Lezioni di Geometria. Maria Scafati Tallini e Maurizio Iurlo

Lezioni di Geometria Maria Scafati Tallini e Maurizio Iurlo Luglio 2006

Indice Introduzione v 1 La geometria analitica 1 2 Coordinate cartesiane 4 2.1 Ascisse sulla retta......................... 4 Rette orientate.......................... 4 Distanze orientate sopra una retta................ 5 Ascisse sulla retta......................... 6 Uso delle ascisse sopra la retta.................. 6 Punto medio di un segmento................... 6 Cambiamento di riferimento................... 7 2.2 Coordinate cartesiane nel piano................. 9 Angolo di due semirette..................... 9 Angolo di due rette orientate................... 10 Angolo di due rette non orientate................ 12 2.3 Riferimenti cartesiani nel piano................. 12 Riferimenti cartesiani....................... 12 Coordinate di un punto...................... 14 i

Equazione di una retta...................... 16 Forme notevoli dell equazione di una retta........... 19 Forma segmentaria dell equazione della retta.......... 19 Retta per due punti........................ 20 Punto di intersezione e condizione di parallelismo di due rette 22 Retta per un punto parallela a una retta data......... 23 Fascio di rette........................... 24 2.4 Esercizi.............................. 25 3 Nozioni metriche 33 3.1 Distanza di due punti....................... 33 3.2 Coseni direttori.......................... 34 3.3 Equazione normale di una retta orientata........... 36 3.4 Espressione dei coseni direttori di una retta orientata in funzione di a,b,c........................... 38 3.5 Coefficiente angolare di una retta................ 40 3.6 Distanza di un punto da una retta................ 41 3.7 Angolo di due rette........................ 42 3.8 Condizione di perpendicolarità di due rette........... 44 3.9 Esercizi.............................. 46 4 Lo spazio ampliato e le coordinate omogenee 49 4.1 Punti impropri.......................... 49 4.2 Coordinate cartesiane omogenee................. 51 4.3 Ampliamento della retta e del piano............... 52 4.4 Equazione di una retta in coordinate omogenee........ 52 4.5 Interpretazione geometrica dei punti impropri come direzioni. 53 Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 ii

4.6 La retta impropria del piano................... 54 4.7 Retta per due punti in coordinate omogenee.......... 55 4.8 Retta proiettiva e piano proiettivo................ 56 4.9 Trasformazione delle coordinate cartesiane........... 56 4.10 Esercizi.............................. 56 5 Ampliamento complesso dello spazio reale 58 5.1 Considerazioni preliminari.................... 58 5.2 Elementi complessi coniugati................... 59 5.3 Rette isotrope. Punti ciclici................... 61 6 Coordinate polari 63 6.1 Trasformazione delle coordinate cartesiane in polari e viceversa 65 7 La circonferenza 67 7.1 L equazione cartesiana di una circonferenza........... 67 7.2 Intersezioni di una circonferenza con una retta......... 69 7.3 Intersezioni di una circonferenza con la retta impropria.... 70 7.4 Tangente a una circonferenza in un suo punto......... 71 7.5 Esercizi.............................. 72 8 La parabola - L ellisse - L iperbole 77 8.1 La parabola............................ 77 8.2 L ellisse.............................. 80 8.3 L iperbole............................. 83 9 Teoria generale delle coniche 87 9.1 Generalità............................. 87 Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 iii

9.2 Intersezioni di una retta con una conica............. 88 9.3 Classificazione della coniche................... 89 9.4 Tangente in un punto a una conica............... 90 9.5 Polarità rispetto a una conica.................. 91 9.6 Significato geometrico della polare................ 93 10 Riduzione a forma canonica delle coniche 95 10.1 Centro e diamentri di una conica................ 95 10.2 Fuochi e direttrici di una conica................. 98 10.3 Equazioni canoniche delle coniche a centro........... 99 10.4 Equazione canonica e proprietà della parabola......... 99 10.5 Fuochi............................... 100 11 Fasci di coniche 102 11.1 Intersezione di due coniche.................... 102 11.2 Coniche degeneri di un fascio.................. 103 11.3 Numero dei punti che individuano una conica......... 103 11.4 Configurazione dei punti base di un fascio di coniche..... 104 11.5 Il metodo del fascio di coniche.................. 105 11.6 Equazione di una conica sottoposta a condizioni........ 108 12 Luoghi geometrici e curve piane 112 12.1 Rappresentazione grafica di una curva.............. 112 12.2 Luoghi geometrici......................... 116 13 Elementi di calcolo vettoriale 120 13.1 Concetto di vettore........................ 120 13.2 Somma di due vettori....................... 123 Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 iv

