2006 grandezze fisiche vettoriali operazioni con i vettori Prof. Calogero Contrino
Introduzione: determinazione di una temperatura Si considerino le seguenti situazioni: 1. Si vuole conoscere la temperatura di un liquido che è riposto in un dato contenitore. Per risolvere il problema si immerge adeguatamente il bulbo di un termometro all interno del liquido, quindi si aspetta il tempo richiesto nel manuale d uso del termometro (tempo di risposta) infine si effettua la lettura sullo strumento, il risultato è un numero che nel campo d incertezza della procedura eseguita individua univocamente il valore cercato della grandezza (temperatura). 14/01/2014 2/8
introduzione : determinazione di una posizione 2. Si vuole indicare la posizione di una persona che si trova a piazza San Pietro (cerchietto rosso nella figura). Per risolvere questo problema si può prendere come riferimento l obelisco al centro della piazza, quindi si misura la distanza della persona dall obelisco (p.e.15 m). Il solo valore della distanza misurata non risponde però all informazione richiesta, infatti ogni punto della circonferenza con centro sull obelisco fornisce lo stesso risultato. Volendo proseguire nella risoluzione si può pensare di individuare una data direzione (p.e. l allineamento tra l obelisco ed il portone d ingresso della basilica) e specificare che la precedente distanza va riferita ad essa. ncora una volta però non si è stati precisi nel fornire l indicazione richiesta, in quanto sono due i punti così individuati. Il problema è completamente risolto nel momento in cui oltre alle informazioni precedenti viene specificato che la persona si trova dalla parte di via della Conciliazione e non dalla parte del sagrato della basilica. In definitiva la posizione è correttamente individuata da tre informazioni : il valore della distanza (15m), la direzione (allineamento obelisco-portone); il verso (dalla parte di via della Conciliazione). 14/01/2014 3/8
introduzione : determinazione di uno spostamento 3. In riferimento alla situazione precedente si supponga che la stessa persona, dopo un certo tempo, si ritrovi all ingresso della piazza (punto di colore giallo) e si voglia valutare il suo spostamento (segmento di colore giallo) tra le due posizioni, indipendentemente dall effettivo percorso seguito ( linea tratteggiata di colore azzurro) Per risolvere questo problema si misurerà ancora la distanza tra le due posizioni (p.e. 30m), ma anche in questo caso il valore della distanza misurata da solo non fornirà l informazione richiesta, infatti ogni punto della circonferenza con centro sulla posizione iniziale e di raggio 30m da lo stesso risultato. Pertanto si dovrà fare riferimento alla direzione (stesso allineamento del caso precedente) e specificare che la persona si è avvicinata a via della Conciliazione. In definitiva anche lo spostamento è correttamente individuato ancora da tre informazioni : il valore della distanza (30m), la direzione (allineamento obelisco-portone); il verso (dalla parte di via della Conciliazione). 14/01/2014 4/8
Grandezze scalari e vettoriali : definizioni Le grandezze per le quali si deve procedere nella loro identificazione come nel caso della temperatura vengono dette grandezze scalari, mentre quelle per le quali si deve procedere come nel caso della posizione o dello spostamento vengono dette grandezze vettoriali. Si hanno in proposito le seguenti definizioni Dicesi grandezza scalare (o semplicemente scalare) una grandezza che è univocamente determinata da un valore numerico. Dicesi grandezza vettoriale (o semplicemente vettore ) una grandezza che è univocamente determinata da un valore numerico ( il cui valore assoluto è detto intensità o modulo), una direzione ed un verso. Per operare una distinzione tra grandezze scalari e vettoriali dal punto di vista dei simboli si adotta la seguente convenzione : Le grandezze scalari son individuate da una lettera minuscola o maiuscola (p.e. p per indicare la pressione, T per indicare la temperatura termodinamica etc.) Le grandezze vettoriali sono indicate da una lettera minuscola o maiuscola sulla quale è sovrascritta una freccia (p.e. v per indicare la velocità, E per indicare il campo elettrico) L intensità o modulo di una grandezza vettoriale è indicata dal simbolo del vettore racchiuso tra due segmenti verticali (p.e. v, E ) 14/01/2014 5/8
