ALDO BONET 1 RADICI MESOPOTAMICHE NEL PODISMVS (terza parte) Tavoletta Db 2 146 1. Introduzione Nel lavoro: L arcaico Diagramma dei Gromatici veteres https://www.academia.edu/12006190/l_arcaico_diagramma_dei_gromatici_veteres Avevo catalogato un nuovo mosaico romano presente nella Basilica Patriarcale di Aquileia (UD) che fu costruita inizialmente sopra le rovine di una Domus romana del I sec. d.c. e, nella quale, si trova un nuovo tipo di Diagramma a modulo quadrato che ho inserito nella mia lista delle località italiane di epoca romana che conservano questo motivo geometrico. Inoltre, avevo trovato due corretti algoritmi algebrici per la risoluzione di due problemi contenuti in un manoscritto medievale denominato Podismus, una copia di algebra geometrica romana facente parte degli Excerpta Agrimensorum Romanorum - trovando così una prima conferma alle mie supposizioni sulla probabile conoscenza algebrica dell arcaico Diagramma di argilla anche da parte degli antichi agrimensori romani. Leggere inoltre i miei articoli precedenti: Radici mesopotamiche nel Podismus (parte I e parte II) problemi n 2 e n 3 e i tre problemi del Papiro greco di Ginevra 259. Questo lavoro, composto in quattro parti o articoli, comproverà come gli esatti algoritmi risolutivi dei problemi n 2 e n 3 del Podismus, che abbiamo esaminato nella prima parte, hanno indubbiamente un origine mesopotamica giacché, rispecchiano perfettamente, sia nei dati sia negli algoritmi, quelli babilonesi rinvenuti e affondano le loro radici matematiche, in modo evidente sia nei tre problemi contenuti nel Papiro greco di Ginevra 259 ( che abbiamo esaminato nella seconda parte) sia in quelli presenti nella Tav. BM 34568 del periodo Seleucida, in particolare nei problemi cuneiformi n 9 n 10 n 15 che esamineremo nella quarta e ultima parte. Questi problemi, furono abilmente risolti poiché erano ancorati all arcaico Diagramma di argilla a modulo quadrato di origine Sumera. In modo analogo, questa terza parte o articolo, comproverà l influenza mesopotamica del problema, contenuto nella Tav. Db 2 146, sui più tardivi problemi citati e già esaminati nei due articoli precedenti. I quattro articoli che compongono l intero lavoro, rafforzeranno la mia prima conferma dimostrativa con un altra dimostrazione omogenea che ci farà vedere come gli algoritmi di tutti questi problemi (romani, greci e mesopotamici) menzionati, sono legati tra loro dall unica e arcaica macchina algebrica: Il Diagramma di argilla a modulo quadrato. Fig. 1: Una base del Diagramma di argilla a modulo quadrato 1 Ricercatore autodidatta sulle origini del pensiero scientifico. Aldo Bonet Luglio 2015-1 di 16 -
8. TRACCE MESOPOTAMICHE NEL PODISMVS TAVOLETTA Db 2 146 Ci siamo lasciati nel mio articolo precedente Radici mesopotamiche nel Podismus (parte II) - Papiro greco di Ginevra 259 con il Capitolo 7: I tre problemi del Papiro greco di Ginevra 259 a confronto, da pag 2 a pag 8. Ora, ci addentriamo con i più primitivi e analoghi problemi delle tavolette cuneiformi, iniziando dal corposo testo contenuto nella Tavoletta Db 2 146 15. Faccio notare che l ordine numerico naturale dei Capitoli, delle Figure e delle note a piè di pagina, nel presente articolo proseguirà mantenendo quello dell articolo precedente: Radici mesopotamiche nel Podismus (seconda parte) Papiro greco di Ginevra 259. Qui: https://www.academia.edu/13602001/radici_mesopotamiche_nel_podismvs_parte_ii_-_papiro_greco_di_ginevra_259 Quest ultimo, a sua volta, ha mantenuto come riferimento iniziale, l ordine numerico del primo articolo. Qui: https://www.academia.edu/13448681/radici_mesopotamiche_nel_podismvs_parte_prima_problemi_n_2_e_n_3 Come vedremo, i problemi n 2 e n 3 del Podismus, che abbiamo avuto modo di esaminare negli articoli precedenti, trovano una stupefacente parentela, con caratteristiche pressoché identiche, con il più antico problema mesopotamico presente nella Tavoletta Db 2 146, contemporanea della Tavoletta IM 52301 e della tavoletta IM 55357 del periodo babilonese antico (databili circa 1800 a.c.), tutte provenienti da Eshnunna, una città stato sumerica della bassa Mesopotamia conquistata da Hammurabi. Il problema mesopotamico, applicato a un (mattone) rettangolo qualsiasi, è del tutto simile, nei dati, al problema n 2 del Podismus. Quello mesopotamico è solo idealmente spostato e stilizzato sulla figura geometrica del rettangolo anziché su quella del triangolo rettangolo ma, come vedremo, il procedimento eseguito è pressoché uguale e necessita l implicazione della Regola Sumero-Babilonese (l antesignana del più scolastico Teorema di Pitagora ) così com è identico il Diagramma dal quale tutti questi problemi traggono origine e che originariamente era utilizzato dallo scriba mesopotamico come basilare strumento algebrico ricreativo. Fig. 17 Problema Tav. Db 2 146: Dato un (mattone) rettangolo, si conosce l area (Area della faccia superiore del mattone = a b = 3/4) e la sua diagonale (d = 5/4). Si chiede di determinare separatamente le due dimensioni del (mattone) rettangolo e di eseguire la verifica finale. In Fig.17 le dimensioni del mattone non sono in scala rispetto ai dati del citato problema mesopotamico e questo l ho fatto proprio di proposito per evidenziarne sia il carattere generale dell algoritmo che veniva sviluppato dallo scriba per giungere alle 15 Høyrup J. (2002). Lengths, Widths, Surfaces, pagg. 257-261- Berlino: Spinger. Faccio notare che la versione, interpretativa di questo problema, da me proposta tramite il Diagramma di argilla tridimensionale è identica al Diagramma bidimensionale proposto da Jens Høyrup a pag. 259 - Fig. 67 e pag.260 Fig. 68 con la sola differenza, che il Diagramma di argilla tridimensionale che propongo, lo ipotizzo come un ricreativo strumento algebricogeometrico in mattoni, unico e versatile per molteplici problemi cuneiformi rinvenuti. Inoltre, vedere in Appendice - Tavola A - pagg. 9,10,11,12, il testo integrale e originale in accadico del problema e tradotto in bilingue: italiano /inglese correlato inoltre con le varie Fasi operative esposte nel presente articolo. Aldo Bonet Luglio 2015-2 di 16 -
soluzioni e sia l utilizzo universale del Diagramma di argilla a modulo quadrato che veniva ripetutamente impiegato per risolvere numerosi problemi algebrici. Traduzione algebrica del problema Tav. Db 2 146: S = a b = 3/4, d = 5/4 = a 2 + b 2. b =?, a =? Lo scriba applica il seguente algoritmo risolutivo: d 2 = a 2 + b 2 ; 2 a b; a 2 + b 2 2 a b = (a b) 2 ; a b = a 2 + b 2 2 a b = (a b) 2 ; ( a b ) /2 ; [ ( a b) / 2 ] 2 ; ( a b) 2 / 4 + a b = ( a + b) 2 / 4 ; ( a + b) 2 / 4 = (a + b) / 2 ; ( a b ) /2 + ( a + b) / 2 = a ; ( a + b) / 2 ( a b ) /2 = b. Verifica finale: a a = a 2 ; b b = b 2 ; d = a 2 + b 2 ; a b = Area. Come vedremo qui di seguito, questo interessante problema mesopotamico è, nel suo visibile procedimento, direttamente imparentato con gli algoritmi dei problemi n 2 e n 3 del Podismus e inoltre, ancorato anch esso all arcaico Diagramma di argilla, dal quale, il problema mesopotamico trae la sua origine. Come per il procedimento del problema n 3 del Podismus, visto nel primo articolo a pag. 10, si parte con la costruzione del Diagramma di argilla dalla Fase 