13.3 Prodotto di un vettore per un numero reale.......... 125 13.4 Angolo di due vettori....................... 127 13.5 Prodotto scalare di due vettori.................. 127 13.6 Prodotto vettoriale e prodotto misto di due vettori...... 128 14 Geometria analitica dello spazio 131 14.1 Riferimenti cartesiani nello spazio................ 131 14.2 Stella di piani di centro un punto................ 134 14.3 Piano per tre punti........................ 134 14.4 Parallelismo di due piani..................... 135 14.5 Equazione cartesiana di una retta nello spazio......... 135 14.6 Fasci di piani........................... 137 14.7 Parallelismo di retta e piano................... 137 14.8 Complanarità di due rette.................... 138 14.9 Piano per un punto parallelo a due rette............ 140 14.10Piano per un punto perpendicolare a una retta data...... 141 14.11Perpendicolarità di due piani................... 142 15 Linee e superficie nello spazio 143 15.1 Equazione di una superficie................... 143 15.2 Classi notevoli di superficie.................... 144 15.3 Superficie di rotazione...................... 145 15.4 Superficie algebriche....................... 145 15.5 Equazioni particolari di una superficie.............. 146 15.6 Rappresentazione di curve nello spazio............. 147 15.7 Proiezioni piane di una curva dello spazio............ 147 15.8 Curve tracciate sopra una superficie............... 148 Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 v

Introduzione La matematica che si studia nelle scuole secondarie fin dai primi anni si differenzia in geometria e aritmetica prima e successivamente in algebra. Sostanzialmente, la geometria riguarda il contenuto degli Elementi di Euclide, mentre l algebra riguarda il calcolo letterale e lo studio delle equazioni di primo e secondo grado e i sistemi di equazioni lineari. Si parte dallo studio delle espressioni numeriche e poi si sostituiscono ai numeri le lettere con il loro opportuno algoritmo. Si attua, cioè, un primo processo di astrazione: quello di sostituire ai numeri le lettere. Nell algebra, a livello di primo corso universitario, si va molto oltre questo primo processo di astrazione. Precisamente l algebra concerne - se si vuol dire in breve - lo studio delle strutture algebriche, ove con questo nome si intende un insieme dotato di una o piú operazioni soddisfacenti a determinate proprietà, o assiomi, della struttura. Quindi è tipico dell algebra un procedimento che astrattizza e assiomatizza. Per comprendere meglio le finalità e i contenuti dell algebra è opportuno dare un cenno storico al suo sviluppo. Algebra è una parola araba (al-giabr: al articolo, giabr mettere a posto ), usata per al prima volta dal matematico arabo Al-Khuwaritzmī del nono vi

secolo d. C. per indicare il trasporto di un termine da un membro all altro, in un espressione letterale: a b = c = a = b + c. È chiaro che il significato di questa parola algoritmo si è andato via via ampliando e ramificando. Si parla talora di algebra elementare per indicare il complesso delle regole del calcolo letterale e la teoria delle equazioni algebriche (ossia polinomi uguagliati a zero). I greci erano pervenuti a risolvere le equazioni di secondo grado e alcuni casi particolari di equazioni di grado superiore al secondo, usando considerazioni geometriche. Infatti, l equazione di secondo grado era concepita come una relazione tra aree di rettangoli, in cui appare un lato incognito, da costruirsi geometricamente. Gli indiani si interessarono piú della parte pratica, cioè della numerazione decimale, introducendo anche i numeri negativi. Gli arabi si considerarono allievi dei greci, ma trassero dagli indiani il sistema di numerazione (cifre arabiche). Il contributo essenziale degli arabi è dato da quel complesso di regole ed espressioni (algoritmo) che costituisce appunto l algebra elementare. L algebra araba fu introdotta nel mondo ad opera di Leonardo Fibonacci (il suo liber abaci è del 1202). Queste nuove idee diedero i loro frutti a opera della scuola bolognese (secolo 16 ). Scipione dal Ferro (1465-1526) diede la formula risolutiva dell equazione cubica ridotta (ossia priva del termine di 2 grado) e questo fu il primo passo decisivo dell algebra, nuovo risultato rispetto a quelli dei greci e degli arabi. Niccolò Tartaglia, bresciano (seconda metà del 500), dell ateneo di Padova e Cardano (1501-1576) milanese, sempre in quel periodo, diedero Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 vii

