Precorsi 1 anno Matematica

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA UNIVERSITA DI TORINO PROGETTO PRECORSI ANNO 2007-2008 Denominazione Progetto Precorsi 1 anno Matematica Responsabile Progetto Prof.ssa Ornella Robutti Descrizione progetto Finalità: Le difficoltà sempre crescenti che incontrano gli studenti che si iscrivono ad una facoltà scientifica, in particolare al corso di studi in Matematica, vanno di pari passo con il disagio sempre maggiore che avvertono i docenti per una preparazione di base che si riscontra essere in molti iscritti assolutamente non idonea ad un corso universitario. Le motivazioni sono svariate e complesse. Tra queste vi è anche un mutato quadro di riferimento formativo nella scuola secondaria superiore: infatti, se non si può non tener conto della disaffezione dello studio che caratterizza molti giovani studenti, è pur vero che i nuovi programmi consentono ai docenti una possibilità di articolazione degli stessi decisamente meno rigida di quella che c era in passato. All Università del terzo millennio viene dunque richiesto di rispondere in modo adeguato ai problemi di formazione di un utenza sempre più diversificata per livelli di conoscenze, abilità e motivazioni. Tra i problemi che emergono in modo sistematico ci sono quelli percepiti dai docenti ed evidenziati ormai da molti studi internazionali relativi ai mutamenti in atto nei modi di apprendere, processi questi che stanno evolvendo in modo rapido ed incontrollato come forse mai è avvenuto nella storia. Di fronte a queste difficoltà è quindi necessario sperimentare percorsi nuovi che tengano anche conto di tali mutamenti. A tal fine vengono individuati percorsi formativi diversificati, nel seguito indicati come precorsi, con i seguenti obiettivi generali: - Passare con continuità da linguaggio, metodi e contenuti della scuola superiore a quelli dell Università - Affrontare alcuni argomenti delle scuole superiori in maniera integrata dal punto di vista numerico, grafico, simbolico - Costruire alcune basi teorico/applicative indispensabili per affrontare i corsi universitari - Reinserire nel percorso formativo gli studenti che se ne fossero allontanati, recuperando le loro competenze tramite il precorso serale. Si sottolinea come questa sperimentazione sia particolarmente utile per il prossimo a.a., perché nel 2007/8 la laurea triennale in matematica sperimenterà una revisione dell offerta formativa già orientata nella direzione richiesta dalla 270. Infatti gli studenti di tale anno avranno già il percorso formativo con 20 verifiche del profitto, come richiesto dalla nuova legge. Si vuole allora lavorare per mettere lo studente nelle migliori condizioni per l apprendimento fin dal primo anno, cercando di livellare la preparazione eterogenea in entrata in modo da favorire l apprendimento di tutti gli immatricolati La sperimentazione del progetto potrebbe risultare un prototipo per un progetto di Facoltà. Base teorica: Facendo riferimento alla letteratura corrente in Didattica della Matematica, identifichiamo alcune 1

grandi competenze disciplinari, che costituiscono prerequisito per gli studi universitari in Matematica: 1. avere il senso del numero; 2. avere il senso del grafico; 3. avere il senso del simbolo. Per senso del numero si intende sicuramente la conoscenza dei numeri interi, decimali, frazionari, irrazionali, e la capacità di operare con essi (con calcoli mentali, scritti o con l aiuto delle tecnologie) avendo la consapevolezza delle operazioni e delle loro proprietà. Ma è anche di fondamentale importanza per il cittadino possedere la capacità di stima di un ordine di grandezza, di un errore, di cifre decimali significative e la capacità di determinare una percentuale o di fare calcoli approssimati. Sowder fa i seguenti esempi per rendere l idea: Ho sufficiente denaro per pagare questi libri? Di quanto colore ho bisogno per tinteggiare la stanza? Quante persone sono nello stadio? Quanto tempo impiego per arrivare dal dentista? Rispondere a queste domande coinvolge stimare risultati di calcoli, stimare misure e stimare la numerosità. Ciascuna di esse richiede diversi tipi di comprensione e differenti insiemi di abilità. (NCTM, 2000; Sowder, 1992). Possedere il senso del numero significa giudicare se il risultato di un esercizio in cui sono coinvolti calcoli su dati iniziali è accettabile o no, senza rifare i calcoli, ma basandosi su una stima dell ordine di grandezza. Per insegnare ad usare la matematica è di fondamentale importanza sfruttare ogni possibile occasione per ricontestualizzarla, ossia per stabilire collegamenti significativi tra la matematica stessa e il mondo reale. Sono importanti quindi tutte quelle attività in cui gli studenti, lavorando in contesti di apprendimento, hanno la possibilità di farsi un idea degli ordini di grandezza dei numeri che utilizzano, come misure di grandezze coinvolte, ma anche come numeri in sé. Per senso del grafico si intende non solo l abilità di rappresentare dati (punti o funzioni di data equazione) su un grafico o di leggere grafici, ma più in generale quelle di decodificare la varietà di informazioni contenute in un grafico, sia a livello globale sia a livello locale, di produrre grafici per rappresentare funzioni, andamenti, fenomeni, di distinguere tra rappresentazione discreta e continua, di avere sempre presente i fattori di scala (Robutti, 2003). Per quanto riguarda il senso del simbolo, Arcavi ha apportato un enorme contributo alla ricerca da questo punto di vista, mettendo in evidenza come, troppo spesso, gli studenti si dimostrino abili a padroneggiare le tecniche algebriche e a manipolare i simboli, ma si rivelino incapaci di riguardare l'algebra come strumento di pensiero per scoprire e stabilire connessioni, per formulare e validare congetture, per esprimere generalità. Per Arcavi gli studenti possiedono il senso del simbolo se sono capaci di: ricorrere ai simboli come strumenti per comprendere il significato del problema e per risolverlo, abbandonarli nel momento in cui rischiano di rimanere ancorati alle manipolazioni, cogliere i vari ruoli che essi possono giocare in contesti differenti, leggere attraverso di essi le relazioni esistenti tra le variabili in gioco, scegliendo anche opportunamente il modo nel quale rappresentare queste ultime (Arcavi, 1994). Bibliografia Arcavi A. (1994). Symbol sense: Informal sense making in formal mathematics For the learning of mathematics : an international journal of mathematics education Vol. 14, no. 3: 24-35. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Curriculum and evaluation standards for school mathematics Robutti, O. (2003). Il senso del grafico con la mediazione delle tecnologie: metafore attivate e significati costruiti, La matematica e la sua didattica, 2, 173-195. Sowder, J. T. (1992). Making sense of in school mathematics Analysis of Arithmetic for mathematics teaching Ed. G. Leinhardt, R. Putnam, & R. A. Hattrup. Hillsdale, NJ: Erlbaum. 1-51. 2

