Meccanica dei fluidi. Soluzione dei problemi Capitolo 13. McGraw-Hill

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro Meccanica dei fluidi Seconda edizione Soluzione dei problemi Capitolo 13 McGraw-Hill

Indice 1 Introduzione e concetti di base 1 Introduzione, classificazione e sistema 1 Massa, forza e unità di misura 4 Modellazione e risoluzione di problemi ingegneristici 7 Riepilogo 9 Proprietà dei fluidi 11 Densità 1 Tensione di vapore e cavitazione 15 Energia specifica 16 Comprimibilità e velocità del suono 17 Viscosità 4 Tensione superficiale e capillarità 30 Riepilogo 3 3 Statica dei fluidi 37 Pressione, manometro e barometro 38 Spinte idrostatiche su superfici piane e curve 59 Galleggiamento 66 Moto rigido dei fluidi 7 Riepilogo 81 4 Cinematica dei fluidi 99 Problemi introduttivi 99 Descrizioni lagrangiana ed euleriana 101 Strutture del moto e visualizzazione del moto 107 Moto e deformazione di elementi di fluido 115 Teorema del trasporto di Reynolds 16 Riepilogo 17 5 Equazioni della massa, di Bernoulli, dell energia 135 Conservazione della massa 136 Energia meccanica e rendimento 140 Teorema di Bernoulli 145 Equazione dell energia 160 Riepilogo 174

II Indice 6 Equazione della quantità di moto 183 Leggi di Newton e conservazione della quantità di moto 184 Equazione della quantità di moto 184 Riepilogo 18 7 Analisi dimensionale e modellazione 9 Dimensioni e unità, dimensioni fondamentali 9 Omogeneità dimensionale 3 Adimensionalizzazione delle equazioni 33 Analisi dimensionale e similitudine 34 Parametri adimensionali e metodo delle variabili ripetute 38 Prove sperimentali e similitudine incompleta 55 Riepilogo 60 8 Correnti in pressione 75 Moto laminare e moto turbolento 76 Moto completamente sviluppato 79 Perdite localizzate 98 Reti di distribuzione 99 Lunghe condotte 36 Misura della velocità e della portata 336 Riepilogo 343 9 Equazioni indefinite del moto dei fluidi 357 Problemi di base 357 Equazione di continuità 359 Funzione di corrente 361 Equazione della quantità di moto e condizioni al contorno 371 Riepilogo 379 10 Soluzioni approssimate dell equazione di Navier-Stokes 391 Problemi di base 39 Moto non viscoso 395 Moto irrotazionale 396 Strati limite 400 Riepilogo 409 11 Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza 411 Resistenza e portanza 41 Moto su lastra piana 44 Moto attorno a cilindri e sfere 48 Portanza 43 Riepilogo 436 1 Moto dei fluidi comprimibili 441 Grandezze di ristagno 44 Moto isoentropico unidimensionale 445 Moto isoentropico negli ugelli 448 Onde d urto e onde di espansione 45

III Moto con scambio di calore e resistenze trascurabili (Flusso di Rayleigh) 460 Moto adiabatico con resistenze non trascurabili (Flusso di Fanno) 467 Riepilogo 476 13 Correnti a superficie libera 495 Numero di Froude e celerità 497 Energia specifica ed equazione dell energia 50 Moto uniforme e sezioni di minimo costo 509 Moto gradualmente e rapidamente variato. Risalto idraulico 50 Regolazione e misura della portata 57 Riepilogo 534

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA 13 SOMMARIO Il moto di un liquido in canali aperti o in condotte di cui occupa solo la parte inferiore è detto a superficie libera. Perché una corrente si muova di moto uniforme (velocità costante lungo ciascuna traiettoria), il canale deve essere cilindrico o prismatico e l altezza dellacorrente deve essere costante in tutte le sezioni. Il raggio idraulico R i è definito come rapporto tra l area A occupata dal liquido e il suo contorno solido C b, cioè R i = A/C b. Il numero di Froude Fr della corrente in una sezione è definito come rapporto tra la velocità media V nella sezione e la celerità delle piccole perturbazioni, cioè Fr = V = V (13.6) g A/B ghm essendo B la larghezza in superficie e h m l altezza della sezione rettangolare equivalente. Per un canale rettangolare con altezza della corrente uguale ad h, risulta Fr = V gh La corrente è lenta se Fr < 1, critica se Fr = 1, veloce se Fr > 1. L altezza della corrente in condizioni di stato critico è chiamata altezza critica ed è indicata con il simbolo k, così come la velocità è chiamata velocità critica. Dalla condizione Fr = 1 si ottiene la velocità critica V c = g A/B (13.10) Moltiplicando per l area si ottiene la portata in condizioni di stato critico, che vale Q = AV c = A g A/B (13.11) da cui, elevando al quadrato e raccogliendo i termini funzione dell altezza k, si ha A 3 B = Q g (13.1) relazione che definisce l altezza critica per una sezione di forma generica. Per una sezione rettangolare di larghezza b, per la quale A = bk = Bk, risulta k = 3 Q gb (13.9) Il carico totale in una sezione, misurato rispetto al fondo della sezione, prende il nome di energia specifica E = h + αv g (13.0) in cui h è la quota piezometrica e αv /g è l altezza cinetica. Il bilancio di energia tra due sezioni a distanza dx si esprime come d E dx = i J (13.3) in cui i è la pendenza del canale e J è la cadente, cioè la perdita di carico per unità di percorso. In condizioni di moto uniforme, il pelo libero, che coincide con la linea piezometrica, è parallelo al fondo per cui è J = i (13.33) In considerazione delle dimensioni dei canali e dell elevato valore della scabrezza, generalmente il regime di moto di una corrente a pelo libero risulta puramente turbolento.

