SOLUZIONI IV Scientifico - 24 Novembre 204 0 02 03 04 05 06 07 08 09 0 20 D C C C C E E E E C 202 E C C A C D E A A C 203 E A C E C C A C E C 204 D C B E A B A A A A 205 E E D C D B C C E A 206 D D B C A C E C E E Soluzioni 20. Quale fra le seguenti funzioni ha il grafico che non passa per il punto P (, 0)? R: sin ( π 2 ) = 0. A. x +. B. 7x 8 7x 4. C. x 3 + 3x 2 x 3. D. sin π 2 x. 2. Quale ( fra le seguenti funzioni ha per derivata 2 cos x 4x 3 +? 2 sin x x 4 + x 6 ) = 2 cos x 4x 3 + R: d dx A. 8x 8 4x 4 + x cos x. B. 2 cos x + 6x 5 2x 2. C. 2 sin x x 4 + x 6. D. 2 sin x 3 7x 4. 3. Il polinomio p(x) = x 3 3: R: p(x) = 0 per x = 3 3; p (x) = 3x 2. quindi non ha un minimo per x = ; la derivata si annulla in 0, dove si ha anche p (x) = 6x = 0, per cui si tratta di un punto di flesso a tangente orizzontale. A. Non ha zeri. B. Ha un minimo in (, 5). C. Non ha massimi o minimi. D. Non presenta punti di flesso.
MATEMATICA 2 Pag. 2 di 9 24 Novembre 204 4. Quale fra le seguenti funzioni ha un flesso a tangente obliqua nel punto P (0, 2)? R: Cerchiamo una funzione che passa per (0, 2) (e questo esclude A, B, D); inoltre deve essere f (0) 0 e f (0) = 0, quindi è la C. A. x 5. B. (x ) 4. C. x 3 + x + 2. D. (x ) 3. 5. Per quale valore di k R la funzione p k (x) = x 3 3k x + presenta tre radici coincidenti? R: Trattandosi di un polinomio, nello stesso punto x 0 si devono annullare sia p(x), sia p (x), sia p (x). Ma è p (x) = 0 solo per x = 0, e p(0) = k, per cui è la C. A. k = 0. B. k =. C. Nessun valore di k. D. k = 3. 6. Qual è il risultato di 3 ( 3x 2 2 ) dx R: Una primitiva della funzione integranda è F (x) = x 3 2x, quindi A. 3 3. B. 0. C. 2. 3 ( 3x 2 2 ) dx = [ x 3 2x ] 3 = (27 6) ( 2) = 2 ( ) = 22 D. 0 3. 7. Qual è il risultato di d x ( t 2 + 4t 2 ) dt dx 2 R: Basta sostituire l estremo superiore al posto della variabile d integrazione (teorema fondamentale) quindi il risultato è x 2 + 4x 2. A. 3 4.