1, di prima imbastitura, per giungere alla Fase 5: base del Diagramma di argilla a modulo quadrato; Area = 8 (a b/2) + (a - b) 2 FASE 5: Fronte del mattone = b ; Fianco del mattone = a ; Diagonale del mattone = d. Fase 5 Dalla costruzione base del Diagramma (Fase 5), è facile visualizzare tutti i passaggi algebrici descritti dallo scriba che avevano lo scopo di determinare il valore del fianco (a) e del fronte (b) e, guarda caso, iniziando proprio con l arcaica Regola Sumero-Babilonese per determinare il lato (a - b) incognito, identico a quello del quadrato verde: Fase 6 : Costruzione del quadrato sulle diagonali dei mattoni = d 2 Aldo Bonet Luglio 2015-3 di 16 -
Fase 7: Costruzione equivalente dei quadrati sul fianco e sul fronte del mattone = a 2 + b 2 = d 2 Fase 8: È facile vedere sul Diagramma che: se, dalla superficie dei due quadrati costruiti sul fianco e sul fronte del mattone = d 2 (Fase 7), si toglie fuori l area di due mattoni rettangolari, si ottiene l area del mattone quadrato (sovrapposto a quello verde sulla base del Diagramma); tradotto in linguaggio algebrico = (a b) 2 = a 2 + b 2 2 a b = d 2 2 a b. Fase 9: Ottenuta l area del quadrato (a b) 2, con le tavole dei quadrati, lo scriba, ricava la radice quadrata; tradotto in linguaggio algebrico = a b = (a b) 2. E da questa radice quadrata solida di argilla, si può distinguere visivamente o materialmente la sua metà: (a b ) /2. Nota: Lo scriba del periodo babilonese antico (1800 a.c.), dopo aver trovato il valore della differenza delle due grandezze incognite ( a b) non applica, per giungere alle soluzioni richieste, i conseguenti passaggi intermedi che servono a trovare il valore della somma delle due grandezze incognite del mattone (a + b), in termini algebrici: a + b = d 2 + 2 a b = a 2 + b 2 + 2 a b = (a + b) 2, come quelli che abbiamo visto applicare per il problema n 2 del Podismus e presenti anche, (come vedremo) nei testi più tardivi del periodo Seleucida ma, invece, lo scriba riduce il problema iniziale: a b = 3/4, d = 5/4. b =?, a =? a una forma standard a lui più familiare o normale (come la chiamò Otto Neugebauer) quella, nel caso in Aldo Bonet Luglio 2015-4 di 16 -
specie, del tipo differenza e prodotto : a b = 3/4, a b = 1/4. b =?, a =? dove, in quel periodo antico, fu un vero paradigma di riferimento poiché, il tipo standard: a b = S, a ± b = P, veniva facilmente risolto con l applicazione, sopra il Diagramma di argilla, dell arcaico principio della semisomma e della semidifferenza. 16 Questa che vedremo ora, è la versione primitiva per risolvere questo tipo di problema, una versione mesopotamica che si è poi sviluppata, sempre attraverso il Diagramma di argilla ma eludendo l impiego delle due cordicelle, con equivalenti algoritmi alternativi e presenti, sia nel periodo Demotico - Seleucida, sia in quello Greco Romano, tramandati poi al Medioevo. Difatti (Fase 10), lo scriba, dopo aver trovato la radice quadrata solida di argilla, che corrisponde anche al lato del quadrato verde (a b), è in grado di poter determinare la sua metà, il punto mediano che lo divide in due parti uguali: (a b)/2; utilizza quindi questo regolo di argilla, in forma consecutiva, attorno ai quattro lati (a + b) del Diagramma. Lo scriba, per avere un punto di riferimento preciso su ogni lato del Diagramma, farà combaciare uno spigolo, (in questo caso quello dell estremità sinistra del regolo) sulla linea confinante tra il fronte (b) e il fianco (a) dei mattoni costituenti e determinerà così i quattro punti esatti dai quali poter collegare gli estremi delle due rispettive cordicelle (di colore rosso) che