Capitolo 3 Matrici Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare
Definizione (Matrice) Una matrice A M R (k, n) è una tabella rettangolare di numeri, detti entrate, di k righe e n colonne: oppure, in forma più sintetica: a 11 a 12 a 1n. a.. A = 21 a2n...... a k1 a k2 a kn A = (a ij ) ; i = 1,..., k; j = 1,..., n
Definizione (Somma di matrici) Date le matrici A, B M R (k, n): a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n. a.. A = 21 a2n. b..., B = 21 b2n........... a k1 a k2 a kn b k1 b k2 b kn la matrice A + B è definita come: a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n. a A + B = 21 + b.. 21 a2n + b 2n...... a k1 + b k1 a k2 + b k2 a kn + b kn
Definizione (Moltiplicazione matrice-scalare) Data le matrice A M R (k, n) e lo scalare λ R: a 11 a 12 a 1n. a.. A = 21 a2n., λ R..... a k1 a k2 a kn il prodotto λa è la matrice definita come: λa 11 λa 12 λa 1n. λa.. λa == 21 λa2n...... λa k1 λa k2 λa kn
Definizione (Moltiplicazione matrice-vettore) Data le matrice A M R (k, n) e il vettore X R n, il prodotto tra la matrice A e il vettore X è il vettore così definito: a 11 a 12 a 1n. a.. A = 21 a2n., X =..... a k1 a k2 a kn ( AX = A 1 A 2 A n) x 1. x n x 1. x n = x 1 A 1 + x 2 A 2 + + x n A n
Definizione (Prodotto tra matrici) Date le matrici A M R (k, n) e B M R (n, h), la matrice prodotto AB è la matrice così definita: a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1h. a.. A = 21 a2n. b..., B = 21 b2h........... a k1 a k2 a kn b n1 b n2 b nh A B = AB k n n h k h AB = (AB 1 AB 2 AB h)
Definizione (Prodotto tra matrici) In forma meno analitica possiamo scrivere tale prodotto nella seguente forma: (a 11 b 11 + a 1n b n1 ) (a 11 b 1h + + a 1n b nh ) (a 21 b 11 + + a 2n b n1 ) (a 21 b 1h + + a 2n b nh ) AB =..... (a k1 b 11 + + a kn b n1 ) (a k1 b 1h + + a kn b nh ) NB: E possibile fare il prodotto AB sono se il numero di colonne della matrice A coincide con il numero di righe della matrice B!
Definizione (Matrice trasposta) Data la matrice A M R (k, n), la sua trasposta è la matrice così definita: se A è un vettore riga, A T è semplicemente il vettore A messo per colonna; se A è un vettore colonna, A T è semplicemente il vettore A messo per riga; in generale la matrice A T è la matrice le cui colonne sono le righe di A trasposte: A T = ((A ) 1 ) T (A 2 ) T (A k ) T
Definizione (Matrice reale simmetrica) Data la matrice A M R (k, n), essa è detta essere una matrice reale simmetrica se: A = A T
Algoritmo - Calcolo del determinante Data la matrice quadrata A M R (n), il determinante della matrice A può essere calcolato nei modi seguenti a seconda del valore di n: n = 2: ( ) a b A = = det (A) = ad bc c d n = 3 = Regola di Sarrus : a b c A = d e f g h i
Algoritmo - Calcolo del determinante A = a b c a b d e f d e = (aei + bfg + cdh) (bdi + afh + ceg) g h i g h
Algoritmo - Calcolo del determinante n 3 = Teorema di Laplace: per righe: per colonne: det (A) = n ( 1) i+j a ij det ( ) A [i,j] i=1 n det (A) = ( 1) i+j a ij det ( ) A [i,j] j=1 Esempio (Sviluppo del determinante lungo la prima colonna) a b c e f A = d e f = a h i d b c h i + g b c e f g h i
Calcolo del determinante A M R (n) è una matrice triangolare (superiore, inferiore o diagonale): det (A) = n a ij i=1 Esempio (Determinante di una matrice triangolare) 8 3 1 A = 0 1 1 = 8 1 3 = 24 0 0 3
Osservazione (Una cosa utile...) Per determinare qual è il segno che bisogna dare a ciascun coefficiente quando si calcola il determinante, cioè sapere per ogni coefficiente qual è il risultato di ( 1) i+j, si può usare la seguente tabella (qui nel caso di una matrice 4 4): + + + + "matrice dei segni" = + + + +
Teorema (Teorema di Binet) Il determinante del prodotto di due matrici A, B M R (n) è dato dal prodotto dei determinanti: det (AB) = det (A) det (B)
Definizione (Matrice invertibile) Data le matrice A M R (n), essa è invertibile se esite la matrice A 1 tale che: ovvero se: AA 1 = I n, det (A) 0 Esistono due metodi principali per determinare l inversa di una matrice invertibile.
