Antonella Abbà APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE

Antonella Abbà APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE 1

Chapter 1 Cinematica 1.1 Invarianza rispetto alle rotazioni Siano dati due sistemi di riferimento cartesiani ortogonali X 1,X 2,X 3 e x 1,x 2,x 3 con la medesima origine O. Siano I 1,I 2,I 3 e i 1,i 2,i 3 i rispettivi versori degli assi. α ij = x i X j è l angolo formato dall asse x i con l asse X j (l angolo nel piano (x i,x j ), a partire dall asse X J e ruotando in senso antiorario fino a raggiungere l asse x i ). cos x i X j = i i I j è il coseno direttore dell asse x i rispetto all asse X j. Sia R la matrice dei coseni direttori della terna di assi x i rispetto alla terna di assi X j : cos x 1 X 1 cos x 1 X 2 cos x 1 X 3 R = cos x 2 X 1 cos x 2 X 2 cos x 2 X 3. (1.1) cos x 3 X 1 cos x 3 X 2 cos x 3 X 3 Si fa notare che, essendo generalmente α ij α ji, la matrice R non è simmetrica, ma che essendo detr = 1 e R T R = I, la matrice R è ortogonale ed unitaria. Si ha quindi Esprimiamo i versori i i nelle componenti secondo gli assi X j R T = R 1 (1.2) i i = R ij I j (1.3) D ora in poi, se non diversamente specificato, si farà uso della notazione di Einstein che sottintende una sommatoria sugli indici ripetuti. Inoltre riferendosi esclusivamente a sistemi di riferimento cartesiani ortogonali, e non a coordinate generalizzate, per semplicità non si farà differenza tra componenti covarianti e controvarianti e si utilizzeranno solo i pedici. Un vettore u deve essere invariante rispetto al sistema di riferimento. È semplice verificare l invarianza rispetto alle traslazioni del sistema di riferimento, ci si limita quindi in seguito a considerare la sola invarianza rispetto alle rotazioni. Sia la componente del vettore u rispetto all asse X i e u i = u I i (1.4) u i = u i i (1.5) 2

la componente del medesimo vettore secondo l assi x i. Si chiami u il vettore le cui componenti sono espresse secondo gli assi x i. Per detta invarianza del vettore si ha Utilizzando l eq.(1.3) e ricordando l eq.(1.4) u = u i I i = u = u ji j (1.6) u = u ii i = u ir ij I j (1.7) u j = u ir ij (1.8) Quindi un vettore è un ente individuato in un particolare sistema di riferimento di assi x i,(i = 1,3)da3scalari(lecomponentiu 1,u 2,u 3)chesitrasformanoalvariaredelsistema di riferimento con la legge (1.8) e u = R T u ; u = Ru (1.9) Definiamo un ente Q che sia invariante al cambiare del sistema di riferimanto, e le cui componenti sono dei vettori q 1,q 2,q 3 Q = (q 1,q 2,q 3 ) Il vettore q j è il vettore componente di Q associato (ma non allineato) all asse X j (i vettori q j costituiscono le colonne della matrice quadrata Q). Q è un tensore doppio individuato da 9 scalari Q ij = q j I i corrispondenti alle componenti del vettore q j secondo l asse X i. Siano q j,j = 1,3 i vettori componenti di Q secondo gli assi x j,j = 1,3. Affinchè Q sia invariante rispetto al sistema di riferimento, i suoi vettori componenti si devono trasformare secondo la stessa legge 1.8 con cui si trasformano le componenti di un vettore q j = q l R jl = Q kl i k R jl (1.10) Siano Q kl gli elementi del tensore Q secondo il sistema di riferimento di assi x i. Q ij = q j i i = q l R jl i i = Q kl I k R jl i i = Q kl R ik R jl (1.11) Quindi le componenti di un tensore doppio al cambiare del sistema di riferimento si trasformano secondo la legge e viceversa Q ij = Q kl R ik R jl, Q = RQR T (1.12) Q = R T Q R (1.13) Si fa notare che anche la matrice di trasformazione R è un tensore doppio. Gli scalari invarianti sono tensori di ordine 0. I vettori invarianti sono tensori di ordine 1. Due tensori dello stesso ordine si dicono uguali se sono uguali gli elementi corrispondenti, indipendentemente dalla base in cui sono espressi. L operazione di somma è definita tra due tensori dello stesso ordine; il risultato è un tensore del medesimo ordine i cui elementi sono la somma degli elementi corrispondenti dei tensori addendi. 3