andranno a incrociarsi tra loro sopra il baricentro del Diagramma di argilla. Una volta determinati i quattro capisaldi, corrispondenti ai punti comuni di mezzeria, si sistemeranno le due cordicelle che andranno a dividere il Diagramma di argilla in quattro parti quadrate uguali e lo predisporranno così, all applicazione dell arcaico principio algebrico mesopotamico: quello della semidifferenza (a b)/2 e della semisomma (a + b)/2, fondamentale per la prosecuzione dell algoritmo. Fase 10: Applicazione sul Diagramma del principio della semisomma e della semidifferenza. Il principio richiede che, se è noto il valore (a b)/2 bisogna trovare il valore (a + b)/2 o viceversa. Osservando il Diagramma di argilla è facile vedere che, per ottenere il valore del lato della sua quarta parte (a + b)/2 = semisomma bisogna trovare prima il valore della sua area quadrata (a + b) 2 / 4, che corrisponde appunto all area della quarta parte del Diagramma stesso, ed è visibilmente composta da queste due parti note che si sommano tra loro: (a - b) 2 / 4 + a b. 16 Gli storici delle matematiche suppongono che le differenti identità e metodi usati dagli antichi scribi per risolvere i vari problemi cuneiformi e cioè: 1) Metodo del completamento del quadrato. 2) Metodo della semisomma e della semidifferenza. 3) Uso sistematico d identità notevoli, 4) Riduzione di problemi quadratici alla forma standard o normale, erano tutte applicazioni algebriche usate disgiuntamente tra loro e in base ai diversi casi che si presentavano. Secondo la mia ipotesi invece, problemi diretti o con sistema, identità e metodi, erano tutte applicazioni artigianali sviluppate indistintamente dall unico strumento matematico in mattoni e dal quale traevano origine: Il Diagramma di argilla; una macchina algebrica che li conteneva tutti all interno di un gioco ludico e dal quale, a mano a mano, fuoriuscivano attraverso artigianali algoritmi logico-operativi applicati dallo scriba, nel giungere alla soluzione del problema. Per approfondimenti: https://independent.academia.edu/aldobonet 1.THE PRINCIPLE OF HALF-SUMS AND HALF-DIFFERENCES 2. L'ARCAICO DIAGRAMMA DI MATTONI. Aldo Bonet Luglio 2015-5 di 16 -
Se si vuole evidenziare o elevare materialmente questa quarta parte, bisognerà prima, plasmare un nuovo mattoncino quadrato di lato noto (a b)/2 e quindi, di area nota pari a: (a - b) 2 / 4; Fase 11/a. Fase 11/a Si sovrapporrà il mattoncino (Fase 11/b) sulla quarta parte del quadrato (verde) di lato (a b): Fase 11/b: (a + b) 2 / 4 = (a - b) 2 / 4 + [ ] Grazie alle due cordicelle rosse posate in modo baricentrico sul Diagramma di argilla, è chiaramente visibile che, per sommare l area nota del mattone rettangolo a b = 3/4 al mattoncino (a - b) 2 / 4 e completare così materialmente la quarta parte dell area di Fase 11/b: (a + b) 2 / 4 = (a - b) 2 / 4 + [a b] è necessario scomporre materialmente il mattone rettangolo e ricomporlo in un nuovo mattone gnomone equivalente seguente: Fase 11/c: a b = (a +b) / 2 b + (a b) / 2 b Il mattone gnomone equivalente, così predisposto: (a +b) / 2 b + (a b) / 2 b, verrà accumulato sul Diagramma di argilla (Fase 11/d) all interno dell area interessata, esattamente nella quarta parte delimitata dalle due cordicelle rosse, e verrà unito al mattoncino quadrato (a - b) 2 / 4 : Aldo Bonet Luglio 2015-6 di 16 -
Fase 11/d: (a + b) 2 / 4 = (a - b) 2 / 4 + a b Ultimi passaggi dello scriba. Lo scriba, con la tavola dei quadrati, trova prima la radice quadrata solida della semisomma: (a + b) 2 / 4 = (a + b) / 2 e poi, (anche se non necessario) scompone il mattone gnomone e lo ricompone nel mattone rettangolare originario equivalente : a b, vedere ultima Fase 11 / e. Fase 11 / e: ( a + b) / 2 ( a b ) / 2 = b; ( a + b ) / 2 + ( a - b) / 2 = a. Aldo Bonet Luglio 2015-7 di 16 -
