ESERCIZI PROPOSTI Risolvere i seguenti sistemi lineari )-0), utilizzando, dove possibile, sia il metodo di Cramer sia quello della matrice inversa, dopo aver analizzato gli esempi a)-d): 2x + + 4z 5 a) x + 5 4z 2 4x + 7 2z Il sistema dato è quadrato per cui occorre calcolare in primo luogo il determinante della matrice dei coefficienti ad esso associata. Così facendo si verifica se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Cramer. Risulta: det A 2 4 5 4 4 7 2 0 0 per cui il sistema si può risolvere applicando le formule di Cramer, cioè: dove: 2 5 4 2 5 4 2 5 2 5 4 0; 2 2 4 50; 5 2 80 7 2 Dunque l unica soluzione del sistema è: 4 2 0 0 50 ( x,, z),, (, 5, 8) 0 80 0 4 7 Si calcoli la soluzione del sistema dato con il metodo della matrice inversa e si verifichi che la soluzione trovata è la stessa (cfr. ESEMPIO 2, β). Verifica: per essere sicuri che la soluzione trovata è giusta basta sostituire in tutte le equazioni del sistema i valori di x, e z ottenuti e verificare, quindi, che esse siano tutte soddisfatte. La soluzione trovata è esatta poiché: 2 + 5 + 4 8 5, + 5 54 8 2, 4 + 7 5 2 8 2
b) Risolvere il sistema AX N dove: A 0 4 0 2 0 0 5 0 0 2 ; N z 0 5 4 E un sistema lineare 4 4 del tipo Risulta: 0 4 0 det A 2 0 0 5 0 0 2 x + + z + t 0 4 + t 5 2x + 5t 4 z + 2t 70 0 (basta sviluppare il determinante, per esempio, rispetto agli elementi della seconda riga) Pertanto è possibile risolvere il sistema, per esempio, con il metodo della matrice inversa. Si ha: A * 60 8 6 24 5 4 6 5 9 8 2 20 6 8 8 ( A ) T * 60 5 5 20 8 9 6 6 4 8 8 24 6 2 8 da cui: 60 5 5 20 8 9 6 70 6 4 8 8 24 6 2 8 A 6 7 9 5 8 5 2 5 4 70 2 5 5 4 9 70 4 5 6 5 2 7 5 9 5 4 5 Dunque la soluzione del sistema si ottiene dalla relazione: z A 0 5 4
Svolgendo i calcoli segue: z 2 2 Dunque la soluzione cercata è:,,,,,, 2 2 ( x z t) Si verifichi, per esercizio, che la soluzione è esatta e si risolva il sistema con il metodo di Cramer confrontando le due soluzioni. 2x + z c) 5x + 2z 7 Il sistema è rettangolare per cui occorre applicare il teorema di Rouchè-Capelli. Consideriamo le due matrici associate al sistema: 2 2 A e B 5 2 5 2 7 Sappiamo che 0 r( A ) min 2, 2 e 0 r( B ) min 2, 4 2. Poiché A' ' 2 5 7 0 è un minore estratto da A non nullo, risulta r( A ) 2. Per quanto riguarda la matrice completa B basta considerare lo stesso minore del secondo ordine diverso da zero; segue che è anche r( B ) 2. Dunque il sistema dato ammette soluzioni. Per determinarle si osservi che il minore non nullo 2 considerato è stato ottenuto con i coefficienti delle incognite x ed. Poniamo, pertanto, risolviamo il seguente sistema equivalente: 2 x α 5x + 7 + 2α la cui soluzione si può facilmente determinare con le formule di Cramer, con: α 2 A' ' 7; 22 + 5α ; 2 7 + 2α α 5 7 + 2 9 + α 9 α z α e 4