496 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Pertanto, conviene esprimere la cadente con la formula di Chézy, che, introducendo la pendenza del canale, diviene Q = A 0 C 0 Ri0 i (13.37) in cui il pedice indica i valori relativi al moto uniforme. Esprimendo il coefficiente di Chézy con la formula di Gauckler-Strickler C = cr 1/6 i (13.38) in cui c è l indice di scabrezza, l equazione del moto uniforme diviene Q = ca 0 R /3 i0 i (13.40) I profili che il pelo libero assume in condizioni di moto permanente dipendono dalla pendenza del canale e dalla condizione al contorno che genera il profilo. I diversi possibili profili sono individuati da una lettera che indica il tipo di pendenza del canale e da un numero che si riferisce all altezza iniziale del profilo in rapporto all altezza di moto uniforme e all altezza critica. Il passaggio da corrente veloce a corrente lenta avviene attraverso un risalto idraulico. Le altezze h 1 e h che la corrente assume rispettivamente subito a monte e subito a valle del risalto prendono il nome di altezze coniugate. Per un canale rettangolare, esse sono legate dalla relazione ( ) h = 1 1 + 1 + 8 k3 h 1 h 3 1 (13.64) Il risalto è un fenomeno molto dissipativo. Infatti, in percentuale dell energia della corrente in arrivo, la dissipazione può arrivare a oltre l 80%. La perdita vale E = (h h 1 ) 3 4h 1 h (13.67) Nelle correnti a superficie libera la regolazione della portata avviene mediante paratoie a battente, cioè pareti mobili, piane o a settore circolare, che, sbarrando parzialmente la sezione, lasciano aperta una luce nella parte inferiore della sezione. La portata effluente da una luce rettangolare sotto una paratoia è Q = µab gh (13.71) in cui a è l altezza della luce, b la larghezza, h l altezza d acqua a monte della paratoia e µ un coefficiente di efflusso, funzione, in generale, del rapporto h/a e dell angolo θ che la tangente al bordo inferiore della paratoia forma con l orizzontale. Gli stramazzi sono dispositivi per la misura della portata delle correnti a superficie libera. Gli stramazzi a spigolo vivo sbarrano la sezione nella parte inferiore lasciando superiormente una luce di varia forma (rettangolare, triangolare, trapezia, circolare ecc.). Lo stramazzo Bazin è uno stramazzo rettangolare di larghezza b uguale a quella del canale, la cui portata può essere espressa con la formula Q = µ s bh s ghs (13.77) in cui h s è il carico (altezza d acqua rispetto al bordo dello stramazzo) e µ s il coefficiente d efflusso dello stramazzo. Il coefficiente di efflusso è somma di una costante (pari a circa 0,4) e di una quantità che tiene conto dell altezza cinetica della corrente a monte dello stramazzo, espressa in funzione del rapporto h s /a tra il carico e l altezza dello stramazzo. Gli altri stramazzi sono preceduti da una vasca di calma, per cui il loro coefficiente d efflusso risulta costante. La legge di efflusso dello stramazzo triangolare con angolo di apertura θ rispetto alla verticale è Q = 8 15 µ tan θ h s ghs (13.83) in cui µ = 0,6 è il coefficiente di efflusso delle luci a battente. Lo stramazzo Cipolletti è uno stramazzo a sezione trapezia con lati di pendenza 1:4 rispetto alla verticale, per il quale µ s = 0,415. Lo stramazzo a larga soglia fa parte della famiglia dei misuratori a risalto, nei quali la misura si basa sul fatto che un adeguato innalzamento del fondo o restringimento della sezione costringe la corrente a passare attraverso lo stato critico. Lo stramazzo a larga soglia è costituito da un gradino sul fondo opportunamente raccordato in modo che le perdite possano essere trascurate. Il carico h s dello stramazzo è l altezza della corrente a monte dello stramazzo, misurata rispetto al piano della soglia. Se l altezza cinetica di monte è molto piccola rispetto al carico, la portata di uno stramazzo rettangolare di larghezza b è Q = 0,385 bh s ghs (13.91) Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 497 PROBLEMI Numero di Froude e celerità 13.1 Che differenza c è tra moto a superficie libera e moto in pressione? Analisi Il moto di un liquido è a superficie libera quando avviene in canali aperti o in condotte chiuse di cui il liquido occupa solo la parte inferiore; esso è caratterizzato dalla presenza di una interfaccia liquido-gas (in genere aria a pressione atmosferica) chiamata appunto superficie libera. In un moto in pressione, invece, il fluido riempie completamente la sezione della condotta (che deve pertanto essere chiusa), sul cui intradosso ha, in genere, pressione maggiore di quella atmosferica. 13. Da cosa dipende la portata che si stabilisce in un canale a superficie libera? Analisi In un canale, il moto avviene per gravità, cioè è causato dalla pendenza del fondo o, in altre parole, dall abbassamento del fondo nella direzione del moto. Pertanto, la portata che si stabilisce in un canale dipende dall equilibrio dinamico tra la forza di gravità e la resistenza al moto offerta dalle pareti solide. Nel caso in cui il moto sia vario, entrano in gioco anche le forze di inerzia. 13.3 Qual è l andamento della linea piezometrica in una corrente a superficie libera? Analisi In una corrente a superficie libera, poiché la pendenza del fondo del canale è abitualmente molto piccola, le sezioni trasversali possono essere considerate verticali, anziché perpendicolari al fondo. In tale ipotesi, potendosi considerare la corrente lineare, la quota del pelo libero in ciascuna sezione trasversale rappresenta la quota piezometrica della corrente in quella sezione e, pertanto, la linea piezometrica della corrente coincide con il profilo della superficie libera. 13.4 In una corrente a superficie libera, in moto permanente, la pendenza della superficie libera coincide con la pendenza del fondo del canale? Analisi No. In moto permanente la pendenza della superficie libera non coincide con la pendenza del fondo, cioè il fondo e il pelo libero non sono paralleli, perché l altezza della corrente non è la stessa in tutte le sezioni trasversali. 13.5 Quali condizioni debbono essere soddisfatte perché il moto di una corrente a superficie libera si possa definire uniforme? Come deve essere il canale? Analisi Perché un moto sia uniforme (velocità costante lungo ciascuna traiettoria) è necessario che la sezione trasversale si mantenga costante. In una corrente a superficie libera è dunque necessario che il canale sia cilindrico (o prismatico) e che si mantenga costante nella direzione del moto anche l altezza della corrente. Ciò, a sua volta, comporta che siano costanti anche la pendenza Publishing Group Italia, Milano