Rappresentazione grafica Una generica grandezza vettoriale, caratterizzata da una intensità, una direzione ed un verso, dal punto di vista grafico, viene individuata da un segmento orientato, dopo che sia stata fissata una opportuna scala di rappresentazione. avendo a disposizione un righello graduato, stabilita una determinata direzione, su di un foglio bianco si traccerà un segmento orientato di una determinata lunghezza proporzionale, secondo la scala fissata, all intensità del vettore (La situazione è quella della figura in basso a sinistra). Volendo operare delle traslazioni del vettore sul piano ci si dovrà servire di riga e squadretta. Questo modo di procedere porta ovviamente a delle imprecisioni anche importanti nelle diverse operazioni in cui il vettore è coinvolto (figura in basso a destra). 14/01/2014 6/8
Rappresentazione grafica : considerazioni Si rifletta sul fatto che lo spostamento mediante traslazione su un foglio di disegno non modifica le informazioni sulla grandezza in esame in quanto il segmento che la rappresenta mantiene la stessa intensità, la stessa direzione e lo stesso verso. La stessa cosa non accadrebbe nel caso di uno spostamento che presentasse anche una rotazione in quanto non sarebbe conservata la direzione. Si può in definitiva concludere che nelle operazioni tra grandezze vettoriali che saranno esaminate più avanti i segmenti orientati che le rappresentano potranno essere traslati senza inficiare la validità dei risultati ottenuti. Si può pertanto dare una prima intuitiva definizione un vettore è un segmento orientato che si può spostare nello spazio senza subire deformazioni, restando parallello a se stesso (movimento di traslazione). questo punto, visto che una grandezza vettoriale ha le caratteristiche geometriche tipiche dei segmenti orientati, al fine di poter correttamente procedere nelle operazioni su di essi esaminiamo in modo più approfondito e rigoroso dal punto di vista geometrico alcuni concetti basilari. 14/01/2014 7/8
Geometria : assioma dell ordine Come si vedrà in modo organico nel corso di geometria, per una qualsiasi retta, si ha il seguente ssioma dell ordine I punti di una retta si possono ordinare in modo tale che: a. Dati due punti distinti, si ha : o precede o precede b. Dati tre punti distinti,,c, se precede e precede C allora precede C C 14/01/2014 8/8
Geometria : retta orientata Retta orientata L assioma dell ordine determina una duplice possibilità di ordinamento dei punti di una retta, fissata una delle due possibilità di ordinamento si dirà che la retta è orientata. 14/01/2014 9/8
Geometria : segmenti orientati Segmenti orientati nche un segmento, essendo un particolare sottoinsieme di punti di una retta, può essere pensato come un insieme ordinato e quindi anche su di esso si possono fissare ad arbitrio due versi di percorrenza. Pertanto un segmento di estremi e si dirà orientato da a e si indicherà con il simbolo, quando l ordinamento fissato fa incontrare i punti del segmento procedendo da a. Un segmento di estremi e si dirà orientato da a e si indicherà con il simbolo quando l ordinamento fissato fa incontrare i punti del segmento procedendo da a. I segmenti orientati e si dicono opposti Segmenti orientati Segmenti orientati 14/01/2014 10/8
Geometria : relazione di equipollenza tre segmenti orientati Consideriamo l insieme dei segmenti orientati i i giacenti su un dato piano e che siano caratterizzati dalle seguenti proprietà : Siano tutti congruenti bbiano tutti la stessa direzione ( giacciono su rette parallele) bbiano tutti lo stesso verso In tale situazione si dirà che gli elementi dell insieme sono in una relazione di equipollenza Segmenti orientati equipollenti 1 1 3 2 3 2 i i 14/01/2014 11/8
Geometria : proprietà della relazione di equipollenza La relazione di equipollenza è una relazione che gode delle seguenti proprietà : Riflessiva (un segmento è equipollente a se stesso) Simmetrica ( se un segmento è equipollente ad un segmento CD allora il segmento CD è equipollente al segmento ) Transitiva ( se un segmento è equipollente ad un segmento CD e il segmento CD è equipollente ad un segmento EF allora il segmento è equipollente al segmento EF ). Una relazione che gode delle precedenti proprietà è, come noto dall algebra, una relazione di equivalenza Proprietà della relazione di equipollenza F C D E 14/01/2014 12/8
