Indice 0 Richiami di algebra lineare e geometria analitica........... 9 0.1 Distanza, coordinate e vettori............................. 9 0.2 Sistemi lineari e matrici.................................. 16 0.3 Prodotto scalare e prodotto vettoriale...................... 26 0.4 Elementi di geometria cartesiana.......................... 30 0.5 Basi di uno spazio vettoriale.............................. 34 0.6 Applicazioni lineari...................................... 40 0.7 Autovalori e autovettori di applicazioni lineari............... 43 0.8 Coniche e quadriche..................................... 50 1 Le funzioni in generale..................................... 61 1.1 Cos è una funzione?...................................... 61 1.2 Proprietà qualitative e quantitative di una funzione.......... 63 1.3 Inversione di funzioni.................................... 68 1.4 Le funzioni elementari.................................... 72 1.4.1 Le funzioni periodiche elementari.................... 73
Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo 0 p. 2 1.4.2 Dalla funzione potenza alla funzione esponenziale...... 76 2 Il concetto di limite..................................... 91 2.1 Le successioni........................................... 91 2.2 Limite di una successione................................. 96 2.3 Compatibilità fra il limite e le operazioni di somma e prodotto.103 2.4 Compatibilità fra il limite e la potenza...................... 105 2.5 Proprietà del limite e criteri di convergenza................. 106 2.6 Alcuni limiti notevoli 1.................................. 108 3 La continuità.............................................. 117 3.1 Limiti di funzioni di variabile reale......................... 120 3.2 Funzioni continue........................................ 123 3.3 Il metodo di bisezione.................................... 125 3.4 Punti fissi nelle successioni per ricorrenza................... 131 4 La derivazione............................................. 137 4.1 Il rapporto incrementale e il suo limite..................... 137 4.2 Il significato geometrico della derivata...................... 141 4.3 Derivate di funzioni elementari............................ 143 4.4 La regola della catena.................................. 149 4.5 Uso delle formule (4.8)-(4.9).............................. 150 5 Analisi locale ed asintotica................................. 153 1 Avvertiamo lo studente che in questa sezione ci sono alcune dimostrazioni (chiaramente indicate), che in una prima lettura possono essere omesse.
p. 3 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo 0 5.1 Aspetti qualitativi del grafico............................. 160 5.2 Tecniche di studio qualitativo del grafico di f............... 163 5.3 Sviluppi polinomiali di Taylor 2............................ 167 5.4 L approssimazione lineare di una funzione non-lineare...... 173 5.5 Il metodo di Newton per la ricerca degli zeri di f............ 176 6 L integrazione............................................. 181 6.1 Sottografico di una funzione e integrale di Riemann.......... 182 6.2 Lunghezza di un arco di curva............................ 190 6.3 Proprietà dell integrale................................... 193 6.4 La funzione integrale, funzioni primitive e integrale indefinito195 6.5 Il teorema fondamentale del calcolo integrale................ 196 6.6 Integrazione per parti.................................. 200 6.7 Integrazione per sostituzione........................... 203 6.8 Integrali impropri....................................... 206 6.9 Primitive deducibili da primitive elementari................. 213 7 Il calcolo combinatorio..................................... 217 7.1 Disposizioni, permutazioni, e combinazioni semplici.......... 220 7.2 Proprietà dei coefficienti binomiali......................... 226 7.3 Disposizioni con ripetizione............................... 228 7.4 Combinazioni con ripetizione.............................. 232 8 Introduzione alla teoria della probabilità................... 237 2 Brook Taylor, 1685 1731.
Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo 0 p. 4 8.1 Cenni storici............................................ 237 8.2 Teoria assiomatica della probabilità........................ 242 8.2.1 S ha cardinalità finita o numerabile.................. 246 8.2.2 S ha la cardinalià del continuo...................... 252 8.3 Confronto fra teoria e simulazioni: i numeri casuali.......... 254 8.4 Il calcolo delle probabilità.............................. 256 8.4.1 Le regole di calcolo................................ 257 8.4.2 Eventi indipendenti................................ 259 8.4.3 Uso dei grafi per eventi indipendenti in prove ripetute dello stesso esperimento............................ 260 8.4.4 Eventi condizionati................................ 266 9 Le variabili aleatorie....................................... 277 9.1 Introduzione............................................ 277 9.2 Variabili aleatorie discrete................................ 279 9.2.1 Valore atteso e varianza............................ 281 9.2.2 Correlazione...................................... 286 9.3 Prove Bernoulliane...................................... 288 9.4 Variabili aleatorie continue............................... 292 9.5 Densità di probabilità.................................... 295 9.6 Quantili................................................ 300 9.7 V.a. di più frequente uso e loro distribuzioni................ 302 9.8 Teoremi asintotici....................................... 321 10 La geometria frattale...................................... 327
p. 5 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo 0 10.1 Un po di storia.......................................... 328 10.2 La geometria frattale a grandi linee....................... 334 10.3 I frattali matematici e quelli naturali................... 341 10.3.1 Le linee di costa................................... 343 10.3.2 Immagini digitali.................................. 344 10.3.3 Stratificazioni sedimentarie......................... 346 10.3.4 Erosione della crosta terrestre....................... 350 11 Cenni sulle funzioni di due o più variabili.................. 353 11.1 Funzioni vettoriali di più variabili reali..................... 353 11.2 Limiti e continuità....................................... 359 11.3 Differenziazione......................................... 365 11.4 Gradiente e derivata direzionale........................... 377 11.5 Curve differenziabili e insiemi di livello..................... 379 11.6 Curve regolari e campi vettoriali nel piano.................. 388 12 Equazioni differenziali ordinarie........................... 393 12.1 Equazioni differenziali e modelli fisici...................... 393 12.2 Definizioni e terminologie................................. 396 12.3 Risoluzione di equazioni scalari del primo ordine............. 400 12.3.1 Equazione del primo ordine lineare.................. 400 12.3.2 Equazione scalare a variabili separate.............. 403 12.4 Carattere deterministico e problema di Cauchy.............. 406 12.5 Perturbazione di soluzioni di equilibrio..................... 410
Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo 0 p. 6 12.6 Esistenza e unicità....................................... 412 12.7 Una applicazione: modelli climatici globali (zero dimensionali) 422 12.8 Equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti.......... 428 12.8.1 Metodo di variazione delle costanti.................. 433 12.9 Una applicazione: dinamica delle faglie e sismicità........... 436 Riferimenti bibliografici........................................ 449 13 Analisi di Fourier.......................................... 451 13.1 Qualche premessa, non solo storica........................ 451 13.2 Polinomi trigonometrici e serie di Fourier................... 454 13.3 Proprietà asintotiche..................................... 456 13.4 Spettro di ampiezza e di frequenza......................... 458 13.5 Forma esponenziale della serie di Fourier................... 466 13.6 Rappresentazione integrale di Fourier...................... 468 13.7 Trasformata di Fourier................................... 471 13.8 Trasformata inversa di Fourier............................ 479 13.9 Applicazioni dell analisi di Fourier......................... 482 A I numeri complessi......................................... 491 B Simmetrie e cristalli....................................... 493 C Cenni sulle serie......................................... 511 D Il triangolo di Tartaglia-Pascal............................. 517
p. 7 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo 0 E Infiniti e infinitesimi col simbolo di Laudau................ 523 F Metodi di integrazione numerica........................... 535