ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 003 Il candidato riolva uno dei due problemi e 5 dei 0 queiti in cui i articola il quetionario. PROLEMA Si conideri un tetraedro regolare T di vertici A,, C, D. a) Indicati ripettivamente con V ed S il volume e l area totale di T e con r il raggio della fera incritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r. b) Coniderato il tetraedro regolare T avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il rapporto fra le lunghezze degli pigoli di T e T e il rapporto fra i volumi di T e T. c) Condotto il piano, contenente la retta A e perpendicolare alla retta CD nel punto E, e poto che uno pigolo di T ia lungo, calcolare la ditanza di E dalla retta A. d) Coniderata nel piano la parabola p avente l ae perpendicolare alla retta A e paante per i punti A, ed E, riferire queto piano ad un conveniente itema di ai carteiani ortogonali e trovare l equazione di p. e) Determinare per quale valore di la regione piana delimitata dalla parabola p e dalla retta EA ha area cm. 3 PROLEMA È aegnata la funzione f (), dove m è un parametro reale. m m a) Determinare il uo dominio di derivabilità. b) Calcolare per quale valore di m la funzione ammette una derivata che riulti nulla per. c) Studiare la funzione f () corripondente al valore di m coì trovato e diegnarne il grafico in un piano riferito ad un itema di ai carteiani ortogonali (Oy), dopo aver tabilito quanti ono eattamente i flei di ed aver fornito una piegazione eauriente di ciò. d) Calcolare l area della regione finita di piano delimitata dal grafico, dall ae e dalla retta di equazione. QUESTIONARIO Dopo aver fornito la definizione di rette ghembe, i conideri la eguente propoizione: «Comunque i prendano nello pazio tre rette, y, z, due a due ditinte, e ed y ono ghembe e, coì pure, e ono ghembe y e z allora anche e z ono ghembe». Dire e è vera o fala e fornire un eauriente piegazione della ripota. Zanichelli Editore, 00
3 4 5 7 8 9 0 Un piano intereca tutti gli pigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: decrivere le caratteritiche dei poibili quadrilateri ezione a econda della poizione del piano ripetto alla piramide. Dal punto A, al quale è poibile accedere, è viibile il punto, al quale però non i può accedere in alcun modo, coì da impedire una miura diretta della ditanza A. Dal punto A i può però accedere al punto P, dal quale, oltre ad A, è viibile in modo che, pur rimanendo impoibile miurare direttamente la ditanza P, è tuttavia poibile miurare la ditanza AP. Diponendo degli trumenti di miura neceari e apendo che P non è allineato con A e, piegare come i può utilizzare il teorema dei eni per calcolare la ditanza A. Il dominio della funzione f () ln{ ( )} è l inieme degli reali tali che: A) 3; ) 3; C) 0 3; D) 0 3. Una ola ripota è corretta: individuarla e fornire una eauriente piegazione della celta effettuata. La funzione 3 3 ha un olo zero reale, vale a dire che il uo grafico intereca una ola volta l ae delle acie. Fornire un eauriente dimotrazione di queto fatto e tabilire e lo zero della funzione è poitivo o negativo. La derivata della funzione f () e t dt è la funzione f () e 4. Eeguire tutti i paaggi neceari a 0 giutificare l affermazione. Coniderati i primi n numeri naturali a partire da :,, 3,, n, n, moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi poibili. La omma dei prodotti ottenuti riulta uguale a: A) 4 n (n ) ; ) 3 n(n ); C) 4 n(n )(n )(3n ); D) 4 n(n )(3n ). Una ola ripota è corretta: individuarla e fornire una eauriente piegazione della celta operata. ed y ono due numeri naturali dipari tali che y. Il numero 3 y 3 : A) è diviibile per e per 3. ) è diviibile per ma non per 3. C) è diviibile per 3 ma non per. D) non è