Geometria : classi di equivalenza della relazione di equipollenza Si osservi che la relazione di equipollenza, essendo una relazione di equivalenza, suddivide l insieme di tutti i segmenti orientati del piano in sottoinsiemi di segmenti ognuno dei quali è caratterizzato da una stessa direzione stesso verso e stessa lunghezza. Tali sottoinsiemi sono le classi di equivalenza della relazione di equipollenza. Gli elementi di una data classe di equivalenza hanno tutti le stesse caratteristiche, pertanto, individuato uno degli elementi, restano determinate le caratteristiche di tutti gli altri. La classe di equivalenza individuata da un determinato elemento sarà simbolicamente indicata p.e. come segue ( vedi figura) : 2 2 C 1 D 1 E 3 F 3 Classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti 1 D i E i F i D 2 3 1 E 1 F 1 2 C i 3 D 1 2 C 2 i D 3 E 2 F 2 C 1 E 3 F 3 i C 3 14/01/2014 13/8
Geometria : definizione di vettore Si sottolinea che la scelta di 2 2, C 1 D 1 e E 3 F 3 per rappresentare rispettivamente la totalità dei segmenti i i, C i D i e E i F i è del tutto arbitraria (essendoci la possibilità di infinite scelte) Si può dare a questo punto la seguente definizione Dicesi vettore (simbolo v ) una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti OP tre vettori come classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti 1 D i E i F i D 2 3 1 E 1 F 1 2 C i 3 D 1 2 C 2 i D 3 E 2 F 2 C 1 E 3 F 3 i C 3 14/01/2014 14/8
definizione di vettore : le due interpretazioni La possibilità di rappresentare un vettore con uno qualsiasi dei segmenti orientati appartenenti alla data classe di equivalenza costituisce un interpretazione alternativa a quella esaminata all inizio della trattazione basata su spostamenti che implicano la conservazione del parallelismo. Si ripropongono di seguito le definizioni derivanti dalle due diverse interpretazioni : un vettore è una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti. un vettore è un segmento orientato che si può spostare nello spazio restando costantemente parallello a se stesso (movimento di traslazione). La duplice interpretazione del concetto di vettore 1 a 2 1 a 3 a 2 i 3 a i a a a a Le linee tratteggiate di colore blu indicano i movimenti di traslazione 14/01/2014 15/8
vettore : considerazioni pratiche Le due interpretazioni hanno entrambe la loro validità concettuale la prima risponde perfettamente a considerazioni di tipo geometrico (assenza di movimento). In entrambi i casi però volendo operare per via grafica si dovranno necessariamente effettuare delle traslazioni. Per limitare le imprecisioni nella procedura esaminata in precedenza, che qui si richiama, risulta più comodo ed efficace servirsi di un foglio di carta millimetrata (in basso a destra nella figura sono evidenziate per comodità le retinature dei cm), inoltre sarà necessario solo l uso di un righello, infatti le direzioni vengono conservate dalle misure dei segmenti tratteggiati in colore blu, cateti del triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il segmento orientato che rappresenta il vettore e che, misurati (in realtà è un conteggio perché la misurazione avviene lungo le due direzioni della quadrettatura), possono essere riportati ovunque sul foglio. prima dopo prima dopo 14/01/2014 16/8
Rappresentazione grafica e sistema di riferimento cartesiano Un ulteriore passo avanti, consiste nell opportunità di riferire il vettore sul piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali, dove possono essere rilevate le coordinate delle posizioni della coda e della punta, proiettando sugli assi, come appreso alla scuola media, gli estremi del vettore. L impiego di un sistema cartesiano di riferimento implica che per rappresentare un vettore sono sufficienti due coppie di numeri, le coordinate della coda e quelle della punta. Pertanto essendo x c, y c, x p, y p le coordinate rispettivamente della coda e della punta prima della traslazione il vettore sarà cosi simbolicamente indicato: [(x c, y c ) ; (x p, y p )] Ed essendo x c, y c, x p, y p le coordinate rispettivamente della coda e della punta dopo la traslazione il vettore sarà cosi simbolicamente indicato: [(x c, y c ) ; (x p, y p )] prima dopo y p y p y c y c x c x p x c x p 14/01/2014 17/8
Rappresentazione grafica e sistema di riferimento cartesiano L impiego di un sistema cartesiano di riferimento implica che per rappresentare un vettore sono sufficienti due coppie di numeri, le coordinate della coda e quelle della punta. Se però si conviene di posizionare tutti i vettori ponendo la coda nell origine del sistema di riferimento basta solo la coppia di numeri data dalle coordinate della punta. Pertanto un generico vettore sarà cosi indicato simbolicamente: (x p, y p ) Nel seguito saranno illustrate le operazioni di base in cui sono coinvolti, impiegando un metodo grafico (più avanti nel corso sarà introdotto un metodo analitico). Per comprendere a livello intuitivo il metodo grafico si prenderanno in esame situazioni in cui come vettori di riferimento son scelti gli spostamenti. vettori con coda in punti generici gli stessi vettori con coda nell origine y p y p p p y c y c c c y p y p p p x c x p x c x p c c x p x p 14/01/2014 18/8
