Inferenza statistica L inferenza statistica è un insieme di metodi con cui si cerca di trarre una conclusione sulla popolazione sulla base di alcune informazioni ricavate da un campione estratto da quella popolazione. Il percorso dell inferenza statistica si svolge secondo le seguenti fasi: 1. estrazione di un campione della popolazione 2. calcolo delle statistiche campionarie, cioè dei valori corrispondenti ai dati contenuti nel campione 3. stima dei parametri nella popolazione in base ai risultati forniti dal campione. Statistica medica 1
Popolazione: insieme che raccoglie tutte le osservazioni possibili, relativamente ad una data variabile o ad un dato fenomeno. può essere finita (comunque molto grande) o infinita Statistica medica 2
Campione: raccolta finita di elementi estratti da una popolazione scopo dell estrazione è quello di ottenere informazioni sulla popolazione pertanto il campione deve essere rappresentativo della popolazione da cui viene estratto ( non viziato ) per corrispondere a queste esigenze il campione viene individuato con un campionamento casuale. Statistica medica 3
In un campionamento casuale semplice tutti gli individui nella popolazione hanno uguale probabilità di essere inclusi nel campione. - individui nella popolazione = "unità di campionamento" - popolazione oggetto dello studio = "popolazione bersaglio" - popolazione effettivamente campionabile (al netto dell'effetto di fattori di selezione) = "popolazione studio " o base di campionamento Statistica medica 4
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Una stima puntuale è un procedimento attraverso il quale a partire dalle informazioni tratte da un campione si ottiene come risultato un singolo valore numerico usato come stima del parametro dell intera popolazione Es: x = ( x i ) / n Una stima intervallare è un procedimento attraverso il quale a partire dalle informazioni tratte da un campione si ha come risultato un insieme di valori che con un certo grado di fiducia conterrà il parametro da stimare Statistica medica 6
Campioni ripetuti dalla stessa popolazione forniscono medie campionarie diverse Ciascuna di queste medie campionarie costituisce una stima non distorta del parametro (media della popolazione) ma non può essere usata come stima del parametro da sola, senza tenere conto dell incertezza causata dall errore campionario. Statistica medica 7
- La media delle medie campionarie corrisponde alla media della popolazione (µ) - La variabilità della distribuzione delle medie campionarie è inferiore alla variabilità nella popolazione. Campioni più grandi daranno una distribuzione con variabilità inferiore. - La forma della distribuzione di frequenza delle medie campionarie è gaussiana o normale Statistica medica 8
La forma della distribuzione normale È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche Statistica medica 9
Esempio: Quale sarà la probabilità di osservare un soggetto con una statura inferiore a m 1,5928 data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07 (distribuzione di partenza assunta come normale)? z = x σ µ z = (1,5928-1,730) / 0,07 = - 1,96 P(z<-1.96) = 0.025 Statistica medica 10
Es: stima intervallare della media campionaria x : x + coefficiente di attendibilità x errore standard z 1- α/2 o t 1- α/2 ( σ / n ) o (s / n ) Se poniamo come grado di fiducia (livello di confidenza) che siamo disposti ad accettare 1- α = 0,95 allora l interpretazione dell intervallo è la seguente: Statistica medica 11
0,95 P=0,025 x = 1,960 P=0,025 Statistica medica 12
Interpretazione dell intervallo di confidenza: Estraendo tutti i possibili campioni da una popolazione distribuita normalmente, il 95% degli intervalli conterrà la media della popolazione ossia abbiamo un grado di fiducia del 95% che la media della popolazione si trovi tra i due valori estremi dell intervallo. Esempio: Dati i valori (micromoli per minuto per grammo di tessuto) dell attività di un certo enzima misurato nel tessuto gastrico normale di 35 pazienti con carcinoma gastrico: Statistica medica 13
Costruire un intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione. Numerical Summaries for X Number 35 Min 0,262 Mean 0,717971 Q 1 0,3955 St Dev 0,510623 Median 0,55 Q 3 Coeff of Var 0,711203 0,7775 Skew 1,980941 Max 2,464 x + t 1- α/2 x (s / n ) : (0,717971 2,0 x 0,086311; 0,717971 + 2,0 x 0,086311) = (0,54; 0,89) Con un grado di fiducia del 95%, la media della popolazione è compresa tra 0,54 e 0,89. Statistica medica 14