Algoritmo - Metodo 1 Data la matrice A GL (n, R): a 11 a 12 a 1n. a.. A = 21 a2n...... a n1 a n2 a nn si considera la base di R n i cui vettori sono le colonne della matrice A: B A = a 11 a 12 a 21., a 22. a n1 a n2,, a 1n a 2n. a nn
Algoritmo - Metodo 1 Si determinano quindi le coordinate dei vettori della base canonica di R n, B C = [e 1, e 2,..., e n ], rispetto alla base B A : 1 a 11 0 [e 1 ] BA =. = λ a 21 1. + + λ n 0 a n1 0 a 11 1 [e 2 ] BA =. = λ a 21 1. + + λ n 0 a n1 a 1n a 2n. a nn a 1n a 2n. a nn...
Algoritmo - Metodo 1 0 a 11 0 [e n ] BA =. = λ a 21 1. + + λ n 1 a n1 a 1n a 2n. a nn La matrice A 1 è quindi la matrice che ha come colonne le coordinate dei vettori della base canonica di R n rispetto alla base costituita dalle colonne di A, cioè B A : ) A 1 = ([e 1 ] BA, [e 2 ] BA,..., [e n ] BA
Algoritmo - Metodo 2 (Formula di Cramer) La matrice A 1 è la matrice così definita: dove: A 1 = 1 det (A) (α ij) α ij = ( 1) i+j A [j,i]
Osservazione (Inversa di una matrice 2 2) Se A GL (2, R), allora la formula di Cramer dà il seguente risultato: A 1 = 1 ad bc ( d ) b c a
Definizione (Rango di una matrice) Data la matrice A M R (k, n), il rango di A è la dimensione del sottospazio di R k generato dalle colonne di A: In particolare si ha che: ( rg (A) = dim Span (A 1, A 2,..., A n)) rg (A) min (k, n) Quindi vale quanto affermato nella seguente tabella:
Definizione (Rango di una matrice) Caso 1: n k : il rango massimo è n. rg (A) = n le colonne di A sono linearmente indipendenti (generano un sottospazio di R k di dimensione n). Caso 2: k n : il rango massimo è k. rg (A) = k le colonne di A sono un sistema di generatori di R k. Caso 3: k = n : il rango massimo è n. rg (A) = n le colonne di A sono una base di R n
Definizione (Sottomatrice, minore, orlato) Sia A una matrice di ordine k n. Una sottomatrice di A è una matrice A che è possibile ottenere cancellando righe e colonne di A. Il determinante di ogni sottomatrice quadrata di A viene chiamato minore della matrice A. Diremo che un minore è di ordine h se è il determinante di una sottomatrice h h. Data una sottomatrice A A di ordine r, un orlato di A è una sottomatrice A di ordine r + 1 tale che A A A. Esistono due metodi per calcolare il rango: il primo viene usato nelle matrici le cui entrate sono numeri puri; il secondo viene usato quando si ha a che fare con matrici parametriche.
