SULLE MEDIE DI CESÀRO IN SPAZI DI BANACH.

Liuc Paper. 63, Serie Metodi quatitativi 9, maggio 999 SULLE MEDIE DI CESÀRO IN SPAZI DI BANACH. Roberto D Agiò. Itroduzioe. I Lemmi -3 u cui i articola la dimotrazioe del Teorema (qui otto riportato) dao eezialmete proprietà delle medie di Ceàro u pazi di Baach atratti e beché o utilizzio alcu riultato della teoria della ommabilità delle erie, cioootate implicao riultati che rietrao a tutti gli effetti i tale teoria, ovvero il eguete TEOREMA. (i) Ogi erie limitata u uo pazio di Baach è ivi (C,)-(H,)-covergete. (ii) Ogi erie limitata u uo pazio di Baach è ivi (C,a)-(H,a)-covergete (a2,3¼) (dove, come è oto, C ta per E. Ceàro e H per O. Hölder). Si comprede duque i d ora che, per quato opra detto, i Lemmi -3, u cui i articola la dimotrazioe del Teorema, oo di autoomo iteree matematico e ciò ache perché dao proprietà delle medie di Ceàro u pazi di Baach atratti o che o oo ricorreti ella letteratura eitete o che, quado lo oo, lo oo oltato limitatamete al ritretto ambito del campo reale. Nella Sezioe 2 eguete è data iazitutto la dimotrazioe del Teorema, viee poi data la dimotrazioe del Lemma 3 cui la dimotrazioe del Teorema fa riferimeto oché, ucceivamete, la dimotrazioe del Lemma 2 cui il precedete Lemma 3 rimada e coì di eguito procededo a ritroo fio alla dimotrazioe del Lemma (ovviamete il lettore che lo deideri può eguire il percoro ivero). L Oervazioe alla fie della Sezioe 2 collega le proprietà delle medie di Ceàro u pazi di Baach atratti che via via emergoo i modo del tutto

Liuc Paper. 63, maggio 999 aturale dalle dimotrazioi di tali Lemmi, co le corripodeti proprietà ul campo reale e compleo. 2. Riultati e dimotrazioi. I quato egue ( S ), è uo pazio ormato ed i particolare uo pazio di Baach atratto. Su tale pazio viee coiderata la erie () å x x Î S h,2, h h h oché la corripodete ucceioe delle omme parziali (2) ( ) º å,2, x e la corripodete ucceioe delle medie di Ceàro (del primo ordie) (3) h h ( ) ( ) º å /,2, La erie () i dice che è (C,)-covergete i S e è ivi covergete la ucceioe (3) delle medie di Ceàro (del primo ordie). Ioltre diremo che la erie () è limitata u S e è ivi limitata la ucceioe (2) delle ue omme parziali, ovvero e Vale allora il eguete,2, cot. > 0. TEOREMA. (i) Ogi erie () limitata u uo pazio di Baach ( S, ) è ivi (C,)-(H,)-covergete. (ii) Ogi erie () limitata u uo pazio di Baach ( S, ) è ivi (C,a)-(H,a)-covergete (a2,3¼). Dimotrazioe. (i): il Lemma 3 (per il tramite, come i vedrà, di ua dieguagliaza otevole) dimotra che e la erie () è limitata e lo pazio ormato ( S, ) è uo pazio di Baach, allora la ucceioe (3) delle medie di Ceàro del primo ordie è covergete i S; e coegue allora che la erie () è, per defiizioe, (C,)-covergete i S; ioltre, come è oto, le medie del primo ordie di Ceàro e di Hölder oo etrambe date dalla (3), e duque la erie () è ache (H,)-covergete i S. (ii): i primo luogo, v. p.e. Zygmud (959) Teorema.2 p. 77, è oto il riultato (r) per cui e ua erie u o (campo compleo o reale) è (C,)-covergete allora è ache (C,a)-covergete (a2,3¼); i ecodo luogo, v. p.e. Stromberg (98) pp. 489-490, è oto il riultato (r2) per cui e ua erie u o è (C,a)- 2

