Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme B si chiama codominio A ciascun elemento x appartenente al dominio, corrisponde quindi un unico elemento y appartenente al codominio: si scrive y = f (x) e si legge "y è uguale a f di x". Si dice anche che y è immagine di x e che x è controimmagine di y. Funzioni / L'elemento chiave del concetto di funzione è la univocità: assegnata la variabile indipendente x, la variabile dipendente y è univocamente determinata. Ad esempio se scrivo = x ho una funzione, mentre se scrivo = ± x non ho una funzione (il valore di f(x) non è univocamente determinato). Esistono molti tipi di funzione: numeriche, logiche, insiemistiche, anagrafiche, testuali.. Ad esempio unione, intersezione e complemento sono funzioni insiemistiche. Noi ci concentreremo sulle funzioni numeriche (x e y sono numeri, il dominio è un sottoinsieme di R, B=R). 1
Grafico di una funzione Il grafico di una funzione è il sottoinsieme del piano costituito dalle coppie (x,f(x)), al variare di x nel dominio D. Formalmente {( x, y) R x D, y } G = = Ad esempio il grafico della parabola y=x è il seguente: Proprietà del grafico di una funzione Quali tra i seguenti sottoinsiemi di R NON possono rappresentare il grafico di una funzione? Perché? a) Retta verticale b) Circonferenza c) Retta orizzontale d) Iperbole equilatera
Il dominio di una funzione Per trovare il dominio di una funzione le regole più importanti sono: i) il denominatore di una frazione deve essere sempre diverso da 0 ii) l argomento di una radice quadrata deve essere sempre maggiore o uguale a 0 iii) l argomento di un logaritmo deve essere sempre strettamente maggiore di 0 Ad esempio consideriamo = ln( x 1 ) x 1 Ci sono più condizioni che devono valere contemporaneamente; dovremo quindi impostare un sistema. Dovrà essere: = ln( x x 1 0 (denominatore diverso da 0) x 1, x 1 x 1 x > 1 x 1 ) x 1 Il dominio - esempio 1 0 (argomentodella radice maggiore o ugualea 0) x 1 > 0 (argomento del logaritmostrettamente positivo) x 1 che corrispondono a che messe a sistema mi danno semplicemente x > 1. 3
Ulteriori restrizioni Quello che abbiamo visto finora si chiama anche il dominio naturale di una funzione; è determinato da considerazioni di carattere puramente matematico. Nelle applicazioni però spesso si fanno ulteriori restrizioni sul dominio, motivate dalla natura della variabile indipendente x. Ad esempio: se x è una quantità di bene che produco o consumo, allora x>0 se x è un quantitativo di azioni di una certa società che detengo, allora x>0 (anche se a volte posso usare x<0 per rappresentare la vendita allo scoperto ) se x esprime il peso di una parte in un tutto, allora 0<x<1 analogamente, se x è una percentuale, allora 0<x<100 infine, se x è un tasso di interesse, allora x>-1 Perche? Il tasso di interesse Anticipiamo alcuni concetti elementari di matematica finanziaria. Se indico con C il capitale che detengo oggi (capitale iniziale) e se indico con M il capitale che detengo al termine della operazione (capitale finale o montante), allora l importo I = M C si chiama l interesse della operazione; l esempio più comune sono gli interessi che a fine anno vengono accreditati sul nostro conto in banca. La quantità i = I C M C = C si chiama invece tasso di interesse (anticamente saggio di interesse). Non è detto che sia i>0 (soprattutto se, come fanno gli economisti, consideriamo tassi di interesse espressi in termini reali ); possiamo dire che M M C C > 0, C > 0; quindi i = > = 1 C C 4
Funzioni iniettive Torniamo a concetti più generali. Abbiamo visto che a ciascun x corrisponde sempre una unica immagine y=f(x). E vero anche che ciascun y proviene da un unica x, cioè che ciascun y ha un unica controimmagine x, tale che y=f(x)? La risposta è no, basta pensare di nuovo alla parabola: Funzioni iniettive / Le funzioni che godono di questa proprietà si chiamano funzioni iniettive. Diamone una definizione precisa: Si dice che con x 1 f:d R è iniettiva se x, x x,si ha che f ( x ) 1 f ( x ) 1 D, In parole diciamo che f è iniettiva se punti distinti hanno immagini distinte; cioè se è impossibile che un punto abbia più di una controimmagine. Quali delle seguenti funzioni sono iniettive? a) f(x)=x 3 b) f(x)=x 4 c) f(x)=ln(x) d) f(x)=(1-x)/(1+x) 5