Articolazione del progetto L offerta formativa dei precorsi consiste in 4 tipologie di servizi, non alternative tra di loro. Il primo servizio consiste di un precorso breve di 2 settimane prima dell inizio delle lezioni, di 4 ore al giorno (totale 40 ore) Il secondo servizio duplica nei contenuti il primo in un tempo successivo, in parallelo alle lezioni e ha una durata di 42 ore complessive. Il terzo consiste in una offerta in modalità E-Learning usando la piattaforma Moodle. Il quarto prevede precorsi serali da effettuarsi con modalità analoghe al precorso lungo ed ha una durata di 28 ore. I precorsi sono preceduti da una fase iniziale che prevede il TARM, per il quale saranno previsti 3 esiti possibili: A (valutazione alta), B (valutazione intermedia), C (valutazione bassa). Lo studente che supera il TARM con esito B è invitato a partecipare al precorso. Chi supera il TARM con esito C è fortemente consigliato a partecipare al precorso breve. Chi non lo ha sostenuto è fortemente consigliato a partecipare al precorso lungo e/o in modalità e-learning. Alla fine del precorso breve lo studente sostiene un test di autovalutazione e l esito fornisce un indicazione sulla necessità di seguire il precorso lungo o di avvalersi dell e-learning. Precorso breve: Il precorso breve dura 2 settimane ed è strutturato in 10 incontri da 4 ore ciascuno. Le 4 ore sono così organizzate: 2 ore lezione ed esempi (compresenza di docente universitario e docente delle superiori) 2 ore esercizi (compresenza di docente delle superiori e 2 borsisti) Pomeriggio dedicato allo studio individuale e alla risoluzione di esercizi; consegna degli esercizi e correzione da parte dei borsisti. Si pensa di dividere gli studenti in 2 gruppi. Precorso lungo: Il precorso lungo consiste in 14 incontri settimanali di 3 ore ciascuno. Queste 3 ore saranno gestite da un borsista. E-learning: I materiali didattici delle lezioni verranno messi sulla piattaforma Moodle a disposizione di tutti gli studenti (anche quelli che hanno superato il TARM con livello A). Questo sarà possibile grazie al server del Dipartimento di Matematica, capitalizzando l esperienza attuale che ne vede l utilizzo, tra l altro, per i corsi abilitanti riservati L.143 e per i laboratori della SIS Piemonte. Precorso serale: Il precorso serale consiste in 14 incontri settimanali di 2 ore ciascuno. Queste 2 ore saranno gestite da un docente universitario. Il precorso serale ha come destinatari sia studenti di Matematica sia studenti di Fisica, come già avviene per i corsi serali. Metodologia: Le lezioni sono frontali e dialogate, favorendo interazioni col docente e fra corsisti. Ogni tipologia di precorso viene tenuta interamente dalla stessa equipe di docenti, per favorire la continuità didattica e metodologica Destinatari: iscritti al 1 anno della laurea triennale in Matematica dell Università di Torino (e iscritti al 1 anno della laurea triennale in Fisica dell Università di Torino, per il precorso serale) Contenuti: Argomento 1: Linguaggio degli insiemi. Insiemi numerici (N, Z, Q): successivi ampliamenti. Operazioni, proprietà. Insieme R, retta reale ed intervalli. Operazioni insiemistiche sugli intervalli. Distanza fra punti. Valore assoluto. Discretezza, densità, continuità. Ordinamento e completezza. Piano cartesiano e rappresentazione dei punti. Argomento 2: Il concetto di funzione, dominio e codominio; immagini e controimmagini. Rappresentazione di funzioni con tabelle numeriche, grafici e simboli. Gli zeri di una funzione come soluzioni di equazioni; il segno di 3

