La Statica dei Fluidi

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 La Statica dei Fluidi Un fluido non ossiede forma roria ma si adatta a quella del contenitore che lo contiene Può essere nella fase liquida (es acqua) o gassosa (es un gas) Anche se non ossiede una forma roria, una massa M di fluido ossiede un olume V Inoltre se, a arità di condizioni, consideriamo una massa M dello stesso fluido, questa occuerà un olume V La densità del fluido è definita come il raorto M V Si misura in kg/m oure g /cm ( g/cm kg/m ) Per la rorietà recedentemente ista, la densità di un fluido, a arità di condizioni, è costante indiendentemente dal alore della massa considerata Altra caratteristica del fluido è di esercitare la forza nella direzione erendicolare ad una qualunque suerficie toccata dallo stesso Esemi: a) l acqua contenuta in una bottiglia esercita una forza erso l esterno normale alla arete della stessa; b) l acqua del mare esercita sui esci una forza diretta erso l interno del coro; c) l aria esercita su di noi una forza diretta erso l interno del nostro coro La ressione è definita come il raorto F S tra la comonente della forza ortogonale alla suerficie e la suerficie su cui la forza è alicata La ressione è quindi una grandezza scalare che ci dice quale uò essere la forza esercitata dal fluido su una suerficie (anche immaginaria in mezzo al fluido!) con cui si troa in contatto Può ariare da unto a unto Nel sistema SI si misura in Pascal ( Pa N/m ) Altre unità di misura utilizzate nella ratica sono l atmosfera ( atm), il bar con il sottomultilo millibar ( mbar ) ed il torr Sono legate tra loro dalla seguente relazione: 5 atm 76torr mbar Pa Si noti che mbar hpa 5

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Secondo il rinciio di Pascal se in un unto di un fluido la ressione è ariata er qualunque motio di una quantità, questa ariazione si trasmette in ogni altro unto del fluido: Secondo la legge di Steino la ressione in un fluido diende dalla rofondità a cui iene misurata: g( h ) oero se due unti si troano a diersa altezza h nel fluido la ressione sarà maggiore nel unto di rofondità maggiore, inoltre in due unti che si troano alla stessa altezza nel fluido la ressione è la stessa Questa equazione ci dice che una delle cause della ressione è la forza eso esercitata dagli strati di fluidi sorastanti il olume interessato La legge di Steino se scritta nella forma gh gh costante assume un significato rofondo Moltilicando il termine gh er il olume V ari ad una massa m V di fluido, si ottiene l esressione V mgh doe V raresenta il laoro necessario er liberare il olume nel fluido re-esistente mentre mgh raresenta l energia otenziale Secondo il rinciio di Archimede un coro di olume V immerso in un fluido di densità è soggetto ad una forza da arte del fluido diretta erso l alto e d intensità ari al eso del olume V im di fluido sostato F A V g Se il coro galleggia aremo im V im < V mentre se è comletamente immerso V e V im coincidono 6

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Esemi Calcolare la ressione in una iscina iena d acqua ( kg/m ) alla rofondità di m Soluzione: non aena conosciamo il alore della ressione in un unto della iscina, otremo alicare la legge di Steino Questo unto è la suerficie doe l acqua è in contatto con l aria (altro fluido) Quindi sulla suerficie la ressione è ari alla ressione atmosferica 5 mbar Pa A due metri di rofondità la ressione è di conseguenza g h 5 5 ( h ) Pa kg/m 98m/s ( m) Pa (si noti che ogni metri di rofondità la ressione nell acqua aumenta di atmosfera) Calcolare la differenza di ressione tra A nel olume in figura e quella atmosferica saendo che l altezza della colonna di acqua è h cm e che l estremità sueriore del tubo è aerta h Soluzione: non aena conosciamo il alore della ressione in un unto della colonna d acqua, otremo alicare la legge di Steino Questo unto è la suerficie doe l acqua è in contatto con l atmosfera er cui Quindi gh gh A A A gh kg/m 98m/s m 98Pa Fig Problema La differenza A è detta anche ressione relatia (del olume A risetto all atmosfera) e diersamente dalla ressione assoluta uò assumere anche alori negatii Calcolare la ressione a cm dal tao in una bottiglia sigillata e colma d acqua Soluzione: non aena conosciamo il alore della ressione in un unto della bottiglia, otremo alicare la legge di Steino Questo unto è la suerficie doe l acqua è in contatto con il tao Poiché il tao isola l acqua dall atmosfera esterna, la ressione è raticamente zero Pa Ad una rofondità di cm la ressione è quindi g h ( h ) kg/m 98m/s m 96 Pa 7

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 4 Descriere il funzionamento del barometro di Torricelli Soluzione: il barometro di Torricelli è costituito da un tubo di etro di altezza sueriore ad metro, riemito di mercurio e osto in erticale in una asca colma di mercurio e con l estremità sueriore sigillata in modo che non ci sia contatto diretto tra il mercurio contenuto nel tubo e l atmosfera Per conoscere l altezza cui si disone il liello del mercurio nel tubo, è necessario alicare la legge di Steino fra i due unti e doe la ressione del liquido è nota Il unto è la suerficie doe il mercurio è in contatto con i aori di mercurio (altro fluido) doe la ressione è ari alla tensione di h aore e ertanto talmente iccola da oter essere trascurata ( Pa ) mentre il unto è quello in contatto con l aria (altro fluido) e ertanto la ressione è ari a quella atmosferica ( ) Pertanto: 5 Pa Pa Hg g ( h h ) da cui h 76m 4 g 6 kg/m 98m/s Hg Fig Problema 4 5 Descriere il comortamento del barometro di Torricelli quando si troa in un contenitore sigillato in cui iene fatto il uoto Soluzione: oiché la ressione sulla suerficie libera del mercurio (fuori dal tubo) adesso è nulla ( ) il liello del mercurio all interno del tubo scenderà allo stesso liello del mercurio nella aschetta 6 Siegare il significato del rodotto V er un fluido incomrimibile (densità costante) Soluzione: dimostriamo che V raresenta il laoro necessario er suotare il olume V Consideriamo er semlicità un fluido a ressione osto all interno di un olume V di forma cubica Immaginiamo inoltre che allo scorrere della suerficie S il fluido ossa fuoriuscire attraerso la suerficie oosta mantenendo costante la ressione idrostatica Per suotare il olume V dal fluido è necessario, quindi, esercitare sulla suerficie S una forza F r tale da annullare l effetto S della ressione ( F S ) e fare in modo che la arete S ossa scorrere er il tratto l fino a raggiungere la arete oosta Il laoro comiuto dalla forza F r è quindi ari a L Fl Sl V S l Fig Problema 6 F r 8