la formula risolutiva per radicali dell equazione cubica generale. Cardano scrisse un volume, l Ars Magna, nel 1545, in cui appunto pubblicò la formula dell equazione di 3 grado, riscoprendo e generalizzando la formula di dal Ferro e diede per la prima volta la formula risolutiva dell equazione generale di 4 grado, dovuta al suo allievo Ferrari, formula implicante radicali quadratici e cubici. A tali studi contribuí pure R. Bombelli di Bologna che introdusse i numeri complessi (quantità silvestri). Successivamente la scuola francese con Viète, Girard e Cartesio (17 secolo) riprese tali questioni, introducendo le notazioni moderne per i concetti suddetti e calcolando le formule per la somma e il prodotto delle radici a partire dai coefficienti dell equazione stessa. Cartesio, in particolare, con la sua Géométrie dà all algebra una posizione autonoma, la considera un nuovo mezzo per creare e risolvere nuovi problemi geometrici, fondando in tal modo la geometria analitica. Successivamente, si tentò di dare una formula risolutiva per radicali anche all equazione di 5 grado, ma solo nella prima metà dell 800 Ruffini e Abel dimostrarono che ciò è impossibile. Nello studio delle equazioni algebriche da questo punto di vista il risultato piú importante risale a Galois, il quale appunto nella metà dell 800 dimostrò che un equazione algebrica è risolubile per radicali allora e soltanto allora, che il gruppo di Galois associato a essa è un gruppo risolubile, secondo un opportuna definizione. Altro risultato notevole nel settore delle equazioni algebriche fu il Teorema fondamentale dell algebra, dovuto a Gauss (fine 700), secondo cui ogni equazione algebrica ammette almeno una radice (e quindi n, se n è il suo grado). Da quanto detto si comprende come l algebra per molto tempo ruotò intorno al problema della risoluzione delle equazioni. L algebra moderna, ossia lo studio delle strutture algebriche nacque col Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 viii

concetto di gruppo che risale appunto ad Abel, Galois, Jordan, Frobenius, Klein. Essa cominciò a imporsi in Germania agli inizi del 900 con Dedekind, E. Noether, Steinitz e in America con Wedderburn, Albert. All algebra si affiancò a un certo punto, quasi contemporaneamente, la geometria algebrica, ossia la teoria geometrica delle equazioni algebriche, disciplina questa che prende le mosse dalla concezione cartesiana dello studio delle curve nel piano, cioè dal metodo delle coordinate. La geometria algebrica, intesa appunto come studio geometrico di enti rappresentati algebricamente, nacque soprattutto in Italia a opera di grandi matematici quali Corrado Segre, Federigo Enriques, Guido Castelnuovo, Francesco Severi. A un certo punto, la geometria algebrica passò da una visione intuitiva geometrica verso un punto di vista piú astratto e rigoroso. I prodromi di ciò si ebbero si ebbero con il matematico tedesco B. L. van der Waerden e altri. Egli, nel 1931, pubblicò un famoso trattato Moderne Algebra in cui codifica e applica la teoria delle strutture algebriche alla geometria algebrica astratta, ossia non piú intesa alla maniera cartesiana, bensí introducendo a rappresentare gli enti geometrici opportune strutture algebriche. Il Severi criticò in parte questo indirizzo che poi prevalse, perché assolutamente rigoroso, anche se meno fecondo di intuizioni e risultati. A proposito del volume di Van der Waerden, il grande matematico aretino Francesco Severi ebbe a dire che piuttosto che algebra moderna avrebbe preferito chiamarla senz altro algebra, perché avrebbe avuto lunga vita, talché si sarebbe poi chiamata algebra antica. La geometria algebrica astratta diede nuovo impulso all algebra, portando al sorgere di nuove branche e nuove teorie. Il concetto informatore dell algebra è quello di struttura algebrica, ossia di operazione introdotta in un insieme, e quindi alla base di tutto stanno i Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 ix

