ESERCIZI DI CONTROLLI AUTOMATICI Prof. Gianluigi Pillonetto 2 NOVEMBRE 206 Ex. Si conideri il itema di controllo d (t) d 2 (t) C()G() K Calcolare le funzioni di traferimento che legano le eguenti coppie di egnali:. r y 2. r e 3. d y 4. d e 5. d 2 y 6. d 2 e Ex 2. Si conideri il itema di controllo di poizione con retroazione tachimetrica G() 0 (+2) H() + α Si auma che il diturbo ia nullo. Si determini il valore di α in modo che la ripota a r(t) δ (t) abbia una ovraelongazione maima M del 0%. Si ricorda che M exp( πr r 2 ); Calcolare in corripondenza a tale valore di α l errore a regime e r(t) t. Ex 3. Si conideri il itema di controllo W () KKa +α K b Si auma retroazione unitaria, ovvero K b. Aumendo aenza di ditrubo e ingreo r(t) δ (t), i calcoli il valore di K a per cui ad una variazione del 0% di K corriponda una variazione dello 0.% di per t + ; Si auma K α, r(t) δ (t) e 0.δ (t). Si calcoli ad anello chiuo con K a 00 e ad anello aperto con K a.
Ex 4. Si conideri il itema di controllo di un pacemaker elettronico W () 6 (+5) Si auma retroazione unitaria, ovvero K b e diturbo d nullo. Aumendo che r(t) δ (t) i calcoli l energia del egnale di errore e(t), ovvero Ex 5. + 0 e 2 (t)dt. La funzione di traferimento a catena chiua di un itema in retroazione negativa e unitaria riulta K b K( + z) 2 + 3 + 2. Calcolare valori di K e z tali che l errore di ineguimento al riferimento r(t) 0.5t 2 δ (t) ia aintoticamente finito, anche e non nullo. Ex 6. Si conideri il itema di controllo W () K (+)(+2)(+3) Si auma retroazione unitaria, ovvero K b, e diturbo δ (t). Si determini un valore di K > 0 per cui la componente di e(t) dovuta al diturbo abbia a regime ampiezza minima (e il itema diventa intabile tale ampiezza deve coniderari infinita). Ex 7. Si conideri il itema di controllo K b W () 00K +0 Si auma K K b.. Sia r(t) δ (t) e 0.δ (t). Si determini l itante t r in cui l ucita raggiunge il 90% del uo valore finale y. 2. Si auma r(t) δ (t) e aenza di diturbo. Si calcoli di quanto varierebbe in percentuale il nuovo valore y ottenuto otto quete nuove ipotei e ci foe una variazione del 5% di K. K b 2
Ex 8. Si conideri il itema di controllo W () (+) 2 K Si ricavino i valori di K 0 che aicurano la tabilità del itema in catena chiua. Si fii K, r(t) co(t)δ (t) e δ (t). Si determini l ucita per valori grandi di t. Ex 9. Si conideri il itema di controllo W () 2K +2 K b Si auma K K b e condizioni iniziali nulle.. Sia r(t) δ (t ) e 0.δ (t ). Si determini l itante t r in cui l ucita raggiunge il 90% del uo valore finale y. 2. Si auma ora r(t) δ (t) e aenza di diturbo. Si calcoli di quanto varierebbe in percentuale il nuovo valore y ottenuto otto quete nuove ipotei e ci foe una variazione del 5% di K. Ex 0. Si conideri il itema di controllo W () + K. Si auma K. Sia r(t) aδ (t)+btδ (t) e c in(2t) dove a, b, c ono calari. Si determinino i valori di a, b e c tali che la ripota forzata del itema in figura tenda aintoticamente a diventare cotante con ampiezza. 2. Si auma che il itema in figura ia meo in erie con un econdo itema avente fdt (l ucita (+) 2 del itema in figura diventa quindi l ingreo del econdo itema). Mediante il criterio di Routh i tudi la tabilita del itema compleivo al variare di K. 3