Roberto D'Agiò, Sulle medie di Ceàro i pazi di Baach covergete (a,2,3¼) allora è ache (H,a)-covergete e vicevera; ora, i riultati (r)- (r2) i baao oltato u proprietà che ed (i quato pazi di Baach) hao i comue co gli pazi di Baach atratti per i quali duque (r)-(r2) valgoo allo teo modo Come già aticipato all iizio della dimotrazioe del Teorema le cocluioi dello teo dipedoo dal Lemma 3 i cui è utilizzata ua dieguagliaza otevole (v. la dieguagliaza (4) qui otto) cui oddifao i termii della ucceioe (3) delle medie di Ceàro per erie () limitate u uo pazio ormato ed i particolare di Baach. Tale dieguagliaza embra o ricorre affatto ella letteratura eitete i materia di medie di Ceàro (o di medie aritmetiche), eppure limitatamete al ritretto ambito del campo reale. Per cotro, come i vedrà, detta dieguagliaza dicede proprio da proprietà delle medie di Ceàro u pazi di Baach e, più i geerale, u pazi ormati, le quali, ia pure limitatamete al ritretto ambito del campo reale, oo ivece be ote i letteratura, v. p.e. Kolmogorov (930), Nagumo (930). Il ruolo fodametale che tale dieguagliaza ha (tramite il Lemma 3) per le cocluioi del Teorema riulterà evidete dalla dimotrazioe del eguete LEMMA 3. (i) Per ogi erie () limitata u uo pazio ormato ( S, ) la ucceioe (3) delle medie di Ceàro del primo ordie è ua ucceioe di Cauchy. (ii) Per ogi erie () limitata u uo pazio di Baach ( S, ) la ucceioe (3) delle medie di Ceàro del primo ordie è ua ucceioe covergete i S. Dimotrazioe. (i): il Lemma 2 dimotra che per ogi erie () limitata u uo pazio ormato ( S, ) la ucceioe (3) delle medie di Ceàro del primo ordie è tale che vale la dieguagliaza (4) ( + ) ( ) 2 - (,2, 0,, cot. > 0). + Dalla dieguagliaza (4) egue allora immediatamete il riultato aitotico (5) (5) ( + ) ( ) - 0 0,, lim che motra che la ucceioe (3) delle medie di Ceàro del primo ordie è, per defiizioe, ua ucceioe di Cauchy, e.g. Tréoguie (985) p. 52 e Kopp (956) p. 44. (ii): e lo pazio ormato ( S, ) è pazio di Baach, allora, per la propoizioe (i) di queto Lemma e per la 3

Liuc Paper. 63, maggio 999 defiizioe tea di pazio di Baach (Baach (932) pp. 9 e 53) la ucceioe (3) delle medie di Ceàro del primo ordie è allora ucceioe covergete i S Da quato precede è duque evidete il ruolo fodametale che la dieguagliaza (4) ha, tramite il Lemma 3, per le cocluioi del Teorema. Siamo coì giuti alla dimotrazioe di detta dieguagliaza; la ua dimotrazioe richiede che i itroduca la ozioe di media di Ceàro trocata a iitra di termii ripetto a, deotata dal imbolo ( ) e defiita come egue: (6) ( ) + ( ) ( ) º /,2,, + å + ( + ) º 0 0 dove la defiizioe (6) è coerete co la (3) avedoi i particolare (7) ( ), å + + + / ( + ),2, ed ache La dimotrazioe della dieguagliaza (4) (v. (0) qui otto) utilizzata el Lemma 3 precedete (Lemma a ua volta utilizzato ella dimotrazioe del Teorema ) è allora data dal eguete LEMMA 2. Per ogi erie () limitata u uo pazio ormato ( S, ) la ucceioe (3) delle medie di Ceàro del primo ordie è tale che valgoo la eguete idetità (8) e le due ucceive dieguagliaze (9)-(0): (8) (9) (0) Dimotrazioe. + - - - + ( ) 2 cot. ( + ) ( ) 2 -,2, 0,, + Il Lemma dimotra che per ogi erie () limitata u uo pazio ormato > 0 ( S, ) la ucceioe (3) delle medie di Ceàro del primo ordie è tale che vale la eguete idetità () () + - ( - ) + 4