Disegniamo i grafici di a), b) e c): Funzioni iniettive /3 Funzioni iniettive /4 Per quanto riguarda la funzione d), vediamo quante soluzioni ha la equazione f(x)=y: 1 x = y ponendo x 1otteniamo 1+ x 1 x = y(1 + x) cioè 1-y = x( 1+ y) da cui 1 x = 1+ y y Quindi ogni y ha al più una controimmagine x, individuata da questa espressione. La funzione è quindi iniettiva. 6
Insieme immagine di f L insieme di tutte le immagini dei punti del dominio si chiama insieme immagine di f, per brevità immagine di f. Formalmente { y R x D per cui y f(x) } Im(f) = = Quali sono gli insiemi immagine delle funzioni dell esempio precedente? a) f(x)=x 3 b) f(x)=x 4 c) f(x)=ln(x) d) f(x)=(1-x)/(1+x) Funzioni suriettive Una funzione si dice suriettiva se il suo insieme immagine coincide con R; formalmente f è suriettiva se Im(f)=R. In questo caso ogni numero reale y ha almeno una controimmagine. Quali delle funzioni dell esempio precedente a) f(x)=x 3 b) f(x)=x 4 c) f(x)=ln(x) d) f(x)=(1-x)/(1+x) sono suriettive? 7
Corrispondenze biunivoche Abbiamo visto che una funzione f è iniettiva se ogni y ha al più una controimmagine; e che è suriettiva se ogni y ha almeno una controimmagine. Ne segue che una funzione è contemporaneamente iniettiva e suriettiva se ogni punto ha esattamente una controimmagine; ogni y proviene da un unica x. In questo caso si dice che f è una corrispondenza biunivoca; ad ogni x corrisponde un unica y e ad ogni y corrisponde un unica x. In questo caso si dice anche che la funzione f è invertibile, nel senso che dato y posso determinare univocamente x. La funzione che a y associa il corrispondente x si chiama la funzione inversa di f (torneremo sull argomento) Funzioni lineari Le funzioni più semplici sono le funzioni lineari. Una funzione lineare ha la proprietà che l immagine della somma coincide con la somma delle immagini: f ( x1 + x) = f ( x1 ) + Le funzioni che soddisfano questa proprietà sono le rette passanti per l origine, che hanno equazione = mx La generica retta si chiama anche funzione affine e ha equazione = mx + q Come è ben noto m rappresenta il coefficiente angolare (pendenza) e q rappresenta il termine noto (intercetta). La tecnica statistica che cerca di individuare relazioni di questo tipo tra variabili economiche si chiama regressione lineare. 8
Funzioni definite a tratti In molte situazioni una funzione viene definita in modo diverso in diverse parti del dominio; un esempio che abbiamo già incontrato è il valore assoluto (o modulo) di x: x se x 0 x = x se x < 0 Un altro esempio è la funzione rettangolare (o uniforme), definita come 0 se x < 0 = 1se 0 x 1 0 se x > 1 Funzioni lineari a tratti Nei due casi considerati ciascun tratto è una retta; funzioni di questo tipo vengono chiamate funzioni lineari a tratti. Ad esempio la funzione parte positiva di x è definita come x + x se x 0 = max(x, 0 ) = 0 se x < 0 Oppure la funzione triangolare è definita come 0 se x < 0 x se 0 x < 1 = -x se1 x 0 se x > 9
I payoff delle opzioni call e put Le funzioni lineari a tratti sono particolarmente importanti in finanza in quanto rappresentano i payoff dei più semplici strumenti derivati: le opzioni call e put. Una opzione call dà il diritto (ma non l obbligo) di acquistare un certo titolo (ad esempio un azione) a un prezzo prefissato K (strike price) a una scadenza prefissata T (maturity). Se indico il prezzo della azione a scadenza con S T, sarà conveniente esercitare il diritto di acquisto soltanto se S T > K; e in questo caso il diritto vale S T K. Se invece S T <K, non conviene esercitare il diritto, ed il suo valore è pertanto nullo. Riassumendo, il valore della call a scadenza è dato dalla funzione ST K se ST > K C( ST ) = = max(st K,0) = (ST K) 0 se ST K E se si fosse trattato di un diritto a vendere (opzione put)? + Quiz matematico In questa addizione in colonna, ciascuna lettera corrisponde a una cifra tra 0 e 9: M S M O E O N N R E D E Y + = Determinare gli addendi e il totale. 10