Soluzione EX. Indichiamo con il prodotto di C() per G(), ovvero C()G(), una quantità che viene chiamata guadagno di anello. Definiamo anche +, una quantità nota come funzione di enitività. Poiamo poi ragionare utilizzando la ovrappoizione degli effetti: e ad eempio cerchiamo l effetto di r ull ucita, aumiamo d d 2 0.. r y Utilizzando la traformata di Laplace, i hanno le relazioni E(), E() R() Y () e Quindi la fdt cercata riulta 2. r e Si ha utilizzando il riultato precedente E() R() R() Y () + R(). +. E() R() Y () + R() + R(). Quindi la fdt cercata riulta 3. d y Ora aumiamo r d 2 0. Si ha Quindi la fdt cercata riulta +. (D () Y ()) + D (). +. 4
4. d e Aumiamo ancora r d 2 0. Si ha E() Y (), (D () + E()) e Quindi la fdt cercata riulta 5. d 2 y Aumiamo ora r d 0. Si ha Quindi la fdt cercata riulta 6. d 2 e Aumiamo ancora r d 0. Si ha che E() (D () + E()) E() + D (). +. D 2 () Y () + D 2(). +. E() Y (), D 2 () Y (), Quindi la fdt cercata riulta Soluzione EX 2. E() + D 2(). +. La funzione di traferimento in catena chiua riulta G() + G()H() 0 2 + (2 + 0α) + 0, che può eere mea in relazione con il itema del econdo ordine del tipo ω 2 n 2 + 2rω n + ωn 2. Si deduce ubito che ω n 0 (i ricordi che ω n è non negativo per definizione). Per quanto riguarda r, dalle pecifiche u M, i ottiene la relazione M exp( πr ) 0., r 2 5
Infine da i ricava r 0.59. 2 + 2rω n + ω 2 n 2 + (2 + 0α) + 0, α 0.7. Per calcolare l errore a regime, i noti che nella configurazione propota l errore di ineguimento non corriponde all errore e(t) (queto è dovuto alla preenza del blocco H() divero da che rende la retroazione non unitaria). Denotiamo quindi con v(t) r(t) l errore di ineguimento con traformata di Laplace indicata con V (). La funzione di traferimento che lega R() a V () chiaramente riulta poiché Dopo emplici conti i ottiene e W v () W (), V () R() R() W ()R() W v ()R(). W v () R() 2 2 + (2 + 0α) 2 + (2 + 0α) + 0. Applicando il teorema del valore finale l errore di ineguimento aintotico v i calcola come decritto otto: v lim V () lim 2 + (2 + 0α) 2 + (2 + 0α) + 0 2 2 + 0α 0 0.37. Soluzione EX 3. Nota preliminare ulla funzione di enitività. In una configurazione a retroazione negativa unitaria come quella propota nell eercizio, indichiamo con W () la funzione di traferimento a catena aperta, che coincide con il guadagno di anello a volte indicato anche con, e con W quella a catena chiua, ovvero W () + W (). La relazione che, in funzione di e della la enitività a catena aperta data da W () W (), fornice lo cotamento W () a catena chiua riulta W () + W () W () W (). Si noti che i potrebbe anche compattare la formula opra mediante la definizione di funzione di enitività + W (). 6
Coa più importante, i noti che la formula permette anche di calcolare la variazione Y () dell ucita del itema a catena chiua a fronte della perturbazione W (). Infatti, i ottiene immediatamente che, e l ingreo è R(), allora W () + W () W () W ()R(). Se indichiamo con y il valore dello cotamento quando t + e aumiamo R() µ, poiamo applicare il teorema del valore finale (e il itema è tabile) ottenendo y lim + W () y µ + W (0) W () W () W () µ, W (0) W (0) W (0). Infine, e non vi è alcuna perturbazione del itema, empre