformata di Laplace è f(t) = e3t cos(4t). 8