498 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro e la scabrezza del canale. Pertanto, nella pratica, è ben difficile che una corrente a superficie libera sia uniforme; tuttavia, la condizione di moto uniforme può essere considerata raggiunta, con buona approssimazione, in tratti molto lunghi di canali a sezione, scabrezza e pendenza costanti. 13.6 Cos è l altezza di moto uniforme? Analisi In condizioni di moto uniforme, si mantengono costanti nella direzione del moto sia l altezza che la velocità media e, di conseguenza, anche l energia specifica. Pertanto, il profilo del pelo libero e la linea dell energia sono entrambi paralleli al fondo. Conseguentemente, in condizioni di moto uniforme, essendo i la pendenza del fondo e J la pendenza della linea dell energia, si ha i = J Essendo V la velocità media, R i il raggio idraulico e C il coefficiente di Chézy, la cadente J può essere espressa con la formula di Chézy 8.74 J = V C R i per cui, introducendo la pendenza del fondo, la velocità di moto uniforme è V 0 = C 0 Ri0 i in cui il pedice indica i valori che le grandezze assumono nella condizione di moto uniforme, cioè per l altezza d acqua di moto uniforme h = h 0. Moltiplicando per l area A 0 si ottiene l espressione della portata di moto uniforme Q = A 0 C 0 Ri0 i in cui A 0, C 0 e R i0 sono funzioni note dell altezza di moto uniforme h 0. 13.7 Quali cause determinano il fatto che una corrente a superficie libera sia non uniforme? Analisi La presenza nel canale di un ostacolo, come una paratoia, o una variazione della pendenza o della sezione causano la variazione dell altezza della corrente e quindi l allontanamento dalla condizione di moto uniforme. Un moto non uniforme è detto rapidamente variato se le variazioni dell altezza della corrente sono grandi rispetto alla distanza in cui avvengono (come nel moto a valle di una paratoia o in corrispondenza di un salto di fondo) e gradualmente variato nel caso contrario, cioè se le variazioni dell altezza sono graduali. In generale, si ha moto rapidamente variato fra tratti in moto gradualmente variato e tratti in moto uniforme o viceversa. 13.8 Cos è il raggio idraulico di una corrente a superficie libera? In che rapporto è con il diametro idraulico? Analisi Il raggio idraulico è definito come il rapporto fra l area A della sezione effettivamente occupata dal liquido (area bagnata) ed il perimetro C b della sezione a contatto col liquido (contorno bagnato) R i = A C b Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 499 Analogamente a quanto fatto per una corrente in pressione, il diametro idraulico è definito come D i = 4 A C b = 4R i 13.9 Cos è il numero di Froude? Com è definito? Qual è il suo significato fisico? Analisi Il numero di Froude è Fr = V gl = V g A/B = V ghm in cui g è l accelerazione di gravità, V la velocità media della corrente e L una lunghezza caratteristica, data dal rapporto tra l area A della sezione e la larghezza B che la corrente assume in superficie. Per un canale a sezione rettangolare tale rapporto è pari all altezza h della corrente; per un canale a sezione di forma qualunque è uguale all altezza h m della sezione rettangolare di pari area. Dal punto di vista fisico il quadrato del numero di Froude è proporzionale al rapporto tra forze di inerzia e forze di gravità. Se, infatti, si moltiplicano numeratore e denominatore del quadrato del numero di Froude per il prodotto ρ A della densità per l area, si ha Fr = V ρ A glρ A = ( ) 1 ρv A mg forze di inerzia forze di gravità La velocità al denominatore del numero di Froude è pari alla velocità c con cui si propaga nel liquido una perturbazione di altezza infinitesima (celerità). 13.10 Note l altezza e la velocità media della corrente, come si stabilisce se la corrente è lenta, critica o veloce? Analisi Le correnti a pelo libero sono classificate come lente, critiche o veloci in funzione del valore assunto dal numero di Froude. In particolare, la corrente è lenta se Fr < 1 (V < c) critica se Fr = 1 (V = c) veloce se Fr > 1 (V > c) Pertanto, il fronte d onda negativo di una piccola perturbazione è in grado di risalire una corrente lenta ma non una corrente veloce. 13.11 Cos è l altezza critica? Come si calcola? Analisi L altezza critica k è l altezza che la corrente assume nella condizione di stato critico, cioè per Fr = 1. Per un canale rettangolare di larghezza b in cui defluisce una portata Q, si calcola dalla 13.9 k = 3 Q gb Publishing Group Italia, Milano

500 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro mentre per un canale di forma qualunque, di area A e larghezza in superficie B, si calcola dalla 13.1 A 3 B = Q g relazione la cui soluzione, nota la geometria della sezione e quindi le funzioni A = A(h) e B = B(h), richiede, in genere, il ricorso a un metodo iterativo. 13.1 A monte di un risalto idraulico, la corrente deve essere necessariamente veloce? E, a valle, deve essere necessariamente lenta? Analisi Il risalto idraulico si verifica nel passaggio dalla condizione di corrente veloce a quella di corrente lenta. Pertanto, a monte di esso, la corrente deve essere necessariamente veloce e, a valle, necessariamente lenta. 13.13 Calcolare la celerità delle piccole perturbazioni in una corrente a superficie libera quando l altezza della corrente è (a) di 10 cm e (b) di 80 cm. Analisi Se il canale è a sezione rettangolare, la celerità delle piccole perturbazioni è data dalla 13.18 c = ± gh Pertanto, nei due casi, si ha (a) (b) c = ± gh = ± 9,81 0,10 = ± 0,990 m/s c = ± gh = ± 9,81 0,80 = ±,80 m/s Discussione La relazione 13.18, secondo la quale la celerità è proporzionale alla radice quadrata dell altezza d acqua, è valida per acque basse, come quelle che si muovono nei canali a pelo libero, e non per corpi d acqua molto profondi, come gli oceani, nei quali la celerità è indipendente dalla altezza d acqua. In ogni caso, la celerità non dipende dalle proprietà del fluido e, pertanto, a parità di altezza d acqua, essa risulta uguale per tutti i liquidi. Ciò perché l analisi effettuata non tiene conto degli effetti viscosi che, nella realtà, fanno sì che le onde vengano smorzate e quindi annullate. Per canali a sezione non rettangolare, nell espressione della celerità va introdotta l altezza media h m = A/B, essendo B la larghezza della sezione in corrispondenza della superficie libera. 13.14 In un canale a sezione rettangolare molto larga defluisce in moto uniforme acqua a 0 C (ρ = 998 kg/m 3 e µ = 1,00 10 3 Pa s), con velocità media di m/s e altezza di 0,3 m. Determinare (a) se il moto sia laminare o turbolento e (b) se la corrente sia lenta o veloce. Analisi (a) Essendo il raggio idraulico R i pari a un quarto del diametro idraulico, il numero di Reynolds calcolato assumendo come dimensione caratteristica il raggio idraulico Re = ρv R i µ è pari a un quarto del numero di Reynolds calcolato assumendo come dimensione caratteristica il diametro idraulico. Conseguentemente, mentre nei moti Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 501 in pressione il regime è laminare per Re < 000 circa, nei moti a superficie libera il moto è laminare per Re < 500 circa. Nel caso in esame, potendosi porre il raggio idraulico pari all altezza h 0 della corrente perché la sezione trasversale è rettangolare molto larga, risulta Re = ρv 0 R i0 µ = ρv 0h 0 µ 998 0,3 = = 5,98 105 1,00 10 3 e pertanto il moto è turbolento. (b) La corrente è veloce perché Fr = V 0 = = 1,17 > 1 gh0 9,81 0,3 Discussione Nella pratica, il moto delle correnti a superficie libera è sempre turbolento. 13.15 In un canale a sezione circolare, del diametro di m, defluisce in moto uniforme acqua a 0 C (ρ = 998 kg/m 3 e µ = 1,00 10 3 Pa s), con velocità media di m/s e altezza di 0,5 m. Determinare il raggio idraulico, il numero di Reynolds e il regime di moto. Analisi Utilizzando le relazioni riportate in Figura 13.5, si ha ( θ = arccos 1 h ) ( = arccos 1 0,5 ) = arccos 0,5 = 1,047 rad R 1 R 1 m h 0 = 0,5 m per cui R i = A C b = R θ sen θ cos θ θ Re = ρv R i µ = 1 1,047 0,866 0,5 1,047 = 998 0,93 1,00 10 3 = 5,84 10 5 e pertanto il moto è turbolento. Essendo la larghezza in superficie l altezza media risulta B = R sen θ = 0,93 h m = A B = R θ sen θ cos θ sen θ = 1 1,047 0,866 0,5 0,866 = 0,355 m e, quindi, Fr = V = = 1,07 > 1 ghm 9,81 0,355 per cui la corrente è veloce. 13.16 In un canale a sezione rettangolare, largo m, defluisce in moto uniforme acqua a 15 C, con velocità media di 4 m/s e altezza di 40 cm. Determinare se la corrente sia lenta o veloce. h 0 0,4 m b m Publishing Group Italia, Milano