MATEMATICA 2 Pag. 3 di 9 24 Novembre 204 B. x 3 3 + 2x2. C. 4. D. x 2 + 4x. 8. Qual è il periodo della funzione f(x) = cos ( π 2 x 3π)? R: Il periodo di una funzione del tipo cos(ωt + ϕ) è dato da T = 2π ω T = 2π π/2 = 4 A. π 2. B. 4π 7. C. π. D. 4π. quindi nel nostro caso 9. La posizione di una particella è data da s(t) = sin 4t. Qual è la sua accelerazione all istante t = 4π? R: s (t) = 4 cos 4t; s (t) = 6 sin 4t, quindi s (4π) = 6 sin 6π = 6 0 = 0 A. m s 2. B. 2 m s 2. C. m s 2. D. 0 m s. 0. Sapendo che e x > 0 x R, qual è il minimo assoluto della funzione f(x) = (x 2)e x? R: Si tratta del prodotto di due funzioni, vale la regola D[f g] = f g + fg. Quindi è f (x) = e x +(x 2)e x = (x )e x che, per quanto detto sulla funzione esponenziale, sempre positiva, si annulla soltanto per x = e ha lo stesso segno di x. Dal momento che la f(x) è decrescente prima di x = e crescente alla sua destra, ed inoltre è continua, il minimo relativo è anche assoluto, e si ha f() = e A.. B. e. C. e. D. e.. Risolvere l equazione differenziale { y (x) = cos x y(0) = 3 R: l insieme delle primitive (anche chiamato integrale generale dell equazione proposta) è y(x, c) = sin x x + c. Il passaggio per il punto (0, 3) implica che sia
MATEMATICA 2 Pag. 4 di 9 24 Novembre 204 (sin x x + c) x=0 = 3 c = 3 Quindi la soluzione particolare richiesta è y(x) = sin x x + 3 2. Dimostrare che l equazione 9x 3 + 25x 2 + 2x 4 = 0 ha una sola radice reale nell intervallo [0, ]. R: Dal momento che p(0) = 4 < 0 e p() = 42 > 0, il teorema di esistenza degli zeri assicura l esistenza di almeno una radice in [0, ]. Adesso si tratta di dimostrare che questa radice è unica. Si può procedere in diversi modi: il più semplice è osservare che nell intervallo indicato cade necessariamente un numero dispari di radici, quindi, se sono tre, devono esserci un massimo e un minimo nello stesso intervallo. Ma la derivata di p(x), p (x) = 27x 2 + 50x + 2, si annulla per x = 27 ( 25 ± 30), entrambi negativi.
MATEMATICA 2 Pag. 5 di 9 24 Novembre 204 Soluzioni 202 3. Quale fra le seguenti funzioni ha il grafico che passa per il punto P (2, 2)? A. x 2. B. x 3 3x 2 x + 5. C. 7x 8 + 3x 4 +. D. sin πx 2. 4. Quale fra le seguenti funzioni ha per derivata 7x 6 8x 3 + 4 x + 4x? A. 8x 8 4x 4 + x log 4x. B. 56x 6 2x 2. C. 4 log x + x 7 2x 4 + 2x 2 6. D. x 7 7x 4 4/x 2 + 5 3. 5. Il polinomio p(x) = x 3 3x 2 + 0: R: p (x) = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 0 per x = 0 che risulta un punto di massimo con valore p(0) = 0. A. Non ha massimi o minimi. B. Ha un minimo in (, 6). C. Ha un massimo in (0, 0). D. Non presenta punti di massimo. 6. Quale fra le seguenti funzioni ha un flesso a tangente obliqua nel punto P (0, 3)? R: p(x) = x 3 6x + 3 passa per (0, 3), la derivata vale p (x) = 3x 2 6 che vale 6 in 0, mentre è p (x) = 6x, quindi p (0) = 0. A. x 3 6x + 3. B. x 3 + 3. C. (x ) 3. D. (x ) 4 + 2. 7. Per quale valore di k R la funzione p k (x) = x 3 k x + presenta tre radici coincidenti? R: Soluzione analoga al compito. A. k = 0. B. k =. C. Nessun valore di k. D. k = 3.
MATEMATICA 2 Pag. 6 di 9 24 Novembre 204 8. Qual è il risultato di R: 2 ( x 2 + ) dx A. 3 3. B. 0. C. 2. D. 0 3. 2 ( x 2 + ) [ x 3 dx = 3 + x 9. Qual è il risultato di d dx R: Sostituendo, cos x + 4 log x 2. A. 4. B. sin t + 4/t. C. 0. D. x 2 + 4x. x 0 ] 2 = (8/3 + 2) (/3 + ) = 0 3 (cos t + 4 log t 2) dt 20. Qual è il periodo della funzione f(x) = sin ( 3t 3 7 )? R: 2π/3. A. 2π 3. B. 3. C. 3π. D. 3π. 2. La posizione di una particella è data da s(t) = sin 2πt. Qual è la sua accelerazione all istante t = 4? R: s (t) = 2π cos 2πt, s (t) = 4π 2 sin 2πt, quindi s (0) = 0. A. 0. B. 4, m s 2. C. m s 2. D. 2 m s.