concetti di insieme e quello di operazione. In algebra si assume come primitiva, ossia non riconducibile ad altra piú semplice, la nozione di oggetto o elemento, inteso come individuo, e la nozione di classe, o aggregato di oggetti. Si riserva poi la parola insieme a una classe di oggetti tale che esista una legge ben precisa, senza equivoci o contraddizioni logiche che affermi quando un oggetto appartiene a esso. Per esempio, la classe di tutti gli insiemi non è un insieme, come mostra il famoso Paradosso di Russel, di cui merita di parlare. Chiamiamo normale ogni insieme che non contenga se stesso come oggetto e anormale ogni insieme che invece contenga se stesso come oggetto. Consideriamo la classe degli insiemi normali, N. Essa non si può chiamare insieme, nel senso che la sua definizione porta a una contraddizione logica. Chiaramente, un insieme o è normale o è anormale. Proviamo a supporre N normale. Allora N non contiene se stesso come oggetto, ma essendo N normale, esso deve appartenere a se stesso, classe di tutti gli elementi normali, quindi N è anormale, contro l ipotesi. Proviamo ora a supporre N anormale. Allora N contiene se stesso come oggetto, ma allora N deve essere normale, in quanto in N si trovano come oggetti tutti gli insiemi normali, quindi N è normale, ancora una volta contro l ipotesi. Quindi, N non può essere né normale, né anormale, il che è assurdo. L assurdo proviene dall aver considerato N come un insieme. La sua definizione porta a un assurdo. Altro concetto fondamentale è quello di operazione (binaria) intesa come legge che associa a due elementi di un insieme un elemento ancora dell insieme, operazione godente di opportune proprietà, che sono gli assiomi di Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 x

quella data struttura algebrica. Una teoria algebrica è il complesso delle deduzioni logiche (o teoremi) da quegli assiomi. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 xi

Capitolo 1 La geometria analitica La geometria, nel significato che a noi interessa, significa di fatto Geometria analitica, ossia il metodo delle coordinate che consente di interpretare algebricamente problemi geometrici, risolverli con i metodi dell algebra e interpretarli di nuovo geometricamente. La geometria classica fu introdotta dai matematici greci la cui produzione scientifica culminò con gli Elementi di Euclide, geometra di Alessandria d Egitto del III secolo a.c.. Egli riassunse e organizzò con rigore logico per la prima volta nella storia del pensiero umano nozioni acquisite ed elaborate dai geometri dei secoli precedenti, al punto tale che gli argomenti trattati negli elementi di Euclide costituiscono ancora oggi, sia pure presentati con un linguaggio piú moderno, la parte fondamentale della cosiddetta geometria elementare, insegnata e studiata nelle scuole di tutto il mondo. Quasi contemporaneamente a Euclide, Apollonio e Archimede (intorno al 200 a.c.) si dedicarono il primo allo studio delle coniche, intese come sezioni piane del cono rotondo, il secondo ai problemi della rettificazione della circonferenza, dell area del cerchio e del volume della sfera. Dopo l epoca aurea 1

della geometria greca, riassunta dai tre grandi nomi di Euclide, Apollonio e Archimede, la geometria subí una crisi dovuta da un lato all insufficienza dei metodi euclidei e dall altro alla generale decadenza della cultura che si protrasse per gran parte del medioevo. Spetta agli arabi il merito di aver assimilato e diffuso il bagaglio di nozioni della cultura matematica greca e non soltanto. Attraverso gli arabi la cultura scientifica greca e orientale ritornò in Europa e anzi essa fu elaborata e permise successivamente nuovi sviluppi. Come detto, primi importanti risultati nuovi rispetto alla Matematica greca furono ottenuti in Italia a partire dal 1500, dagli algebristi Cardano, milanese, Tartaglia, bresciano, Ferrari e Bombelli, di Bologna, che si dedicarono alla risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado. I risultati nell algebra suggerirono l idea di tradurre i problemi geometrici in problemi algebrici o analitici, tramite il calcolo letterale, nel risolverli algebricamente, per poi risalire all interpretazione geometrica dei risultati ottenuti. Questo fa sí che i problemi possono essere trattati in modo generale e uniforme superando le difficoltà della geometria euclidea, nella quale ogni problema richiede una trattazione a sé. La geometria analitica si sviluppò appunto con l introduzione del metodo delle coordinate dovuto a Cartesio e Fermat nel 1600 ed è lo strumento indispensabile per risolvere un qualunque problema matematico sia teorico che applicativo. Il metodo delle coordinate consiste nell associare a ogni punto del piano euclideo una coppia ordinata di numeri reali e conseguentemente di rappresentare mediante equazioni o sistemi di equazioni, rette, circonferenze, coniche. Tale metodo si estende allo spazio tridimensionale, o spazio ordinario, e agli spazi di dimensione superiore, o iperspazi. In tempi piú recenti il metodo delle coordinate ha subito un ulteriore gene- Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 2

