Statistica I, Laurea trieale i Ig. Gestioale, a.a. 20010/11 Registro delle lezioi Lezioe 1 (27/10). Itroduzioe al corso; materiale e comuicazioi alla pag. di F. Fladoli: http://www2.ig.uipi.it/~a008484/dispstatisticagestioaletrieale.html. Si osserva che ci soo tre corsi a carattere statistico el percorso di Gestioale a Pisa, ovvero Statistica I alla trieale, Statistica II alla magistrale, Statistica Applicata (Prof. Lazetta) tra i facoltativi della trieale, corsi coordiati ta loro. La statistica si può grosso modo dividere i Statistica descrittiva da u lato, e Statistica basata sul Calcolo delle Probabilità dall altro. Il capitolo 2 del Ross è dedicato al primo argometo. Verrà trattato separatamete. Gli altri capitoli putao alla Statistica basata sul Calcolo delle Probabilità. Si iizia lo studio del capitolo 3, sui fodameti del calcolo delle probabilità. Vegoo date le de izioi di uiverso, eveti, eveti elemetari o esiti, vegoo discusse le operazioi (uioe, itersezioe e complemetare) su eveti e viee poi de ita la probabilità (iterpretata ituitivamete col cocetto di massa). Vegoo illustrazioe alcue regole regole, su P (A c ) e P (A [ B) ache el caso o disgiuto (iterpretate tramite l idea di massa; la prima ache dimostrata). Soo poi descritti gli spazi a esiti equiprobabili, la regola per calcolare P (A) (rapporto tra casi favorevoli e casi possibili) e viee così calcolata la probabilità che esca almeo u 6 el lacio di due dadi. Lezioe 2 (30/10). Pricipio di eumerazioe (ache geeralizzato) ed esempio 3.5.1. Permutazioi ed esempi 3.5.2. Disposizioi e combiazioi, illustrate col problema di creare sequeze oppure gruppi di lettere (diverse) di u alfabeto: le sequeze ordiate di k lettere diverse prese da u alfabeto di lettere, soo le disposizioi di oggetti i k posti, ( 1) ::: ( k + 1); ivece i gruppi (o ordiati) di k lettere diverse prese da u alfabeto di lettere, soo le combiazioi di oggetti i k posti, k = ( 1):::( k+1) (le prime di eriscoo per l ordiameto). Combiazioi e k! strighe di 0/1: il umero di strighe lughe co k ui è k ; ricooscimeto dell equivaleza tra i due problemi (gruppi di lettere e strighe). Esempio 3.5.4 (detta distribuzioe ipergeometrica). Probabilità codizioata, iterpretazioe gra ca. Formula di fattorizzazioe (probabilità totali) ed esempio 3.7.1. Formula di Bayes ed esempio 3.7.2. 1
Viee iterpretata la formula delle probabilità totali tramite u albero di eveti. Si tratta di calcolare probabilità lugo i percorsi e sommarle. Esercizi per casa su fattorizzazioe e Bayes: es. 10 (H2) del 28/05/2010; es. 1 del 20/07/2010; es. 1.i del 29/06/2010. Si cosiglia ache la lettura degli esempi 3.5.3, 3.7.4, 3.7.7. Lezioe 3 (3/11). Vedere la registrazioe di Barsati. Itroduzioe alla statistica, statistica descrittiva. Frequeza assoluta e relativa. Modi di rappresetare gra camete i dati. Aggregazioe di dati i classi. Campioe, media campioaria e sue proprietà. Media pesata. Mediaa e moda. Lezioe 4 (6/11). La formula di Bayes risolve il problema di trovare la causa più probabile, osservato l e etto (metre il cocetto di probabilità codizioale parla della probabilità dell e etto data la causa). Se l e etto A può essere causato da B 1 o B 2, si vuole capire chi è maggiore tra P (B 1 ja) e P (B 2 ja). Siccome il deomiatore (ella formula di Bayes) è lo stesso, basta cofrotare P (AjB 1 ) P (B 1 ) co P (AjB 2 ) P (B 2 ). Nel caso di cause