Linda Michelon 283577 Tesina di Geometria Prof. Gianni Mazzonetto Università IUAV di Venezia Disegno Industriale e Multimedia 2017/2018
Il rapporto aureo Il rapporto aureo è alla base di molte delle forme più armoniose della natura. Lo stesso nome, aureo, indica il senso di armonia e di perfezione generato dalle forme che si basano su questo numero nel nostro cervello. La sezione aurea si basa appunto sul rapporto aureo, quindi sul rapporto tra due numeri che hanno come risultato il numero irrazionale Phi. In natura, assume spesso la forma della spirale costruita su rettangoli che seguono infatti il rapporto 1.618:1 (Phi). Alcuni esempi della spirale aurea in natura possono essere alcune forme di conchiglie, la disposizione degli stami dei fiori, la forma delle galassie, dei cicloni e tantissime altre. 3
Andrò di seguito ad analizzare l applicazione della proporzione aurea all interno di tre loghi molto famosi, i quali riescono appunto ad ottenere una gran armonia visiva e perfezione. Parliamo dei loghi del National Geographic, di Apple e della Pepsi. Innanzitutto, precisiamo che la sezione aurea è il medio proporzionale tra l intero segmento (A+B) ed il segmento minore B. (A+B) : A = A : B Il rettangolo aureo, che come andremo a vedere è alla base dei loghi che verranno analizzati, è un rettangolo le cui dimensioni soddisfano la proporzione aurea; ossia dette A e B le dimensioni del rettangolo, con A > B, la dimensione minore (B) è medio proporzionale tra la maggiore (A) e la differenza tra la maggiore e la minore (A-B). 4
The National Geographic Magazine è una rivista mensile della National Geographic Society pubblicata in moltissimi paesi del mondo e tradotta in 31 lingue diverse, contando il numero di ben cinquanta milioni di lettori al mese. Il suo logo si presenta semplice, ma analizziamolo meglio. Iniziamo tracciando le prime due rette, parallele tra di loro: retta f passante per A (-6,0) e B (6,0) f: y=0-6 x 6 retta h passante per C (6,17.43) e D (-6,17.43) h: y=17.43-6 x 6 Procediamo con altre due rette, sempre parallele tra di loro: retta g passante per B (6,0) e C (6,17.43) g: x=6 0 y 17.43 retta i (parallela alla retta g rispetto all asse delle y) passante per D (-6,17.43) e A (-6,0) i: x=-6 0 y 17.43 5
Terminiamo con le rette (sempre parallele a coppie) interne al logo: retta j passante per E (-4.26,1.77) e F (4.26,1.77) j: y=1.77-4.26 x 4.26 retta l passante per G (4.26,15.66) e H (-4.26,15.66) l: y=15.66-4.26 x 4.26 retta k passante per F (4.26,1.77) e G (4.26,15.66) k: x=4.26 1.77 y 15.66 retta m (parallela alla retta k rispetto all asse delle y) passante per H (-4.26,15.66) e E (-4.26,1.77) m: x=-4.26 1.77 y 15.66 La costruzione del logo è effettivamente molto semplice, ma anlizzandolo più in profondità possiamo vedere che si basa sul rapporto aureo; difatti il rapporto tra il lato più lungo a ed il lato minore b da come risultato 1.618 (Phi). a/b = 74.5/45.75 = 1.62 6
Apple Inc., chiamata in precedenza Apple Computer e nota solo come Apple, è un azienda statunitense che produce sistemi operativi, computer e dispositivi multimediali. Procediamo analizzando la costruzione del suo logo. Iniziamo tracciando delle circonferenze: circonferenza c di centro C (0.98,0.47) passante per D (0.78,0.4) c: (x-0.98) 2 + (y-0.47) 2 = 0.04 0.77 x 0.9 0.27 y 0.65 7