ralizzazione estendendo la rappresentazione analitica dei vari enti geometrici mediante insiemi numerici, detti campi, nei quali sono possibili le quattro operazioni fondamentali di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. In particolare tali campi possono essere costituiti da un numero finito di elementi (Campi di Galois). Prendendo le coordinate nei campi di Galois, si origina la Geometria discreta, nella quale possono essere utilizzati oltre ai metodi geometrici quelli dell algebra e dell aritmetica. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 3

Capitolo 2 Coordinate cartesiane Gli enti geometrici che qui considereremo, piú precisamente punto, retta, piano e spazio, sono intesi nel senso della geometria euclidea classica 2.1 Ascisse sulla retta Rette orientate Una retta r, sia nel piano che nello spazio è una linea aperta, che si può immaginare percorsa da un punto mobile su di essa in due versi opposti. Una retta r si dice orientata se su di essa è fissato uno dei due versi come positivo. Il verso opposto sarà detto negativo (Figura 2.1). r A B C Figura 2.1 4

Distanze orientate sopra una retta Sia r una retta e u un unità di misura per i segmenti, ad esempio il metro. Dato un segmento A 1 A 2 la sua misura è un numero reale positivo, che indicheremo con A 1 A 2, che dicesi lunghezza del segmento di estremi A 1 e A 2, ovvero distanza dei due punti A 1 e A 2 e che è dato dal rapporto tra il segmento A 1 A 2 e il segmento unitario. Se r è orientata si parlerà di distanza orientata, o con segno, tra i punti A 1 e A 2, che risulterà positiva o negativa a seconda che il punto A 2 segua o preceda il punto A 1 nel verso fissato come positivo su r, ovvero a seconda che il verso che porta da A 1 a A 2 sia concorde o discorde con il verso positivo su r. Indicheremo con A 1 A 2 la distanza orientata, che pertanto sarà un numero reale relativo. Si avrà precisamente A 1 A 2 = A 1 A 2 ovvero A 1 A 2 = A 1 A 2. Si ha A 1 A 2 = 0 A 1 = A 2, A 1 A 2 = A 2 A 1 e A 1 A 2 = A 2 A 1. Inoltre si ha A 1 A 2 + A 2 C = A 1 C, qualunque sia la posizione reciproca dei tre punti A 1,A 2,C sulla retta. Se sulla retta r sono dati n punti qualsiasi A 1, A 2,...,A n, si ha A 1 A 2 + A 2 A 3 +... + A n 1 A n = A 1 A n. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 5

Ascisse sulla retta Sulla retta r si scelgano un punto O detto origine e un punto U, distinto da O, detto unitario. Tali due elementi costituiscono un riferimento cartesiano R(O, U), o un sistema di ascisse cartesiane sulla retta. Piú precisamente, in tal modo si viene a stabilire una biezione, o corrisponenza biunivoca, tra i punti della retta e i numeri reali. Fissiamo come positivo il verso che porta da O verso U. Per ogni punto P di r, si definisce ascissa di P, rispetto al riferimento R(O,U), il numero reale x distanza orientata tra O e P, assumendo come unità di misura la lunghezza del segmento OU. Uso delle ascisse sopra la retta Fissati sulla retta r un origine O e un punto unitario U, siano A 1 e A 2 due punti, rispettivamente di ascisse x 1 e x 2, che indicheremo con A 1 (x 1 ) e A 2 (x 2 ). Si ha x 1 = OA 1, x 2 = OA 2, e quindi A 1 A 2 = x 2 x 1, A 1 A 2 = x 2 x 1, dove x 2 x 1 indica il valore assoluto di x 2 x 1, con x 2 x 1 = ±(x 2 x 1 ). Punto medio di un segmento Sia M il punto medio del segmento A 1 A 2. Sarà allora: A 1 M = MA 2 Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 6