applicando il teorema del valore finale, l ucita aintotica y riulta y lim W () µ µ W (0). Allora, otteniamo anche y y W (0) + W (0) W (0) (i noti che la dipendenza dall ampiezza µ dell ingreo r(t) è parita). Il primo punto dell eercizio è ora un applicazione immediata di quanto illutrato opra. Otteniamo e quindi, vito che i ha Imponendo la pecifica otteniamo la relazione richeta: y y 0.00 y y Riguardo al econdo punto, in catena chiua + W () + α + α + K a K, W (0) W (0) K K 0. W (0) + W (0) W (0) W (0) + W (0) W (0) K a 99 α K. α α + K a K 0.. α α + K a K 0., con W () + W () R() + + W () D(), W () 00 +. 7
Si ha quindi Tramite la decompoizione di Heavyide, infine i ottiene A catena aperta, con ora i ha La oluzione nel tempo riulta Soluzione EX 4. 00 0.( + ) + ( + 0) ( + 0). 00 0. ( exp(0t)) + ( + 00 exp(0t)), t 0. 0 0 W () +, W ()R() + D() ( + ) + 0.. exp(t) + 0., t 0. La funzione di traferimento che lega R() ad E() riulta pari a W () ( + 5) + W () 2 + 5 + 6. Poichè R(), otteniamo E() + 5 2 + 5 + 6. Sfruttando la decompoizione di Heavyide, otteniamo anche e Calcoli integrali elementari ora fornicono E() 3 + 2 2 + 3, e(t) 3 exp(2t) 2 exp(3t), t 0 e 2 (t) 9 exp(4t) + 4 exp(6t) 2 exp(5t), t 0. + 0 e 2 (t)dt 9 4 + 2 3 2 5 3 60. Soluzione EX 5. Sfrutteremo il principio del modello interno che, in una configurazione a retroazione negativa unitaria, lega l ordine g del polo in zero della funzione di traferimento W () a catena aperta con l errore di ineguimento aintotico e(t) r(t). A tale copo, poiché la funzione di traferimento a catena chiua è W () + W (), otteniamo W () K( + z) 2 + (3 K) + (2 Kz). 8
Si noti poi che R() 3. Dalla teoria, è noto allora che e W () ha un polo di ordine almeno g 3 in zero, l errore di ineguimento e è nullo. Se g 2, eo riulta invece divero da zero ma non divergente. L eercizio richiede proprio di imporre quet ultima configurazione. È immediato notare allora che, cegliendo K 3, z 4, i ottiene 3( + 4) W () 2. Ad ulteriore verifica, i noti che la funzione di traferimento da R() a E() con K 3 e z 4 riulta Uando il teorema del valore finale, i ottiene + W () 2 2 + 3 + 2. Soluzione EX 6. e lim 2 + 3 + 2 3 2. 2 La funzione di traferimento che lega il diturbo D() a E() riulta ( + )( + 2)( + 3) + W () ( + )( + 2)( + 3) + K. Se il itema è tabile, vito che che D() /, l errore a regime i ottiene come e lim + W (), ( + )( + 2)( + 3) e lim ( + )( + 2)( + 3) + K 6 6 + K. La oluzione è quindi il più grande K tale che il itema riulti tabile. Il polinomio che determina la tabilità della funzione di traferimento a catena chiua (e anche della funzione di traferimento che lega il diturbo D() a E()) è ( + )( + 2)( + 3) + K. Applicando il criterio di Routh otteniamo la tabella 3 2 6 6 + K 60 K 6 0 6 + K Si ha tabilità per K < 60. Si noti quindi che non eite un valore ottimo per K, nel eno che è preferibile prendere un valore il più proimo poibile a 60. Nota: tale miura di ottimalità fa riferimento unicamente a una pretazione tatica, ovvero al fatto che e K tende a 60 l errore a regime diventerà empre più piccolo. Comunque, una celta di K proimo a 60 può 9
