Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6 ( 8 ; 6 8 ; (6 ( 1 ; 36 196. Estrarre le due palline simultaneamente è equivalente ad estrarre le due palline dall urna sequenzialmente e senza reinserimento. In totale l urna contiene 8+6 = 1 palline. Si presti attenzione al fatto che, anche se indistinguibili, vi sono 6 palline rosse fisicamente diverse ed analogamente per le 8 palline nere. Conviene pensare che le palline siano numerate, da 1 a 1, le palline numerate da 1 a 6 sono rosse, quelle da 7 a 1 sono nere. Il numero delle disposizioni di palline, pescate senza reinserimento dalle 1 nell urna, è 1 13. Il numero di disposizioni che contengono entrambe le palline rosse sono invece 6 5. La probabilità cercata 6 5 è quindi 1 13. Si può ragionare invece che sulle disposizioni sulle combinazioni. In effetti l evento entrambe le palline estratte sono rosse non dipende dall ordine di estrazione. Il numero di combinazioni di palline estratte senza reinserimento da 1 è ( 1 mentre il numero di combinazioni di palline rosse scelte dalle 6 presenti nell urna è ( 6. Si conclude che la probabilità cercata è (6 ( 1 = 6 5 1 13. Che, contando in due modi diversi, l evento dato abbia la stessa probabilità, non dovrebbe né confondere, né sorprendere, bensì rassicurare. Per rinforzare la comprensione calcoliamo, nei due modi, la probabilità dell evento estratta una pallina rossa ed una nera. Contando le disposizioni il denominatore rimane 1 13. A numeratore dobbiamo contare le disposizoni con una pallina nera ed una rossa, che 6 8 sono 6 8. La probabilità cercata è quindi 1 13. Contando le combinazioni abbiamo ( 6 1( 8 1 ( 1 = 6 8 1 13. Formalmente la differenza tra i due modi di procedere consiste nell adozione di due spazi campionari diversi: in un caso (disposizioni si considerano esiti le coppie ordinate (i, j con i j, nell altro (combinazioni si considerano esiti i sottoinsiemi {i, j} con i j.
0. Da un mazzo di 11 carte numerate da 1 a 11 si estraggono simultaneamente due carte. Qual è la probabilità che siano entrambe pari? (5 ( 11 ; (5 ( 6 ; 5 11 ; 5 11. È identico al precedente, basta riconoscere che i numeri pari tra 1 ed 11 sono 5. 0.3 Da un mazzo di carte trevisane ( semi, 10 valori viene servita una mano di carte. Qual è la probabilità che la mano contenga almeno una coppia? 1 ( 0 ; 1 (10 ( 0 ; 1 (10 ( 0 ; 1 (10 ( 0. Conviene calcolare la probabilità complementare, ovvero che la mano servita non contenga coppie, sia cioè del tipo (a, b, c, d con a, b, c, d carte di valori diversi. Le scelte di valori diversi tra i 10 a disposizione è ( 10. Per ogni valore si deve scegliere il seme, il che si può fare in modi. La probabilità che la mano servita non contenga coppie vale quindi (10 ( 0 ed il suo complemento ad 1 è la probabilità cercata. 0. Qual è la probabilità che su amici almeno abbiano la stessa iniziale del nome? Nota bene. L iniziale del nome può essere, equiprobabilmente, una delle 6 lettere dell alfabeto. 1 (1 1 6 (1 6 (1 3 6 ; (1 1 6 (1 6 (1 3 6 ; 6 5 6 ; (6 5 6 È un problema del compleanno, con un anno di 6 giorni ed una classe di bambini.