MATEMATICA 2 Pag. 7 di 9 24 Novembre 204 22. Qual è il minimo assoluto della funzione f(x) = (x + 2)e x? R: f (x) = e x + (x + 2)e x = (x + 3)e x che si annulla per x = 3 che risulta essere il punto di minimo relativo e assoluto richiesto, per cui la risposta è f( 3) = e 3. A. 3. B. 3e. C. e 3. D. e 3. 23. Risolvere l equazione differenziale { y (x) = cos x + sin x y(0) = 3 R: y(x, c) = sin x cos x + c; il passaggio per (0, 3) implica che + c = 3 c = 4 y(x) = sin x cos x + 4. 24. Dimostrare che l equazione 4x 3 + 9x 2 + 9x 6 = 0 ha una sola radice reale nell intervallo [0, ]. R: p(0) = 6 < 0, p() = 36 > 0 quindi c è almeno una radice in [0, ]; anzi un numero dispari di radici. p (x) = 2x 2 + 38x + 9 si annulla per x = 2 ( 9 ± 33), entrambi negativi.
MATEMATICA 2 Pag. 8 di 9 24 Novembre 204 Soluzioni 203 25. Quale fra le seguenti funzioni ha il grafico che non passa per il punto P (0, 2)? R: Tutte le funzioni elencate passano per il punto assegnato. A. x + 2. B. x 3 3x 2 x + 2. C. cos x +. D. sin πx + 2. 26. Quale fra le seguenti funzioni ha per derivata x cos x +? R: Derivando x sin x + log x ottengo cos x + /x. A. x sin x + log x. B. x 2 cos x +. C. 4 log x 2x 4 + 2x 2 6. D. x 7 7x 4 4/x 2 + 5 3. 27. Il polinomio p(x) = x 3 x 2 : R: p (x) = 3x 2 2x = x(3x 2) si annulla per x = 0 e x = 2/3, che sono punti di massimo e minimo rispettivamente. A. Non ha massimi o minimi. B. Ha un minimo in (, 6). C. Ha un punto estremale in x 0 = 0. D. Non presenta punti di massimo. 28. Quale fra le seguenti funzioni ha un flesso a tangente obliqua nel punto P (2, 0)? R: La A e la C non passano per (2, 0), la derivata prima della B e della C sono nulle in 2, quindi è la E. A. x 5. B. (x 2) 4. C. x 3 2x 2. D. (x 2) 3. 29. Per quale valore di k R la funzione p k (x) = x 3 7 3k x + presenta tre radici coincidenti? R: Vedere compito. A. k = 0. B. k =. C. Nessun valore di k.
MATEMATICA 2 Pag. 9 di 9 24 Novembre 204 D. k = 3. 30. Qual è il risultato di π ( x 7 + 7x 5 + sin x ) dx π R: L intervallo è simmetrico rispetto all asse delle ordinate, quindi l integrale assegnato è uguale a A. 0. B. 2. C. 2π. π π D. 0 3. 3. Qual è il risultato di R: Basta sostituire x al posto di t. A. cos x log x 2x. B. cos x log x 2x + c. C. 0. D. x 2 + 4x. dx = [x] π π = π ( π) = 2π d dx x 0 (cos t log t 2t) dt 32. Qual è il periodo della funzione f(x) = sin ( 3πt 3 5 )? R: T = 2π 3π = 2 3 A. 3/5. B. 3π. C. 2 3. D. 3. 33. La posizione di una particella è data da s(t) = cos 2πt. Qual è la sua accelerazione all istante t = 0? R: s (t) = 2π sin 2πt; s (t) = 4π 2 cos 2πt s (0) = 4π 2 A. 0.