50 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Analisi Essendo la corrente è veloce. Fr = V 4 = =,0 > 1 gh 9,81 0,4 V 1,3 m/s h cm 13.17 Durante un temporale, l acqua di pioggia defluisce su una superficie inclinata con velocità di 1,3 m/s e altezza di cm. Determinare se la corrente sia lenta o veloce. Analisi Essendo Fr = V 1,3 = =,93 > 1 gh 9,81 0,0 la corrente è veloce. 13.18 Calcolare la celerità di un onda solitaria generata a mare da una forte scossa sismica in una zona in cui la profondità dell acqua è di km. Analisi La relazione 13.18 è valida solo per perturbazioni di altezza infinitesima in acque basse e non in acque profonde, nelle quali le onde dovute all azione del vento si propagano con una celerità che dipende sostanzialmente dalla lunghezza d onda. Le onde solitarie generate da scosse sismiche (tsunami), a differenza delle onde dovute all azione del vento, possono avere lunghezze dell ordine dei 100 km e altezze di qualche decina di metri. La loro propagazione è descrivibile con la teoria delle onde lunghe su profondità limitate, per le quali la celerità, anche nell oceano profondo, dipende sostanzialmente dalla profondità. Pertanto, nel caso in esame, è ancora applicabile la 13.18, per cui pari a 504 km/h. c = gh = 9,81 000 = 140 m/s Energia specifica ed equazione dell energia 13.19 Com è definita l energia specifica di una corrente a superficie libera? αv g h E Analisi Nello studio delle correnti a superficie libera, il carico totale viene riferito, invece che a un piano orizzontale unico per l intera corrente, al piano orizzontale passante per il punto più basso di ciascuna sezione. Per distinguere il carico così calcolato dal carico totale propriamente detto, questa quantità, che rappresenta sempre l energia meccanica dell unità di peso di fluido, viene chiamata energia specifica e indicata col simbolo E. In una generica sezione in cui h è l altezza d acqua rispetto al punto più basso della sezione, A l area della sezione liquida, V la velocità media e Q la portata, l energia specifica è E = h + αv g = h + αq g A Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 503 Questa definizione comporta che, nei bilanci di energia tra due diverse sezioni trasversali della stessa corrente, si debba tener conto del fatto che esiste una differenza di quota tra i piani rispetto ai quali è misurata E nelle due sezioni. h Q costante E h 13.0 In due canali, aventi la stessa sezione trasversale, defluisce la stessa portata. Se in un canale la corrente è lenta e nell altro è veloce, è possibile che le due correnti abbiano la stessa energia specifica? Perché? Analisi Si, è possibile. A parità di portata, infatti, se E > E min, esistono due diverse altezze d acqua, una lenta e una veloce, alle quali corrisponde lo stesso valore di energia specifica. h 0 k h 01 Fr 1 E min E 0 corrente lenta Fr < 1 corrente veloce Fr > 1 E 13.1 In una corrente lenta, al crescere dell altezza d acqua, restando invariata la portata, come varia l energia specifica? Analisi Se la corrente è lenta, al crescere dell altezza d acqua, a portata costante, l energia specifica aumenta. h Q costante E h corrente lenta Fr < 1 13. In una corrente veloce, al crescere dell altezza d acqua, restando invariata la portata, come varia l energia specifica? Analisi Se la corrente è veloce, al crescere dell altezza d acqua, a portata costante, l energia specifica diminuisce. k h h 1 Fr 1 E min E corrente veloce Fr > 1 E 1 E 13.3 In un canale una certa portata defluisce in condizioni critiche. La sua energia specifica è maggiore di quella che avrebbe se defluisse come corrente lenta? Analisi No. Quando una certa portata si muove in condizioni critiche, la sua energia specifica è la minima richiesta per il passaggio di quella portata. Pertanto, la stessa portata, qualora defluisca come corrente lenta o come corrente veloce, dovrà avere energia specifica maggiore. 13.4 In una corrente a superficie libera, in moto uniforme, l energia specifica si mantiene costante nella direzione del moto? Oppure, diminuisce a causa delle perdite di carico? Analisi L energia specifica di una corrente a superficie libera è pari alla somma dell altezza d acqua e dell altezza cinetica della corrente. Per una corrente in moto uniforme, l altezza d acqua e la velocità media (e quindi anche l altezza cinetica) nelle diverse sezioni trasversali mantengono gli stessi valori. Pertanto, l energia specifica si mantiene costante nella direzione del moto. Ciò vuol dire, semplicemente, che il carico, misurato rispetto al punto più basso di ciascuna sezione, ha lo stesso valore in tutte le sezioni. Poiché il fondo si abbassa della pendenza i per unità di lunghezza, anche il carico totale, a causa delle perdite, diminuisce di i per unità di lunghezza per cui, in moto uniforme, è J = i. V0 g h 0 E 0 α α linea dell energia V 0 13.5 Come è definita la linea dell energia? In quali condizioni è parallela Publishing Group Italia, Milano