ddizione di vettori Sia assegnato un sistema di assi cartesiani ortogonali rispetto al quale sono rappresentati tre posizioni successive assunte da un corpo passando dapprima dalla posizione alla posizione e successivamente dalla posizione alla posizione C secondo un generico percorso indicato dalla linea tratteggiata di colore fucsia. Indicando con s 1 = lo spostamento nel passaggio dal punto al punto e con s 2 = C quello nel passaggio tra il punto ed il punto C, lo spostamento complessivo nel passaggio tra il punto ed il punto C sarà s = C. Esso rappresenta la somma degli spostamenti parziali e si scriverà pertanto: s = s 1 + s 2. Si osservi che il vettore s è un segmento orientato con la coda coincidente con quella di s 1 e la punta coincidente con quella di s 2, mentre s 1 e s 2 sono consecutivi (la punta del primo coincide con la coda del secondo). Questa è la caratteristica fondamentale dell operazione di addizione col metodo grafico che dovrà essere osservata per qualsiasi tipo di vettori: I vettori addendi dovranno essere consecutivi (metodo punta-coda). Il vettore risultante avrà la coda coincidente con la coda del primo vettore addendo e la punta coincidente con la punta del secondo vettore addendo. y addizione di spostamenti s 1 s s 2 C x 14/01/2014 19/8
ddizione di vettori : metodo punta coda Dati due vettori (x,y ), (x,y ) con le code coincidenti con l origine di un piano cartesiano, il vettore somma C (x C,y C ) = (x,y ) + (x,y ) si costruisce come indicato nella figura a: si sposta parallelemente a se stesso il vettore sino a renderlo consecutivo al vettore, il risultato C è il vettore con la coda coincidente con quella di e la punta coincidente con quella di. La figura b ci mostra che il vettore C può essere ugualmente ottenuto traslando il vettore, rendendolo consecutivo al vettore e congiungendo la coda di con la punta di L addizione tra vettori gode quindi della proprietà commutativa: C = + = + fig. a C = fig. b + C = + C C 14/01/2014 20/8
ddizione di vettori : metodo del parallelogramma Il metodo precedente ci suggerisce che il vettore C = + = + può essere ricavato con una costruzione grafica alternativa senza spostare uno dei due vettori addendi. Dalla figura c dove sono sovrapposte le due costruzioni viste nelle figg. a e b si nota che il vettore C può essere ugualmente ottenuto costruendo il parallelogramma di lati e, in questo caso il vettore somma C è dato dal segmento orientato che va dal vertice individuato dalle code dei due addendi al vertice opposto (diagonale principale ). Questo nuova procedura, riportata nella figura d, è detta metodo del parallelogramma. fig. c fig. d C C 14/01/2014 21/8
Vettore opposto di un vettore assegnato Si ha la seguente definizione Dato un vettore, dicesi opposto del vettore il vettore = - che ha la stessa intensità di, la stessa direzione di e verso opposto ad Nella figure in basso sono riportati vettori opposti rispettivamente in un foglio senza riferimenti ed in un foglio millimetrato con assi cartesiani. Dalla figura f si deduce che due vettori opposti in un piano cartesiano hanno le coordinate della punta opposte. Pertanto il vettore opposto del vettore (x,y) è il vettore ( x, y ) fig. e fig. f = = y p x p = y p x p y p = y p 14/01/2014 22/8
Sottrazione tra vettori nche per i vettori la sottrazione è definita in termini di operazione inversa dell addizione, si ha infatti la seguente definizione Dati due vettori, dicesi differenza tra il vettore ed il vettore il vettore C = - tale che sommato al vettore, da come risultato il vettore ; in simboli : C = - = + C Dalle figure in basso si evince che il vettore C si ottiene anche dalla somma del vettore con l opposto del vettore. La proprietà geometrica corrisponde quindi perfettamente a quella algebrica ; si ha cioè : C = = + ( ) fig. g C = = + ( ) fig. h C = = + ( ) D = D = C C 14/01/2014 23/8