diviibile né per né per 3. Una ola ripota è corretta: individuarla e fornire una piegazione eauriente della celta operata. Si conideri una data etrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante ono le poibili cinquine che contengono i numeri e 90. Il valore dell epreione log 3 log 3 è. Dire e queta affermazione è vera o fala e fornire una eauriente piegazione della ripota. Durata maima della prova: ore È conentito oltanto l uo di calcolatrici non programmabili. Non è conentito laciare l Itituto prima che iano tracore 3 ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 00
SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO 003 PROLEMA a) Detto lo pigolo del tetraedro T, i ha che AK e DK ono le altezze di due facce di T (figura ) e miurano 3. Le altezze D AK e DK ono anche biettrici e mediane. L altezza DH cade nel baricentro del triangolo AC, quindi HK 3 AK 3. L altezza DH i può calcolare con il teorema di Pitagora applicato al triangolo DHK (figura ): riulta DH 3. Figura. A O H P K C Le altezze del tetraedro i incontrano nel punto O, centro della fera incritta in T, D che ha raggio OH OP r. I triangoli rettangoli KOH e KOP ono congruenti, allora KO è la biettrice di HKˆP. Coniderando il triangolo OHK, i può crivere: rhktg 3 tg, ma tg D H, da cui, attravero le formule di biezione i giunge a: P H K tg O. In definitiva riulta: r. La uperficie del tetraedro è: S 4 3 3 r γ 43. H K Il volume riulta: V 3 3 4 3 3 r 3 83, da cui egue: V 3 S r. Figura. b) HP è uno pigolo del tetraedro T, con riferimento al triangolo HPK, nel quale i nota che KĤP KPˆH, i ha: H P HK HP HK en en. Dal valore di tg i ricava co en. Allora HP 3, da cui i ha: V 3 3 3 7 V. D c) Con riferimento alla figura 3, detto F il punto medio di A, allora DF e CF ono le mediane delle facce AD e AC ripettivamente, il triangolo DFC è quindi iocele e l altezza EF è anche mediana: il piano intereca CD nel punto medio E. AE è la mediana della faccia CAD, E è la mediana della faccia CD, quindi AE è iocele e la mediana EF è anche altezza. Dal teorema di Pitagora per AEF : 3 EF AE AF. Figura 3. A F E C 3 Zanichelli Editore, 00
d) Scelto il itema di riferimento con origine nel punto F, ae delle acie coincidente con la retta orientata A, ae delle ordinate coincidente con la retta orientata FE (figura 4), i crive l equazione della. parabola y a b c, paante per i punti A ;0, ;0, E 0; Riulta: 0 a b c 0 a b c c a b 0 c y. y E A F Figura 4. e) L area del egmento parabolico AE è A 3 A EF, l area del triangolo AE riulta A A EF. L area delimitata dalla parabola e dalla retta EA è quindi: A (A A ) A EF, che riulta pari a cm quando cm. 4 3 4 Zanichelli Editore, 00
PROLEMA a) La funzione f (), dove m è un parametro reale i può crivere come: m m, per m 0 m R, per m 0 f (), f () è derivabile. R {0}, per m 0, per m 0 b) Per m 0 riulta: f () ( ) f () 4 0. 4 ( m) ( ) 4( m ) Per m > 0 riulta: f () f () 0 m. ( ( m) m) c) La funzione da tudiare è: f (). La funzione è definita u tutto R. Le interezioni con gli ai con l ae delle ordinate. ono: A ; 0 con l ae delle acie, 0; Si ha inoltre: lim f () 0 e lim f () 0. Il grafico ha l aintoto orizzontale y 0. La derivata prima riulta: f () ( ( ) ( ) ) ( ) ( )( ) (, ( ) ) f () 0, quindi (vedi anche figura 5) i ha un minimo nel punto m ; maimo nel punto M (; ). ed un + ma min Figura 5. Studiando la derivata econda i ottiene: ( )( ) ( ) ( 3 3 ) f (), ( ) 3 ( ) 3 f () 0 3 3 0, l equazione non i compone con la regola di Ruffini, ma i oerva che, per il teorema fondamentale dell algebra, ha al maimo tre radici, quindi tre flei. I riultati ottenuti in precedenza per i limiti negli etremi del dominio ed i valori dei punti di maimo e di minimo permettono di determinare che i flei devono eere almeno tre. In definitiva i flei ono proprio tre. In concluione i può tracciare il grafico della funzione (figura ). y M(; ) A( ; 0) m( ; ) (0; ) O Figura. 5 Zanichelli Editore, 00