504 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro al fondo del canale? Analisi Con riferimento al profilo longitudinale di una generica corrente a superficie libera, la linea dell energia si ottiene riportando sulla verticale di ciascuna sezione, a partire dal punto sul profilo di corrente, un segmento pari all altezza cinetica della velocità media. Poiché il profilo della superficie libera coincide con la linea piezometrica della corrente, la linea così ottenuta coincide con la linea dei carichi totali della corrente. In moto uniforme l energia specifica si mantiene costante nella direzione del moto e, pertanto, la linea dell energia è parallela al fondo del canale. 13.6 Come si esprime il carico totale in una sezione di una corrente a superficie libera? Che legame ha con l energia specifica? H αv g h E Analisi Essendo z la quota geodetica di un generico punto di una sezione di una corrente a superficie libera, p/ρg la sua altezza piezometrica, αv /g l altezza cinetica della corrente nella sezione, z f la quota del fondo della sezione e h l altezza d acqua rispetto al fondo, il carico totale nella sezione è H = z + p ρg + αv g = z f + h + αv g z f z 0 Essendo l energia specifica E in una sezione uguale al carico totale nella sezione misurato rispetto al piano orizzontale passante per il punto più depresso, per ciascuna sezione si ha H = z f + h + αv g = z f + E 13.7 In una corrente a superficie libera, in moto permanente, se le perdite di carico sono trascurabili, la pendenza della linea dei carichi totali è uguale a quella del fondo? Analisi No. La pendenza della linea dei carichi totali (o linea dell energia) è pari alla cadente, cioè alla perdita di carico per unità di percorso. Pertanto, se le perdite sono trascurabili, la linea dell energia è orizzontale. E 1 il V g 1 h 1 L V g JL E z 0 x 1 x x h z 1 z 13.8 Scrivere l equazione che esprime il bilancio dell energia tra due generiche sezioni di una corrente a superficie libera. Come si può calcolare la perdita? Analisi Con riferimento a due generiche sezioni 1 e di una corrente a superficie libera, essendo E 1 ed E i valori che l energia specifica assume, rispettivamente, nelle due sezioni e H d la perdita di carico tra le due sezioni, per la 13.8, si ha z 1 + E 1 = z + E + H d in cui z 1 e z sono le quote del punto più depresso di ciascuna sezione rispetto ad un piano di riferimento arbitrario. Esprimendo la perdita di carico come prodotto della cadente J per la lunghezza L del tratto compreso tra le due sezioni, si ha z 1 + E 1 = z + E + J L Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 505 Se il canale è a pendenza i costante, è z 1 z = i L, per cui E 1 = E (i J)L Per le correnti a superficie libera, la cadente può essere espressa, come per le correnti in pressione, con la formula di Darcy-Weisbach 8.3, purché quale lunghezza significativa si assuma non il diametro ma il diametro idraulico. Essendo, per la 13.3, D i = 4R i si ha J = λ V 8gR i nella quale l indice di resistenza λ è ancora esprimibile con la formula di Colebrook 8.64, introducendo un coefficiente di forma nell argomento del logaritmo. Per gli elevati valori che nella pratica assumono sia la scabrezza che il raggio idraulico, le correnti a superficie libera sono caratterizzate da elevati valori del numero di Reynolds, per cui, nella quasi totalità dei casi, esse si muovono in regime di moto puramente turbolento. Pertanto, in questo tipo di problemi è preferibile usare le formule pratiche, riconducibili tutte alla formula di Chézy 8.74 J = V C R i nella quale il coefficiente C è una quantità che ha le dimensioni della radice quadrata di una accelerazione, il cui valore varia tra circa 30 m 1/ /s per piccoli canali con pareti scabre a circa 90 m 1/ /s per grandi canali con superfici lisce. 13.9 In un canale a sezione rettangolare, largo 0,8 m, defluisce una portata di 0,7 m 3 /s con un altezza di 0,35 m. Calcolare la velocità media e stabilire se la corrente sia lenta o veloce. Quale altezza assumerebbe la corrente se il suo carattere cinematico variasse? Analisi Essendo b la larghezza del canale, h l altezza della corrente e Q la portata, la velocità media è Essendo V = Q A = Q bh = 0,7 =,50 m/s 0,8 0,35 Fr = V,5 = = 1,35 > 1 gh 9,81 0,35 h 0,35 m b 0,8 m la corrente è veloce. L energia specifica della corrente, per la 13.0, ponendo α = 1, è E = h + V,50 = 0,35 + g 9,81 = 0,669 m A parità di energia specifica, se la stessa portata defluisse come corrente lenta, la sua altezza h L dovrebbe ancora soddisfare la 13.0, per cui Q E = h L + gb h L 0,7 1 = h L + 9,81 0,8 h = L = h L + 0,0390 1 h = 0,669 m L Publishing Group Italia, Milano

506 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro h L F F (m) 0,600 0,01416 0,770 0,549 0,008 0,16948 0,53 0,0007 0,13780 0,530 0,00000 0,1343 0,530 da cui h 3 L 0,669h L + 0,0390 = 0 equazione di 3 grado in h L che deve avere due radici reali positive (vedi Figura 13.13), una minore e l altra maggiore dell altezza critica. La terza radice è anch essa reale, ma negativa e, pertanto, priva di significato fisico. Conoscendo il significato fisico dell equazione, conviene, per semplicità, cercare l unica radice di interesse (in questo caso, quella di corrente lenta) con un metodo iterativo. Con il metodo di Newton, indicando con F i e con F i i valori che la funzione e la sua derivata prima assumono alla generica iterazione i-esima, si ha h L,i+1 = h L,i F i F i = h L,i h3 L,i 0,669 h L,i + 0,0390 3 h L,i 0,669 h L,i Assumendo come valore iniziale un valore poco inferiore a E, si ottengono i valori riportati a fianco per cui h L = 0, 530 m. h 0,4 m b 1 m 13.30 In un canale a sezione rettangolare, largo 1 m, defluisce una corrente con una velocità media di 4 m/s e un altezza di 0,4 m. Calcolare (a) l altezza critica, (b) il valore minimo dell energia specifica, (c) l energia specifica della corrente e (d) l altezza che la corrente assumerebbe se il suo carattere cinematico variasse. Analisi Essendo b la larghezza del canale, h l altezza della corrente e V la velocità media, la portata è Q = V A = V bh = 4 1 0,4 = 1,60 m 3 /s (a) L altezza critica, per la 13.9, è k = 3 Q gb = 3 1,6 9,81 1 = 0,639 m (b) Per un canale a sezione rettangolare, l energia minima è data dalla 13.3 E min = 3 k = 3 0,639 = 0,959 m (c) L energia specifica della corrente, per la 13.0, ponendo α = 1, è E = h + V g = 0,4 + 4 9,81 = 1, m (d) La corrente è veloce perché h < k. A parità di energia specifica, se la stessa portata defluisse come corrente lenta, la sua altezza h L dovrebbe ancora soddisfare la 13.0, per cui Q E = h L + gb h L 1,6 1 = h L + 9,81 1 h = L = h L + 0,130 1 h = 1, m L equazione di 3 grado in h L di cui interessa determinare solo la radice maggiore dell altezza critica, cioè quella di corrente lenta. Considerato che il secondo Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 507 addendo dell equazione dell energia è l altezza cinetica, che in corrente lenta è certamente più piccola (e spesso molto più piccola) dell altezza della corrente, in alternativa al metodo di Newton, più generale ma più laborioso, è più conveniente risolvere l equazione dell energia utilizzando la formula ricorsiva h L,i+1 = 1, 0,130 h L,i Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo addendo a secondo membro, si ottengono i valori 1,13-1,1-1,1 per cui h L = 1, 1 m. 13.31 In un canale a sezione rettangolare, largo 6 m, defluisce una portata di 1 m 3 /s di acqua a 10 C con un altezza di 0,55 m. Stabilire se la corrente sia lenta o veloce e calcolare (a) l altezza critica e (b) l altezza che essa assumerebbe se il suo carattere cinematico variasse. Analisi Essendo b la larghezza del canale, h l altezza della corrente e Q la portata, la velocità media è h 0,55 m b 6 m Essendo V = Q A = Q bh = 1 = 3,64 m/s 6 0,55 Fr = V 3,64 = = 1,57 > 1 gh 9,81 0,55 la corrente è veloce. (a) L altezza critica, per la 13.9, è k = 3 Q gb = 3 1 9,81 6 = 0,74 m (b) L energia specifica della corrente, per la 13.0, ponendo α = 1, è E = h + V g = 0,55 + 3,64 9,81 = 1,3 m A parità di energia specifica, se la stessa portata defluisse come corrente lenta, la sua altezza h L dovrebbe ancora soddisfare la 13.0, per cui Q E = h L + gb h L 1 1 = h L + 9,81 6 h = L = h L + 0,04 1 h = 1,3 m L equazione di 3 grado in h L di cui interessa determinare solo la radice maggiore dell altezza critica, cioè quella di corrente lenta. Pertanto, considerato che il secondo addendo dell equazione dell energia è l altezza cinetica, che in corrente lenta è certamente più piccola (e spesso molto più piccola) dell altezza della corrente, conviene risolvere utilizzando la formula ricorsiva h L,i+1 = 1,3 0,04 h L,i Publishing Group Italia, Milano