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 7 In una ersona in osizione eretta, fissata l altezza del cuore (e dell aorta) come l origine delle coordinate, si assuma che i iedi si troino a circa h P 5cm sotto il cuore e la arte iù alta della testa si troi a circa h 45cm sora Assumendo che la ressione relatia al liello dell'aorta sia T Torr e che la densità del sangue sia ressione relatia al liello dei iedi e quella a liello della testa Soluzione: alicando la legge di Steino con g( h h) aorta aorta 5g/cm calcolare la si erifichi che gh Torr e gh 65Torr iedi aorta P testa aorta T 8 Dimostrare il rinciio di Archimede Soluzione: consideriamo un contenitore riemito con un fluido di densità, ed un olumetto V di fluido osto ad una qualunque rofondità nel contenitore Poiché il sistema è in equilibrio e ertanto il olumetto non si muoe, occorre che ci sia una forza F A riolta erso l alto che annulli la forza eso P del olumetto, quindi F A Mg da cui F A Vg La forza F A è esercitata dal resto del fluido sul olumetto V e non diende da cosa c è in V, ertanto sostituendo nel olume V un altro coro questi subirà la stessa sinta erso l alto 9 Saendo che un blocco di ghiaccio immerso in acqua galleggia e che la frazione del olume che rimane immersa è, calcolare la densità del ghiaccio gh Soluzione: osto V il olume del blocco di ghiaccio, l equilibrio delle forze a cui è soggetto si uò scriere come la somma ettoriale della forza eso e della sinta di Archimede generata r r dalla arte di ghiaccio immersa nell acqua P F da cui V im g gh Vg V A im gh g/cm V 9g/cm Determinare con che accelerazione sale in suerficie un blocco di legno di densità 7 g/cm lasciato libero dal fondo di un lago Si trascuri la resistenza dell'acqua Soluzione: la forza totale che agisce sul coro immerso è data dalla risultante tra la forza eso e la sinta di Archimede: F F Mg Vg Vg ( )Vg aendo A esresso la massa del coro M V Possiamo ricaare dal Secondo Princiio della Dinamica: ( fluido ) Vg fluido a F M g 4m/s V fluido fluido 9

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Una sfera di metallo di massa m kg e densità 7 8 kg/m è comletamente immersa in acqua, ancorata al fondo di un reciiente mediante una molla di costante elastica k 5N/m Calcolare la sinta di Archimede, alutare se la molla è comressa o allungata e determinare lo sostamento dalla osizione di equilibrio kg 4 Soluzione: noto il olume, ottenuto come V m 8 m, si 78 kg/m uò ricaare la sinta di Archimede FA Vg 5 N fluido Perché la sfera sia ferma occorre r r r che la risultante delle forze sia nulla: FA P Fmolla Scelta come ositia la direzione riolta erso l alto dell asse erticale, l esressione recedente dienta F A mg kx da cui si ricaa x 4 cm, Quindi la molla è comressa ed il modulo x 4cm raresenta lo scostamento dalla osizione di equilibrio In quali condizioni un coro immerso in un fluido di densità f galleggia? Soluzione: er oter galleggiare occorre che la risultante delle forze che agiscono sul coro r r sia ositia, cioè P F Posti V e risettiamente il olume e la densità del coro, A occorre osserare che la massima intensità della sinta di Archimede si ha quando il coro è comletamento immerso oero quando V im V, quindi Vg Vg f Questa condizione è soddisfatta se la densità del coro è minore della densità del fluido in cui è immerso < f Un cubo di legno di lato L cm con una densità 65 kg/m galleggia arzialmente immerso in acqua: calcolare la distanza d fra la faccia sueriore del cubo e la suerficie dell'acqua Determinare il eso massimo P che uò essere messo sul cubo affinché la sua faccia sueriore sia a liello dell'acqua Soluzione: il coro è soggetto a due forze: la forza eso riolta erso il basso e la sinta di Archimede riolta erso l alto La sinta di Archimede è roorzionale al olume V L della arte del cubo immersa nell acqua: F V g Poiché il coro immerso h immerso è in equilibrio il modulo delle due forze dee essere uguale Pertanto cui h immerso L fluido cm e d 7 cm A fluido immerso fluido V immerso Quando il cubo è comletamento sommerso la sinta di Archimede dienta Anche in questo caso la risultante delle forze dee essere nulla, ertanto da cui P ( fluido ) Vg 744N g Vg da F Vg A Vg P fluido fluido Vg 4