La verifica di ipotesi Le ipotesi di ricerca sono un insieme di congetture o di supposizioni che possono essere il risultato di anni di osservazione da parte del ricercatore e che motivano la ricerca Le ipotesi statistiche sono ipotesi che possono essere formulate in modo da poter essere valutate da adeguate tecniche statistiche Nella verifica di ipotesi si deve quindi formulare la cosiddetta ipotesi nulla H 0 che è l ipotesi che deve essere saggiata. Statistica medica 15
Se l ipotesi nulla non è rifiutata si può concludere che i dati sui quali si effettua il test statistico non forniscono prove sufficienti per rifiutarla. Se invece l ipotesi nulla viene rifiutata allora i dati saranno compatibili con l ipotesi alternativa H 1 (ipotesi di lavoro) che riteniamo vera dato che il test ha portato al rifiuto dell ipotesi nulla. N.B. Con la verifica di ipotesi non arriviamo ad una dimostrazione di un ipotesi, ma otteniamo un indicazione del fatto che l ipotesi è supportata dai dati disponibili. Statistica medica 16
La statistica test è una statistica che può essere calcolata a partire dai dati del campione. Formula generale della statistica test = (statistica di interesse-parametro ipotizzato) / (errore standard della statistica di interesse Quindi: Data la distribuzione della statistica test, rifiuto l ipotesi nulla se il valore della statistica test cade nella regione di rifiuto, mentre accetto l ipotesi nulla se la statistica test cade nella regione di accettazione dell ipotesi nulla. Statistica medica 17
Come posso definire la regione di accettazione e la regione di rifiuto? Fisso il livello di significatività α che è definito come la probabilità di rifiutare l ipotesi nulla quando è vera : errore di prima specie. Poiché rifiutare l ipotesi nulla quando è vera rappresenta un errore, dobbiamo quindi fissare un valore di a piccolo. Di solito a viene posto uguale a 0.05. Statistica medica 18
Nel test bidirezionale (test a due code) la regione di rifiuto è divisa in due parti o due code della distribuzione della statistica test. Un test unidirezionale è un test in cui la regione di rifiuto si trova in una o in un altra coda della distribuzione. Statistica medica 19
L errore che si commette se accettiamo l ipotesi nulla quando è falsa si chiama errore di II specie : ß Possibile IPOTESI NULLA scelta VERA FALSA Non rifiutare H 0 Scelta corretta ß Rifiutare H 0 α Scelta corretta Statistica medica 20
Il Procedimento Formulare Ho Calcolare la statistica test sui dati Calcolare la plausibilità di Ho visti i dati Conclusione Non rifiuto Ho Rifiuto Ho Statistica medica 21
Esempio: I seguenti dati rappresentano le circonferenze (cm) della testa alla nascita di 15 bambini: 33.38 32.15 33.99 34.10 33.97 34.34 33.95 33.85 34.23 32.73 33.46 34.13 34.45 34.19 34.05 Voglio saggiare l ipotesi nulla: H 0 : µ = 34.5 contro H 1 : µ = 34.5 Statistica medica 22
Sample Data Sample Size 15 Mean 33,798 Standard Deviation 0,630297 Assumiamo che la statistica test appropriata sia la statistica t. Fissiamo α = 0,05 T = ( x 34,5) / (s / n ) = (33,798-34,5)/(0,63/3,87) = -4,31 La probabilità di osservare un valore di t < -4,31 è pari a 0,00036 e la probabilità di osservare un valore di t > 4,31 = 0,00036 Statistica medica 23
p-value = 0,00072 p < α quindi rifiuto l ipotesi nulla µ = 34.5 Statistica medica 24
Il valore p è la probabilità di osservare sotto l ipotesi nulla un valore della statistica test maggiore o uguale (nel verso appropriato) di quello realmente calcolato. Se il valore di p è minore o uguale ad a allora rifiutiamo l ipotesi nulla; se invece il valore di p è maggiore di a non rifiutiamo l ipotesi nulla. Statistica medica 25
Esercizio: 1.Ipotizzo in base a dati di laboratorio che il fumo di tabacco aumenti i valori pressori nei forti fumatori (H1) 2. H0: 'i forti fumatori hanno la stessa pressione media della popolazione'. 3. Fisso l'errore α al 5%; sono interessato ad eventuali scostamenti in entrambe le direzioni (test di ipotesi bilaterale o 'a 2 code') 4. Programmo uno studio in cui viene misurata la pressione arteriosa sistolica a 36 soggetti. Statistica medica 26
5. La variabile 'pressione arteriosa' nella popolazione ha distribuzione gaussiana. Il valore medio nella popolazione è 165. Non conosco il valore della deviazione standard nella popolazione. 6. Il test statistico è il test t di student. 7. Conduco lo studio ed ottengo i seguenti risultati. Media = 172,8 Deviazione standard= 24,25 L errore standard sarà quindi = 4,04 Statistica medica 27
8a Calcolo del test t = (Media campione media popolazione) / Errore standard = (172,8 165) / 4,04 = 7,8 / 4,04 = 1,93 La probabilità che il campione sia stato estratto da una popolazione con media pari a 165 mmhg è compresa tra 0,05 e 0,10. Non escludo pertanto l ipotesi nulla che il campione sia stato estratto da una popolazione con tale media. Statistica medica 28