d) L area richieta (figura 7) i ottiene dall integrale: A A 0 d d 0 d 0 d 0 d d 0 0 ma d d, allora A ln( ) arctg ln 4 3 0 d, arctg arctg 4 0,9393. y O Figura 7. QUESTIONARIO Due rette i dicono ghembe e non giacciono u uno teo piano. La propoizione è fala. Coniderando infatti le rette r,, e t u cui giacciono gli pigoli di un parallelepipedo (figura 8), i verifica facilmente che r e ono ghembe, e t ono ghembe, ma r e t non lo ono, in quanto incidenti in un vertice del parallelepipedo. t r Figura 8. In generale i ottiene un quadrilatero ezione conveo, con i eguenti cai particolari: a) e il piano è parallelo alla bae, il quadrilatero ezione è un quadrato; b) e il piano è parallelo ad un lato del quadrato di bae, il quadrilatero ezione ha due lati paralleli e due no, i ottiene un trapezio iocele; c) e il piano è parallelo ad una diagonale del quadrato di bae, i ottiene un romboide. Zanichelli Editore, 00
3 Con riferimento alla figura 9 i miura direttamente la ditanza AP, quindi i miurano con un goniometro gli angoli e, poti nei vertici A e P ai quali è poibile accedere e dai quali è viibile anche. Si ricava indirettamente l angolo poto nel vertice :. A A P Per il teorema dei eni: A AP en. e n e n en β A α γ P Figura 9. 4 Il dominio della funzione f () ln{ ( )} i ottiene ponendo l argomento del logaritmo maggiore di zero, quindi ( ) 0 ( ). La diequazione è verificata per: 0 0 0 3 0 0 3 quindi le oluzioni ono: 3 3, ovvero la ripota è eatta. 5 La funzione f () 3 3 è una cubica, quindi ha al più tre interezioni con l ae delle acie. La derivata prima riulta: f () 0 per 0 e. Lo chema di figura 0 motra che per 0 i ha un maimo e per i ha un minimo. + 0 + ma min Figura 0. y (0; ) Riulta poi f (0) e f (), quindi le coordinate dei punti di maimo e di minimo ono, ripettivamente: M (0; ) e m(; ). Coniderato che la funzione è continua in tutto R e che lim f(), e ne deduce che la funzione intereca l ae delle in un olo punto, di acia negativa, come riulta anche dal grafico di figura. Figura. (; ) Poto g () la funzione f () è una funzione compota e riulta: f () (g ()) g() e t dt. La derivata riulta: f () (g()) g (). 0 Si ha: g (), mentre, per il teorema fondamentale del calcolo integrale i ottiene: (g ()) e (g()), quindi f () e (g()) f () e 4. 7 Zanichelli Editore, 00
7 8 9 0 In generale riulta: ( n) n ( 3 n 3 n (n ) n) n k k n k k 0 kh hk n kh hk n k k n k k. Valgono le eguenti relazioni, che i dimotrano facilmente per induzione: n k n (n ) e k n Si ha infine: 0 quella eatta. k k n (n )(n ). kh hk n (n ) n (n )(n ) 4 n (n )(3n ). La ripota D è Coniderando che ( 3 y 3 ) ( y)( y y ) ( y y ), allora ( 3 y 3 ) è diviibile per. Inoltre y y y y 3 4, che equivale a: 3( ), che non è diviibile per 3. La ripota eatta è. Sono le poibili combinazioni di 3 oggetti celti tra 88 (i 90 numeri dell urna, tranne e 90). Le poibili cinquine ono quindi: C 88,3 88 88! 88 87 8 09 73. 3 3! 85! 3 Per la definizione di logaritmo: 3 log 3 ( log 3 ) log 3 log 3 log 3 log 3 log 3. Per eercitarti ancora ugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Queito 3 pag. V 8 Problema 0 pag. π 39 (punti a, b) Problema pag. W 39 Problema Problema 8 pag. U 47 Problema 8 pag. W 53 (punti a, b) Queito Queito 7 pag. π 9 Queito Queito pag. π 9 Queito 4 Problema 3 pag. U 43 (punto a) Problema 0 pag. U 45 (punto a) Queito 5 Queito pag. iota Queito pag. iota Queito Queito 8 pag. W 3 Queito 7 Problema 7 pag. 4 Problema pag. 43 (punti a, f) Queito 9 Problema pag. 4 (punto a) Queito 0 Queito pag. N 95 Queito 7 pag. N 95 8 Zanichelli Editore, 00