508 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo addendo a secondo membro, si ottengono i valori 1,10-1,06-1,05-1,04-1,04 per cui h L = 1,04 m. V c 3 m/s b 4 m 13.3 In un canale a sezione rettangolare, largo 4 m, defluisce in condizioni critiche una corrente di acqua con una velocità media di 3 m/s. Calcolare la portata. Analisi Una corrente che defluisce in condizioni critiche ha altezza d acqua pari all altezza critica k e velocità media pari alla velocità critica V c. In un canale a sezione rettangolare vale la 13.7 V c = gk per cui la portata critica, essendo b la larghezza del canale, è Q c = A c V c = bkv c = b V c g V c = 1 g bv c 3 = 4 33 9,81 = 11,0 m3 /s D 0,5 m h = 0,5 m 13.33 In un canale a sezione circolare, del diametro di 0,5 m, defluisce una corrente con velocità media di,8 m/s e altezza di 0,5 m. Stabilire se la corrente sia lenta o veloce e calcolare la portata. Analisi Essendo l altezza h della corrente pari alla metà del diametro D, la sezione trasversale è un semicerchio di area A = π D /8 e larghezza in superficie B = D. Pertanto, essendo, per la 13.6, Fr = V g A/B = V gπ D/8 = la corrente è veloce. La portata è,8 9,81 π 0,5/8 =,0 > 1 Q = V A = V π D 8 =,8 π 0,5 8 = 0,75 m 3 /s h = 1,73 m b = m 30 13.34 In un canale a sezione trapezia, largo al fondo m, con sponde inclinate di 30 rispetto alla verticale, defluisce una portata di 1 m 3 /s, con un altezza di 1,73 m. Stabilire se la corrente sia lenta o veloce e calcolare la velocità media. Analisi Se b è la larghezza del fondo del canale, h l altezza con cui defluisce la corrente, θ l angolo che le sponde formano con la verticale, Q la portata e A l area della sezione trasversale (vedi figura 13.5), la velocità media della corrente è V = Q A = Q (b + h tan θ)h = 1 ( + 1,73 tan 30 =,31 m/s ) 1,73 Essendo B la larghezza che la corrente assume in superficie, si ha h m = A B = (b + h tan θ)h b + h tan θ = ( + 1,73 tan 30 ) 1,73 + 1,73 tan 30 = 1,30 m Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 509 per cui, essendo Fr = la corrente è lenta. V,31 = = 0,647 < 1 g A/B 9,81 1,30 13.35 Risolvere il problema precedente per una portata di 4 m 3 /s. Analisi A parità di area A della sezione, la velocità è direttamente proporzionale alla portata. Per cui, se la portata raddoppia, raddoppiano sia la velocità che il numero di Froude. Pertanto, si ha e per cui la corrente è veloce. V =,31 = 4,6 m/s Fr = 0,647 = 1,9 > 1 Moto uniforme e sezioni di minimo costo 13.36 In una corrente a superficie libera, in moto uniforme, all aumentare della pendenza del canale, mantenendosi costante la portata, l altezza di moto uniforme (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante? Analisi Diminuisce. Infatti, essendo Q la portata, c l indice di scabrezza della formula di Gauckler-Strickler, A 0 l area della sezione trasversale, R i0 il raggio idraulico ed i la pendenza, per la 13.40, si ha A 0 R /3 i0 = Q c i ed essendo sia A 0 che R i0 funzioni crescenti dell altezza di moto uniforme h 0, quest ultima, mantenendo costanti la portata e la scabrezza, all aumentare della pendenza diminuisce. 13.37 È corretto affermare che, in una corrente a superficie libera, in moto uniforme, la perdita di carico tra due sezioni può essere calcolata semplicemente moltiplicando la pendenza del canale per la distanza tra le due sezioni? Analisi Si. Infatti, in moto uniforme, il profilo del pelo libero e la linea dell energia sono paralleli al fondo e pertanto, vale la 13.33 i = J Essendo la perdita di carico tra due sezioni pari al prodotto della cadente J per la distanza tra le due sezioni, in moto uniforme essa è uguale al prodotto della pendenza del canale per tale distanza. Publishing Group Italia, Milano