una funzione e le disequazioni. Funzioni lineari. La retta, sua pendenza e ordinata all origine. Rette parallele e perpendicolari. Equazioni e disequazioni di primo grado (risoluzione grafica e analitica). Argomento 3: Funzioni quadratiche. Equazioni e disequazioni di secondo grado (risoluzione grafica e analitica). Luoghi geometrici: parabola, circonferenza, ellisse, iperbole. Argomento 4: Significato e ruolo di incognita, variabile e parametro, nelle equazioni e nelle funzioni. Applicazioni a funzioni, equazioni e disequazioni, sia in ambito numerico che grafico. Risoluzione di problemi. Argomento 5: Funzione potenza e proprietà delle potenze. Confronto tra potenze diverse, rappresentazioni numeriche e grafiche deducibili da y=x n. Funzioni polinomiali con particolare attenzione a cubiche, quartiche. Operazioni su polinomi, fattorizzazione. Zeri e segno di funzioni polinomiali. Argomento 6: Valore assoluto: definizione, applicazione alle funzioni. Rappresentazioni grafiche e simboliche. Applicazioni a equazioni e disequazioni. Argomento 7: Funzioni razionali fratte: dominio, zeri e segno. Rappresentazioni numeriche e grafiche, con particolare riferimento alla funzione reciproco e reciproco di un quadrato. Generalizzazione a y=1/x n. Radicali ed operazioni su di essi. Insieme di definizione. Razionalizzazione. Argomento 8: Logaritmi e proprietà dei logaritmi. Successioni, progressioni aritmetiche e geometriche, scale logaritmiche. Funzioni esponenziali, logaritmiche e loro grafici. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche elementari (risoluzione grafica e analitica). Argomento 9: Misure di angoli in gradi e radianti. Relazioni tra lati ed angoli in un triangolo rettangolo. Applicazioni alla geometria: determinazione di angoli e lati in situazioni problematiche interne o esterne alla matematica. Argomento 10: Funzioni trigonometriche e loro rappresentazioni numeriche e grafiche. Funzioni trigonometriche inverse. Equazioni e disequazioni trigonometriche elementari (risoluzione grafica e analitica). Monitoraggio del progetto (in ingresso, in itinere, in uscita): Monitoraggio in ingresso: TARM Monitoraggio in itinere: verifica di autovalutazione alla fine dei primi precorsi Monitoraggio in uscita: questionario di autovalutazione, risultati negli esami curricolari Indicatori utili ai fini della valutazione del progetto Risultati del monitoraggio in uscita Correlazione tra la valutazione in ingresso e nei precorsi seguiti ed i risultati degli esami del corso di laurea di partecipanti ai precorsi 4

Durata Anno Accademico 2007/2008 - Inizio progetto settembre 2007 Risultati attesi e tempistica (planning) Luglio 2007 Luglio 2008 Mese/azione Lugl Sett Ott Nov Dic Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Formazione X X X X Progettazione X X X Monitoraggio X X X X Analisi dei risultati X X X X Risorse umane Nominativo Docenti universitari Docenti universitari (E-learning) Docenti SSS Docenti SSS (E-learning) Borsisti Art. 13 docenz a docenti Correzio ne compiti persone per correzion e E- learnin g Numer o person e per e- learnin g Monitor aggio persone per monitora ggio Totale ore 20 2 40 0 50 1 50 Costi ( ) 40 2 80 3440,00 50 1 50 20 2 30 2 100 825,00 Borsisti Art. 36 (prec. lungo) 42 1 8 1 50 2160,00 Borsisti Art. 13 (E-learning) 50 1 50 412,50 Borsisti (Monitoraggio) 30 1 30 Beni e servizi: Beni di consumo: Carta per fotocopie Beni di investimento: Materiale bibliografico Totale costi 6837,50 Servizi: Precorso breve: 2 aule per 50 persone, PC portatili e videoproiettore 20-30% delle ore in Aula Informatizzata Precorso lungo: 1 aula da 30 persone, PC portatili e videoproiettore Precorso serale: 1 aula da 30 persone, PC portatili e videoproiettore Per tutti: utilizzo ufficio stampa per fotocopie Torino, 24 Aprile 2007 Il responsabile del Progetto Ornella Robutti Il Presidente del CCS in Matematica Laura Sacerdote 5