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 La Dinamica dei Fluidi Ideali Un fluido ideale in moimento uò essere immaginato costituito da tante lamine sottili in grado di scorrere l una sull altra senza attrito Il moimento del fluido è semre arallelo alla suerficie delle lamine Esemi: - in un fiume il moimento dell acqua, suosta un fluido ideale, uò essere scomosto nello scorrimento di tante lamine orizzontali soraoste che si muoono arallele al letto del fiume; - in un condotto di sezione cilindrica il moimento uò essere scomosto in tante lamine circolari concentriche con raggio crescente a artire dall asse centrale del condotto che si muoono arallele all asse del condotto Il moimento è descritto da due equazioni che deono essere soddisfatte contemoraneamente ) L equazione di continuità che stabilisce che la quantità di fluido che attraersa nell unità di temo una qualunque sezione del condotto (ortata), è costante (il fluido non si erde er strada!) Può essere scritta in due forme: ortata olumetrica: ortata massica: Q S costante nel sistema SI si misura in m /s Q m S costante nel sistema SI si misura in kg/s doe con si è indicata la densità del fluido ) L equazione di Bernoulli: gh costante che fissa il alore della ressione, della elocità e dell altezza di una qualunque arte del fluido in moimento Si ricaa direttamente dalla conserazione dell energia L'equazione di Bernoulli si alica a fluidi incomrimibili ( costante ), non iscosi e irrotazionali ( ω ) in moto stazionario, tale cioè che la elocità del fluido in un dato unto è semre la stessa In conseguenza all equazione di Bernoulli, la ressione idrostatica di un fluido uò essere diersa secondo lo stato di quiete o di moto del fluido Si rimanda agli esemi riortati di seguito 4

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Esemi Calcolare la elocità con cui l acqua inizia ad uscire dal foro di scarico di una asca da bagno doe il liello iniziale dell acqua è h cm Soluzione: dobbiamo alicare l equazione di Bernoulli sul unto dello scarico ed in un altro unto della asca doe conosciamo il alore er, e h Il unto in questione è il liello sueriore dell acqua doe, h h e erché non aena l acqua inizia a defluire dal fondo, quella osta sulla suerficie è ancora raticamente ferma Al unto ale inece h, erché la suerficie del e fronte d acqua che sta uscendo dallo scarico si troa in diretto contatto con l atmosfera Quindi: gh gh Fig Problema h gh gh 98m/s m 45m/s Siegare qualitatiamente erché la sezione del filo d acqua che fluisce da un rubinetto diminuisce con l aumentare della distanza dal rubinetto Soluzione: l acqua nella caduta aumenta la roria elocità secondo l equazione di Bernoulli gh gh essendo la ressione uguale in tutti i unti a quella atmosferica Dee inoltre alere l equazione di continuità S costanteer cui i unti doe la elocità è maggiore sono i unti in cui la sezione sarà minore In un adulto normale a rioso, la elocità media del sangue attraerso l'aorta è cm/s Calcolare la ortata attraerso un'aorta di r 9 mm Soluzione: Q S π 4 ( 9cm) cm/s 84cm /s 5litri/min Dall'aorta il sangue fluisce nelle arterie maggiori, oi in quelle iù iccole e infine nei caillari Ad ogni stadio successio ciascuno di questi asi si diide in molti asi iù iccoli e il flusso di sangue si riartisce fra questi in modo che la ortata totale sia costante Se conosciamo la sezione comlessia di tutte le arterie S arterie e di tutti i caillari S dorà alere la caillari relazione: Q S S S Pertanto il sangue si muoe iù arterie arterie caillari caillari lentamente erso la eriferia erché la sezione comlessia dei asi sanguigni è maggiore Se er esemio la sezione totale di tutte le arterie è cm e di tutti i caillari è 5m ossiamo ricaare la elocità del sangue Q S 4cm/s e Q S mm/s caillari / caillari arterie / arterie 7 in un singolo caillare di raggio r µ maremo Q π r 4 cm /s caillari 4

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 4 Utilizzando i dati dell esercizio recedente stimare il numero di caillari nel coro umano Soluzione: la ortata è costante in tutto il sistema cardiocircolatorio, ertanto dee alere Qaorta 8 Qaorta N Q caillare da cui N Q caillare 5 Siegare qualitatiamente cosa succede quando in un arteria è resente un aneurisma Soluzione: in resenza di un aneurisma la sezione dell arteria S è maggiore di quella naturale S e doendosi conserare la ortata dell arteria, la elocità sarà minore di quella naturale S ( ) Suoniamo er semlicità che l arteria sia orizzontale In queste condizioni la S ressione sanguigna all altezza dell aneurisma sarà maggiore di quella naturale in accordo all equazione di Bernoulli Pertanto, nel unto doe c'è l'aneurisma, uò romersi la arete dell'arteria 6 Siegare qualitatiamente cosa succede quando in un arteria è resente una stenosi Soluzione: in resenza di un stenosi la sezione dell arteria S è minore di quella naturale S e con un rocedimento simile a quello seguito nell esemio recedente si uò dimostrare che la ressione sanguigna all altezza della stenosi sarà minore di quella naturale Pertanto, nel unto doe c'è la stenosi, l'arteria uò occludersi comletamente 7 Due unti di un condotto orizzontale che trasorta acqua hanno dierse sezioni, con raggio cm e 5cm, mentre la differenza di ressione tra di loro è ari a un disliello di h 5cm d acqua Calcolare: a) le elocità dell acqua e ; b) la ortata del condotto Soluzione: consideriamo i unti e che si troano z La rima sull asse del condotto alla stessa altezza z relazione che ossiamo ricaare dalle condizioni iniziali è quella fra le due ressioni e la differenza d altezza nei tubi erticali Infatti aremo che la ressione sull asse del condotto è legata a quella atmosferica da gh e gh da cui si ricaa: gh Poiché i unti e si troano sull asse del condotto, l equazione di Bernoulli si semlifica e dienta Poiché le incognite sono due (, ) è necessario troare un ulteriore condizione che è data semlicemente dall equazione di continuità S S essendo note le due sezioni del condotto Si tratta ora di risolere il sistema: 4 h S S Fig 4 Problema 6