510 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro 13.38 Per una corrente a superficie libera, in moto uniforme, la portata può essere calcolata dalla relazione di Chézy Q = A 0 C 0 (R i,0 i) 1/. Qual è il legame tra il coefficiente di Chézy C e l indice di resistenza λ? Analisi Uguagliando le espressioni della cadente 13.34 (formula di Darcy- Weisbach) e 13.35 (formula di Chézy), si ha J = λ V 8gR i = V C R i da cui C = 8g λ 13.39 La sezione di minimo costo di un canale è quella che, a parità di area, ha il raggio idraulico più piccolo o più grande? Analisi A parità di area, la sezione di minimo costo è quella che ha il contorno bagnato più piccolo e, quindi, il raggio idraulico più grande. Infatti, il costo di costruzione di un canale a superficie libera si può ritenere, in linea di massima, proporzionale alle sue dimensioni e quindi, per unità di lunghezza, all area della sezione trasversale. Per la 13.40, essendo Q = c i A 0 R /3 i0 = c ( ) /3 A0 i A 0 = c i A5/3 0 C b0 C /3 b0 a parità di area, scabrezza e pendenza, la forma della sezione che convoglia la portata maggiore è quella a cui compete il contorno bagnato minore. Analogamente, a parità di portata da convogliare, la forma della sezione che dà luogo all area minore e, quindi, al minimo costo, è quella che ha il contorno bagnato minore. 13.40 La sezione di minimo costo di un canale, a parità di area, è quella (a) circolare, (b) rettangolare, (c) trapezoidale o (d) triangolare? Analisi È quella circolare. Infatti, il cerchio è la figura geometrica che, a parità di area, ha il perimetro minimo. Quindi, la sezione trasversale più conveniente per un canale aperto è quella semicircolare. h b b 13.41 Per un canale rettangolare, la sezione di minimo costo è quella per cui il rapporto tra l altezza della corrente e la larghezza del canale è (a) la metà, (b) il doppio, (c) uguale o (d) un terzo? Analisi Per la 13.45, una sezione rettangolare è di minimo costo se l altezza della corrente è pari alla metà della larghezza della sezione. 13.4 Per un canale trapezoidale con larghezza di base b, la sezione di minimo costo è quella per cui la lunghezza del lato inclinato è (a) b, (b) b/, (c) b o (d) 3 b? Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 511 Analisi Per la 13.48, una sezione trapezia è di minimo costo se le sponde sono inclinate di 30 sulla verticale, cioè se la sezione è la metà di un esagono regolare. Quindi, la lunghezza del lato inclinato è uguale alla base. b h 3 b 30 13.43 Si consideri una corrente in moto uniforme in un canale le cui pareti sono di mattoni (c = 80 m 1/3 /s). Se, a causa della crescita di alghe sulle pareti, il valore di c si dimezza, mantenendosi costanti le dimensioni della sezione trasversale, la portata (a) raddoppia, (b) diminuisce di un fattore, (c) rimane uguale, (d) si dimezza o (e) diminuisce di un fattore 1/3? b Analisi La portata si dimezza. Infatti, in moto uniforme, la portata Q, l area A, il raggio idraulico R i, l indice di scabrezza c di Gauckler-Strickler e la pendenza i sono legate fra loro dalla 13.40 Q = ca 0 R /3 i0 i secondo la quale la portata è direttamente proporzionale a c, per cui se esso diventa la metà, anche la portata si dimezza. 13.44 In un canale a sezione trapezia, con pareti di cemento lisciato (c = 90 m 1/3 /s), largo alla base 0,6 m e con sponde inclinate di 40 rispetto alla verticale, la corrente ha un altezza di moto uniforme di 0,45 m. La pendenza del canale è dello 0,7%. Calcolare la portata. Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 l altezza della corrente, θ l angolo che le sponde formano con la verticale, C b0 il contorno bagnato, A 0 l area della sezione trasversale ed R i0 il raggio idraulico, si ha (vedi figura 13.5) A 0 = (b + h 0 tan θ)h 0 = (0,6 + 0,45 tan 40 ) 0,45 = 0,440 m C b0 = b + h 0 cos θ = 0,6 + 0,45 cos 40 = 1,78 m R i0 = A 0 C b0 = 0,440 1,78 = 0,47 m Per la 13.40, essendo c l indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è Q = ca 0 R /3 i0 i = 90 0,440 0,47 /3 0,007 = 1,30 m 3 /s h 0 0,45 m b 0,6 m θ 40 13.45 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, in un canale a sezione circolare, con pareti di cemento lisciato (c = 90 m 1/3 /s), del diametro di m, con pendenza di fondo dello 0,15%, quando la sezione trasversale del canale è piena per metà. Analisi Per la 13.40, essendo D il diametro, h 0 = D/ l altezza di moto uniforme, A 0 l area della sezione trasversale, R i0 = D/4 il raggio idraulico, c l indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata D m h 0 = 1 m Publishing Group Italia, Milano

