Calcolo combinatorio (da un file della Prof.ssa Marchisio, con alcune modifiche e integrazioni) Calcolo combinatorio branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare, secondo date regole, gli elementi di un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio si interessa soprattutto di contare tali modi, ovvero le configurazioni e solitamente risponde a domande quali "Quanti sono...", "In quanti modi...", "Quante possibili combinazioni..." eccetera. Tale calcolo trova applicazioni nella teoria della probabilità, nella statistica, nell'ambito dei giochi matematici e nell'analisi dei problemi di scelta (frequenti nel campo commerciale e industriale). Contare in una situazione semplice Devo comprare un lucchetto per la catena della mia bicicletta. E' un lucchetto a combinazione, tipo cassaforte. Ci sono 2 rotelle e su ognuna le cifre da 1 a 5. Il negoziante dice che è sicuro, ma io non sono molto convinto. Sarà abbastanza sicuro o un ladro, con pochi tentativi, riuscirà a portarsi via la mia bici? Soluzione Proviamo a contare le possibili combinazioni con l'aiuto dei grafi ad albero Per la prima cifra, ci sono 5 possibilità: 1 2 3 4 5 Rappresentiamo la situazione partendo dalla situazione 0 (nessuna combinazione impostata) e rappresentiamo con 5 rami le 5 possibilità per la prima cifra Per ogni cifra successiva, si presenta la stessa situazione: ripartendo dalla cifra selezionata, ho 5
possiblità per la cifra successiva. Globalmente la situazione si rappresenta con questo grafo. Il grafo ha 25 diversi tragitti per andare dalla cima a una delle foglie, quindi il lucchetto ha 25 combinazioni possibili... mica tante! conviene non comprarlo Che cosa abbiamo imparato? Quali sono le principali caratteristiche di ci# che dobbiamo contare nel problema del lucchetto? stiamo contando delle presentazioni ordinate, perchè la combinazione 1 2 è diversa da 2 1 sono ammesse le ripetizioni, per esempio 2 2 è una combinazione del lucchetto. Il problema del lucchetto è un problema di disposizioni con ripetizione.
Una disposizione con ripetizioni è una presentazione ordinata di elementi di un insieme nella quale si possono avere ripetizioni di uno stesso elemento. Cerchiamo il numero delle possibili sequenze di k oggetti estratti dagli elementi di un insieme di n oggetti, ognuno dei quali pu# essere preso più volte. Si hanno n possibilità per scegliere il primo componente, n per il secondo, altrettante per il terzo e cos$ via, sino al k-esimo che completa la configurazione. Il numero cercato è pertanto: Nel problema in esame cercheremo tutte le coppie (k=2) di cifre prese tra le cifre 1, 2, 3, 4, 5 (n= 5). Quindi le possibili combinazioni saranno (1.2.1) Maple ci aiuta (conclusione problema iniziale) Ecco il codice per farci scrivere da Maple tutte le combinazioni del lucchetto. Usiamo il pacchetto combinat e la funzione permute dandole come argomenti l'insieme totale delle cifre da utilizzare nella combinazione e la lunghezza della combinazione. numbperm conta il numero di permutazioni che richiediamo (stessi argomenti di permute), oppure possiamo dare un nome alla lista delle disposizioni con ripetizione calcolate e farci dire da Maple la lunghezza di tale lista con nops (1.3.1) (1.3.2) ORA PROVA TU... Una proposta analoga...