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 44 S S otendo effettuare la sostituzione gh che orta a gh 4 gh gh S S π π con soluzione m/s 7 m/s 5 7 m/s 5 m 5 98m/s 4 La ortata è data semlicemente da ( ) /s m 785 m/s m 5 4 5 S Q π Si noti che in assenza di moimento del fluido la ressione idrostatica sarebbe costante: 8 Verificare che nell esercizio recedente il risultato finale è lo stesso anche se la ressione del fluido non iene calcolata sull asse del condotto Soluzione: immaginiamo di considerare due unti osti ad un altezza z e z risetto all asse del condotto In questo caso aremo che la ressione sull asse del condotto è legata a quella atmosferica da ( ) z h g e ( ) z h g da cui si ricaa: ( ) z z g gh Anche l equazione di Bernoulli cambia e dienta gz gz e sostituendoi la relazione recedente si ottiene di nuoo l equazione dell esercizio recedente: gh 9 Siegare il significato fisico dell equazione di Bernoulli Soluzione: moltilicando tutti i termini er il olume unitario V l equazione dienta costante mgh m V gh V V V Il secondo e terzo termine raresentano risettiamente l energia cinetica e l energia otenziale del olume di fluido considerato Per comrendere il significato del rimo termine immaginiamo che il olume unitario abbia la forma di un cubetto di lato x ed usiamo la definizione della ressione er riscriere il rodotto V come Fx x x F V S F che raresenta il laoro fatto dal fluido er occuare il olume V Questa relazione è generale

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 La Dinamica dei Fluidi eali A differenza del caso ideale, nel fluido reale in moimento (anche in regime laminare) le lamine sottili, di cui ossiamo ancora immaginare essere costituito, non sono iù in grado di scorrere l una sull altra senza attrito Anche in questo caso il moimento del fluido è semre arallelo alla suerficie delle lamine ma staolta, rorio a causa della resenza dell attrito nel moimento sarà seso del laoro L intensità di queste forze d attrito uò essere esressa secondo la seguente esressione: F d η S doe S dy d è la suerficie di contatto fra due lamine contigue, il gradiente di elocità fra le dy due lamine ed infine η la iscosità del fluido La iscosità iene misurata in SI oure in oise ( P) nel sistema CGS ( Pa s P ) Pa s nel Esemio: in un condotto di sezione cilindrica il moimento uò essere scomosto in tante lamine circolari concentriche con raggio crescente a artire dall asse centrale del condotto che si muoono arallele all asse del condotto A causa della maggiore suerficie di contatto la forza d attrito sarà maggiore erso le areti del condotto quindi la elocità sarà maggiore erso il centro del condotto Legge di Hagen-Poiseuille: er mantenere in moimento un fluido reale con ortata Q costante, è necessario fare un laoro, occorre cioè mantenere una differenza di ressione fra i unti d ingresso e d uscita Nel caso di un condotto cilindrico orizzontale di raggio costante e lunghezza l la ortata del condotto è legata alla differenza di ressione 4 π uscita ingresso agli estremi del condotto dall equazione: Q 8 ηl Si definisce erdita di carico di un condotto la ariazione di ressione er unità di 45

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 8ηQ lunghezza del condotto 4 l π, mentre la resistenza del condotto è data da 8ηl 4 ertanto l esressione dienta Q π icordando quanto isto nel caitolo recedente er far assare un olume V entro il condotto è necessario un laoro ari a L V ed una otenza ari a P V Q t La legge di Hagen-Poiseuille è alida in regime laminare, quando cioè si uò ensare che gli strati di fluido scorrano gli uni sugli altri arallelamente senza mescolarsi L'arossimazione a regime laminare è alida nei fluidi iscosi quando la elocità è molto bassa, all'aumentare della elocità gli strati di fluido si mescolano tra loro in moto orticoso dando luogo ad un regime turbolento Per stabilire se un fluido reale in moimento ossa essere considerato in regime laminare occorre calcolare il numero di eynolds Q N doe è la elocità η π media del fluido di densità e iscosità η nel condotto cilindrico di raggio, e erificare che sia N < Per alori maggiori a il moto è sicuramente turbolento mentre er alori intermedi il regime è instabile 46

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Esemi Un fluido di densità g/cm e iscosità η P scorre in un condotto di raggio costante cm Calcolare la ortata saendo che la differenza di altezza tra le due colonne oste ad una distanza l cm è h cm h Soluzione: trattandosi di un fluido iscoso dobbiamo alicare l equazione di Hagen-Poiseuille, saendo inoltre che la differenza di ressione fra i due unti ale: gh Fig 5 Problema Q ( cm) 4 π π g/cm 98 8 ηl 8,P cm 4 cm/s cm 848cm /s 8litri/s Arossimando l'aorta di un adulto a rioso come un cilindro lungo L cm di raggio 9mm, si calcoli la caduta di ressione nel sangue quando attraersa l'aorta e la erdita di carico nell'aorta Si assuma la iscosità del sangue η 475 P e la ortata del sangue nell aorta Q 8cm /s Soluzione: la caduta di ressione si ottiene alicando l equazione di Hagen-Poiseuille (assando al sistema SI): 6 8ηLQ 8 475 Pa s m 8 m /s 459Pa Torr; 4 4 π π 9 m mentre la erdita di carico è data da oure L aorta ( ) L aorta Torr Torr/cm cm 459Pa 5 Pa/m m Calcolare la caduta di ressione e la erdita di carico in un caillare di lunghezza L cm 7 e raggio µm Si assuma la ortata olumetrica del caillare Q 4 cm /s e la iscosità del sangue η 475 P Soluzione: la caduta di ressione si ottiene alicando l equazione di Hagen-Poiseuille (assando al sistema SI): 8ηLQ 8 475 Pa s m 4 m /s Pa 4 4 π π mentre la erdita di carico è data da 6 ( m) L caillare 4 Pa m Pa/m Torr ; 47