Sottrazione tra vettori nche per la sottrazione tra vettori non vale la proprietà commutativa, si ha cioè: Infatti ( vedi le figure ) si ha : C = = + ( ) e D = = + ( ) Le due operazioni danno come risultato i vettori C e D che differiscono per il loro verso. Da notare che pur con versi opposti i due vettori hanno la stessa direzione e la stessa intensità e vengono determinati dalla diagonale secondaria (punta-punta) del parallelogramma costruito sui vettori e. fig. i C = = + ( ) fig. l D = = + ( ) 14/01/2014 24/8
Moltiplicazione di un vettore per uno scalare Necessita talvolta eseguire la moltiplicazione di un vettore per una grandezza scalare. tale scopo si da la seguente definizione : definizione Dato un vettore ed un numero reale, il prodotto del numero per il vettore è un vettore tale che: =, la sua direzione coincide con quella quella di ed il suo verso è concorde con quello di se > 0 ed opposto a quello di se < 0 ( per = 0 si ottiene il vettore nullo 0 ). fig. m = > 0 fig. n = < 0 > 1 1 > > 0 < -1-1 < < 0 14/01/2014 25/8
Scomposizione di un vettore secondo due direzioni assegnate È sempre possibile scomporre in modo univoco un vettore secondo due direzioni assegnate, trovare cioè due vettori, aventi direzioni fissate tali che la loro somma sia il vettore iniziale. Con riferimento alla figura p, dato il vettore e volendo scomporlo secondo le direzioni r, s con riga e squadra si tracciano le rette r, s parallele rispettivamente ad r ed s e passanti per la coda del vettore ; quindi a partire dalla punta di si tracciano le rette parallele ad r ed s le quali intersecano rispettivamente le rette s ed r in due punti che determinano i vettori s ed r, che essendo lati di un parallelogramma la cui diagonale è il vettore soddisfano alla condizione richiesta: = r + s. I vettori r ed s sono detti i componenti di rispettivamente lungo r e lungo s. Nel caso in cui le direzioni assegnate siano quelle degli assi coordinati di un piano cartesiano la situazione sarà quella della figura q e si avrà : = x + y fig. p = r + s r r fig. q = x + y r y s s x s 14/01/2014 26/8
Scomposizione di un vettore secondo gli assi coordinati Dalla definizione del prodotto di uno scalare per un vettore, dati due vettori i, j di intensità unitaria e direzioni e versi coincidenti rispettivamente con quelli degli assi coordinati x, y si ha : x = x i ; y = y j, dove con x ed y si sono indicate le coordinate x e y della punta del vettore e per quanto visto nella pagina precedente si potrà quindi scrivere: = x i + y j 1 La 1) è detta rappresentazione cartesiana del vettore ed x, y sono le componenti del vettore rispettivamente lungo x e lungo y, mentre i e j sono detti rispettivamente versore dell asse x e versore dell asse y. fig. r = x + y = x i + y j y y j i x x 14/01/2014 27/8
ddizione di due vettori con metodo algebrico Si deduce nel seguito un metodo algebrico per eseguire l addizione di due vettori di cui sia nota la rappresentazione. tale scopo, assegnati i vettori = x i + y j e = x i + y j (vedi fig.s), si ricavi con metodo grafico il vettore somma C = + ( p.e. con il metodo punta-coda traslando il vettore ). Dalla costruzione grafica effettuata, essendo i due triangoli OHY e O H Y congruenti, ne consegue che per le coordinate della punta di C valgono le seguenti relazioni : x C = x +O H = x + OH = x + x ; y C = y +H Y = y + HY = y + y. Ed essendo per le definizioni precedenti : x c = C x ; y C = C y ; x = x ; y = y ; x = x ; y = y. Si ha : C x = x + x ; C y = y + y ; Da cui segue infine : C = C x i + C y j = ( x + x ) i + ( y + y ) j ; Si può quindi concludere che: fig. s y C C y y Y C = + Y Le componenti del vettore somma di due vettori assegnati in forma cartesiana sono date dalla somma delle rispettive componenti dei vettori addendi. y y y O x H x O x x C x x C H 14/01/2014 28/8
Sottrazione di due vettori con metodo algebrico Dalla relazione = + ( ) e dal metodo per eseguire l addizione,visto prima, si deduce immediatamente il metodo algebrico per eseguire la sottrazione di due vettori di cui sia nota la rappresentazione cartesiana. Si ha infatti dati due vettori, (vedi anche la figura t): C = C = = + ( ) = ( x x ) i + ( y y ) j x i + C y j [ x + ( x )] i + [( y +( y )] j = ; Si può quindi concludere che: Le componenti del vettore differenza di due vettori assegnati in forma cartesiana sono date dalla differenza delle rispettive componenti dei vettore minuendo e del vettore sottraendo. Si osservi, come visto in precedenza con il metodo grafico, che: fig. t C = D = il vettore differenza coincide per direzione ed intensità con la diagonale secondaria del parallelogramma costruito sui vettori e. non vale la proprietà commutativa essendo opposti i vettori e. y y x O H Y y C x y C C x C H D = C x Y O 14/01/2014 29/8