Sempre con l aiuto del Diagramma di argilla (Fase 11 / e) è facile per lo scriba visualizzare che, sommando / sottraendo le due radici quadrate, solide di argilla e così ottenute 17, si possono ricavare i due valori incogniti cercati 18. In altre parole, se dalla semisomma (a + b) / 2 si toglie la semidifferenza (a b ) / 2 si ricava il valore incognito del fronte = b, unendo o sommando le due radici quadrate solide (a + b) / 2 + (a b ) / 2, si ricava invece il valore incognito del fianco = a. Traducendo e riepilogando algebricamente: a, b = (a + b) / 2 ± (a b ) / 2. La particolare novità di questo problema consiste infine nella verifica: Se 1 è la lunghezza, 3/4 la larghezza, la superficie e la diagonale a quanto corrispondono? La verifica effettuata dimostra una determinata rigorosità nell assicurarsi, attraverso il calcolo, la prova della correttezza dell algoritmo impiegato. Sequenza dei calcoli applicati dallo scriba per la verifica finale: a a = a 2 = 1 x 1= 1 ; b b = b 2 = 3/4 x 3/4 = 9/16; 1 + 9/16 = a 2 + b 2 = d 2 ; d = a 2 + b 2 = 1 + 9/16 = 25/16 = 5/4 = diagonale ; a b = 1 x 3/4 = 3/4 = superficie 9. UN ANTICO DOCUMENTO ALGEBRICO. Fig. 18 Fig. 18: Si tratta della tavoletta : TM 75 G 1693 dal significato algebrico e risalente al 2500 a.c., fu riportata alla luce, nel 1975, da una spedizione italiana durante gli scavi nella città di Ebla, a nord dell'attuale Siria. Va ricordato comunque, a testimonianza di uno spirito algebrico già diffuso nella metà del III millennio mesopotamico, che son stati rinvenuti gruppi di problemi algebrici - geometrici di epoca accadica (2200 a.c circa). La decifrazione della tavoletta (Fig. 18) fu opera di Giovanni Pettinato (1934 2011), docente di sumerologia, fu uno storico e assiriologo specializzato in lingue mesopotamiche e mediorientali, mentre la prima interpretazione algebrica fu merito di Tullio Viola (1904-1985) docente di Analisi all Università di Torino che si occupò con passione di storia della matematica e con particolare interesse alla matematica delle civiltà arcaiche. 19 17 Lo scriba, al posto di barrette solide in argilla, forse utilizzava delle più pratiche cannette palustri, più reperibili e più efficaci nell operazione sottrattiva, tanto che, la differenza si poteva visivamente ricavare strappando materialmente la parte da togliere [sottraendo = (a b) /2] dalla cannetta da ridurre [minuendo = (a + b) /2 ], rendendo così l operazione o la soluzione finale dell incognita cercata (fronte = b), più percettibile. 18 Vedere anche: Appendice Tavola B 1 - Tavola B 2 19 G. Pettinato, Ebla, nuovi orizzonti della storia, Rusconi, Milano, 1986 - T. Viola e I. Vino, Un problema algebrico. Testi lessicali monolingui, Napoli, 1981. Aldo Bonet Luglio 2015-8 di 16 -
APPENDICE TAVOLA A : Problema Db 2-146 italiano / inglese / accadico 1. Se, dato un (mattone rettangolo con) diagonale (qualcuno) ti chiede If, about a (rectangle with) diagonal, (somebody) asks you Šum-ma sί-li-ip- ta-a- am i-ša-lu-ka [Fig. 17, pag.2] 2. sono noti: 5/4 la diagonale (d) e 3/4 la superficie (l area superiore del mattone rettangolare = a b); thus, 1 15 the diagonal, 45 the surface; um-ma šu-ú-ma 1,15 sί-li-ip-tum 45 a.