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 oure L caillare Torr cm Torr/cm 4 Con i dati degli esercizi e erificare che la resistenza di un caillare è molto maggiore della resistenza dell'aorta: >> caillare aorta Q Q caillare aorta 5 Calcolare il numero di eynolds er il sangue che scorre con elocità media cm/s in un arteria di raggio η 475 P mm Densità del sangue a 7 Soluzione: è sufficiente alicare la definizione di N 5g/cm cm/s cm N 88 η 475 P con flusso laminare 5g/cm e iscosità 6 Calcolare il numero di eynolds nell iotesi che nell arteria dell esercizio recedente sia resente una stenosi che riduca il raggio dell arteria a ' mm Soluzione: occorre anzitutto ricalcolare la elocità media del sangue nell iotesi che la ortata dell arteria sia costante: mm ' π ' π ' ' mm è quindi alicare la definizione di N cm/s ' ' 5g/cm cm/s cm N 884 η 475 P con flusso rossimo ad essere turbolento cm/s 48

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Cenni alla Circolazione del Sangue Nel tratto dell'aorta c'è una caduta di ressione molto iccola: come i dati dell'esemio se la ressione del sangue è Torr, quando entra nell'aorta roenendo dal entricolo sinistro, essa si è ridotta di soli Torr quando il sangue arria alle arterie maggiori Ma mano a mano che il sangue rocede erso i asi iù eriferici, questi hanno ia ia raggi semre iù iccoli e quindi la caduta di ressione sarà semre maggiore Nella figura è raresentata schematicamente la ariazione di ressione del sangue nei ari distretti Vediamo dal grafico che quando il sangue entra nelle ene la ressione è di soli Torr con una caduta di ressione totale su tutto il circolo ari a: 8 6 4 aorta arterie caillari ene 4 Torr-Torr 9Torr Pa Con questi dati ossiamo calcolare la resistenza totale di tutto il sistema circolatorio aorta- 4 Pa 8 arterie - arterioli - caillari: 44 N s/m 6 Q 8 cm /s 8ηL Si noti che se la resistenza del circuito aumenta (ricordando che, questo uò 4 π aenire sia er un aumento della iscosità η che er una diminuzione del raggio del condotto) allora, er mantenere normale il flusso di sangue, la ressione sanguigna dee aumentare (iertensione) con conseguente aumento del laoro richiesto al cuore Infatti, ossiamo dimostrare semlicemente che il laoro fatto dal cuore diende dalla ressione sanguigna, calcolando la otenza siluata dal cuore La otenza uò essere esressa come rodotto della elocità media con cui il sangue esce dal cuore er la forza media esercitata dal cuore sul sangue quando iene omato fuori e la forza come rodotto della ressione esercitata dal cuore er la sezione S dell'aorta: P Fmedia S media Q da cui si ede chiaramente che il laoro fatto dal cuore in s cresce al crescere della ressione sanguigna Si erifichi che in un adulto con Torr e Q 8cm /s si ha P W 49

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Lo Sfigmomanometro La ressione del sangue si misura con un manometro Lo strumento tradizionale è un manometro a mercurio collegato ad un bracciale che uò essere gonfiato con aria utilizzando un aosita ometta di gomma Il bracciale iene aolto intorno all aambraccio, all altezza del cuore altrimenti bisognerebbe tener conto della correzione idrostatica douta alla legge di Steino Si oma aria in modo che il bracciale, gonfiandosi, ada a comrimere l arteria brachiale fino a bloccare comletamente il flusso di sangue nell arteria del braccio: in questo momento la ressione dell aria nel bracciale è sicuramente maggiore della ressione sistolica (ressione massima) Successiamente l aria iene lasciata uscire molto lentamente, azionando un aosita alola, mentre con uno stetoscoio si ascolta il rumore di quando il sangue rirende a circolare nell arteria Il rimo rumore si aerte quando la ressione nel bracciale è uguale alla ressione sistolica: in condizioni di massima ressione un o di sangue riesce a assare anche attraerso l arteria schiacciata (sezione iccola elocità grande moto turbolento rumore) Il disliello della colonna di mercurio (in mm Hg) al rimo rumore fornisce ertanto una misura della ressione massima (sistolica) Si fa uscire altra aria dal bracciale fino a quando il rumore cessa erchè il flusso sanguigno è tornato al regime laminare; il disliello del mercurio nell istante in cui cessa il rumore raresenta la resisone minima (diastolica) 5

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Il Moto dei Cori nei Fluidi eali Vediamo ora l effetto della iscosità sul moto di un coro all interno di un fluido reale La forza di Stokes è la forza che un fluido reale di iscosità η oone ad un coro in moimento con elocità in regime laminare Questa forza diende dalle dimensioni e dalla forma del coro: nel caso in cui il coro abbia forma sferica con raggio r ale: F S 6πrη Questa relazione è alida solo se il moimento non crea turbolenze nel fluido oero se il numero di eynolds in questo caso definito come r N è η minore di Se N > il moto è sicuramente turbolento e F S, mentre er alori intermedi il regime è instabile Inoltre questa forza, essendo una forza d attrito, sarà semre diretta nel erso oosto alla elocità del coro Conseguenza diretta è la sedimentazione Immaginiamo dei coruscoli di forma sferica di densità in sosensione in un liquido di densità ' Le forze cui sono soggetti sono inizialmente forza eso e sinta di Archimede la cui somma, riolta erso il basso, genera un moto accelerato che orta il coruscolo a scendere erso il fondo A causa dell aumento della elocità la forza di Stokes, inizialmente nulla, cresce d intensità fino ad equilibrare le rime due A questo unto la risultante delle forze è nulla e la elocità del coruscolo raggiunge il alore limite fissato dal Primo Princiio della r Dinamica: F P F F Vg Vg 6πrη da cui si ricaa la relazione s A ( ) V g equialente a 6πη r s ( ) s r g s doe si è usato 9η l esressione del olume della sfera V 4 r π Lo stesso rinciio uò essere usato er la centrifuga Immaginiamo dei coruscoli di forma sferica in sosensione in un liquido osto in una roetta in rotazione intorno ad un asse erticale con elocità angolare ω In questo caso, trascurando la forza eso, si uò dimostrare che il coruscolo in sosensione ad una distanza dall asse di 5