Con Maple (1.4.1.1)
(1.4.1.2) Allo stesso risultato si arriva con la formula per determinare le disposizioni di tre cifre (k) prese tra dieci (n) cioè (essendo dieci le cifre tra cui scegliere (n) e 3 le posizioni da individuare (k) Se servono 2 sec per ogni tentativo, in totale serviranno 2000 sec cioè 33 min e 20 sec dunque... Facciamo 13! Quante sono le diverse colonne della schedina che si possono giocare? Dobbiamo scegliere tra vittoria della prima squadra (1), pareggio (X) o vittoria della seconda squadra (2) in 13 partite di calcio. Risposta
Dobbiamo studiare le disposizioni con ripetizione di sequenze di 13 oggetti presi da un insieme con 3 elementi. Allora il numero di diverse colonne della schedina è 1594323 (1.5.1.1) Se volete, potete farvi scrivere da Maple tutte le colonne della schedina... Una situazione più delicata Stiamo facendo dei lavori di ristrutturazione in casa. In particolare dobbiamo allacciare i cavi telefonici che arrivano dall'esterno alla presa del telefono che metteremo nel muro. Il cavo telefonico è composto da 3 fili: uno rosso, uno verde, uno blu. Purtroppo non abbiamo idea di come vanno attaccati alla spina, quindi andiamo un po' a caso... quanti tentativi dovremo fare alla peggio? Soluzione Rispetto al problema del lucchetto, qui non ci sono ripetizioni (ho 3 fili di colori diversi in tutto) e conta l'ordine in cui li attacco. Quindi devo contare i possibili modi di "ordinare" i miei 3 fili. Anche qui posso fare un grafo ad albero. Ma: se scelgo come primo filo quello rosso, come secondo filo potr# scegliere solo tra il verde e il blu e poi la terza scelta sarà obbligata! Partendo dal bianco, possiamo scegliere 6 cammini diversi per arrivare a una "foglia". nel percorso passiamo tutti i colori una sola volta, ottenendo un possibile ordinamento dei 3 fili Totale: 6 ordinamenti, 6 tentativi per collegare il cavo telefonico! Si pu# fare lo stesso calcolo più brevemente: Primo filo da collegare: 3 possibilità Secondo filo da collegare: 2 possibilità (una meno di prima, perchè un filo è già collegato) Terzo filo da collegare: 1 possibilità (gli altri 2 sono già stati collegati) Totale: 3*2*1=6. (2.1.1) Che cosa abbiamo imparato? Quali sono le principali caratteristiche di ci# che dobbiamo contare nel problema dei fili del cavo del telefono? stiamo contando delle presentazioni ordinate, perchè la presentazione RVB è diversa da VBR, in cui ogni oggetto si presenta una e una sola volta. non sono ammesse le ripetizioni, per esempio RBB non è una presentazione ammissibile
Il problema dei fili del cavo telefonico è un problema di permutazioni. Una permutazione di un insieme di oggetti è una presentazione ordinata, cioè una sequenza, dei suoi elementi nella quale ogni oggetto viene presentato una ed una sola volta. Per contare le permutazioni di un insieme con n oggetti, notiamo che il primo elemento pu# essere scelto in n modi diversi, il secondo in (n-1), il terzo in (n-2) e cos$ via sino all'ultimo che potrà essere preso in un solo modo essendo l'ultimo rimasto. Il numero delle possibili permutazioni di un insieme di n elementi è Questo è "n fattoriale" e si scrive come Anche per abbastanza piccoli, otteniamo numeri molto grandi! (2.2.1) Maple ci aiuta Ecco il codice per farci scrivere da Maple tutte le permutazioni dei 3 fili. Usiamo il pacchetto combinat e la funzione permute dandole come argomenti R, B e V. numbperm conta il numero di permutazioni che richiediamo (stessi argomenti di permute), oppure possiamo dare un nome alla lista delle permutazioni e farci dire da Maple la lunghezza di tale lista con nops ORA PROVA TU... Altro esempio... (2.3.1) (2.3.2)
