Problema 1. La Pico & Pallo c, impresa che esegue il motaggio e la saldatura di compoeti su circuiti stampati per coto terzi, acquista la lega di saldatura i ligotti da 0,5 kg da u foritore al prezzo di 5,00 ciascuo. U gioro riceve u offerta da u poteziale uovo foritore che offre ligotti da 1 kg al prezzo di 9,80 ciascuo. L ig. Pico è etusiasta della possibilità di otteere u risparmio del % sul costo della materia prima, ma l ig. Pallo teme che i ligotti offerti siao più leggeri di quato dichiarato. Essi decidoo di codurre u test statistico per verificare se è possibile escludere, co ua fiducia del 99%, l ipotesi che il peso medio della popolazioe dei ligotti sia miore di 0,98 kg. Prelimiarmete viee defiita ua variabile casuale che assume valori pari al valore della massa di ciascu ligotto misurata i kg. Viee quidi acquistato u campioe composto da 5 ligotti, misurata la massa di ciascu ligotto e rilevati i segueti valori per gli stimatori campioari della : media campioaria 0,986; deviazioe stadard campioaria corretta 0,00. i chiede al cadidato di valutare se sia effettivamete possibile rifiutare l ipotesi pricipale co la fiducia prefissata motivado le decisioi assute ello svolgimeto del problema. Risoluzioe Riassuto dati problema La variabile casuale assume valori pari al valore della massa di ciascu ligotto misurata i kg Ipotesi pricipale: H 0 : µ < µ 0 0,98 Fiducia richiesta al test: 99% pertato α 0,01 Numerosità del campioe 5 No coosco la variaza della popolazioe ed il campioe ha solo 5 elemeti volgimeto 1) Dato che la variaza della popolazioe è scoosciuta e viee stimata tramite il campioe che ha solo 5 elemeti o posso usare la distribuzioe ormale come distribuzioe della media campioaria. ) Come statistica uso quidi la variabile casuale T "t di tudet" co 4 gradi di libertà. 0 che segue ua distribuzioe 3) I dati ricavati dal campioe di 5 elemeti soo i segueti: 0,986 ; 0, 00. 4) Dato che l'ipotesi pricipale è del tipo "µ < µ 0 " eseguo u test uilaterale (1 sola coda) cosiderado il solo valore critico superiore.
5) Dalla tabella della t di tudet ricavo il valore critico t csup,49. 6) tabilisco la regioe di rifiuto della H 0 : T >,49. 7) Determio il valore t della T corrispodete ai valori del campioe: T 0,986 0,98 0,006 0 t 5 3 5 15 0,00 0,00 5 8) Il valore t della T corrispodete ai valori del campioe cade ella regioe di rifiuto della ipotesi pricipale H 0. Co ua fiducia del 99% soo autorizzato a egare che la ipotesi pricipale µ < µ 0 0,98 possa essere vera: l'offerta del uovo foritore sembra quidi vataggiosa. Problema. La pie multiple pa acquista gli spiotti co cui costruisce le spie da u foritore estero ad u prezzo di 0,10 ciascuo: gli spiotti hao u diametro di 4,00 mm co ua tolleraza di ± 0,15 mm ed il foritore esegue i proprio u cotrollo dimesioale che rede ullo lo scarto di pie multiple pa. Lo stesso foritore offrirebbe u prezzo di 0,09 per ciascuo spiotto forito (ache per quelli fuori tolleraza) qualora o eseguisse il cotrollo dimesioale. Per cosetire a pie multiple pa di valutare la coveieza dell offerta cosega ua campioatura di 100 spiotti che vegoo misurati dal "Laboratorio Prove" di pie Multiple pa co questi risultati: diametro (mm) frequeza 3,60 1 3,70 3,80 5 3,90 11 4,00 63 4,10 9 4,0 6 4,30 4,40 1 i chiede di idividuare per la popolazioe degli spiotti, dopo aver defiito ua opportua variabile casuale: 1) l itervallo di cofideza al 95% della variaza; ) la percetuale di spiotti che risulta fuori tolleraza ; 3) la foritura ecoomicamete più coveiete per la pie multiple pa.