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 rotazione è soggetto ad una forza centrieta F C Vω ed alicando il Primo Princiio della Dinamica si ottiene: F C F Mω Vω 6πr η Vω s s ( ) V ω s 6 πrη simile alla elocità di sedimentazione nel camo graitazionale doe al osto di g si dee sostituire l accelerazione centrieta ω 5

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Esemi 4 Arossimando un globulo rosso ad una sferetta di raggio r cm e densità kg/m, determinare il temo necessario affinché si abbia un sedimento di mm nel lasma ( kg/m ) alla temeratura T 7 C (coefficiente di iscosità η 4 Pa s ): a) nel camo graitazionale, b) in una centrifuga in cui l accelerazione è 5 a g Soluzione: lo sessore s del sedimento è funzione della elocità di sedimentazione s e del V ( ) g temo t secondo la formula s st Nel caso a) aremo s er cui: 6πη r s 6πηrs 9 4 Pa s m t 5s 4 4 cm kg/m kg/m 98 m/s, πr g s ( ) ( ) ( ) ( ) V ω V a mentre nel caso b) aremo s da cui 6 πrη 6 πrη πη rs 9 4 Pa s m t 4 ( ) 4 cm ( kg/m kg/m ) πr a 6 5 5 98m/s s Una sfera d alluminio di densità 7 kg/m cade in un reciiente contenente olio lubrificante ( kg/m e η 6Pa s ) raggiungendo la elocità limite cm/s Determinare il raggio r della sfera e erificare che il moto è laminare calcolando il numero di eynolds ( ) V g Soluzione: la elocità limite della sfera è data dell esressione s, il olume è 6πη r 4 legato al raggio della sfera da V πr, er cui il raggio della sfera ale r ( ) g ( 7 kg/m kg/m ) 9 6Pa s m/s 9η s 44 98m/s sr kg/m m/s 44 m infine N 44 η 6Pa s m Dimostrare che in una centrifuga le articelle in sosensione nel liquido di densità sono soggette alla forza centrieta F C Vω Soluzione: basta osserare che se al osto delle articelle ci fosse un ari olume di liquido, questi rimarrebbe in rotazione alla distanza Affinché questo aenga è necessaria la resenza di una forza centrieta il cui modulo soddisfi a F C Vω Poiché questa forza è esercitata dal resto del fluido non diende da cosa occua il olume V, ertanto inserendo ora la articella questa subirà la stessa forza centrieta 5

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 I Fenomeni di Suerficie dei Liquidi Per caire l'imortanza di questi fenomeni in biologia, basta considerare che gli scambi di energia e materia di una cellula con l'ambiente esterno aengono attraerso la sua suerficie Questi fenomeni dientano molto imortanti quando il raorto suerficie olume è molto grande, come ad esemio nei olmoni, doe l'eliminazione di anidride carbonica e l'aorto di ossigeno al sangue aiene attraerso la suerficie degli aleoli olmonari er diffusione, rocesso molto lento, che ertanto richiede una suerficie di contatto (membrana aleolare) molto estesa, circa 7 m (contro i m della suerficie del coro umano) Le suerfici di searazione fra mezzi diersi - ad esemio tra due liquidi non miscibili o tra un liquido e un gas - ossiedono articolari rorietà che danno luogo ad effetti detti fenomeni di suerficie Questi sono essenzialmente dei fenomeni molecolari douti alle forze di coesione (forze di attrazione che esistono fra le molecole e che agiscono entro un raggio di azione dell'ordine di 9 m ) Consideriamo er esemio due molecole oste in un liquido in osizione diersa risetto alla suerficie di searazione liquido-aria, come riortato in figura 6: quella immersa in rofondità nel liquido () è soggetta alle forze attrattie da arte di tutte le altre molecole che la circondano e che si troano dentro la sfera il cui raggio è ari al raggio d azione della forza di coesione Poiché queste forze sono esercitate da tutte le direzioni ed Fig 6 Effetto di suerficie Le molecole considerate nel testo si troano al centro dei circoletti hanno in media la stessa intensità, la risultante è nulla e la molecola uò muoersi liberamente all interno del olume Nei ressi della suerficie (), inece, enendo a mancare una arte del liquido che circonda la molecola la forza di attrazione esercitata dalle molecole contenute nella arte grigia del olume non è iù comensata 54

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 e l effetto è una forza che attira la molecola erso l interno Per questo motio, tutte le molecole che si troano nello stato suerficiale del liquido, di sessore ari al diametro della sfera d'azione della forza di coesione, sono soggette ad una forza che tende a mantenerle nel liquido Poiché questa forza attrattia F agisce su tutta la suerficie S del liquido, ossiamo definire una ressione suerficiale come F s S In altre arole, a causa delle forze di coesione e della suerficie di searazione liquido-aria, il liquido iene a troarsi in uno stato di comressione Volendo aumentare la suerficie libera di un liquido sarà necessario far assare un certo numero di molecole dall'interno alla suerficie, incendo le forze di attrazione esercitate dalle altre molecole; occorre quindi comiere un laoro che si traduce in aumento di energia del sistema Questo meccanismo ci fa caire come l'aumento di suerficie libera di un liquido non ossa mai aenire sontaneamente Al contrario, la tendenza sontanea di un liquido è di ridurre la roria suerficie libera In articolare, una goccia tende ad assumere la forma sferica (trascurando la graità) erchè questo è il solido che resenta la minore suerficie a arità di olume contenuto ed alla suerficie minore comete un'energia minore Possiamo quindi immaginare l'energia totale che ha un liquido come formata da due arti, un'energia di olume E V legata all'energia delle molecole interne ed un'energia suerficiale E S che, come abbiamo isto, diende solo dalla suerficie del liquido, ertanto ossiamo scriere: E E E E τ S tot V S V La costante di roorzionalità τ fra l'energia richiesta e l'aumento di suerficie ottenuto, è detta tensione suerficiale del liquido ( J m 55 ) e descrie la rorietà del liquido di assumere la configurazione con suerficie minima, che nel caso di assenza di graità corrisonde ad una sfera Possiamo arriare ad un'altra definizione della tensione suerficiale τ analizzando il seguente eserimento che ci ermette di misurare l intensità delle forze di coesione Immaginiamo di aere un telaio di filo metallico di forma rettangolare con un lato AB