equiprobabili, si cofrota P (AjB 1 ) co P (AjB 2 ) (ituitivo). E quato avviee ei caali co rumore, quado il ricevete deve decidere il messaggio iviato (se B 1 o B 2 ), sulla base della ricezioe di u messaggio corrotto A. Viee iterpretato, co l albero di eveti, il problema della scelta della causa più probabile. Si tratta di calcolare probabilità lugo percorsi e cofrotarle. Formule di fattorizzazioe e di Bayes i geerale. Esercizio: i u sistema di lettura automatica dei testi scritti a mao, le lettere ed u soo facili da cofodere. I ua certa ligua, la compare co frequeza 1/15, metre la u co frequeza 1/25. Se la lettera è davvero, il sistema legge il 90% delle volte. Se la lettera è u, il sistema la legge il 20% delle volte. Se la lettera è diversa sia da sia da u, il sistema la legge il 2% delle volte. Se il sistema legge, co che probabilità ha sbagliato? Soluzioe: 0:302. Per casa: a titolo di esercizio, risolvere i problemi esposti egli esempi 3.7.4 e 3.7.7. Idipedeza tra eveti. Esempio 3.8.4. Variabili aleatorie (esempi). V.a. discrete e cotiue, desità discreta (fuzioe massa di probabilità) e desità cotiua. Lezioe 5 (10/11). Vedere la registrazioe di Barsati. Variaza e deviazioe stadard campioaria co esempi e teciche per abbreviare il calcolo. Percetili campioari e quatili. Box plot. 2
Formula di Chebyshev co dimostrazioe ed esempi di applicazioi. Campioi ormali, asimmetrici, bimodali. Lezioe 6 (13/11). Capitolo 4, paragra 1 e 2. Variabili aleatorie discrete e cotiue. Desità discreta, p (k) = P (X = k), sue proprietà, P (X 2 A) = P k2a p (k). Desità cotiua f (x), sue proprietà, P (X 2 A) = R A f (x) dx. I umeri P (X = a) determiao tutto el caso discreto, valgoo 0 el caso cotiuo. Gra ci ei due casi. Fuzioe di distribuzioe cumulativa (F (t) = P (X t)). Capitolo 5, paragrafo 1. V.a. di Beroulli e biomiale. Gra ci. Ammissibilità delle formula biomiale (ovvero veri ca che soo umeri o egativi a somma 1). Teorema: la somma S = X 1 +:::+X di Beroulli idipedeti di parametro p è ua B (; p). Dimostrazioe. Iterpretazioe di S come umero di successi i prove. Esempio: umero di corretisti di ua baca che prelevao (ipotesi sempli cate). Calcolo di u umero k tale che P (S > k) = 0:99 (impostato teoricamete). Esercizi per casa: risolvere i problemi euciati agli esempi 5.1.1, 5.1.3 puto (a). Lezioe 7 (17/11). Soluzioe di alcui esercizi assegati per casa elle lezioi scorse. Lezioe 8 (20/11). Valori medi e loro proprietà. Valor medio (atteso) di ua v.a. discreta, valor medio di ua v.a. cotiua. Somigliaza co la media empirica di u campioe: detti a k i valori della v.a. X e p (a k ) le loro probabilità, la def. di media è E [X] = P a k p (a k ), metre vale x = x 1 + ::: + x = X a k bp k dove bp k è la frequeza relativa empirica co cui si osserva a k el campioe. Iterpretazioe gra ca. Calcolo di E [X] i alcui esempi, icluse Beroulli e uiforme su [0; 1]. Valor medio di ua trasformazioe di v.a., E [g (X)], esempi. Caso particolare: mometi e variaza. Deviazioe stadard, iterpretazioe gra ca; misura di icertezza. Calcolo della variaza per le Beroulli. Proprietà del valor medio e della variaza: E [ax + by + c] = ae [X] + be [Y ] + c V ar [ax + c] = a 2 V ar [X] 3
