Simulazione della Prova Scritta di Logica e Fondamenti di Matematica 30 aprile 013 Nome, cognome, numero di matricola Punteggio totale 1. (i) lassificare le seguenti formule in tautologie, contraddizioni o formule contingenti: (a) (p q) ( p q) (punti 1) (b) ((p r) q) (p q) (punti 1) (c) (p q) (q p) (punti 1) (d) (p q) ( p q) (punti 1) Sol.: Tautologia Sol.: ontraddizione Sol.: Tautologia Sol.: Formula ontingente (ii) Indicare, se ce ne sono, quali di queste formule sono equivalenti fra di loro. (punti 1) Sol.: Le formule di (a) e di (c) sono equivalenti, perché entrambe sono tautologie. Non ci sono altre.. onsiderando i seguenti valori per le lettere sentenziali: p = I concetti sono entità soggettive; q = I concetti sono entità oggettive; r = Si può fare logica; s = È possibile spiegare lo status metafisico dei concetti. Formalizzare gli enunciati seguenti: (i) I concetti sono entità soggettive oppure oggettive. (punti 1) Sol.: (p q) (ii) Se sono oggettive, allora si può fare logica ma è impossibile spiegare lo status metafisico dei concetti. (punti 1) Sol.: q (r s) (iii) Se sono soggettive, allora non si può fare logica, ma si può spiegare lo status metafisico dei concetti. (punti 1) Sol.: p ( r s) (iv) Tuttavia, non si può spiegare lo status metafisico dei concetti. (punti 1) Sol.: s (v) Quindi, i concetti sono entità oggettive e si può fare logica. (punti 1) Sol.: (q r) 3. onsideriamo gli insiemi = {1,, 4}, B = {, 3}, = {1, 3, 4}, = {{1, }, 4}. (i) alcolare: (a) \ (B ); (punti 1) Sol.: B = {3}, quindi {1,, 4} \ {3} = {1,, 4}. (b) ( \ B) ( \ ). (punti 1) Sol.: \ B = {1, 4}, \ = {}, quindi ( \ B) ( \ ) = {1, 4} {} = {1,, 4}. lternativamente, in virtù delle leggi di e Morgan, ( \ B) ( \ ) = \ (B ), e quindi la soluzione è la stessa di (a). (ii) Enumerare tutti i sottoinsiemi di e di. (punti 1) Sol.: I sottoinsiemi di sono 3 = 8:, {1}, {}, {4}, {1, }, {1, 4}, {, 4}, {1,, 4}. I sottoinsiemi di sono = 4:, {{1, }}, {4}, {{1, }, 4}. (iii) escrivere l insieme B per compressione. (punti 1) Sol.: B = {x : x N 1 < x < 4}, cioè, B = {x : x è un numero naturale maggiore di 1 e minore di 4}. (iv) Trovare degli insiemi X, Y, Z tali che X \ (Y Z) (X \ Y ) (X \ Z). (punti ) Sol.: Se prendiamo, ad esempio, X = {1}, Y = {1} e Z =, allora X\(Y Z) = {1}\({1} ) = {1} \ = {1}, mentre invece (X \ Y ) (X \ Z) = ({1} \ {1}) ({1} \ ) = {1} =. In realtà, sono pochi gli insiemi che soddisfano la uguglianza. 1
4. onsideriamo l insieme = {x : x è un bambino sardo}, e sia R = { x, : x e sono bambini della stessa età}. ire se sono vere o false le affermazioni seguenti: (i) R non è una relazione di equivalenza su perché R non è transitiva. (punti 1) Sol.: Falsa (ii) R non è una relazione di equivalenza su perché R non è simmetrica. (punti 1) Sol.: Falsa (iii) R è una relazione di equivalenza su le cui classi di equivalenza sono tante quanti sono gli anni che un bambino può avere. (punti 1) Sol.: Vera. Perché due bambini stanno nella stessa classe di equivalenza se hanno la stessa età, e quindi ci sono classi di equivalenza tanti quanti sono gli anni che un bambino può avere. (iv) R è una relazione di equivalenza su le cui classi di equivalenza sono tante quanti sono i bambini sardi. (punti 1) Sol.: Falsa. Perché (iii) è vera, e non possono essere entrambe vere. 5. (i) Trovare due numeri tali che la loro somma sia 6 e la differenza tra i loro quadrati sia 10. (punti ) Sol.: Siano x e i numeri. evono soddisfare: { x + = 6 x = 10 Una forma di risolvere il sistema è isolando x nella prima equazione e sostituirla nella seconda: x = 6, e quindi (6 ) = 10. Sviluppando otteniamo: (36 1 + ) = 10, e per tanto 36 1 = 10. Isolando in questa equazione otteniamo 1 = 10 36, cioè 1 = 84, e finalmente = 84 1, = 7. Siccome x = 6, allora x = 6 ( 7), pertanto x = 13. Una forma alternativa sarebbe la seguente: osservare che x = (x + ) (x ). E quindi, dividendo la seconda equazione per la prima: x x + = 10 6, (x + )(x ) = 10 x + 6, x = 0. Per tanto, il sistema è equivalente a: { x + = 6 x = 0 Sommando le due equazioni, otteniamo x = 6, e quindi x = 13, e restando la seconda alla prima otteniamo = 14, e quindi = 7. Per ogni metodo otteniamo la stessa soluzione: i numeri sono 7 e 13. In fatti, 13+( 7) = 6 e 13 ( 7) = 169 49 = 10. (ii) Risolvere il sistema di equazioni: 6x + 5 = 4 3x = 5 (punti ) Sol.: Isolando nella seconda equazione, otteniamo: = 3x 5, e sostituendo nella prima otteniamo: 6x + 5(3x 5) = 4. Sviluppando, arriviamo a 1x = 49, e quindi x = 7 3. Sostituendo in = 3x 5, otteniamo = 7 5, cioè =. }
6. Il prodotto di due numeri naturali dispari consecutivi è 33. Quali sono questi numeri? (punti ) Sol.: Siano x e i due numeri che cerchiamo. Siccome sono dispari consecutivi, allora possiamo suporre che = x +. Il suo prodotto è 33, e quindi x(x + ) = 33, e sviluppando otteniamo: x + x 33 = 0. Questo è una equazione di secondo grado e le sue soluzioni, se ce ne sono, si ottengono con la formula generale: x = ± 4 4 1 ( 33) = ± 196 = ± 36 e per tanto: x = + 36 = 34 = 17 oppure x = 36 = 38 = 19. Siccome i numeri devono essere naturali, allora la soluzione negativa della equazione non è en realtà una soluzione al nostro problema, e la unica che dobbiamo prendere in considerazione è x = 17, e quindi = x + = 17 + = 19. I due numeri sono: 17 e 19, che effettivamente sono naturali e dispari consecutivi, e il suo prodotto è 33. 7. (i) alcolare il massimo comune divisore e minimo comune multiplo delle seguenti coppie di numeri: (a) 94, 88; (punti 1) Sol.: 94 88 = 1 con resto 4; 88 4 = 1 con resto 0. Quindi, M(94, 88) = 4, e mcm(94, 88) = 94 88 4 = 19404. (b) 11536, 163. (punti 1) Sol.: 11536 163 = 5 con resto 71; 163 71 = 3 con resto 0. Quindi M(11536, 163) = 71 e mcm(11536, 163) = 11536 163 71 = 34608. (ii) Trovare le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali: (a) 5, 3407. (punti 1) Sol.: Se a = 5, 3407, allora 10a = 53, 407, 10000a = 53407, 407, e quindi ioè 10000a 10a = 53407, 407 53, 407 9990a = 53354, e quindi a = 53354 9990. (b) 64, 01. (punti 1) Sol.: Se a = 64, 01, allora 100a = 6401, 01, e quindi 100a a = 6401, 01 64, 01. Pertanto: 99a = 6337 e quindi a = 6337 99. 3