Esercizio 1. Un urna contiene 5 palline Bianche, 5 Nere e 5 Rosse. (a. Si estraggono 3 palline simultaneamente. Qual è la probabilità che le palline siano di tre colori diversi? (b. Si estraggono 5 palline simultaneamente. Qual è la probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi { Bianche}, {3 Nere}, { Rosse}? (a. Le combinazioni favorevoli sono quelle che contengono 1 pallina Bianca, 1 Nera ed 1 Rossa, quindi la probabilità richiesta è 1 3 ( 15 3 (b. Si verifica almeno uno degli eventi B := { Bianche }, N := { 3 Nere }, R := { Rosse } se e solo se si verifica l unione E := B N R. Per la formula d inclusione esclusione P (E = P (B + P (N + P (R P (B N ± probabilità di eventi vuoti ( 10 ( 10 ( 10 3 1 3 3 = ( 15 + ( 15 + ( 15 ( 15 5 5 5 5 Nota bene: la formula d inclusione esclusione completa è P (E = P (B + P (N + P (R P (B N P (B R P (N R + P (B N R e poiché in totale si effettuano solo 5 estrazioni, gli eventi B R, N R, B N R sono tutti vuoti. Esercizio. Da un gruppo di 6 uomini, 7 donne e 5 bambini si deve formare un comitato composto da persone. Tutti i possibili comitati di persone che si possono formare sono considerati equiprobabili. Calcolare la probabilità che il comitato contenga (a. esattamente 1 donna (b. almeno 1 donna (passando al complementare ci mettete un secondo - qual è il complementare di almeno 1 donna? (c. al più 1 donna (d. almeno 1 persona di ogni categoria (direttamente ci mettete 3 ore, passando al complementare è ancora un po lungo ma più trattabile qual è il complementare di almeno 1 di ogni categoria? cominciate a ragionare così: almeno 1 di ogni categoria è l evento: [almeno 1 donna e almeno 1 uomo e almeno 1 bambino] ora si applica De Morgan ecc. (e. nessuna donna e almeno 1 uomo
(a. P (1 donna = (7 1( 11 3 (b. P (almeno 1 donna = 1 P (0 donne = 1 (11 (c. P (al più 1 donna = P (0 donne + P (1 donna = (11 + (7 1( 11 (d. Con significato dei simboli spero evidente applico de Morgan e trovo (U 1 D 1 B 1 c = U 0 D 0 B 0. Per la formula di inclusione esclusione P (U 0 D 0 B 0 = P (U 0 + P (D 0 +P (B 0 P (U 0 D 0 P (U 0 B 0 P (D 0 B 0 +P (U 0 D 0 B 0. L ultimo addendo è ovviamente nullo, dovendo il comitato essere formato da persone. In conclusione P (almeno 1 persona per categoria = 1 P (U 0 D 0 B 0 ( 1 ( + 11 ( + 13 (( 5 ( + 7 ( + 6 = 1 ( 18 3 (e. Conviene ricorrere alla seguente decomposizione disgiunta D 0 = (D 0 U 1 (D 0 U 0 dove ovviamente U 0 = U 1 c. Per la probabilità vale quindi P (D 0 = P (D 0 U 1 + P (D 0 U 0 da cui si ricava P (D 0 U 1 = P (D 0 P (D 0 U 0 = P (D 0 P (B. Gli addendi si calcolano come sopra e forniscono ( 5 P (D 0 U 1 = ( 11 Esericizio 3. Si estraggono due carte a caso da un mazzo di 5, senza reinserimento. Qual è la probabilità che la seconda valga di più della prima? La probabilità che la seconda carta sia maggiore della prima è 8/17. Spiegazione. La soluzione più semplice è la seguente. Gli eventi A ={la seconda carta vale più della prima}, B ={la seconda carta vale meno della prima}, C ={le due carte hanno lo stesso valore} costituiscono una partizione dell evento certo. Noi siamo interessati alla probabilità P(A ma, per ragioni di simmetria, P(A = P(B. Segue che P(A = 1 [ 1 P(C ] e ci si può limitare a calcolare P(C. I casi possibili sono le ( 5 combinazioni delle 5 carte a a. I casi favorevoli si calcolano osservando che sono ( 13 1 = 13 possibili valori tra cui scegliere le due carte uguali, e per ogni valore sono ( le combinazioni delle carte di quel valore prese a. Pertanto ( 13 ( 1 P(C = = 13 6 6 51 = 6 51 = 1 = P (A = 8/17 17
