INTERVALLI DI NUMERI SULL ASSE DEI NUMERI REALI ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 1 -
Esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti di una retta: Ad ogni punto P della retta possiamo far corrispondere uno e uno solo numero reale x. Sulla retta si fissano: un punto O, origine (lo zero 0) O 0 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 2 -
un verso di percorrenza (solitamente da sinistra verso destra) O 0 una unità di misura u. O 0 U 1 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 3 -
Ad ogni punto P della retta possiamo far corrispondere uno e uno solo numero reale x. Se P segue O, x sarà la misura del segmento OP rispetto all'unità di misura u; se P precede O, x sarà il valore opposto della misura precedente. Se P coincide con O, x varrà zero. P - x O U P 0 1 x ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 4 -
la retta trasformata in questo modo è la RETTA DEI NUMERI REALI o retta reale o anche ASSE REALE P - x O U P 0 1 x Retta reale ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 5 -
In un sistema di assi cartesiani L asse delle ascisse (asse delle x) è l asse reale ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 6 -
INTERVALLI di numeri sull asse reale Avevamo già incontrato intervalli di numeri sull asse dei numeri reali studiando le disequazioni di II grado (ax 2 + bx + c > 0 e simili); per poter risolvere la disequazione è necessario risolvere preliminarmente l equazione associata ax 2 + bx + c = 0 Le soluzioni x 1 e x2 di un equazione di II grado ax 2 + bx + c = 0 dividono l asse dei numeri reali in tre intervalli x < x1 x1 x1 < x < x2 x2 x > x2 R x ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 7 -
Esempio Le soluzioni x 1 = 2 e x2 = 3 dell equazione di II grado x 2 5x + 6 = 0 dividono l asse dei numeri reali in tre intervalli x < 2 2 3 2 < x < 3 x > 3 R x ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 8 -
Consideriamo l intervallo formato dai numeri a e b 0 a b Retta reale x centro b a 2 raggio b a 2 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 9 -
Esercizi: 1. dopo averli riportati sulla retta reale, calcolare raggio e centro dei seguenti intervalli: a. 7; 18 b. 36; 11 c. 3; 13 d. 8; 19 e. 3 2 ; 7 3 f. 3 2 ; 5 3 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 10 -
Presi due qualunque numeri reali a e b con a < b (a e b sono detti estremi dell intervallo), si possono definire i seguenti intervalli: 1. INTERVALLO LIMITATO APERTO (gli estremi non fanno parte dell intervallo); si può indicare nei seguenti modi a<x<b oppure ]a;b[ a b Retta reale x ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 11 -
Esempio di Intervallo limitato aperto Consideriamo la funzione f(x) = 1, il dominio è 9 x2 x R; 3 < x < 3 (questo è un intervallo limitato e aperto) la funzione non è definita negli estremi dell intervallo, infatti: f( 3) e f(3) non esistono perché si otterrebbe in tutte e due i casi f(3) = reali!!!! 1 9 (3) 2 = 1 0 operazione non definita nell insieme dei numeri f( 3) = numeri reali!!!! 1 = 1 9 ( 3) 2 0 operazione non definita nell insieme dei ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 12 -
Grafico della funzione f(x) = 1 9 x 2 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 13 -
2. LIMITATO CHIUSO (gli estremi fanno parte dell intervallo); si può indicare nei seguenti modi a x b oppure [a;b] a b Retta reale x Esempio di Intervallo limitato chiuso Consideriamo la funzione f(x) = 16 x 2, il dominio è x R; 4 x 4 (questo è un intervallo limitato e chiuso) anche gli estremi dell intervallo fanno parte del dominio della funzione: f( 4) = 0 e f(4) = 0 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 14 -
Grafico della funzione f(x) = 16 x 2 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 15 -
3. APERTO A SINISTRA (l estremo a non appartiene all intervallo); si può indicare come a < x b oppure ]a;b] a Esempio di Intervallo aperto a sinistra b Retta reale x Consideriamo la funzione f(x) = 2 x x+1, il dominio è x R; 1 < x 2 (questo è un intervallo aperto a sinistra ) x= 1 non appartiene al dominio della funzione, infatti f( 1) = 3 0 ; x=2 appartiene al dominio della funzione, infatti f(2) = 0 3 = 0 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 16 -
grafico della funzione f(x) = 2 x x+1 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 17 -
4. APERTO A DESTRA (l estremo b non appartiene all intervallo); si può indicare come a x< b oppure [a;b[ a Esempio di Intervallo aperto a destra Consideriamo la funzione f(x) = x+5 5 x, il dominio è x R; 5 x< 5 (questo è un intervallo aperto a destra ) b Retta reale x x=5 non appartiene al dominio della funzione, infatti f(5) = 10 0 non è definito nell insieme dei numeri reali; x= 5 appartiene al dominio della funzione, infatti f( 2) = 0 10 = 0 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 18 -
Grafico della funzione f(x) = x + 5 5 x ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 19 -
INTERVALLI ILLIMITATI 5. Intervallo chiuso illimitato superiormente x x R, x a oppure a, a Retta reale x Esempio Il dominio della funzione f(x) = x 3 è un intervallo chiuso illimitato superiormente x R; x 3 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 20 -
Grafico della funzione f(x) = x 3 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 21 -
6. Intervallo aperto illimitato superiormente x x R, x a oppure a, a Retta reale x Esempio Il dominio della funzione f(x) = superiormente x R; x > 2 1 x+2 è un intervallo aperto illimitato x = 2 non appartiene al dominio della funzione, infatti f( 2) = 1 2+2 = 1 0 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 22 -
Grafico della funzione f(x) = 1 x+2 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 23 -
7. Intervallo aperto illimitato inferiormente x x R, x a oppure,a a Retta reale x Il dominio della funzione f(x) = inferiormente, x R; x <3 1 3 x è un intervallo aperto illimitato x = 3 non appartiene al dominio della funzione, infatti f(3) = 1 3 3 = 1 0 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 24 -
Grafico della funzione f(x) = 1 3 x ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 25 -
8. Intervallo chiuso illimitato inferiormente x x R, x a oppure,a a Retta reale x Il dominio della funzione f(x) = 5 x è un intervallo chiuso illimitato inferiormente, x R; x 5 x = 5 appartiene al dominio della funzione, infatti f(5) = 5 5 = 0 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 26 -
Grafico della funzione f(x) = 5 x ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 27 -
Esercizi - domande 1. dopo averli riportati sulla retta reale, calcolare raggio e centro dei seguenti intervalli: a. 17; 8 b. 36 4 ; π 2 c. 13; 3 3 d. 18; 19 3 2. Un insieme E, sottoinsieme di R è illimitato superiormente; cosa significa? 3. Cosa significa dire che l insieme dei numeri reali R è denso? ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 28 -
4. Scrivi due funzioni che abbiano come dominio (almeno due per intervallo) un a. intervallo limitato aperto b. intervallo limitato chiuso c. intervallo aperto a sinistra d. intervallo aperto a destra 5. traccia il grafico della funzione f(x) = 5 3 x 2 un intervallo limitato aperto? Se la risposta è si, scrivi il dominio. 6. Traccia il grafico della funzione f(x) = x+4 x 7 : ; questa funzione ha come dominio a. è giusto dire che questa funzione ha un dominio formato da due intervalli numerici della retta reale? b. Quali sono questi intervalli? ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 29 -
c. Aiutandoti col grafico, dire se, per questa funzione esistono il Lim x+4 x 7 x 7 e Lim x+4 x 7 + x 7 ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 30 -