Anche qui, come per i fili del cavo telefonico, non possiamo usare due volte la stessa carta per "creare" con esse un numero di quattro cifre. Dunque non avremo disposizioni con ripetizioni, ma semplici permutazioni delle quattro carte, che identificheremo con la cifra scritta su ognuna di esse: (2.4.1) (2.4.2) Questo risultato si ottiene anche usando la formula che serve a trovare tutte le permutazioni semplici in un insieme di 4 oggetti distitnti 24 (2.4.3) Enigmistica A) Quanti sono gli anagrammi (inclusi quelli senza senso!!!!) della parola LIMONE? B) Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA? Pensi che la formula da usare sia la stessa nei due casi? Risposta per il caso A Dobbiamo contare le permutazioni di 6 oggetti, quindi il numero di anagrammi in totale è
720 Provate con i comandi Maple a farvi scrivere TUTTI gli anagrammi! Risposta per il caso B La parola MATEMATICA, lunga 10 lettere, contiene le seguenti ripetizioni: - la lettera M si ripete 2 volte - la lettera A si ripete 3 volte - la lettera T si ripete 2 volte La forrula che ci permette di trovare quanti saranno è (2.5.1.1) 151200 (2.5.2.1) L'ordine conta... ma a volte no! Problema 1: 5 persone partecipano a una corsa dove vengono assegnate le medaglie d'oro, argento e bronzo. In quanti modi diversi pu# essere il podio finale? Problema 2: 5 persone partecipano a un colloquio di lavoro dove verranno assunte 3 persone. Quante sono le possibili terne di persone assunte? I due problemi sono simili ma nel primo conta l'ordine nel secondo no! Problema 1 Soluzione In questo problema l'ordine conta! Ma non è uguale al caso delle permutazioni: prima avevo n oggetti e altrettante posizioni in cui collocarli, qui ho più oggetti che posizioni! Per la medaglia d'oro ci sono 5 possibili concorrenti Per la medaglia d'argento ci sono 4 possibili concorrenti (possiamo pensare che il primo sia già arrivato!) Per la medaglia di bronzo restano 3 possibili concorrenti Totale: 60 (3.1.1.1) Che cosa abbiamo imparato? Quali sono le principali caratteristiche di ci# che dobbiamo contare nel problema del podio della corsa? stiamo contando delle presentazioni ordinate, perchè il podio Alberto, Bruno, Carlo è diverso da Bruno, Alberto, Carlo
alcuni "oggetti" compaiono, ma non compaiono tutti: se il podio è Alberto, Bruno, Carlo, ci sono altri 2 concorrenti che non "contribuiscono" al podio non sono ammesse le ripetizioni, per esempio Alberto, Bruno, Bruno non è un podio ammissibile Il problema del podio è un problema di disposizioni semplici. Una disposizione semplice di lunghezza k di elementi di un insieme S di ordinata di k elementi di S nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto. Per avere il numero di queste disposizioni si considera che il primo componente di una tale sequenza pu# essere scelto in n modi diversi, il secondo in (n-1) e cos$ via, sino al k-esimo che pu# essere scelto in (nk+1) modi diversi. Il numero di disposizioni semplici di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti è dato da: Maple ci aiuta Ecco il codice per farci scrivere da Maple tutti podi possibili. Usiamo il pacchetto combinat e la funzione permute dandole come argomenti A, B, C, D, E e 3. numbperm conta il numero di permutazioni che richiediamo (stessi argomenti di permute), oppure possiamo dare un nome alla lista delle disposizioni calcolate e farci dire da Maple la lunghezza di tale lista con nops (3.1.3.1) (3.1.3.2) Tutto il campionato Nel campionato di calcio di serie A ci sono 20 squadre. Durante il campionato ogni squadra incontra tutte le altre in un girone di andata e ritorno (equivalente a dire che si deve giocare sia Inter-Milan che Milan- Inter ). Quante partite si giocano in tutto nel campionato?