Risoluzioe Riassuto dati problema Il problema viee codotto co riferimeto alle azioi di "pie multiple pa" (vedi ache ultima domada) Defiisco ua variabile casuale assume valori pari al valore del diametro di ciascuo spiotto misurata i mm. volgimeto Domada 1. - Determiazioe dell'itervallo di cofideza al 95% per la variaza. Calcolo il valore dello stimatore media campioaria 100 1 4,00 x j 100 j 1 e quello dello stimatore variaza campioaria corretta: Defiisco quidi ua variabile χ 100 1 ( x j ) 0,0133 99 j 1 χ ( 1) σ di cui coosco la distribuzioe che risulta essere di tipo "chi quadro co -1 gradi di libertà" Determio quidi l'itervallo di cofideza per la variaza: ( 1) χ Q sup σ ( 1) χ Q if co i valori dei quatili critici della chi quadro approssimati liearmete dalla tabella: χ Q 73, e χ Qsup 18, 4 if ( NOTA: i valori rigorosi dei due quatili della χ co 99 g.d.l. soo: 73,361 e 18,4 ) ostituedo si ricava quidi: 99 0,0133 99 0,0133 0,010 σ 0,018 18,4 73, da cui si può affermare che l'itervallo di cofideza al 95% è: [0,010 ; 0,018]
Domada Determiazioe della percetuale di spiotti che risulta fuori tolleraza Per valutare la percetuale di spiotti che risulta fuori tolleraza è ecessario cooscere la distribuzioe della variabile per l'itera popolazioe. Dalla coosceza della distribuzioe della sarà poi possibile determiare quale frazioe risulti estera all'itervallo della tolleraza ammessa ( 4,00 mm ± 0,15 mm ). Per prima cosa ipotizzo che la abbia distribuzioe ormale, co media pari al valore idividuato dallo stimatore media campioaria. Per quato riguarda il valore della variaza σ della seguiamo due strade alterative: ua di primo approccio ed ua successiva più corretta. Primo approccio Come valore di primo approccio per la variaza σ della utilizzo il valore del suo stimatore variaza campioaria corretta. Costruisco quidi ua variabile casuale Z: 100 1 ( x j ) 0,0133 99 j 1 Z che risulta essere ua variabile ormale stadardizzata. ostituedo i questa i valori del limite superiore di tolleraza, della media campioaria e della deviazioe stadard campioaria corretta 4,15 4,00 0,15 z c sup 1,30 0,0133 0,115 idividuo il valore critico z c sup della Z i corrispodeza del limite di tolleraza superiore. Dovrei ripetere i calcoli per idividuare il valore critico iferiore z c if, ma posso evitarlo ricordado che la distribuzioe della Z è simmetrica rispetto allo zero. La probabilità di trovare u valore della Z superiore a z c sup è (da tabella) circa il 9,7% (a rigore 0,0968 i deve pertato attedere u valore tipico delle scarto pari al 19,4% per spiotti fuori tolleraza!!! Approccio rigoroso Il valore dello scarto che è stato appea idividuato può modificarsi a causa della aleatorietà co cui viee estratto il campioe e, coseguetemete, della aleatorietà co cui viee determiato il valore della variaza campioaria corretta. appiamo però che, co ua affidabilità del 95%, possiamo affermare che il valore (icogito) della variaza σ della per l'itera popolazioe è compreso ell'itervallo di cofideza idividuato ella risposta alla domada 1. Possiamo quidi valutare l'itervallo di cofideza al 95% per lo scarto: questo itervallo ci forirà ua idicazioe di quelli che possoo essere i valori del miimo e del massimo scarto che si potrà avere ella realtà, ovviamete co la cofideza del 95%. Idichiamo co σ if e σ sup rispettivamete l'estremo iferiore e l'estremo superiore dell'itervallo di cofideza per la variaza determiato ella risposta alla domada 1:
σ if 0,010 e σ sup 0,018 Costruisco poi ua variabile casuale Z: Z σ che risulta essere ua variabile ormale stadardizzata e e valuto i valori critici superiori i corrispodeza dei valori dei limite di tolleraza, della media campioaria e dei valori estremi della deviazioe stadard campioaria corretta z z csup1 csup limite σ limite σ if sup 4,15 4,00 0,010 4,15 4,00 0,018 0,15 0,1 0,15 0,13 1,5 1,11 Utilizzo il primo valore critico per valutare il limite iferiore dello scarto ed il secodo per valutare il limite superiore dello scarto: c c ( Z < z Z > z ) csup1 ( Z < 1,50 Z > 1,50) ( Z < z Z > z ) c c csup csup1 csup 0,0668 0,1336 ( Z < 1,11 Z > 1,11) 0,1335 0, 670 Tramite l'approccio rigoroso si è potuto determiare che ci si può attedere uo scarto variabile fra il 13,3% ed il 6,7% a causa di spiotti fuori tolleraza. Domada 3 Determiazioe della foritura ecoomicamete più coveiete per la pie multiple pa" Allo stato attuale il cotratto di foritura prevede u costo etto di 0,10 per ogi spiotto etro la tolleraza. La alterativa che viee proposta a "pie multiple pa" prevede ua riduzioe del prezzo uitario degli spiotti del 10%, ma sarao pagati ache gli spiotti da scartare perché fuori tolleraza. Come si è calcolato ella risposta alla domada, lo scarto miimo da prevedere sarà superiore al 13% pertato, ache co l'approccio più ottimistico, la uova soluzioe o è coveiete. Nel caso di valutazioe pessimistica dello scarto (6,7%) la uova soluzioe provocherebbe u aumeto del costo equivalete (C.E.) dello spiotto etro tolleraza così valutabile: 0,09 0,09 C.E. 0,1 1 0,67 0,733 La soluzioe ecoomicamete più coveiete per la "pie multiple pa" è quella già i essere, cioè quella per cui si acquistao solo spiotti già verificati pagadoli 0,10 l'uo.
Problema 3. U impresa che costruisce strumeti elettroici acquista da u foritore dei codesatori elettrolitici co capacità di 0 ±5 µf. Dopo qualche tempo l Ig. Tizio, Resposabile dell Ufficio acquisti, ha l impressioe che vi sia ua sistematica dimiuzioe della capacità dei codesatori foriti e matura la covizioe che il foritore abbia i magazzio ua partita di codesatori difettosi co capacità iferiore a quella omiale al miimo della fascia di tolleraza. (NOTA: si è modificato i questo modo il testo per maggiore chiarezza) L Ig. Tizio si rivolge quidi all Ig. Caio, del Laboratorio misure e prove, ed i due decidoo di codurre u test statistico allo scopo di verificare la possibilità di cotestare la foritura co ua fiducia del 99%. Dopo aver defiito ua variabile casuale che assume, per ciascu codesatore, valore pari alla capacità del codesatore misurata i microfarad (µf ) Caio preleva u campioe composto da 16 codesatori, misura la capacità di ciascu codesatore e rileva i segueti valori per gli stimatori campioari della : media campioaria 1; deviazioe stadard campioaria corretta 0,8. i chiede al cadidato di defiire u'idoea ipotesi pricipale e di valutare se sia effettivamete possibile rifiutare la foritura co la fiducia prefissata. Risoluzioe Riassuto dati problema La variabile casuale assume valori pari al valore della capacità di ciascu codesatore misurata i µf Fiducia richiesta al test: 99% pertato α 0,01 Numerosità del campioe 16 No coosco la variaza della popolazioe ed il campioe ha solo 16 elemeti volgimeto 1) Defiizioe dell'ipotesi pricipale H 0 : dato che l'itezioe di Tizio e Caio è quella di cercare coferma alla possibilità di cotestare la foritura si deve idividuare la codizioe che, se egata, idica ua foritura o coforme all'ordie. Tizio teme che la capacità sia scesa sotto il limite di tolleraza pertato l'ipotesi che cercheremo di poter rifiutare è quella che la capacità media sia superiore al limite iferiore di tolleraza: Ipotesi pricipale: H 0 : µ > µ 0 15 ) Dato che la variaza della popolazioe è scoosciuta e viee stimata tramite il campioe che ha solo 16 elemeti o posso usare la distribuzioe ormale come distribuzioe della media campioaria. 0 3) Come statistica uso quidi la variabile casuale T che segue ua distribuzioe "t di tudet" co 15 gradi di libertà.
