Rcham u tem lnear Ingegnera dell'automazone Coro d Stem d Controllo Multvarable - Prof. F. Amato Verone. Ottobre 0
Rappreentazone ISU Rcordamo che la rappreentazone ISU d un tema LI a tempo-contnuo è del tpo: x ( t Ax( t Bu( t y( t Cx( t Du( t dove A, B, C, D ono matrc opportune la cu dmenone dpende dall ordne del tema, dal numero d ngre e dal numero d ucte. Amato Verone. Ottobre 0
Le rappreentazon ISU pretano n modo del tutto naturale a rappreentare tem MIMO. In partcolare e l tema è d ordne n con m ngre e r ucte, avremo x( t n m R u( t R y( t R r A R nxn B R nxm C R rxn D R rxm Amato Verone. Ottobre 0 3
Un tema LI a tempo-dcreto può nvece rappreentare come egue x( k y( k Ax( k Cx( k Bu( k Du( k Nell ambto d queto coro tratteremo eenzalmente tem LI a tempo-contnuo; tuttava tem a tempo-dcreto aranno utl per dervare n manera emplfcata e pù ntutva alcun rultat vald anche nel tempo-contnuo. Amato Verone. Ottobre 0 4
Funzone d trafermento Una rappreentazone alternatva d un tema lneare, nel cao SISO, è cottuta dalla funzone d trafermento (Fd. La funzone d trafermento preenta otto forma del rapporto d due polnom della varable complea. Ea è defnta come l rapporto tra la traformata d Laplace dell ucta e la traformata d Laplace dell ngreo del tema. W ( Y ( b b n n 0 n n U ( a b a n n Amato Verone. Ottobre 0 5
Amato Verone. Ottobre 0 6 Le vare rappreentazon della fdt Per llutrare le vare rappreentazon d una tea funzone d trafermento rcordamo che un polnomo del econdo ordne avente radc complee conugate α±jω può avere le eguent equvalent rappreentazon: morzamento coeffcente d pulazone naturale dove : ω α α ξ ω α ω ω ω ξ a a a a a a a a a a n n n
Conderamo ad eempo W ( ( ( 3 3 3 3 5 3 ( ( 0.5 3 3 ( 0.5 rapporto d polnom zer - pol guadagno e cotant d tempo 3 / 3 ( 3 ( 3 guadagno, cotant d tempo, pulazon natural e coeffcent d morzamento Amato Verone. Ottobre 0 7
Dunque n generale la fdt può metter nella forma: ' ' ( τ ( τ ' ' ξ ξ ' ' ' ' ωn ω n ωn ω n W ( k ξ ξ ( τ ( τ ωn ω n ωn ω n k guadagno (tatco ' τ cotant d tempo degl zer real τ cotant d tempo de pol real ' ξ coeffcent d morzamento degl zer comple conugat ξ coeffcent d morzamento de pol comple conugat ' ωn pulazone naturale degl zer comple conugat ω pulazone naturale de pol comple conugat n Amato Verone. Ottobre 0 8
I termn notevol che compaono nell epreone d W( ono: Pol (zer real emplc (τ ±, dove τ è detta cotante d tempo. Pol (zer real multpl (τ ± Pol (zer comple emplc ( / ω n ξ/ω n ± dove ω n è detta pulazone naturale e ξ coeffcente d morzamento. Pol comple multpl (raro Amato Verone. Ottobre 0 9
Un tema MIMO vene decrtto attravero una Matrce d rafermento, coè una matrce cu element ono Fd. Amato Verone. Ottobre 0 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( W W W W W W W W W rm r r m m
Legame tra le rappreentazon Il legame tra la rappreentazone ISU e la rappreentazone IU (data dalla Fd è eprea dalla formula ( I A B D W ( C Rcordamo che pol della Md d un dato tema rappreentano un otto-neme (non necearamente tretto degl autovalor della matrce dnamca A. Amato Verone. Ottobre 0
Rpota de tem LI La rpota nello tato d un tema LI a tempo-contnuo, a partre da una data condzone nzale x 0, può por nella forma (evoluzone lbera pù forzata: t A( t τ 0 e Bu( τ At x( t e x dτ 0 La funzone matrcale e At chama Matrce d ranzone e può eere calcolata a analtcamente che numercamente. Amato Verone. Ottobre 0