šà [Fig. 17, pag. 2] 3. lunghezza (fianco = a) e larghezza (fronte = b) a quanto corrispondono? Tu procederai in questo modo. length and width corresponding to what? You, by your proceeding. Ši-di ú sağ.ki ki ma-a- sί at-ta i-na e-pé- ši-ka [imbastitura preliminare da Fase 1 a Fase 5, pag. 3] 4. Con i 5/4 (d = 5/4), della tua diagonale, realizza la sua controparte ( d: controparte d): 1 15, your diagonal, its counterpart lay down: 1,15 sί-li-ip-ta-ka me-ḫe-er- šu i-di-i-ma [ Fase 6, pag 3; costruzione del quadrato = d 2 ] 5. fa in modo che si tengono (5/4 x 5/4= d d): 25/16, il risultato (l area quadrata = d 2 ). make them hold 1 33 45 comes up. Šu-ta-ki-il- šu-nu-ti-i-ma 1,33,45 i-li. [ Fase 6, pag. 3] 6. 25/16 (l area: d 2 ) con la tua mano, i ricomponila? (nell area gnomonica : a 2 + b 2 = (a - b) 2 +2a b) 1 33 45 i may your? hand i hold? 1,33,45 šu KU.U i.zu/ba? [ Fase 7, pag. 4] 7. l area di 3/4 ( mattone rettangolare = a b) computa due volte (2 mattoni = 2a b), e fa: 6/4, il risultato. 45 your surface to two bring : 1 30 comes up. 45 a.šà-ka a-na ši-na e-bi-il-ma 1,30 i-li. [ Fase 7, pag. 4] Aldo Bonet Luglio 2015-9 di 16 -
8. da 25/16 (d 2 ) togli fuori 6/4 (i 2 mattoni = 2a b) e fa : 1/16 = ( a - b) 2 area ( mattone quadrato) rimanente. From 1 33 45 cut off : { }3:3 45 the remainder. i-na 1,33,45 ḫu-ru- ús-ma {1,}3: 3,45 ša-pί-il-tum [Fase 8, pag. 4] 9. Il lato solido, di 1/16 (del mattone quadrato) tu prendi (radice quadrata): 1/4, il risultato (a - b). La mezza parte: (a b)/2 The equalside of 3 45 take: 15 comes up. Its half-part, ib. sί 3,45 le-qe-e-ma 15 i-li. mu-ta-su [Fase 9, pag. 4] [applicazione sul Diagramma delle due cordicelle rosse: Fase 10, pag.5] 10. 1/8, il risultato (la mezza parte : (a b)/2 = 1/8) a 1/8 = (a b)/2 eleva e fa : 1/64 (a b ) 2 /4, il risultato (il mattoncino quadrato della semidifferenza). 7 30 comes up, to 7 30 raise: 56 15 comes up 7,30 i-li a-na 7,30 i- ši-i-ma 56,15 i-li. [ Fase 11/a, pag.6] 11. 1/64 ( il mattoncino quadrato della semidifferenza: (a b ) 2 /4 ) con la tua mano (sovrapponilo sulla quarta parte del quadrato verde). 56 15 your hand. 56,15 šu-ka. [ Fase 11/b, pag.6] 12. 3/4, la superficie (il mattone rettangolare = a b), attraverso la tua mano, (componilo nel mattone gnomone equivalente e sovrapponilo sulla quarta parte del Diagramma a fianco del mattoncino quadrato della semidifferenza : (a b ) 2 /4 + a b = (a + b) 2 /4 ) 45 your surface over your hand, 45 a.šà-ka e-li šu-ka, [ Fase 11/c pa. 6 Fase 11/d, pag. 7] 13. 49/64 (l area della quarta parte del Diagramma: (a + b) 2 /4) il risultato. Il lato solido di 49/64 tu prendi: 45 56 15 comes up. The equalside of 45 56 15 take: 45,56,15 i-li ib.si 45,56,15 le-qe-ma [ Fase 11/d, pag. 7] 14. 7/8 il risultato: (a + b)/2 = primo lato solido; 7/8, la sua controparte, realizza: (a + b)/2 = 2 lato solido, 52 30 comes up, 52 30 its counterpart lay down, 52,30 i-li 52,30 me-ḫe-er- šu i-di-i-ma [ Fase 11/d, pag. 7] Aldo Bonet Luglio 2015-10 di 16 -
15. 1/8 ( il lato solido della semidifferenza : (a b)/2) quello che tu avevi fatto tenere (o realizzato), al primo (al primo lato solido della semisomma : ( a + b)/2 = 7/8) aggiungi: (e fa : 7/8 + 1/8 = 1= a) 7 30 which you have made hold to one append: 7,30 ša tu- uš-ta-ki-lu a-na iš-te-en sί-ib-ma: [ Fase 11/e, pag. 7] 16. (dalla controparte) del primo (Ovvero dal 2 lato solido della semisomma: ( a + b)/2 = 7/ 8 ) togli fuori (il lato solido della semidifferenza: (a b)/2 = 1/ 8; e fa : 7/ 8 1/ 8 = 3/4 = b ). 1 è la lunghezza ( fianco = a), 3/4 la larghezza ( fronte = b). from one cut off. 1 your length, 45 the width. i-na iš-te-en ḫu-ru- ús. 1 uš-ka 45 sağ.ki. [ Fase 11/e, pag. 7] 17. Verifica finale: Se 1 è la lunghezza, 3/4 la larghezza, la superficie e la diagonale a quanto corrispondono? If 1 the length, 45 the width, the surface and the diagonal corresponding to what? šum-ma 1 uš 45 sağ.ki a.