Risultato Dobbiamo contare tutti i modi di disporre 20 oggetti (le squadre) a 2 a 2, e notiamo che due Allora il numero totale di partite del campionato è 380 (3.1.4.1.1) Se volete, potete farvi scrivere tutte le partite del campionato con i comandi Maple (ma dovete scrivere il nome di tutte le 20 squadre!) Problema 2 Soluzione Qui l'ordine non conta! Dobbiamo contare il numero di diversi sottoinsiemi di 3 persone che possiamo estrarre dalle 5 persone che fanno il colloquio. Posso fare lo stesso conteggio di cui sopra, quindi ottenere che se c'è una "classifica" tra gli assunti, abbiamo 60 "terne con classifica" possibili. Poi per# ci dobbiamo ricordare che la terna di assunti "Alberto, Bernardo, Carlo" è da contare uguale a "Bernardo, Carlo, Alberto" e cos$ via... Devo "togliere" le possibili permutazioni di una stessa terna di assunti! Allora faccio 10 (3.2.1.1) Che cosa abbiamo imparato? Quali sono le principali caratteristiche di ci# che dobbiamo contare nel problema del colloquio? stiamo contando delle presentazioni non ordinate, perchè la terna di assunti Alberto, Bruno, Carlo è equivalente a Bruno, Alberto, Carlo alcuni "oggetti" compaiono, ma non compaiono tutti: se vengono assunti Alberto, Bruno, Carlo, ci sono altri 2 partecipanti al colloquio che non "contribuiscono" alla terna che consideriamo non sono ammesse le ripetizioni, per esempio Alberto, Bruno, Bruno non è una terna di assunti ammissibile Il problema del podio è un problema di combinazioni. Una combinazione è una presentazione di elementi di un insieme nella quale non ha importanza l'ordine dei componenti e non si pu# ripetere lo stesso elemento più volte. La collezione delle combinazioni di k elementi estratti da un insieme S di n oggetti distinti si pu# considerare ottenuta dalla collezione delle disposizioni semplici di lunghezza k degli elementi di S e poi identificando (quindi contando come un solo elemento) le sequenze che presentano lo stesso sottoinsieme di S. Identifichiamo quindi in un elemento k! sequenze. Quindi il numero delle combinazioni semplici di n elementi di lunghezza k si ottiene dividendo per k! il numero delle
disposizioni semplici di n elementi di lunghezza k: Maple ci aiuta Ecco il codice per farci scrivere da Maple tutte le terne di assunti. Usiamo il pacchetto combinat e la funzione choose dandole come argomenti A, B, C, D, E e 3. numbcomb conta il numero di sottoinsiemi di k (=3) oggetti estratti da un insieme di n(=5), oppure possiamo dare un nome alla lista delle combinazioni e farci dire da Maple la lunghezza di tale lista con nops (3.2.3.1) (3.2.3.2) Una partita a poker A ogni giocatore di una partita di poker vengono date 5 carte prese da un mazzo di 32. In quanti modi diversi si possono ricevere le carte? Risultato Dobbiamo contare tutti i sottoinsiemi di 5 oggetti estratti da un insieme di 32, non ci interessa l'ordine dei 5 oggetti. Allora i modi di ricevere le carte sono 201376 (3.2.4.1.1) Volendo, potete farvi scrivere da Maple tutti i modi, ma verrà una lista un po' lunga... Calcolo combinatorio nell'algebra: le potenze del binomio Sappiamo che per ogni, qualsiasi siano i numeri reali. Anche se di solito ci ricordiamo la formula per, è facile avere dei dubbi per quella di... di solito quella di nemmeno proviamo a impararla!
Proviamo a scoprire qual è la formula, senza sviluppare esplicitamente il prodotto Quando espandiamo il calcolo della moltiplicazione, da ognuno dei 4 binomi prendiamo un fattore oppure un fattore. Chiaramente, se da un binomio scelgo, allora non prendo, e viceversa. Allora rappresento un monomio in questo modo: se estraggo dal binomio, scrivo il "numero" del binomio da cui l'ho estratto; se estraggo non scrivo il numero del binomio. Per esempio, rappresento il monomio scrivendo. Ma visto che, ottengo lo stesso monomio come. E cos$ via. Allora il monomio si ottiene scegliendo 2 elementi tra. Quanti sono quindi i modi di ottenerlo?!!!!!!! Ma allora posso ricavarmi i coefficienti dell'espansione di : Il monomio si ottiene scegliendo 4 elementi tra, quindi Il monomio si ottiene scegliendo 3 elementi tra, quindi Il monomio si ottiene scegliendo 2 elementi tra, quindi Il monomio si ottiene scegliendo 1 elementi tra, quindi Il monomio si ottiene se non scegliamo mai il fattore, quindi. Si ha perci# l'espansione E vale in generale che l'espansione di è (4.1) Vediamo se il trucco! chiaro Aiutandovi con il calcolo combinatorio e con Maple, scrivete lo sviluppo di