Algoritmo - Metodo 1 (Regola degli orlati di Kronecker) Sia A una matrice di ordine k n. Sia A una sottomatrice di A di ordine r con determinante non nullo. Se tutti gli orlati di A hanno determinante nullo allora rg (A) = r. Utilizzando tale criterio possiamo calcolare il rango di una matrice A nel seguente modo: 1) Si fissa una sottomatrice A (1) di ordine 1 (ovvero un entrata) non nulla. 2) Si considerano tutti gli orlati di tale sottomatrice. Se i corrispondenti minori sono tutti nulli si deduce che il rango di A è 1. Altrimenti si fissa un orlato A (2) (quindi di dimensione 2 2) con determinante diverso da 0.
Algoritmo - Metodo 1 (Regola degli orlati di Kronecker) 3) Si considerano tutti gli orlati di A (2). Se i corrispondenti minori sono tutti nulli, si deduce che il rango di A è 2. Altrimenti si fissa un orlato A (3) (quindi di dimensione 3 3 con determinante diverso da 0. 4) Si considerano tutti gli orlati di A (3). Se i corrispondenti minori sono tutti nulli si deduce che il rango di A è 3. Altrimenti si fissa un orlato A (4) con determinante non nullo. 5) Si ripete ricorsivamente la procedura esposta sopra fino ad arrivare al calcolo del rango (vedi un esempio a pag. 229-230 del libro).
Algoritmo - Metodo 2 (per matrici parametriche) 1) Si prende la sottomatrice più grande possibile e se ne calcola il minore in funzione dei parametri contenuti nella matrice; 2) Si pone il minore calcolato uguale a 0 e si determina quindi per quali valori di h tale minore è nullo: per tutti i valori di h diversi da quelli trovati, si può affermare che il rango della matrice è massimo e pari al numero di righe e colonne della sottomatrice a cui il minore appartiene; 3) Per i valori di h che rendono nullo il minore precedentemente calcolato, si procede sostituendo tali valori all interno della matrice, verificando quindi con il Metodo di Kronecker qual è il rango della matrice per ciascun valore di h sostituito nella matrice (vedi un esempio a pag. 231 del libro).
Osservazione (Numero di minori estraibili da una matrice) Il numero di minori di ordine p estraibili da una matrice di ordine k n è: n minori = ( k p )( ) ( n = p k! p! (k p)! ) ( ) n! p! (n p)!
Osservazione (Numero degli orlati di una matrice) Sia A M R (k, n). Data una sottomatrice A A di ordine h < k, n, si possono costruire un numero di orlati pari a: n orlati di A = (k h) (n h)
Problema (Effettuare un cambiamento di base) Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n, consideriamo due basi distinte in V : B = {u 1,..., u n }, D = {w 1,..., w n }. Dato un vettore v V, vogliamo calcolare le sue coordinate rispetto alle due basi: [v] B e [v] D. Supponendo di conoscere le coordinate dei vettori della base D rispetto alla base B, un modo per effettuare il cambio di coordinate nei due sensi:
Algoritmo - Da coordinate in D a coordinate in B Supponiamo di conoscere le coordinate del vettore v rispetto alla base D, cioè [v] D = (µ 1,..., µ n ). allora si ha che: x 1 x 2 [v] B =. = µ 1 [w 1 ] B + µ 2 [w 2 ] B + + µ n [w n ] B x n Tale relazione può essere riscritta come: µ 1 µ 2 [v] B = A [v] D = ([w 1 ] B [w n ] B )., (1) µ n dove la matrice A = M B,D è detta matrice di cambiamento di base da D a B.
Algoritmo - Da coordinate in B a coordinate in D Dall equazione (1) della slide precedente possiamo facilmente ricavare che le coordinate del vettore v rispetto alla base D sono date da: [v] D = A 1 [v] B, dove la matrice A 1 è detta matrice di cambiamento di base da B a D. Osservazione Nel caso in cui invece di conoscere le coordinate dei vettori della base D rispetto alla base B accadesse l opposto, ovvero nel caso in cui conoscessimo le coordinate dei vettori della base B rispetto alla base D, il discorso non cambia: basta solamente rileggere quanto precedentemente scritto invertendo B con D.