šà ù sί-li-ip-ti ki ma- sί 18. tu, col tuo procedimento, fai in modo che la lunghezza (fianco = a) si tenga: (a a = 1 x 1 = 1 = a 2 ) [You, by] your [ma] king, the length make hold: [at-ta i-na e-p]é-ši-ka ši-da šu-ta-ki-il-ma 19. [ 1 è il risultato ] trattienilo per il computo (del tuo procedimento). (1) [1 comes up ] may your head hold. [1 i-li ] re- eš-ka li-ki-il 20. [ ]: 3/4, la larghezza (fronte = b), fai in modo che si tenga: (b b = 3/4 x 3/4 = 9/16 = b 2 ) [ ]: 45, the width, make hold: [ ]-ma 45 sağ.ki šu-ta-ki-il-ma 21. 9/16 il risultato. Alla lunghezza aggiungi: ( 9/16 + 1 = 25/16 = a 2 + b 2 = d 2 ) 33 45 comes up. To your length append: 33,45 i-li a-na ši-di-ka sί-ib-ma 22. 25/16 il risultato. Il lato solido di 25 /16 tu prendi (radice quadrata): (d = 25/16 = 5/4) 1 33 45 comes up. The equalside of 1 33 45 ta[ke] : Aldo Bonet Luglio 2015-11 di 16 -
1,33,45 i-li ib.si 1,33,45 le-[qe]-ma 23. 5/4 il risultato. 5/4 la tua diagonale. La lunghezza (1) 1 15 comes up. 1 15 your diagon[al]. Your length 1,15 i-li 1,15 sί-li-ip- [ta]-ka uš-ka 24. alla larghezza ( 3/4), eleva ( moltiplica: a b = 1 x 3/4 = 3/4), 3/4 la superficie. to the width raise, 45 your surface. a-na sağ.ki i- ši 45 a.šà-ka 25. Questo è il procedimento. Thus the procedure. ki-a-am ne-pé-šum Nota - Tavola A: In parenesi tonde e in neretto, ho messo, in funzione del Diagramma di argilla, le mie interpretazioni alle frasi, a volte laconiche, dello scriba e scritte nella tipica forma retorica. In parentesi quadre e in rosso, ho correlato le linee numerate del testo alle corrispondenti Figure e Fasi esposte nel presente articolo. L interpretazione in lingua inglese e il testo accadico sono stati ripresi dal Libro di Jeans Høyrup (2002). Lengths, Widths, Surfaces, pagg. 258-259. TAVOLA B 1 Al posto di costruire materialmente il mattone gnomone (Fase 11/c), si sarebbe potuto, in alternativa, esattamente dopo la costruzione del mattoncino quadrato (a - b) 2 /4 - Fase 11/a, sopraelevare il Diagramma con altri quattro mattoni rettangolari identici a quello iniziale di Fig. 17, colorando poi distintamente la quarta parte interessata, per esempio in giallo ocra, come si evince nella figura soprindicata - Tavola B 1. Aldo Bonet Luglio 2015-12 di 16 -
TAVOLA B 2 Oppure, in alternativa, arrivati alla Fase 10, senza costruire mattoncini o sopraelevare mattoni ma soltanto colorando distintamente (o più semplicemente bagnando con dell acqua) la quarta parte del Diagramma di argilla interessata al procedimento: Tavola B 2. Queste due varianti le ho volute inserite per evidenziare la grande versatilità tecnica di questa formidabile macchina algebrica mesopotamica. L autore, Aldo Bonet, ha deciso di distribuire i contenuti con licenza Creative Commons Creative Commons, Attribuzione Non commerciale 2.5 Italia License ossia, mettere gratuitamente l articolo a disposizione a patto che gli sia attribuita la paternità e si accetti di non alterarlo sia nei contenuti sia nelle immagini né di trasformarlo o estrapolarlo anche solo parzialmente per crearne altri, come pure di non utilizzarlo per fini commerciali perché l autore crede fermamente nella nobile condivisione dei contenuti. Ogni riproduzione (totale o parziale) o citazione futura del presente articolo e di tutte le ricerche personali dell autore, predilige il cautelativo benestare dall autore stesso. Il presente articolo è pubblicato da Luigi Gaudio sul Portale ATUTTASCUOLA Luglio 2015 su richiesta dell autore. Aldo Bonet Luglio 2015-13 di 16 -
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