Il prodotto è definito anche tra vettori di ordine diverso, per esempio: C ijk = A i B jk Viene definita l operazione di composizione tra tensori P ik = A j i B jk R i = A k i B k Q = A k i B i k che è invariante rispetto al cambio di base. L operazione di contrazione A i = T ijk α jk Un tensore doppio può essere visto come un applicazione lineare che porta un vettore in un altro vettore v = Qu v i = Q ij u j 1.2 Cinematica del punto 1.2.1 Posizione, velocità, accelerazione Per una descrizione matematica della posizione e del movimento di punti nello spazio abbiamo bisogno di riferirci ad un sistema di riferimento. Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale X i,(i = 1,3) con origine in O. Siano I i i versori degli assi rispettivamente X I, con I i I j = δ ij. La posizione di un punto A può essere individuata dal vettore (P O) = X ip i i. Le seguenti notazioni sono equivalenti: (P O) = P = X P = X 1P X 2P X 3P X ip sono le componenti del vettore (P O) rispetto agli assi, mentre X ip i i,i = 1,3 sono i suoi vettori componenti. Nel piano possiamo ricorrere ad una rappresentazione mediante i numeri complessi (P O) = x P i+y P j = ρe iθ = x P +iy P dove ρ è il modulo del vettore (P O) e l anomalia θ è l angolo formato dal vettore con l asse x (considerato positivo in senso antiorario). 4

z z P O x x x o x o v o y y x Figure 1.1: Dati due punti P e Q, il vettore (Q P) è il vettore differenza dei vettori posizione dei punti (Q P) = (Q O) (P O) = (X iq X ip )I i Tale vettore può anche essere visto come il vettore spostamento s che porta P in Q s = (Q P) 3 Q = P+s La distanza tra i due punti è Q P = i=1 (x i Q x ip ) 2. La scelta di un sistema di riferimento è arbitraria e per la proprietà euclidea dello spazio la distanza tra due punti è invariante rispetto al sistema di riferimento. DefiniamooraunosservatorecostituitodaunsistemadiriferimentofissodiassiX i,i = 1,3 con origine in O, e da un orologio che misura lo scorrere del tempo. La posizione di un punto P rispetto a tale osservatore può variare nel tempo Le equazioni finite del movimento sono (P O) = P(t) = X ip (t)i i X ip = X ip (t) i = 1,3 oppure sinteticamente P = P(t). La traiettoria (o orbita), rappresentata dalla funzione X 3 = X 3 (X 1,X 2 ), è la linea percorsa dal punto durante il moto. La traiettoria non contiene informazioni sulla rapidità del movimento. Seènotalatraiettoria, perdescrivereilmotodip puòconveniredefinireunparametro che indichi la posizione del punto sulla traiettoria in funzione del tempo. Definiamo: ascissa curvilinea s: distanza di P da un punto fissato O 1 sulla traiettoria, misurata lungo la traiettoria stessa ( è necessario definire un verso positivo di percorrenza della traiettoria)(fig. 1.2). P = P(s) s = s(t) è la legge oraria La velocità è la derivata del vettore posizione rispetto al tempo v = dp = d(p O) = d (X i P I i ) = Ẋi P I i 5

y O 1 s P y=y(x) j O i x Figure 1.2: Le componenti del vettore v sono le derivate delle componenti del vettore posizione P v i = Ẋi P Il modulo della velocità è v = 3 Ẋi 2 P. i=1 Nota la velocità, la posizione può essere determinata mediante integrazione nel tempo X P (t) = v(τ)dτ +C X ip (t) = v i (τ)dτ +C i pertanto esistono 3 diversi moti corrispondenti alla medesima velocità v, definiti a meno di costanti di integrazione. L accelerazione è la derivata della velocità a = dv = d2 P = 2 Ẍi P (t)i i Le componenti cartesiane dell accelerazione sono a i = Ẍi P (t), i = 1,3 Nota l accelerazione, la velocità può essere determinata con un integrazione nel tempo v(t) = a(τ)dτ +C v i (t) = a i (τ)dτ +C i i = 1,3 6