Roberto D'Agiò, Sulle medie di Ceàro i pazi di Baach che i orma dà immediatamete la (8); ioltre il Lemma dimotra che e la erie () è limitata u uo pazio ormato ( S, ) ovvero e la ucceioe (2) delle omme parziali è tale che,2, cot. > 0 allora per le medie di Ceàro (3) e (6) valgoo le egueti dieguagliaze (2) ( ) (2),,,2,, 0,, ( + ) Ne coegue allora che, per le dieguagliaze (2) e per ua be ota proprietà della orma, i ha immediatamete la (9), ifatti ( ) ( ) ( ) - + 2. Ifie dalla (9) e dalla (8) egue immediatamete la dieguagliaza (0) Per completare la equeza dei riultati u cui i foda la dimotrazioe del Teorema retao duque oltato da dimotrare l idetità () e le dieguagliaze (2) impiegate el Lamma 2 opra. Le dieguagliaze (2) e l idetità da cui i ottiee la (), come i vedrà (v. l Oervazioe alla fie di queta Sezioe), oo i effetti le verioi u pazi di Baach e, più i geerale, u pazi ormati, di proprietà delle medie di Ceàro che, ia pure limitatamete al ritretto ambito del campo reale, oo be ote i letteratura, v. p.e. Kolmogorov (930), Nagumo (930). Le dimotrazioi dell idetità () (v. formula (4) qui otto) e delle dieguagliaze (2) (v. formula (6) qui otto) oo date dal eguete ed ultimo LEMMA. Per ogi erie () u uo pazio ormato ( S, ) la ucceioe (3) delle medie di Ceàro del primo ordie è tale che valgoo le egueti due idetità: (3) (4) + ( ) ( ) ( + )/( + ) ( ) + + - ( - ) + ed ioltre e la erie () è limitata ovvero e la ucceioe (2) delle omme parziali è tale che (5),2, cot. > 0 allora valgoo le egueti due dieguagliaze: 5

Liuc Paper. 63, maggio 999 (6), ( ),,2,, 0,, Dimotrazioe. Per la (3), ovvero per la (7), per la liearità dello pazio ormato ( S, ) e per l aociatività dell addizioe egli pazi lieari i ha l ovvia idetità + + /( + ) å å ( ) + + che, per la (3) e la (6), dà immediatamete l idetità (3); quet ultima dà a ua volta l idetità ( ) ( ) - + - ( ) ( ) ( + )/( + ) ( ) + da cui egue ubito l idetità (4); ifie e la erie () è limitata ullo pazio ormato ( S, ) allora per (3), (6), (5) e la proprietà triagolare della orma i hao le due dieguagliaze (6), ifatti å ( ) ( ) / / å å å ( ) + ( ) + ( ) / / ( + ) + + OSSERVAZIONE. La dieguagliaza (0) per le medie di Ceàro (3) u pazi ormati, ed i particolare di Baach, è otevole ache per la circotaza che eppure la ua più emplice verioe per ovvero eppure la più emplice dieguagliaza ( S, ) (, ) ( S, ) (, ) ( + ) ( ) 2 -,2, 0,, + embra mai ricorre ella letteratura eitete i materia di medie di Ceàro (o di medie aritmetiche). D altra parte, la dimotrazioe di detta dieguagliaza i foda, come i è vito, ull idetità (3) (da cui egue l idetità (4)) e ulle dieguagliaze (6), idetità e dieguagliaze le cui verioi el ritretto ambito del campo reale oo ivece be ote i letteratura. Più preciamete le dieguagliaze (6) e l idetità (0) dao la verioe i pazi ormati, ed i particolare di Baach, delle proprietà delle medie aritmetiche ul campo reale ote i letteratura come proprietà ripettivamete di iteralità edi(peudo-)aociatività. Per l iteralità i veda p.e. i Naguo (930) la proprietà III, proprietà che i Kolmogorov (930) i deduce dalle proprietà I e III. Per la (peudo-)aociatività i veda p.e i Naguo (930) la proprietà II ovvero i Kolmogorov (930) la proprietà IV e la formula (2) p. 389 6

Roberto D'Agiò, Sulle medie di Ceàro i pazi di Baach Bibliografia. Baach, S.: 932, Théorie de Opératio Liéaire, Hafer, New Yor. Kolmogorov, A. N.: 930, Sur la Notio de la Moyee, Atti R. A. Licei (6), 2, pp. 388-39. Kopp, K.: 956, Ifiite Sequece ad Serie, Dover, New Yor. Nagumo, S.: 930, Über eie Klae der Mittelwerte, Japaeee J. of Math., (7), 7, pp. 72-79. Stromberg, K. R.: 98, A Itroductio to Claical Real Aalyi, Wadworth, Pacific Grove. Tréoguie, V.: 985, Aalye Foctioelle, MIR, Mocou. Zygmud, A.: 959, Trigoometric Serie, Cambridge Uiverity Pre, Cambridge. 7