Detta x l ascissa di M, si ha: ossia: x x 1 = x 2 x, x = x 1 + x 2. 2 Si può quindi enunciare: L ascissa del punto medio di un segmento è data dalla semisomma delle ascisse degli estremi del segmento. Cambiamento di riferimento Se passiamo dal riferimento R(O,U) al riferimento R (O,U ), un qualsiasi punto P di r avrà un ascissa x rispetto al riferimento R(O,U) e un ascissa x rispetto al riferimento R (O,U ) (Figura 2.2). Si ha r O U O U P Figura 2.2 x = OP OU, x = O P O U e inoltre O P = O O + OP onde cioè x = O O + OP O U = O O O U + OP OU OU O U, x = mx + a, (2.1) Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 7

posto m = OU O U, a = O O O U. I due numeri reali m e a, rappresentano rispettivamente il rapporto tra le due unità di misura e l ascissa dell origine O nel riferimento R (O,U ). La (2.1) si chiama formula di trasformazione delle coordinate da un riferimento cartesiano a un altro. Viceversa, ogni relazione del tipo della (2.1) si può interpretare come formula di trasformazione delle ascisse passando da un riferimento a un altro. Le (2.1) si invertono in x = m x + a, (2.2) con m = 1 m = O U OU, a = a = OO OU. La (2.1) e la sua inversa (2.2) si possono interpretare in modo diverso come ascisse di due punti qualora non si effettui un cambiamento di riferimento e allora rappresentano una biezione di r in sé, che dicesi similitudine. Si dimostra che esiste una e una sola similitudine nella quale a due punti distinti A 1 e A 2 corrispondono due dati punti distinti A 1 e A 2. Infatti, x 1 = mx 1 + a, x 2 = mx 2 + a. Risolvendo il sistema si ottiene m = x 1 x 2 x 1 x 2, a = x 1x 2 x 2 x 1 x 1 x 2. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 8

2.2 Coordinate cartesiane nel piano Il piano della geometria elementare è una superficie aperta avente due facce opposte. Si orienta un piano fissando una delle due facce come positiva, di solito quella rivolta verso l osservatore. Angolo di due semirette Dato un piano, le semirette di esso uscenti da un suo punto O costituiscono fascio di semirette di origine O, centro del fascio. In un fascio si distinguono due distinti versi di rotazione attorno al punto O. Se ne sceglie uno come positivo, il fascio si dice orientato. Fissato un verso positivo di rotazione attorno a un punto O tale verso rimane fissato in ogni altro punto del piano, in modo tale che si può parlare di verso di rotazione positivo del piano. Di solito esso coincide con il verso antiorario, ossia quello contrario al verso di rotazione delle lancette di un orologio. La coppia ordinata di due semirette r ed s appartenenti a uno stesso fascio orientato di centro O, determina un angolo orientato che si indicherà con rs. Scelta un unità di misura per gli angoli, per esempio il radiante (che è la misura dell angolo al centro che insiste su un arco di lunghezza uguale al raggio) si definisce come misura dell angolo orientato rs, la misura dell angolo che una semiretta, inizialmente coincidente con r e ruotante intorno a O, deve percorrere per sovrapporsi a s. Osserviamo che l angolo rs è definito a meno di multipli di 2π; infatti, la retta r si sovrappone una prima volta a s dopo la rotazione di un certo angolo ϕ 0 < 2π (vedi Figura 2.3), si ha cioè rs = ϕ = ϕ 0 + 2kπ, con k intero, positivo negativo o nullo. Se si dicono congrui modulo 2π due angoli ϕ e ψ, i quali differiscono tra loro Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 9

per un multiplo intero di 2π e si esprime tale relazione scrivendo: ϕ ψ mod 2π, si può anche dire che due misure qualsiasi dell angolo rs sono congrue modulo 2π. s O ϕ 0 r Figura 2.3 Angolo di due rette orientate Siano r e s due rette orientate di un piano, che si incontrano in un punto O. Indicheremo con r ed s le stesse due rette orientate in verso opposto. Fissato un verso di rotazione positivo nel piano, l angolo r s è l angolo formato dalla semiretta di s, che consta di tutti i punti che seguono O, con la semiretta di r, valutato tenendo conto del verso di rotazione indotto intorno a O dal verso positivo delle rotazioni del piano. Tenuta presente la Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 10