1.2.2 Moto piano Nel caso il moto sia contenuto in un piano può essere utile utilizzare le coordnate polari raggio vettore ρ ed anomalia θ. Sia (x,y) il piano del moto. Siano e ρ = cosθi + sinθj ed e θ = sinθi + cosθj i versori rispettivamente allineati col raggio vettore ed ad esso perpendicolare. La posizione di un punto P è (P O) = ρe ρ e la sua velocità Sostituendo risulta v = ρe ρ +ρ de ρ de ρ = ( sinθi+cosθj) θ = θe θ (1.14) v = ρe ρ +ρ θe θ (1.15) La componente v ρ = ρ viene chiamata radiale, mentre v θ = ρ θ è la componente trasversa. Ricaviamo ora l accelerazione a = dv = d ( ) ρe ρ +ρ θe θ = ρe ρ +2 ρ θe θ +ρ θe θ ρ θ 2 e ρ (1.16) in cui è stata applicata la relazione de θ = ( cosθi sinθj) θ = θe ρ (1.17) Chiamiamo a ρ = ρ ρ θ 2 accelerazione radiale e a θ = ρ θ + 2 ρ θ accelerazione trasversa, quindi a = a ρ e ρ +a θ e θ y v y P v α ρ v x iρθe e i θ ιθ ρ j O i θ x Utilizzando l ascissa curvilinea (fig.1.2): v = dp(s(t)) Figure 1.3: = dp ds ds = dp ds ṡ dp ds = lim P s 0 s 7

lim P s 0 s = 1 Quindi dp ds = t è il versore tangente alla traiettoria in P e concorde con il verso delle ascisse crescenti. Pertanto la velocità risulta tangente alla traiettoria v = ṡt = vt = ve iα (α è l anomalia del versore t) ed il suo modulo è v = ṡ = ẋ 2 +ẏ 2 Integrando ṡ si determina l ascissa curvilinea Accelerazione s = t t 0 ẋ2 (τ)+ẏ(τ) 2 dτ a = dv = d2 P = ẍ(t)i+ÿ(t)j+ z(t)k 2 Componenti cartesiane dell accelerazione a x = ẍ(t) a y = ÿ(t) a z = z(t) Nel piano: a = dv = d ( ) ve iα = ve iα +vi αe iα Componente dell accelerazione tangente alla traiettoria a t = ve iα e componente normale a n = vi αe iα = v αe i(α+π/2) a = dv = dṡt = st+ṡ = st+ṡ ds ds = st+ṡ2 ds ds = 1 ρ n ds = 1 ρ dove ρ è il raggio di curvatura della traiettoria nel punto P e è il versole normale alla traiettoria in P. Risulta n = /ds /ds a = st+ṡ 21 n = seiα +iṡ2 ρ ρ eiα = ve iα +i v2 ρ eiα La componente tangente a t = v indica la variazione del modulo della velocità, mentre la componente normale a n = v 2 /ρ è associata alla variazione della direzione della velocità. 8

1.3 Cambiamento di sistema di riferimento Siano definiti due osservatori O e o fissi, associati a due sistemi di riferimento cartesiani ortogonali di assi rispettivamente X i e x i,i = 1,3 con origini in O = o coincidenti. Il tempo è lo stesso per i due osservatori. Siano rispettivamente I i e i i,i = 1,3 i versori degli assi. Sia (P O) = X i I i la posizione di un punto P rispetto ad O nel sistema di riferimento X i, e (P o) = x i i i la posizione nel sistema x i. Poichè O = o, (P O) = (P o). Sia R il tensore di trasformazione dalla terna X i alla terna x i. Per la 1.9 le componenti del vettore posizione del punto P si trasformano secondo le relazioni X i = R ji x j (1.18) X = R T x, x = RX (1.19) Il cambiamento di coordinate corrispondente ad una rotazione degli assi cartesiani ortogonali è quindi una trasformazione isometrica. Se l origine o del sistema di riferimento x i non coincide con l origine O del sistema X i allora (P O) = (P o)+(o O) e le leggi di trasformazione delle coordinate sono X = X o +R T x (1.20) X i = X oi +R ji x j, i = 1,3 (1.21) dove X o è il vettore delle coordinate dell origine o nel riferimento X i. 1.3.1 Cinematica relativa Consideriamo ora il caso in cui i due osservatori O e o siano in moto relativo tra loro. Esaminiamo prima il caso in cui le origini O e o coincidano, ma il sistema x i nel tempo ruoti rispetto al riferimento fisso X i. Sia P un punto che si muove solidalmente al riferimento x i. La velocità del punto P è d(p O) v = = dx (1.22) espressa in funzione delle derivate delle coordinate del punto P nel sistema di riferimento fisso, e v = d ( R T x ) (1.23) in funzione delle coordinate nel sistema di riferimento mobile v i = Ẋi = d (R jix j ). (1.24) 9