MATEMATICA 2 Pag. 0 di 9 24 Novembre 204 B. 4 m s 2. C. m s 2. D. 2 m s. 34. Qual è il minimo assoluto della funzione f(x) = (x 4)e x? R: f (x) = e x + (x 4)e x = (x 3)e x, quindi il minimo cercato si ha per x = 3 ed è f(3) = e 3. A. 3. B. 3e. C. e 3. D. e 3. 35. Risolvere l equazione differenziale { y (x) = cos x sin x y(0) = 2 R: y(x, c) = sin x + cos x + c + c = 2 c =, quindi y(x) = sin x + cos x +. 36. Dimostrare che l equazione 5x 3 + 7x 2 + 8x 2 = 0 ha una sola radice reale nell intervallo [0, ]. R: f(0) = 2 < 0, f() = 8 > 0 quindi c è almeno una radice fra 0 e, anzi ce n è un numero dispari. Ma p (x) = 5x 2 + 34x + 8 si annulla per x = 2 e x = 4 5, entrambi negativi, quindi la radice fra 0 e è unica.
MATEMATICA 2 Pag. di 9 24 Novembre 204 Soluzioni 204 37. Per quale dei seguenti punti non passa il grafico della funzione x sin 2πx? R: 4 sin ( ) π 2 = 4 = 3 4 A. (, ). B. ( 2, 2 ). C. (0, 0). D. ( 4, 4 ). 38. Quale fra le seguenti funzioni ha per derivata 3x 2 x? R: d dx (x3 log x) = 3x 2 /x A. x 3 + x. B. x 3 /x 2. C. x 3 log x. D. 6x + x 2. E. altre risposte. 39. Il polinomio p(x) = x 3 x 2 : R: p(0) = che esclude la C; p (x) = 3x 2 2x = x(3x 2) si annulla in 0 e si tratta di un estremale. A. Non ha massimi o minimi. B. Ha un punto estremale in x 0 = 0. C. Ha un massimo in (0, 0). D. Non presenta punti di flesso. 40. Quale fra le seguenti funzioni ha un flesso a tangente obliqua nel punto P (2, 0)? R: Il pasaggio per il punto esclude la A e la D. La C non è possibile perché non presenta cambi di concavità (la derivata seconda vale 2 > 0 x). La B è esclusa dal fatto che si annulla la derivata prima in 2. A. x 5 + 2. B. (x 2) 5. C. x 2 2x. D. (x 2) 3 +. 4. Per quale valore di k R la funzione p k (x) = x 3 2k x 2 +3x+ presenta tre radici coincidenti? R: Deve essere 2k = 3 k = 3 2. A. k = 3/2. B. k = 2/3.
MATEMATICA 2 Pag. 2 di 9 24 Novembre 204 C. Nessun valore di k. D. k = 3. 42. Qual è il risultato di 2 ( x 3 + 2x + 2 ) dx 2 R: L intervallo è simmetrico rispetto all asse delle ordinate, quindi abbiamo [2x] 2 2 = 4 ( 4) = 8. A. 4. B. 8. C. 0. D. 2. 43. Qual è il risultato di R: Sostituendo: x 5 4x + e x. A. x 5 4x + e x. B. x 5 4 3 2 x2 e x. C. 0. D. x 3 3x + 2e x. d x ( t 5 4t + e t) dt dx 2 44. Qual è il periodo della funzione f(x) = sin ( 3 x + 7 2 )? R: T = 2π = 6π. 3 A. 6π. B. 6 C. 3 2. D. 3 π. 45. La posizione di una particella è data da s(t) = 4 cos t 2. Qual è la sua accelerazione all istante t = π? R: s (t) = 2 sin t 2 ; s (t) = cos t 2 s (π) = cos( π 2 ) = 0 A. 0. B. 6 m s 2.
MATEMATICA 2 Pag. 3 di 9 24 Novembre 204 C. m s. D. m s 2. 46. Qual è il minimo assoluto della funzione f(x) = (x )e x? R: f (x) = e x + (x )e x = xe x si annulla per x = 0, si ha f(0) =. A.. B. 3. C.. D. e 3. 47. Risolvere l equazione differenziale { y (x) = 2 cos x sin x y(π/2) = R: y(x, c) = 2 sin x + cos x + c 2 + c = c = 3 quindi y(x) = 2 sin x + cos x 3. 48. Dimostrare che l equazione 7x 3 + x 2 + x 3 = 0 ha una sola radice reale nell intervallo [0, ]. R: p(0) = 3 < 0; p() = 6 > 0, quindi c è un numero dispari di radici fra 0 e. Ma p (x) = 2x 2 + 22x + si annulla per x = e x = 2, entrambi negativi.