51 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro è Q = ca 0 R /3 π D i0 i = c 8 = 90 π 8 ( 4 ( ) D /3 i = 4 ) /3 0,0015 = 3,45 m 3 /s B = 10 m h 0 =, m b = 5 m 13.46 In un canale a sezione trapezia, in muratura ordinaria (c = 65 m 1/3 /s), largo alla base 5 m, defluisce, in moto uniforme, una portata di 40 m 3 /s con un altezza di, m alla quale corrisponde una larghezza in superficie di 10 m. Calcolare la pendenza del canale. Analisi Essendo b la larghezza alla base, B la larghezza in superficie e h 0 l altezza d acqua, le pareti laterali formano con la verticale un angolo θ = arctan (B b)/ (10 5)/ = arctan = 48,7 h 0, per cui l area A 0, il contorno bagnato C b0 e il raggio idraulico della sezione trasversale risultano (vedi Figura 13.5) A 0 = (b + h 0 tan θ)h 0 = (5 +, tan 48,7 ), = 16,5 m C b0 = b + h 0 cos θ = 5 +, cos 48,7 = 11,7 m R i0 = A 0 C b0 = 16,5 11,7 = 1,41 m Per la 13.40, se c è l indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e Q la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme, la pendenza i del canale è i = Q c A 0 R4/3 i0 = 40 65 16,5 = 0,000880 = 0,088% 1,414/3 h 0 =,4 m b = 5 m 48,7 13.47 Con riferimento al problema precedente, nell ipotesi che l altezza d acqua massima nella sezione sia di,4 m, calcolare la portata massima che può essere convogliata nel canale. Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 l altezza della corrente, θ l angolo che le sponde formano con la verticale, C b0 il contorno bagnato, A 0 l area della sezione trasversale ed R i0 il raggio idraulico, si ha (vedi Figura 13.5) A 0 = (b + h 0 tan θ)h 0 = (5 +,4 tan 48,7 ),4 = 18,6 m C b0 = b + h 0 cos θ = 5 +,4 cos 48,7 = 1,3 m R i0 = A 0 C b0 = 18,6 1,3 = 1,51 m Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 513 Per la 13.40, essendo c l indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata massima che defluisce in condizioni di moto uniforme con l altezza massima è Q = ca 0 R /3 i0 i = 65 18,6 1,51 /3 0,00088 = 47, m 3 /s Pertanto, un aumento dell altezza di poco inferiore al 10% comporta un aumento della portata di quasi il 0%. Ciò conferma che, in moto uniforme, la portata aumenta più che linearmente con l altezza (vedi Figura 13.18a). 13.48 In due canali a sezione rettangolare identici, larghi 3 m, defluisce la stessa portata, con un altezza di 3 m. Se i due canali vengono uniti, formando un unico canale a sezione rettangolare, largo 6 m, di quanto aumenta, in percentuale, la portata di una corrente con altezza di 3 m, rispetto a quella che transitava complessivamente nei due canali? Analisi Per la 13.40, essendo b = 3 m la larghezza del canale, h 0 l altezza della corrente, c l indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza, si ha ( ) Q = ca 0 R /3 /3 A0 (bh 0 ) 5/3 i0 i = ca0 i = c i C b0 (b + h 0 ) /3 per cui il rapporto tra la portata Q u che transita, con la stessa altezza, nell unico canale di larghezza b e la portata Q che transita complessivamente nei due canali è Q u Q = 1 ( ) 5/3 ( ) /3 A0u Cb0 = 1 ( ) 5/3 ( ) bh0 b + /3 h0 = A 0 C b0u bh 0 b + h 0 ( ) b + /3 ( ) h0 3 + 3 /3 = = = 1,31 b + h 0 3 + 3 Pertanto, unendo i due canali, la portata aumenta del 31%. Discussione Le due situazioni considerate, essendo uguale la pendenza, la scabrezza e l area della sezione trasversale, differiscono solamente per la lunghezza del contorno bagnato. Quest ultimo, infatti, mancando due pareti verticali, diminuisce di h 0. Diminuendo il contorno bagnato, diminuisce la resistenza al moto e ciò, a parità di tutte le altre condizioni, comporta un aumento della portata convogliata. 3 m 3 m 3 m 3 m 13.49 In un canale a sezione trapezia, con pareti rivestite di cemento non lisciato (c = 75 m 1/3 /s), largo alla base 5 m e con sponde inclinate di 45 rispetto alla verticale, defluisce, in moto uniforme, una portata di 5 m 3 /s. La pendenza del canale è dello 0,%. Calcolare l altezza di moto uniforme. h 0 Q = 5 m 3 /s 45 b = 5 m Publishing Group Italia, Milano

514 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Analisi In una sezione trapezia, essendo b la larghezza alla base, h 0 l altezza della corrente, θ l angolo che le sponde formano con la verticale, C b0 il contorno bagnato, A 0 l area della sezione trasversale ed R i0 il raggio idraulico, si ha A 0 = (b + h 0 tan θ)h 0 C b0 = b + h 0 cos θ R i0 = A 0 C b0 Per la 13.40, essendo c l indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è Q = ca 0 R /3 i0 funzione implicita dell incognita h 0. Per la risoluzione si può usare un qualunque metodo iterativo o, più semplicemente, assegnare ad h 0 valori di tentativo che, se scelti opportunamente, consentono di pervenire alla soluzione abbastanza rapidamente. Procedendo in tal modo, essendo si ottiene i A 0 R /3 i0 = Q c i = 5 75 = 7,454 m8/3 0,00 h 0 A 0 C b0 R i0 Q/(c i) (m) (m ) (m) (m) (m 8/3 ) 1,00 6,00 7,83 0,766 5,05 1,0 7,44 8,39 0,886 6,865 1,30 8,19 8,68 0,944 7,881 1,7 7,96 8,59 0,97 7,569 1,6 7,89 8,56 0,91 7,467 per cui si può assumere come soluzione il valore h 0 = 1,6 m. 13.50 Risolvere il problema precedente nel caso in cui il canale sia in terra con molta vegetazione (c = 30 m 1/3 /s). Analisi Con la stessa portata e la stessa pendenza del problema precedente, risulta A 0 R /3 i0 = Q c i = 5 30 = 18,63 m8/3 0,00 Assegnando ad h 0 valori di tentativo scelti opportunamente, si ottiene h 0 A 0 C b0 R i0 Q/(c i) (m) (m ) (m) (m) (m 8/3 ),00 14,0 10,7 1,31 16,79,0 15,8 11, 1,41 19,93,10 14,9 10,9 1,36 18,3,1 15,1 11,0 1,37 18,64 Copyright c 011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.

Meccanica dei fluidi - a ed. - Soluzione dei problemi Correnti a superficie libera 515 per cui si può assumere come soluzione il valore h 0 =,1 m. 13.51 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, in un canale triangolare con pareti in legno piallato (c = 90 m 1/3 /s), inclinate di 45 rispetto alla verticale, con una pendenza di fondo dello 0,5% e un altezza di 0,4 m. Analisi Essendo h 0 l altezza della corrente, B la larghezza della sezione in corrispondenza della superficie libera, θ l angolo che le pareti formano con la verticale, C b0 il contorno bagnato, A 0 l area della sezione trasversale e R i0 il raggio idraulico, si ha A 0 = B h 0 = h 0 tan θ h 0 = h 0 tan θ = 0,4 tan 45 = 0,16 m C b0 = h 0 cos θ = 0,4 cos 45 = 1,13 m R i0 = A 0 C b0 = 0,16 1,13 = 0,141 m Per la 13.40, essendo c l indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è Q = ca 0 R /3 i0 i = 90 0,16 0,141 /3 0,005 = 0,76 m 3 /s 45 h 0 = 0,4 m 13.5 Un canale a sezione rettangolare con pareti in cemento non lisciato (c = 75 m 1/3 /s), largo 1,8 m, deve convogliare in moto uniforme una portata di m 3 /s. La pendenza del canale è dello 0,15%. Calcolare l altezza minima delle pareti. Analisi In un canale a sezione rettangolare, essendo b la larghezza alla base, h 0 l altezza della corrente, C b0 il contorno bagnato, A 0 l area della sezione trasversale ed R i0 il raggio idraulico, si ha Q m 3 /s h 0 A = Bh 0 C b0 = b + h 0 b 1,8 m R i0 = A 0 C b0 Per la 13.40, essendo c l indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è Q = ca 0 R /3 i0 i funzione implicita dell incognita h 0. Per la risoluzione si può usare un qualunque metodo iterativo o, più semplicemente, assegnare ad h 0 valori di tentativo che, se scelti opportunamente, consentono di pervenire alla soluzione abbastanza rapidamente. Procedendo in tal modo, essendo A 0 R /3 i0 = Q c i = 75 = 0,6885 m8/3 0,0015 Publishing Group Italia, Milano