Poichè il punto P è solidale alla terna mobile, le coordinate relative x j sono costanti nel tempo, quindi Ẋ i = Ṙjix j (1.25) Definendo la matrice Ω = ṘT R Ẋ = ṘT x = ṘT RR T x = ṘT RX (1.26) Ẋ = ΩX (1.27) Al fine di dimostrare che Ω è antisimmetrica, deriviamo il prodotto R T R = I d ( R T R ) = 0 Ṙ T R+R T Ṙ = 0 Ω = ṘT R = R T Ṙ = ( ( R T Ṙ) T ) T = (ṘT R) T = Ω T. Quindi Ω è antisimmetrica Ω 11 = Ω 22 = Ω 33 = 0 Ω ij = Ω ji Ω ha solo 3 elementi indipendenti. Definiamo un vettore ω le cui componenti soddisfino Si verifica facilmente che ω = Ẋ = ΩX = ω X. (1.28) 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω 1 ω 2 ω 1 0 (1.29) Il vettore ω è definito velocità angolare della terna x i,i = 1,3 in rotazione rispetto alla terna fissa X i,i = 1,3. Si fa notare che soltanto nel caso tridimensionale la velocità angolare è esprimibile mediante un vettore, ma nel caso più generale di uno spazio n- dimensionale si avrebbe una matrice velocità angolare. Pertanto la velocità di un punto P solidale con una terna mobile in rotazione rispetto ad una terna fissa con velocità angolare ω è v = d(p O) = ω (P O) (1.30) La relazione (1.30) è estendibile alla derivata di qualsiasi vettore u che rimane costante in modulo, ma cambia direzione nel tempo con una velocità angolare di rotazione ω (associata alle derivate degli angoli che esso forma con un sistema di riferimento fisso ) du = ω u (1.31) In particolare si avranno le relazioni di Poisson che esprimo le derivate temporali dei versori degli assi della terna mobile di i = ω i i, i = 1,3 (1.32) 10

Consideriamo ora il caso in cui l origine odella terna mobile non sia fissa. La posizione di un generico punto P sarà (P O) = (o O)+(P o) (1.33) dove (P O) = X i I i è la posizione di P rispetto al sistema di riferimento fisso, (P o) = x i i i rispetto al sitema di riferimento mobile e (o O) è la posizione dell origine della terna mobile rispetto alla fissa. La velocità del punto P è v P = d(p O) = d(o O) + d(p o) (1.34) dove d(o O) = v o (1.35) è la velocità dell origine della terna mobile, e d(p o) = d (x ii i ) = (1.36) di i ẋ i i i +x i = (1.37) ẋ i i i +x i ω i i = (1.38) ẋ i i i +ω (P o) (1.39) Chiamiamo velocità relativa alla terna mobile e velocità di trascinamento v r = ẋ i i i (1.40) v tr = v o +ω (P o) (1.41) cioè la velocità che il punto avrebbe se fosse solidale con la terna mobile. La velocità del punto risulta la composizione v P = v tr +v r (1.42) Dimostriamo ora il teorema di Coriolis secondo il quale l accelerazione del punto P è data dalla composizione delle accelerazioni relativa, di trascinamento e di Coriolis. a = dv = dv o + dv r + d (ω (P o)) (1.43) a o = dv o è l accelerazone dell origine della terna mobile. (1.44) dv r = d (ẋ ii i ) = (1.45) di i ẍ i i i +ẋ i = (1.46) a r +ω v r (1.47) 11

dove a r = ẍ i i i è la accelerazione relativa. d dω d(p o) (ω (P o)) = (P o)+ω = (1.48) ω (P o)+ω v r +ω (ω (P o)) (1.49) a = a o +a r +a c +ω (ω (P o)) (1.50) dove a c = 2ω v r è l accelerazione di Coriolis o complementare, e l accelerazione di trascinamento è a tr = a o + ω (P o) + ω (ω (P o)) e sviluppando il doppio prodotto vettoriale a tr = a o + ω (P o) ω 2 (P o)+((p o) ω)ω (1.51) 12