Esericizio. Un bambino ha estratto a caso, e nascosto, due carte da un mazzo di 5. Si estrae una carta dal mazzo incompleto: qual è la probabilità che sia di Picche? La probabilità che la carta estratta sia di Picche è 1/. Spiegazione 1. Le probabilità relative all estrazione dipendono dal numero (aleatorio X di carte di picche che il bambino ha sottratto. Si ha ( 39 P(X = 0 = = 19 ( 13 ( 39 1 1, P(X = 1 = = 13 ( 13, P(X = = ( 3 3 5 = 3. Rimangono nel mazzo 50 carte di cui, rispettivamente nei tre casi, 13 1 e 11 carte di picche. Applicando il teorema della probabilità totale, la probabilità cercata è 13 50 19 3 + 1 50 13 3 + 11 50 7 + 156 + = = 5 3 50 3 50 3 = 1. Spiegazione. Il risultato non è sorprendente. Si può pensare all estrazione a caso dal mazzo di tre carte senza reinserimento (le prime due da parte del bambino. Ora la probabilità che la terza carta sia di picche è ovviamente 13/5 = 1/. Sarebbe ancora 1/ anche se il bambino avesse nascosto k delle 5 carte del mazzo, per k = 1,,... 51. Avevamo già osservato questa proprietà del campionamento senza reinserimento. Esercizio 5. Una segretaria irritata con il suo principale, dovendo spedire n lettere diverse ad altrettanti destinatari, inserisce a caso una lettera in ogni busta indirizzata. Calcolare la probabilità che tutti i destinatari ricevano la lettera a loro destinata. I possibili ordinamenti delle n lettere nelle n buste sono n!, di questi solo 1 corrisponde all evento tutti i destinatari ricevono correttamente la loro lettera. La probabilità richiesta vale quindi 1 n!. Esercizio 6. Un mazzo di carte è formato da 0 carte numerate da 1 a 5. Di ogni numero sono presenti esemplari indistinguibili. Si estraggono 10 carte dal mazzo. (a. Supponendo di estrarre le 10 carte con reinserimento calcolare la probabilità che ognuno dei numeri 1,, 3,, 5 appaia esattamente due volte tra le 10 carte estratte. (b. Supponendo di estrarre le 10 carte senza reinserimento si ricalcoli la probabilità dell evento considerato in (a.. (a. Per il caso con reinserimento facciamo i calcoli contando le disposizioni. Casi possibili. Nell estrazione con reinserimento ci sono 0 10 possibili disposizioni di 10 carte dal mazzo di 0 carte. Casi favorevoli. Dobbiamo contare le disposizioni che contengono due carte per ognuno dei 5 valori. La coppia di 1 si può estrarre in modi diversi poichè ogni volta si reinserisce la carta appena estratta, e lo stesso vale per le coppie di, 3,, 5, per un totale di ( 5 possibili estrazioni delle 5 coppie. Oguno di questi modi di estrarre le 5 coppie dà luogo a diverse disposizioni: per calcolarne il numero si pensi in termini di un problema di allocazione. Ci sono 10 caselle (la prima estratta, la seconda estratta,... la decima estratta
e ( si devono collocare nelle 10 caselle due 1, due,... due 5. Questo può essere fatto in 10 ( 8 ( 6 ( ( = 10! modi diversi. La probabilità richiesta vale dunque 5 ( 5 10! 0 10 5 (b. Per le estrazioni senza reinserimento contiamo le combinazioni. Casi possibili. Ci sono ( 0 10 combinazioni di 10 carte estratte, senza reinserimento, dal mazzo di 0 carte. Casi favorevoli. Non c è nessuna scelta da fare per i valori, poiché devono essere tutti e 5 presenti (scelta unica. Ogni coppia di carte uguali si può estrarre in ( modi. La probabilità richiesta vale quindi ( 5 ( 0 = 10 ( 3 5 10! (0 19 11 5. La seconda forma della soluzione è stata scritta per aiutarvi a confrontare il caso con reinserimento ed il caso senza reinserimento.