8. bbiamo un pezzo di carta rettangolare che è proporzionale alla sua metà. (i) Quale è il rapporto fra il lato lungo e il lato corto? (punti ) (ii) Quale è il rapporto fra la diagonale del quadrato sul lato corto e il lato lungo? (punti ) (iii) Se la sua area è 1/16 m, quanto misurano i suoi lati? (punti ) Sol.: bbiamo un rettangolo che è proporzionale alla sua metà. Se i suoi lati sono x = e = B, allora i lati del rettangolo metà saranno E = / e = x. E E F x / F B x (i) La prima domanda è quale è il rapporto fra il lato lungo e il lato corto, cioè, dobbiamo dire quanto vale /x. Siccome i due rettangoli sono proporzionali, allora il rapporto fra il suoi lati più lunghi sarà uguale al rapporto fra i suoi lati più corti, cioè: x = x. Se passiamo dall altro lato i denominatori, otteniamo: = x x cioè = x. Passando ancora x e, rispettivamente, da l altro lato otteniamo: x = e quindi x =. (ii) La seconda domanda è quale è il rapporto fra la diagonale del quadrato sul lato corto, x = e il lato lungo = B. d G Siccome il lato corto è x, allora per il Teorema di Pitagora, il quadrato della diagonale sarà d = x + x, cioè d = x, e quindi d = x. alla equazione x =, otteniamo anche = x. ioè H B d =. (iii) La ultima domanda è calcolare x e se sappiamo che l area del pezzo di carta è 1/16 m. L area del rettangolo è il prodotto dei suoi lati, cioè: x = 1 16. Siccome = x, come abbiamo già visto, allora: x x = 1 16 cioè x = 1 16. 4
Quindi: x = 1 4 4 m 0, 10m = 10mm, e = x = 4 4 m 0, 97m = 97mm. ioè, il nostro pezzo di carta è esattamente un folio 4! Infatti, questa è la definizione dell 4. La sua metà è un 5, che è proporzionale all 4. Quindi, il punto (i) ci dice come possiamo ottenere una approssimazione di : soltanto dobbiamo dividere il lato lungo per il lato corto di un folio 4, cioè: dividere 97 per 10: 97/10 1, 4143 1, 414. Lo stesso si può fare con un 5, e con un 3, o con un 0, 1,... 0 L area di un 0 è di 1m, e ogni elemento successivo della serie IN si ottiene dividendo il precedente a metà. 1 3 4 5 5 osì, l 4 è il risultato di dividere l 0 in 16 pezzi uguali, e per questo motivo ha un area di 1/16 m. 9. Si deve costruire un ponte su un fiume, e il ponte deve partire dall estremo all estremo B. amminando da in linea retta e perpendicolarmente a B, arriviamo a un punto dal quale si vedono e B da un angolo di 60 o. Se continuiamo a camminare altri 50 metri, sempre in linea retta, arriviamo a un punto dal quale si vedono e B da un angolo di 40 o. Quale è la lunghezza del ponte che si deve costruire? (Si può ricorrere al fatto che: sen(0 o ) 0, 34, sen(40 o ) 0, 64, sen(60 o ) 0, 87.) (punti 4) 60 o x β α B Possiamo rappresentare i dati del problema con questa figura, laddove x = B e la distanza che vogliamo trovare, = B è una distanza ausiliaria che useremo, = 50m, e α e β sono gli angoli indicati. 50m 40 o Siccome la somma degli angoli di un triangolo è 180 o, possiamo calcolare α = 180 o 90 o 60 o = 30 o. E poi possiamo calcolare anche β = 180 o 30 o 90 o 40 o = 0 o. Il triangolo B è rettangolo in Â, e quindi per la definizione del seno di un angolo, otteniamo che sen(60 o ) = x/, e pertanto x = sen(60 o ). pplicando il Teorema dei Seni al triangolo B, otteniamo che: sen(40 o ) = 50 sen(0 o ) e quindi = 50 sen(40o ) sen(0 o. ) Pertanto: x = sen(60 o ) = 50 sen(40o ) sen(0 o sen(60 o ) = 50 sen(40o ) sen(60 o ) ) sen(0 o ) 50 0, 64 0, 87 x 81, 88m. 0, 34 Quindi, la lunghezza del ponte è di 81, 88m. (Questo problema è analogo al problema 30 che abbiamo risolto a lezione.) 5