Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. M. Bramanti Politecnico di Milano, A.A. / Appello del 6 febbraio Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Parte. Esercizi Esercizio Calcolare lim n!+ n e n n+ d giusti cando il procedimento seguito e le conclusioni. Esercizio I primi polinomi di Laguerre sono: L () = ; L () = ; L () = + ; ::: Calcolare il polinomio di grado che meglio approssima la funzione f () = e = nello spazio L ((; +) ; e d). Esercizio Risolvere esplicitamente, mediante separazione di variabili il seguente problema di Dirichlet per un equazione di ellittica sul quadrato Q = [; ] [; ]: >< >: u u yy + u = per (; y) [; ] [; ] u (; y) = u (; y) = per y [; ] u (; ) = per [; ] u (; ) = sin (5) per [; ] : Esercizio. Determinare la soluzione debole del seguente problema ai limiti unidimensionale: (a () u ()) = f () per ( ; ) u ( ) = u () = dove a () = per < f () = jj per > Signi cato sico: equazione di di usione del calore (in stato stazionario) in una sbarra che ha un coe ciente di conducibilità diverso nella metà di destra
e di sinistra (es.: due metalli diversi saldati insieme); la temperatura ai due estremi è tenuta costante zero; è presente una sorgente di calore (il termine noto f ()) che riscalda la sbarra in modo non uniforme. Parte. Domande teoriche Domanda In uno spazio metrico, dare la de nizione di successione di Cauchy, ricordare le principali proprietà che riguardano questo concetto, quindi dare la de nizione di spazio metrico completo e di spazio di Banach. Fare esempi di spazi vettoriali normati che sono o non sono completi, privilegiando gli esempi di spazi di funzioni. Domanda I teoremi di convergenza per l integrale di Lebesgue: enunciare il teorema della convergenza monotona, il teorema di Fatou, il teorema della convergenza dominata e dimostrarne uno. Domanda Scrivere il generico operatore uniformemente ellittico completo (ricordando la de nizione di ellitticità). Quindi, enunciare con precisione e dimostrare un risultato di esistenza e unicità della soluzione debole di un problema di Dirichlet omogeneo per l equazione uniformemente ellittica.
Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. M. Bramanti Politecnico di Milano, A.A. / Svolgimento Appello del 6 febbraio Parte. Esercizi Esercizio Calcolare lim n!+ n e n n+ d giusti cando il procedimento seguito e le conclusioni. Sia Si ha e per > f n () = n e f n () =, n n+ : n n + n n = n ; f n () n e n = e = n. Ora uno studio elementare della funzione g () = e = mostra che g () g () = e <. Pertanto n f n ()! : e Quindi f n ()! per n! + per ogni [; +): Per passare al limite sotto il segno di integrale applichiamo il teorema di Lebesgue. La maggiorante integrabile è proprio g () perché n per ogni n = ; ; ::: e = e= proprio in quanto < per ogni > :Quindi e = lim n!+ Esercizio n e n n+ d = lim n!+ n e Z n + n+ d = d = :
I primi polinomi di Laguerre sono: L () = L () = ; L () = ::: + ; Calcolare il polinomio di grado che meglio approssima la funzione f () = e = nello spazio L ((; +) ; e d). Calcoliamo anzitutto: Quindi: e = e d = e = e d = e = e d = f () n e d per n = ; ; : e = d = e = e = = d = e = + = 6 9 = + e = d = + = + + e = e = d = 6 9 : + e = d + e = d hf; L i = hf; L i = hf; L i = e = d e = d e la proiezione richiesta è: e = d = e = d + 6 9 = 9 e = d = 6 9 + 6 9 = 7 P f () = hf; L i L + hf; L i L + hf; L i L = 9 ( ) + + 7 = 9 + + + 7 9 7 7 = 7 + 7 + 7 :
Gra co di f () e = e P f () e = : Esercizio Risolvere esplicitamente, mediante separazione di variabili il seguente problema di Dirichlet per un equazione di ellittica sul quadrato Q = [; ] [; ]: >< >: u u yy + u = per (; y) [; ] [; ] u (; y) = u (; y) = per y [; ] u (; ) = per [; ] u (; ) = sin (5) per [; ] : Cercando u (; y) = X () Y (y) si trova (scrivo solo i passaggi essenziali): X X = Y Y = = cost. Le condizioni u (; y) = u (; y) = portano al problema agli autovalori: X = X X () = X () = che dà X n () = sin (n) n = n ; n = ; ; ; ::: Quindi si ha: che ha integrale generale Y = + n Y Y n (y) = a n e p +n y + b n e p +n y : Imponendo anche la condizione Y n () = si trova (dopo qualche calcolo) Sh p + n ( y) Y n (y) = c n Sh p + n 5
quindi u (; y) = X Sh p + n ( y) c n Sh p + n sin (n) n= e imponendo u (; ) = sin (5) si ha c 5 = ; gli altri coe cienti nulli. Perciò: u (; y) = Sh p + 5 ( y) Sh p + 5 sin (5) Esercizio. Determinare la soluzione debole del seguente problema ai limiti unidimensionale: (a () u ()) = f () per ( ; ) u ( ) = u () = dove a () = per < f () = jj per > Signi cato sico: equazione di di usione del calore (in stato stazionario) in una sbarra che ha un coe ciente di conducibilità diverso nella metà di destra e di sinistra (es.: due metalli diversi saldati insieme); la temperatura ai due estremi è tenuta costante zero; è presente una sorgente di calore (il termine noto f ()) che riscalda la sbarra in modo non uniforme. Risolviamo prima separatamente nelle due metà [ ; ] ; [; ] in cui a e f sono regolari e la soluzione è quella classica. In [ ; ]: u () = per ( ; ) u ( ) = 6
che dà: u () = + a + b = u ( ) = a + b b a = : In [; ]: u () = per (; ) che dà: u () = u () = + c + d = u () = + c + d c + d = : Imponendo la continuità di u in (necessaria a nché u sia H ( trova b = d. Quindi abbiamo: ( u () = + a + b per ( ; ) + c + b per (; ) ; )) si con b a = c + b = La terza condizione mancante per determinare i coe cienti si ottiene imponendo che u sia soluzione in senso debole su tutto ( ; ): ossia, calcolando Z a () u () () d = Z f () () d Z u () = + a per ( ; ) + c per (; ) + a Z () d+ + c () d = Z () d+ Z () d 7
Integrando per parti a primo membro: Z + a () d + = + a () + () + a = + c c () Z Z Z Z + c () d () d () d + che uguagliato al secondo membro dà la condizione a c = : Z () d () d (Equivalente alla condizione di continuità di a () u () in ). Si tratta ora di risolvere il sistema < < e quindi la soluzione: u () = b a = c + b = : che dà: a c = : ( a = 5 b = 5 c = + 5 + 5 per ( ; ) + + 5 per (; ) A titolo illustrativo, rappresentiamo anche il gra co della densità di corrente termica ( a () u () = + per ( ; ) + per (; )
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