e In partcolare e At può calcolar come ommatora d eponenzal calar attravero l epreone dervante dalla decompozone pettrale (qu fa l pote che tutt gl autovalor d A ano dtnt: e At λ t u w λ u w : : autovalore emo d A Au w λ u A λ w autovettore detro emo d A autovettore ntro emo d A Nota : ad autovalor dtnt corrpondono autovettor lnearmente ndpendent Amato Verone. Ottobre 0 3
Data l epreone d e At, not che l evoluzone forzata nello tato può crver n u 0 t e λ ( t τ w Bu( τ dτ Da cu deduce che l nfluenza dell ngreo u(. nella drezone ndvduata nello pazo d tato dall autovettore u dpende temporalmente dalla legge e λt e come ampezza da w B. Se w B0 l ngreo non dà neun contrbuto nella drezone u. Vedremo che queto corrponde alla tuazone n cu l modo d evoluzone -emo non è controllable. Amato Verone. Ottobre 0 4
Se uppone che gl autovalor λ,,,p ano real e gl autovalor λ h, h,,q ano comple conugat, con pqn, può crvere: e At p q λt e uw h ( u u ha hb e α t h co en ( ωht en( ωht ( ω t co( ω t h h w w ha hb λ u w u α w h ha ha ± ± ± autovalor real d A autovettor real detr d A autovettor real ntr d A jω ju h hb jw hb autovalor comple conugat d A autovettor detr comple conugat d A autovettor ntr comple conugat d A Amato Verone. Ottobre 0 5
I termn dpendent da e λt ono dett mod d evoluzone aperodc. I termn dpendent da e αht enω h t, e αht coω h t, ono dett mod d evoluzone peudoperodc. Un altro modo per calcolare e At analtcamente, è quello d effettuare l anttraformata della matrce d tranzone e At Φ( L ( Φ( ( I A Amato Verone. Ottobre 0 6
Infne e At può eere calcolata numercamente attravero l epreone dervante dal uo vluppo n ere: e At I At A t! Amato Verone. Ottobre 0 7
La rpota n ucta d un tema LI a tempocontnuo, a partre da una data condzone nzale x 0, può por nella forma t At y( t Ce x W ( t τ u( τ dτ 0 0 dove W(t è la rpota mpulva del tema. Amato Verone. Ottobre 0 8
Utlzzando l epreone d e At, l ucta può crver y( t n Cu e n λ t t λ ( τ w x t Cu 0 e w 0 Bu( τ dτ S not che e Cu 0 l modo d evoluzone aocato all autovalore -emo non compare n ucta. Come vedremo queto è legato al fatto che l modo d evoluzone -emo non è oervable. Inoltre, relatvamente all -emo modo d evoluzone, l azone dell ngreo u(. è dretta (nello pazo delle ucte nella drezone ndvduata dal vettore Cu e l ampezza dpende da w B. Amato Verone. Ottobre 0 9
La rpota d un tema LI a tempo-contnuo può eere calcolata: Analtcamente, utlzzando l metodo della traformata d Laplace Numercamente attravero la mulazone al calcolatore Amato Verone. Ottobre 0 0
Cambo d bae nello pazo d tato Un dato tema lneare poede nfnte rappreentazon ISU tutte equvalent tra loro. È poble paare da una rappreentazone ad un altra ad ea equvalente, attravero una traformazone d bae nello pazo d tato. S conder un dato tema avente una rappreentazone ISU ndvduata dalla quadrupla (A,B,C,D. Sa una matrce quadrata nvertble; conderamo l cambo d bae epreo da z x Amato Verone. Ottobre 0
Attravero l cambo d bae gungamo ad una nuova rappreentazone del tpo z Az ˆ Bu ˆ y Cz ˆ Du Aˆ A Bˆ B Cˆ C Amato Verone. Ottobre 0
Attravero l cambo d bae gungamo ad una nuova rappreentazone del tpo z Az ˆ Bu ˆ y Cz ˆ Du Aˆ A Bˆ B Cˆ C Amato Verone. Ottobre 0 3