MATEMATICA 2 Pag. 4 di 9 24 Novembre 204 Soluzioni 205 49. Per quale dei seguenti punti passa il grafico della funzione cos πx x? R: Basta sostituire. A. ( 2, 0). B. (0, ). C. (2, ). D. (, 2). 50. Quale fra le seguenti funzioni ha per derivata x sin x +? R: L antiderivata della funzione proposta è log x + cos x + x + c quindi è la E. A. x sin x + log x. B. x 2 cos x +. C. 4 log x 2x 4 + 2x 2 6. D. x 7 7x 4 4/x 2 + 5 3. 5. Il polinomio p(x) = x 3 x 2 + : R: p( ) = 6, quindi non è la B. p (x) = 3x 2 2x = x(3x 2) che si annulla in 0, che risulta essere un estremale. A. Non ha massimi o minimi. B. Ha un minimo in (, 6). C. Non presenta punti di massimo. D. Ha un punto estremale in x 0 = 0. 52. Quale fra le seguenti funzioni ha un flesso a tangente obliqua nel punto P (0, )? R: Il passaggio per il punto esclude la D, mentre la condizione p (0) 0 esclude la A. La derivata seconda nulla in 0 esclude la B. La derivata della C è 3x 2, e la derivata seconda è 6x, quindi è la C. A. x 3 +. B. (x + ) 4. C. x 3 x +. D. (x 2) 3. 53. Per quale valore di k R la funzione p k (x) = x 3 5k x 2 +3x+ presenta tre radici coincidenti? R: Deve essere 5k = 3 k = 3 5. A. k = 5/3. B. k = 3.
MATEMATICA 2 Pag. 5 di 9 24 Novembre 204 C. Nessun valore di k. D. k = 3 5. 54. Qual è il risultato di π 2 ( x 3 + x + cos x ) dx π 2 R: A. 0. B. 2. C. 2π. D. 0 3. [sin x] π 2 π 2 = 2 55. Qual è il risultato di d dx R: Basta sostituire: log x + cos x 2. A. cos x log x 2x + c. B. 0. C. log x + cos x 2. D. x 2 + 4x. x 0 (log t + cos t 2) dt 56. Qual è il periodo della funzione f(x) = sin ( 2πt 5 7 )? R: T = 2π 2π =. A. /2. B. 2π. C.. D. π. 57. La posizione di una particella è data da s(t) = sin 2πt. Qual è la sua accelerazione all istante t =? R: s (t) = 2π cos 2πt, s (t) = 4π 2 sin 2πt s () = 0. A. 4 m s 2. B. 4 m s 2.
MATEMATICA 2 Pag. 6 di 9 24 Novembre 204 C. m s 2. D. 2 m s. 58. Qual è il minimo assoluto della funzione f(x) = (x + 4)e x? R: f (x) = e x + (x + 4)e x = (x + 5)e x si annulla per x = 5. Risposta: f( 5) = e 5. A. e 5. B. 5. C. 5e. D. e 5. 59. Risolvere l equazione differenziale { y (x) = 2x cos x y(π) = 2 R: y(x, c) = x 2 sin x + c π 2 + c = 2 c = 2 π 2, quindi la soluzione è x 2 sin x + 2 π 2. 60. Dimostrare che l equazione 2x 3 +4x 2 3x = 0 ha una sola radice reale nell intervallo [0, ]. R: p(0) = < 0; p() = 2 > 0 quindi abbiamo un numero dispari di radici in [0, ]. p (x) = 36x 2 + 8x 3 si annulla per x = 8 ( 2 ± 3), di cui una è negativa.