circonferenza c 1 di centro C 1 (0.34,0.54) passante per D 1 (0.14,0.46) c 1 : (x-0.34) 2 + (y-0.54) 2 = 0.04 0.16 x 0.33 0.65 y 0.75 circonferenza e simmetrica alla circonferenza c 1 rispetto alla retta f (x=0.52) e: (x-0.7) 2 + (y-0.54) 2 = 0.04 0.71 x 0.88 0.65 y 0.75 8
circonferenza c 2 di centro C 2 (0.71,0.76) passante per D 2 (0.51,0.69) c 2 : (x-0.71) 2 + (y-0.76) 2 = 0.04 0.5 x 0.7 0.75 y 0.97 circonferenza c 3 di centro C 3 (0.49,0.96) passante per D 3 (0.3,0.88). È simmetrica alla circoferenza c 2 rispetto alla retta i (-0.22x + 0.2y = 0.04) passante per E 1 (0.7,0.97) e F 1 (0.5,0.95), punti di intersezione fra le circonferenze c 2 e c 3 c 3 : (x-0.49) 2 + (y-0.96) 2 = 0.04 0.5 x 0.7 0.75 y 0.97 9
circonferenza c 4 di centro C 4 (0.52,-0.15) passante per D 4 (0.32,-0.22) c 4 : (x-0.52) 2 + (y-0.15) 2 = 0.04 0.42 x 0.62 0.04 y 0.06 circonferenza d di centro E (0.36,0.14) passante per F (0.31,0.03) d: (x-0.36) 2 + (y-0.14) 2 = 0.01 0.26 x 0.42 0.02 y 0.26 circonferenza d simmetrica alla circonferenza d rispetto alla retta f (-0.9x = -0.47) d : (x-0.68) 2 + (y-0.14) 2 = 0.01 0.62 x 0.78 0.02 y 0.26 10
Procediamo tracciando degli archi di circonferenza, ed in seguito delle ellissi: arco di circonferenza g passante per i seguenti tre punti: A 1 (0.36,0.75) T (0.44,0.72) H 1 (0.51,0.7) arco di circonferenza k passante per i seguenti tre punti: H 1 (0.51,0.7) J 1 (0.59,0.73) B 1 (0.68,0.74) 11
ellisse h con fuochi in M (0.29,0.61) e U (0.6,0.05), e passante per il punto V (0.22,0.12) 2.72x 2 + 1.39xy + 1.85y 2-2.88x - 1.84y = -0.66 0.16 x 0.26 0.07 y 0.66 ellisse h simmetrica all ellisse h rispetto alla retta f (-0.9x = -0.47) 12 2.72x 2-1.4xy + 1.85y 2-2.76x - 0.4y = -0.66 0.78 x 0.9 0.07 y 0.27
L analisi nella sua interezza, quindi, risulterà come qui sotto riportato. Segue la figura ripulita. 13
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Inoltre, il logo di Apple è un altro esempio calzante del rapporto aureo. Questo è infatti interamente composto da cerchi, i cui raggi danno i numeri della successione di Fibonacci e possono essere inscritti perfettamente all interno del rettangolo aureo. 15
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Testo Come ultimo esempio, andremo ad analizzare il logo della Pepsi, bevanda analcolica di tipo soft drink prodotta dalla PepsiCo. Iniziamo tracciando delle circonferenze. circonferenza c di centro C (0.5,0.41) passante per D (0.8,0.17) c: (x-0.5) 2 + (y-0.41) 2 = 0.15 0.12 x 0.88 0.03 y 0.79 circonferenza d di centro C (0.36,0.14), concentrica alla circonferenza c e passante per E (0.78,0.19) d: (x-0.5) 2 + (y-0.41) 2 = 0.13 0.14 x 0.86 0.05 y 0.77 circonferenza e di centro F (0.56,0.53) passante per G (0.67,0.76), intersezione con la circonferenza c c: (x-0.56) 2 + (y-0.53) 2 = 0.06 0.31 x 0.81 0.28 y 0.78 17
Tracciamo in seguito due archi di circonferenza. arco di circonferenza f passante per i seguenti tre punti: H (0.21,0.2) I (0.52,0.38) J (0.71,0.69) arco di circonferenza g passante per i seguenti tre punti: K (0.23,0.18) L (0.44,0.24) M (0.61,0.29) 18
Ripulendo la figura, questo sarà quello che otteniamo: 19
Inoltre, come già abbiamo osservato per i loghi precedenti, anche quello della Pepsi presenta delle circonferenze i cui diametri sono perfettamente rappresentativi del rapporto aureo. b = 11.8 a = 19.2 a/b = 19.2/11.8 = 1.62 20