Dunque le soluzioni sono: 22 + 5α 9 + 9α α 7 7 Si completi l esercizio verificando le soluzioni. d) A 2 2 5 0 ; N z 2 6 Poiché il sistema associato AX N è quadrato bisogna calcolare il determinante della matrice dei coefficienti. Risulta: 2 det A 2 5 0 0 Il sistema non si può pertanto risolvere con le formule di Cramer. Occorre allora, per sapere se ci sono soluzioni, utilizzare il teorema di Rouchè-Capelli. Si osservi, a tal proposito, che r( A ) 2 essendo: A' 2 ' 7 0 Per quanto concerne la caratteristica di B si noti che l unico minore orlato di A' è proprio A. Poiché tale minore è nullo segue che r( B ) 2. Dunque il sistema ammette Cramer, risolvendo il seguente sistema equivalente: soluzioni calcolabili con le formule di Risulta, quindi: 2x + + α x 2 2α A' ' 7; + α 2 2 2 + α ; 2 α + α 2 2 5 α α Segue che la soluzione del sistema è: + α 5α,,,, α 7 7 5
Gli esercizi seguenti sono consigliati allo scopo di esercitarsi. Le soluzioni sono date a margine degli esercizi stessi. ) 2) x + + z 6 x 2 + z 2 x + 2z 5 x + z 2x + 2 + 5z 0 7 5 x + z 2 2 2 2 [( x,, z) (, 2, ) 2 2 0 ) A 2 2 2 ; N z 2 0 8 [( x,, z) ( 2,, ) 4) 5) x + 2 2z 7 x + 2z 5 2x + z 0 x + + z + t 2 2x + 2z 2t 5 + 5z + 6t 7 x + z t 5 ( x z t) [( x,, z) (, 0, 2),,,,,, 2 2 6) A 5 2 2 0 2 4 0 ; N z 6 9 4 [( x,, z, t) (, 2,, 5) 7) 8) 9) x + 2z + t 0 x + 2 + z 0 2x + + z t 0 x + + z + t 2x + + z + t 7 x + 2 + z + t 6 x + + 2z + t 6 x + + z + 2t 6 x + 2 + z 0 x + 2z 5 x 2 + 5z 0 [( x,, z, t) (,,, 2) [( x,, z, t) ( 2,,, ) 5α,, 5 2α,, α 2 6
0) x + 2z 5 x + 8z 4x + + z [( x,, z) ( 4 α, 7 + α, α) ) A 2 0 2 7 ; N z 0 α + 7,,, α, 7 2 α 7 2) x + z x + z 2 + 7z 0 [incompatibile ) x + z 2x + z 5 6 8α 5α 7 7 α 2x + 6 + z 4) x + z 2,, + 9α 7, α, 5) A 4 ; X ; N z 4 7 5 5 + α α 6) 7) 8) x + x 9x + 5 0x 2 4 x 4 x 2 x 6 0 x + z 4 2x + 2 + z x 5x + z 9,, ( x ) 2 [incompatibile [( x,, z) ( 2,, ) 9) A 0 2 2 2 x ; N z 2 2 [incompatibile 7
2x + z + t 2 20) 5x + 4 2z + 5t x + 2 t 7 + 2α 7β 8 α + 5β,,,,, α, β ( x z t) 2) 22) 2) 24) x + 7z 0 5x 5z 0 2x + 2 2z 0 x + 2 4z 0 x + z 0 2 2 x + z 0 6x + 9z 0 5x z 0 x 2 z 0 5x + 4 + 2z 0 7x + 4 + z 0 [( x,, z) ( 2α, 5α, α) [( x,, z) ( 2α, α, α) [( x,, z) ( 2α, α, α) 4 7,, α, α, α 7 4 25) A 2 5 x ; N z 0 0 0 [solo la banale 26) 27) 28) 9x + 8 z 0 5x + 6 + z 0 9x + 4z 0 x z 0 2x + 5 + 2z 0 5x 4 z 0 x + z 0 + t 0 x + 0 z + 2t 0 [solo la banale [( x,, z) ( α, 4α, α ) [solo la banale x + 2z t 0 29) 2x 2 + z 0 x 4 4z + t 0 [( x,, z, t) ( α, β, 2α + 2β, α + 2β ) 0) x + 2z + 4t 0 x + 4 z + 5t 0 x + 2 z + t 0 [( x,, z, t) ( α β, α β, α, β) 8