MATEMATICA 2 Pag. 7 di 9 24 Novembre 204 Soluzioni 206 6. Per quale dei seguenti punti non passa il grafico della funzione cos πx 2x? R: Basta sostituire. A. (0, ). B. (, 3). C. ( 2, ). D. ( 2, ). 62. Quale fra le seguenti funzioni ha per derivata cos x + 2x 3x 2? R: La D è quella richiesta. A. 3 x3 cos x + x 2. B. 4 log x 2x 4 + 2x 2 6. C. x 2 sin x x 3 + 5 3. D. x 2 + sin x x 3. 63. Il polinomio p(x) = x 3 6x 2 + : R: Il passaggio per (0, 2) elimina la C. p (x) = 3x 2 2x = 3x(x 4) quindi abbiamo un estremale per x = 4. La derivata seconda è p (x) = 6x 2 che si annulla per x = 2, dove c è un flesso (a tangente obliqua). A. Non ha massimi o minimi. B. Ha un punto estremale in x 0 = 4. C. Ha un massimo in (0, 2). D. Non presenta punti di flesso. 64. Quale fra le seguenti funzioni ha un flesso a tangente obliqua nel punto P (0, 2)? R: Il passaggio per P elimina la B e la D. La derivata prima di x 3 + 2 si annulla in 0, quindi non può essere. La derivata prima di x 3 4x + 2 è 3x 2 4, che vale 4 in 0, e la derivata seconda è 6x, che si annulla nell origine. A. x 3 + 2. B. (x + ) 3. C. x 3 4x + 2. D. (x 2) 3. 65. Per quale valore di k R la funzione p k (x) = x 3 3x 2 + 3x + k presenta tre radici coincidenti? R: k = completa lo sviluppo di (x ) 3. A. k =. B. k = 2.
MATEMATICA 2 Pag. 8 di 9 24 Novembre 204 C. Nessun valore di k. D. k = 3 5. 66. Qual è il risultato di π 2 ( sin x + x 3 + ) dx R: La simmetria dell intervallo elimina le funzioni dispari, rimane A. 0. B.. C. π. π 2 D. 0 3. 67. Qual è il risultato di R: Sostituendo, è log x + sin x 3. A. sin x + log x 3 + c. B. 0. C. log x + cos x 3. D. /x + cos x + c. d dx x 0 [x] π 2 π 2 = π (log t + sin t 3) dt 68. Qual è il periodo della funzione f(x) = sin ( 2π 7 t 3 7 )? R: T = 2π 2π = 7. 7 A. /7. B. 7π. C. 7. D. π. 69. La posizione di una particella è data da s(t) = 4π sin 2πt. Qual è la sua accelerazione all istante t =? R: s (t) = 2 cos 2πt; s (t) = π sin 2πt s () = 0 A. 4 m s 2.
MATEMATICA 2 Pag. 9 di 9 24 Novembre 204 B. 4 m s 2. C. m s 2. D. 2 m s. 70. Qual è il minimo assoluto della funzione f(x) = (x + )e x? R: f (x) = e x + (x + )e x = (x + 2)e x si annulla per x = 2 dove c è il minimo, che vale f( 2) = e 2. A. e. B.. C. 0. D. e. 7. Risolvere l equazione differenziale { y (x) = 3x 2 + cos x y(π) = 2 R: y(x, c) = x 3 + sin x + c π 3 + c = 2 c = 2 π 3, quindi y(x) = x 3 + sin x + 2 π 3. 72. Dimostrare che l equazione 24x 3 +2x 2 5x = 0 ha una sola radice reale nell intervallo [0, ]. R: p(0) = < 0; p() = 20 > 0, quindi c è un numero dispari di radici fra 0 e. p (x) = 72x 2 + 4x 5, che si annulla per x = 36 ( ± 9), quindi il massimo relativo ha ascissa negativa, e questo è sufficiente ad escludere che ci siano tre radici positive, quindi a maggior ragione tre radici fra 0 e.