portare a dinamiche aolutamente inoddifacenti poiché il itema tende a diventare intabile: intuitivamente, il riferimento arà raggiunto empre più lentamente al crecere di K, favorendo anche l inorgenza di ocillazioni. Soluzione EX 7. La funzione di traferimento in catena chiua riulta La funzione di enitività riulta invece Si ha allora Con Heavyide i ottiene poi Si ha e Il itema y(t r ) 0.892, ovvero W () + W () 00 0 + 0 0 + 0.. + W () 0 + 0 + 0 + 0. + 0.. W ()R() + S()D(), 0 + 0. + 00. + 0. 0. ( + 0.) ( + 0.) ( + 0.). 0.99 0.89 + 0., 0.99δ (t) 0.89 exp(0.t), t 0. y lim 00. 0 0.99. 0.9y 0.892. 0.99 0.89 exp(0.t r ) 0.892, fornice poi il valore Per quanto riguarda il econdo punto, i ha t r 0.2. y y W (0) S(0) K + W (0) W (0) K 0 5 00 0.0495%. Soluzione EX 8. La funzione di traferimento in catena chiua riulta W () + W () 3 + 2 2 + + K. Applichiamo quindi il criterio di Routh al polinomio 3 + 2 2 + + K. Si ottiene la tabella 3 2 2 K 2 K 0 K 0
Per K 0 i opera a catena aperta e non vi è tabilità caua di un polo in 0. Per K 2 una riga della tabella i annulla: il polinomio auiliario riulta 2 2 + 2 e quindi non vi è tabilità. Si conclude che il itema è tabile per 0 < K < 2. Per K il itema è tabile. La funzione di enitività riulta + W () ( + ) 2 3 + 2 2 + +. La parte dell ucita dovuta al diturbo nel dominio di Laplace riulta Y () S()D() e, applicando il teorema del valore finale, i ha ( + ) 2 ( 3 + 2 2 + + ), y, lim Y () lim 0. La parte dell ucita dovuta all ingreo, per grandi valori di t, i trova applicando il teorema della ripota in frequenza. Si ha 3 + 2 2 + + e erve valutare modulo e fae per jω con ω. Si ha W () j 3 + 2j 2 + j + j 2 + j +. Quindi, per grandi valori di t, l ucita dovuta al diturbo e all ingreo coinuoidale riulta co(t + π) co(t π). Soluzione EX 9. Poiamo inizialmente lavorare penando che l origine dei tempi ia tralata in t. La funzione di traferimento in catena chiua riulta La funzione di enitività riulta invece W () + W () 2K + 2 + 2K + W () + 2 + 2 + 2K Si ha allora, uando K, Con Heavyide i ottiene poi W ()R() + S()D(), 2 ( + 4) + 0. + 2 + 22 0. ( + 4) ( + 4). 0.55 0.45 + 4, 0.55δ (t) 0.45 exp(4t), t 0.
Si ha e Il itema y(t r) 0.495, ovvero y lim 0.55 0.9y 0.495. 0.55 0.45 exp(4t r) 0.495, fornice poi il valore t r 0.52. Coniderando la tralazione dei tempi, il valore richieto riulta quindi Per quanto riguarda il econdo punto, i ha y y W (0) + W (0) W (0) t r.52. S(0) K K 5 2 00 2.5%. Soluzione EX 0. La fdt in catena chiua riulta W () + W () + 2 Per quanto riguarda i contributo di r(t) all ucita, i ha riulta chiaro che deve eere lim lim t + + 2 a 2, b 0. ( a + b ) 2 Per quanto riguarda i contributo di all ucita, la fdt che lega il diturbo all ucita riulta + W () + + 2. Vito che S() non ha zeri ull ae immaginario, dal teorema in frequenza i ottiene che deve eere c 0: ogni altro valore porterebbe un contributo all ucita inuoidale. Riguardo al econdo punto, la fdt da tudiare riulta + + K ( + ) 2 ( + + K)( 2 + 2 + ) 3 + (K + 3) 2 + (2K + 3) + K +. Applichiamo quindi il criterio di Routh al polinomio 3 + (K + 3) 2 + (2K + 3) + K +. Si ottiene la tabella 3 2K + 3 2 K + 3 K + 2K 2 + 8K + 8 K + 3 0 K + Vito che 2K 2 + 8K + 9 > 0 K, deve eere K + 3 > 0 e K + > 0. Si conclude facilmente che il itema è tabile olo per K > vito che nel cao limite K vi e un polo in zero. 2