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 mobile, di lunghezza l, che è stato immerso in un liquido e ertanto trattiene una lamina liquida, come illustrato in A figura 7 Per aumentare la suerficie del elo di liquido attaccato al telaio è necessario alicare una forza F r l B F che, er esemio, sosti di un tratto x il lato AB Il laoro fatto in questo caso, assumendo la direzione della Fig 7 Effetto della tensione suerficiale forza arallela allo sostamento, sarà L Fx e l'aumento di suerficie S lx, doe il fattore tiene conto che il elo di liquido ha due facce Dalla definizione della tensione suerficiale si ricaa energia L F τ da cui suerficie S l si ede che la tensione suerficiale si uò anche interretare come quella forza er unità di lunghezza che tiene uniti i bordi di un immaginario taglio di lunghezza unitaria della lamina ( N m ) Come si uò edere nelle tabelle in fondo al aragrafo la tensione suerficiale diende dal liquido e, er uno stesso liquido, diende dalla temeratura (all'aumentare della temeratura τ diminuisce erché diminuisce l'intensità delle forze di legame) e dal mezzo con cui il liquido è a contatto Si chiamano tensioattii (saone, alcool, ecc) quelle sostanze che, se aggiunte ad un liquido, hanno la rorietà di concentrarsi sullo strato suerficiale di liquido e ertanto, non essendo attratte con forza dalle molecole del liquido sottostante, ne abbassano la tensione suerficiale La caacità di un tensioattio di ridurre la tensione suerficiale diende dalla sua concentrazione La tensione suerficiale comare in dierse rorietà delle suerfici: - lungo i bordi estremi della suerficie (er esemio a contatto coi bordi del reciiente) agisce una forza arallela alla suerficie, erendicolare alla linea di contatto e d intensità F τl doe l è la lunghezza della linea di contatto; - legge di Lalace: se la suerficie di un liquido è cura (bolla d'aria in acqua o goccia di liquido in aria, er esemio), la risultante delle forze doute alla tensione suerficiale determina una differenza di ressione fra l'interno del liquido e 56

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 l'ambiente esterno con > int est (ossiamo ensare che sia questa soraressione interna che mantiene la bolla) Chiamiamo ressione di contrattilità la differenza di ressione c int est e si uò dimostrare che questa ressione c è direttamente roorzionale alla tensione suerficiale τ ed inersamente roorzionale al raggio di curatura In articolare: - er una qualunque suerficie sferica (goccia) c τ (er una suerficie iana sarà, mentre er una sfera di raggio infinitamente iccolo ) c c - er una suerficie cilindrica c τ - er una bolla (in cui si hanno suerfici sferiche di searazione: quella interna aria int/liquido e quella esterna liquido/aria est) c 4τ (questo ci siega, er esemio, erché le bolle di acqua saonata resistono di iù, mentre le bolle di acqua ura si romono subito, dato che τ < τ ) acqua saonata acqua ura L'esressione generale della legge di Lalace è data er ogni unto della suerficie da τ c doe e sono i raggi di curatura calcolati lungo due direzioni qualsiasi ortogonali fra loro, della suerficie che delimita una massa liquida Per esemio nel caso della suerficie sferica si arà semre lo stesso alore, mentre nel caso della suerficie cilindrica uno dei due raggi di curatura sarà La legge di Lalace ale anche er membrane elastiche sottooste a due effetti antagonisti, una ressione interna int e una ressione esterna est In articolare er un aso sanguigno, alicando la legge di Lalace alida er una suerficie cilindrica, si ottiene τ che in questo caso rende il nome di tensione elastica Si confrontino i c alori er l'aorta e er un caillare, consultando le tabelle in fondo al aragrafo Fenomeni alla suerficie di searazione fra sostanze dierse Quando si deosita una goccia di liquido su una suerficie solida, il liquido uò sargersi sulla suerficie (come aiene er esemio er l'acqua) o uò rarendersi tendendo a formare una 57

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 goccia (er esemio il mercurio) Questo dierso comortamento diende dalle intensità relatie delle forze di coesione (forze che le molecole del liquido esercitano fra loro) e di adesione (forza che la a a suerficie solida esercita sulle molecole del liquido) Una goccia d'acqua, come si dice, tende a bagnare la suerficie distendendosi sulla suerficie, mentre una Fig 8 Effetto della tensione suerficiale in resenza di areti goccia di mercurio no Analogamente, er un liquido contenuto in un reciiente, l'angolo di raccordo fra la suerficie del liquido e il reciiente è determinato dalle forze di coesione e da quelle di adesione In figura 8 sono mostrati due esemi in cui, a sinistra, le forze di adesione sono maggiori di quelle di coesione (il liquido bagna la suerficie oero menisco concao, con angolo di contatto acuto) e iceersa, a destra, sono le forze di coesione a redominare (menisco conesso, angolo di contatto ottuso) In entrambi i casi, alla suerficie di searazione liquido-aria, ci sarà una diersa ressione fra l'interno e l'esterno del liquido e si genererà una ressione di contrattilità regolata dalla legge di Lalace Acqua-etro Esemi di a Acqua-araffina Mercurio-etro 48 Trementina-etro 7 Cherosene-etro 6 58