e, se X ed Y soo idipedeti, V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] : Applicazioe al calcolo di media e variaza delle biomiali, attraverso il teorema della lezioe 6. Esempio gra co di e per ua B (; p) co elevato e p piccolo, co applicazioe al dimesioameto di u magazzio, relativamete a prodotti acquistati di rado, pur i preseza di moltissimi poteziali clieti. Lezioe del 24/11: o teuta per occupazioe aule polo F. Lezioe 9 (27/11). Fuzioe geeratrice dei mometi, def. geerale e formule el caso discreto e cotiuo. Legame coi mometi. Teorema sulla geeratrice della somma di v.a. idipedeti. Esempi: Beroulli e biomiale. V.a. di Poisso: de izioe, veri ca della somma pari ad 1, calcolo della geeratrice e da essa di media e variaza. Teorema degli eveti rari (covergeza della biomiale alla Poisso) co dimostrazioe. Veri ca o rigorosa delle formule per la geeratrice, la media e la variaza, usado questa covergeza. Gra co tipico di ua Poisso. Importaza applicativa della Poisso: dipede da u solo parametro, pari al valor medio e quidi approssimabile sperimetalmete i modo facile, a di ereza delle biomiali; facile quidi da usare i applicazioi come i sistemi di servizio (magazzii ecc.) co molti uteti poteziali, ciascuo co bassa probabilità dichiedere il servizio. V.a. espoeziali: de izioe, veri ca dell area pari ad 1, calcolo della geeratrice e da essa di media e variaza. Nota: =, elevata aleatorietà rispetto a biomiali e Poisso (dove = p ). Iterpretazioe gra ca di e per le espoeziali (casi grade e piccolo). Lezioe 10 (1/12). Vedere la registrazioe di Barsati. Variabili aleatorie Gaussiae e loro fuzioe geeratrice. Media e variaza di ua variabile Gaussiaa. Trasformazioe lieare di ua variabile Gaussiaa e stadardizzazioe. Esercizi su v.a. Gaussiae. Riproducibilita delle v.a. Gaussiae co esempio. Lezioe 11 (4/12). Capitolo 6. Cocetto di campioe X 1 ; :::; X. Media X e variaza campioaria S 2 (come variabili aleatorie). Stimatori corretti, veri ca che la media campioaria è uo stimatore corretto di. Euciato del fatto che P la variaza campioaria è uo stimatore corretto di 2 e del fatto che 1 i=1 (X i ) 2 è uo stimatore corretto di 2 ; deduzioe della formula E h 1 correttamete 2 ). P i=1 X i X 2 i = 1 2 (cioè 1 P i=1 X i X 2 o stima 4
Calcolo di V ar X (= 2 ), gra co idicativo della desità di X, idicazioe della sua viciaza a. Esercizi dai compiti d esame. Osservazioi sulla proprietà di autoriproduzioe: i) le gaussiae soo autoriproduceti, el seso più ampio possibile (lezioe precedete: se X ed Y soo gaussiae idipedeti, allora ax+by +c è gaussiaa); ii) le biomilai lo soo i u seso u po ristretto: la somma di ua B (; p) più ua B (k; p) idipedeti è B ( + k; p) (si veri ca col teorema di legame tra biomiali e Beroulli); iii) per le Poisso, vale che la somma di ua P () più ua P () idipedeti è P ( + ) (veri cato co le fuzioi geeratrici, come per le gaussiae). Lezioe 12 (11/12). Teorema limite cetrale e sua applicazioe egli esercizi. Distribuzioe della media e della variaza campioaria: esatta el caso di variabili gaussiae, approssimata el caso geerale. Esercizi dai compiti d esame. Esercizi suggeriti per il compitio: tutti quelli svolti a lezioe/esercitazioe; 28/05/2010: domade 2,3,4,6,7 (alcue domade, come la 7 di questo esercizio, richiedoo la lezioe dell 11); 8/06/2010: es. 1.iii, es. 2 tutto; 29/06/2010: es. 1 tutto, es. 2.ii; 20/07/2010: es. 1, i, ii, iii, iv, vi, vii; 14/09/2010: es 1 tutto, es. 2.ii. Facoltativamete si possoo ache predere esercizi dai compiti degli ai acora precedeti, selezioado quelli simili (operazioe molto utile per lo studete). 5