4) I dati ricavati dal campioe di 16 elemeti soo i segueti: 1 ; 0, 8. 5) Dato che l'ipotesi pricipale è del tipo "µ > µ 0 " eseguo u test uilaterale (1 sola coda) cosiderado il solo valore critico iferiore. 6) Dalla tabella della t di tudet ricavo il valore critico t cif -,60. 7) tabilisco la regioe di rifiuto della H 0 : T < -,60. 8) Determio il valore t della T corrispodete ai valori del campioe: T 1 15 3 4 1 0,8 0,8 0,8 16 0 t 9) Il valore t della T corrispodete ai valori del campioe cade ella regioe di rifiuto della ipotesi pricipale H0. 15 Co ua fiducia del 99% soo autorizzato a egare che la ipotesi pricipale µ > µ 0 15 possa essere vera: i codesatori sembrao effettivamete proveire da ua popolazioe fallata e caratterizzata da ua capacità media iferiore al limite miimo della fascia di tolleraza. Problema 4. Alla luce dei risultati del problema 3 gli Igegeri Tizio e Caio espogoo il loro dubbio circa la coformità dell ordie all Avv. emproio della Direzioe geerale. emproio si covice che il foritore stia violado il cotratto, tuttavia ritiee che o sia opportuo procedere co u azioe legale cotro il foritore se, co ua fiducia del 99,5% ed operado co u campioe di 5 elemeti, sia possibile egare l ipotesi che la capacità media della popolazioe sia miore o uguale a 15 µf. Prelevato il campioe si misura la capacità di ciascu codesatore e si rilevao i segueti valori per gli stimatori di ua variabile defiita come el problema 3: media campioaria 13, deviazioe stadard campioaria corretta 0,6. Cosa decide emproio? Risoluzioe Riassuto dati problema La variabile casuale assume valori pari al valore della capacità di ciascu codesatore misurata i µf Ipotesi pricipale: Ho : µ < µ 0 15 Fiducia richiesta al test: 99,5% pertato α 0,005 Numerosità del campioe 5 No coosco la variaza della popolazioe ed il campioe ha solo 5 elemeti
volgimeto 1) Dato che la variaza della popolazioe è scoosciuta e viee stimata tramite il campioe che ha solo 5 elemeti o posso usare la distribuzioe ormale come distribuzioe della media campioaria. 0 ) Come statistica uso quidi la variabile casuale T che segue ua distribuzioe "t di tudet" co 4 gradi di libertà. 3) I dati ricavati dal campioe di 5 elemeti soo i segueti: 13 ; 0, 6. 4) Dato che l'ipotesi pricipale è del tipo "µ < µ 0 " eseguo u test uilaterale (1 sola coda) cosiderado il solo valore critico superiore. 5) Dalla tabella della t di tudet ricavo il valore critico t cif +,797. 6) tabilisco la regioe di rifiuto della H 0 : T > +,797. 7) Determio il valore t della T corrispodete ai valori del campioe: T 0 t 13 15 5 0,6 0,6 5 10 0,6 16 8) Il valore t della T corrispodete ai valori del campioe o cade ella regioe di rifiuto della ipotesi pricipale H0. Voledo ua fiducia del 99,5% si deve cocludere che il test o autorizza a egare che la ipotesi pricipale µ < µ 0 15 possa essere vera: i codesatori sembrao effettivamete proveire da ua popolazioe fallata e caratterizzata da ua capacità media iferiore al limite miimo della fascia di tolleraza: l'avv. emproio decide di dare corso ad ua azioe legale cotro il foritore cotestado la foritura di materiale difettoso.