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Fenomeni di caillarità: quando un tubo di etro di sezione molto iccola (caillare) iene arzialmente immerso in un liquido, a seconda delle due situazioni descritte in recedenza (menisco concao o conesso), si rodurrà nel caillare un innalzamento o un abbassamento del liquido, risetto al liello del liquido all'esterno h La legge di Jurin ci ermette di calcolare di quanto il liquido nel caillare si innalza (o si abbassa) Consideriamo Fig 9 Effetto di caillarità un tubicino immerso in un liquido e con un raggio sufficientemente iccolo affinché la suerficie libera del liquido (menisco) sia una semisfera di raggio, oero che formi nel unto di contatto con il caillare, un angolo α Analizziamo il caso di un liquido che bagna la suerficie, er cui er quanto detto rima si arà un innalzamento h del liquido nel caillare Per la legge di Lalace, a causa della curatura nel unto ci sarà una differenza di ressione fra l'interno della semisfera (alla ressione atmosferica) e l'esterno della semisfera ari a τ τ, cioè ertanto nel unto ci sarà una ressione minore risetto a quella atmosferica ari a τ e quindi il liquido salirà fino ad una altezza h Poiché dee alere la legge di Steino e anche nel unto c'è la ressione atmosferica, dorà essere τ gh, e quindi gh da cui si ricaa h τ g Si uò dimostrare che er un angolo α qualsiasi la legge di Jurin dienta h τ cos α g da cui si ede er α 9 (er esemio mercurio) si ha h < (abbassamento) 59

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 TABELLE Tensione suerficiale t Tensione suerficiale t dell acqua s temeratura Sostanza a C (dine/cm) C (dine/cm) Mercurio 476 756 Acqua 78 74 Glicerina 645 78 Acqua saonata 5 8 66 Benzolo 89 589 Alcool etilico 4 58 Etere etilico Salia 8 Tensione elastica nei asi sanguigni Vasi (cm) Pressione (Torr) Tensione (N/m) Vena caa 6 Aorta 7 Piccole arterie 5-6 Caillari arteriosi 4-4 4 Vene - 5 6 Tensioni interfacciali t Sostanza (dine/cm) Etere-aria 7 Acqua-aria 78 Acqua-olio Olio-aria Benzina-aria 9 Acqua-benzina 4 Acqua-mercurio 47 Mercurio-aria 476 6

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Esemi Determinare il raggio minimo di una goccia d acqua che si uò formare senza eaorare (si assuma la tensione di aore dell acqua ari a Pa e la tensione suerficiale dell acqua τ 7 N/m ) τ Soluzione: la ressione di contrattilità c della suerficie sferica della goccia d acqua, che tende a contenere le molecole d acqua nella goccia, dee contrastare la tensione di aore che singe le molecole a staccarsi dalla goccia, er cui τ 7 N/m 5 7 V Pa m V c V Un dischetto di metallo di raggio r cm e sessore h mm galleggia sull acqua contenuta in un bicchiere Nell iotesi che le suerfici del dischetto siano erfettamente lisce, determinare la massima densità del dischetto affinché lo stesso ossa galleggiare sull acqua (si assuma la tensione suerficiale dell acqua τ 7 N/m ) Soluzione: la ressione esercitata dal eso del dischetto deformerà la suerficie dell acqua in modo che la stessa eserciti lungo il bordo di contatto tra dischetto e suerficie (circonferenza del dischetto), una forza arallela alla suerficie e roorzionale alla tensione suerficiale F πrτ, la cui comonente erendicolare equilibra il eso del dischetto Nelle condizioni di massimo sforzo la suerficie di contatto dienterà erendicolare er cui la forza F eguaglierà la forza eso πrτ mg πr hg doe abbiamo esresso la massa attraerso la densità m V πr h La massima densità ale: τ 7 N/m 7 kg/m rhg m m 98m/s Questo esemio ci ermette di caire come, grazie alla tensione suerficiale, iccoli oggetti (foglie, fiori, insetti) ossano essere sostenuti sulla suerficie di un liquido senza immergersi e come alcuni insetti ossano camminare sull'acqua F r Fig Problema 6

MT, MTT Aunti di Fisica er Scienze Biologiche Vers 4 /9/5 Un ragazzino, soffiando in una soluzione saonata di tensione suerficiale τ 5 N/m, forma una bolla di saone di raggio 4cm Calcolare: a) la differenza di ressione fra interno e l'esterno della bolla; b) il laoro fatto dal ragazzino er gonfiare la bolla di saone Soluzione: a) dalla legge di Lalace la ressione di contrattilità di una bolla è data da c 4τ 4 5 4 76 Pa E b) icordando la definizione di tensione suerficiale come τ ossiamo ricaare il laoro S come aumento di energia in seguito all'aumento della suerficie della bolla L'aumento di suerficie è dato da (si noti il fattore ) 4 4 S 4π 4π 4 - m 49 ( ) ( ) m ertanto 4 L τ S 5 N/m 49 m µ J 4 Determinare l innalzamento douto alla caillarità in un tubo di etro di diametro d 4 cm con un estremo immerso in acqua Si assuma l angolo di raccordo sia uguale a zero e che la tensione suerficiale dell acqua sia τ 7 N/m τ Soluzione: l altezza raggiunta dall acqua nel caillare è data dall esressione gh τ 7 N/m h 76m 5 g d kg/m 98m/s 5 4 m Da questo risultato si caisce come la caillarità ci ermetta di siegare fenomeni come la salita della linfa nelle iante o la salita dei liquidi in sostanze orose 6