r ϕ 2 s ϕ 4 ϕ 1 s ϕ 3 r Figura 2.4 Figura 2.4 (in cui l angolo r s è indicato con ϕ1 ), si ha ϕ 1 = r s, ϕ 2 = r s (ϕ1 + π) mod 2π, ϕ 3 = r s (ϕ1 + π) mod 2π, ϕ 4 = r s ϕ1 mod 2π. Detto ϕ uno qualunque degli angoli ϕ i (i = 1,...,4) si ha sin ϕ + π = sin ϕ cos ϕ + π = cos ϕ tanϕ + π = tanϕ da cui segue che il seno e il coseno dell angolo di due rette orientate cambiano entrambi di segno o rimangono inalterati a seconda che si inverta il verso su una o su entrambe le rette. Pertanto la tangente dell angolo di due rette orientate di un fascio orientato non muta se su una o entrambe di tali rette si inverte il verso. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 11

Angolo di due rette non orientate Siano r e s due rette non orientate di un piano, che si incontrano in punto O. I quattro angoli ϕ i (i = 1,...,4) della Figura 2.4 possono tutti essere definiti come angolo delle due rette non orientate r e s. Dal punto di vista trigonometrico se r e s sono due rette non orientate in un fascio orientato, il seno e il coseno sono definiti a meno del segno, mentre la tangente è univocamente determinata. Piú precisamente, se cos rs = ±a e sin rs = ±b, si ha: tan rs = b a, con a 2 + b 2 = 1. 2.3 Riferimenti cartesiani nel piano Riferimenti cartesiani Si fissino nel piano due rette x, y, intersecantisi in un punto O, e un punto U non appartenente né a x né a y (vedi Figura 2.5). Tali dati individuano nel piano un riferimento cartesiano R(O,U,x,y), nel quale le rette x e y si dicono assi, il punto O si dice origine e il punto U si dice punto unitario. Si tracci dal punto U la parallela all asse y (all asse x), fino a incontrare l asse x (y) nel punto U x (U y ) (vedi Figura 2.6). Si orienti l asse x (y) fissando come verso positivo su di esso quello che porta da O a U x (U y ). Sull asse x (y) Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 12

y U O x Figura 2.5 y U O x Figura 2.6 resta cosí definito il riferimento cartesiano R(O,U x ) (R (O,U y )). In sostanza, per dare un riferimento cartesiano R(O,U,x,y), si scelgono i due assi x e y orientati intersecantisi nell origine O e le unità di misura OU x e OU y con le quali misurare i segmenti sugli assi x e y rispettivamente. Un riferimento cartesiano si dice monometrico o dimetrico a seconda che le unità di misura per i due assi siano uguali o distinte. Si dice ortogonale o obliquo a seconda che gli assi siano tra loro ortogonali o meno. D ora in poi, salvo contrario avviso, utilizzeremo riferimenti ortogonali monometrici. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 13

Coordinate di un punto Si fissi in un piano un riferimento cartesiano R(O,U,x,y). Sia P un punto qualunque del piano. Si tracci da P la parallela all asse y (x), fino a incontrare l asse x (y) nel punto P x (P y ). Si chiama ascissa (ordinata) del punto P il numero reale x (y) dato dalla lunghezza del segmento OP x (OP y ) assumendo OU x (OU y ) come unità di misura. I due numeri reali x e y si chiamano coordinate di P e si scriverà y P y P(x,y) U y U O U x P x x Figura 2.7 P(x,y). Viceversa, fissata una coppia ordinata di numeri reali (x,y), rimane univocamente determinato il punto P del piano che le ammette come coordinate, ossia il riferimento cartesiano dato stabilisce una biezione tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali. Si dice quindi che il piano euclideo reale P 2,R è un ente geometrico a due dimensioni. Pertanto possiamo dire che un punto è una coppia ordinata di numeri reali. Se supponiamo che le due coordinate x e y anziché variare nell insieme Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 14

dei numeri reali R, appartengano all insieme dei numeri complessi C, avremo il piano complesso P 2,C. Piú in generale, possiamo supporre che le coordinate di un punto del piano varino in un qualsiasi corpo K. Ricordiamo che si definisce corpo una terna (K, +, ) in cui sono definite due operazioni binarie, +,, dette rispettivamente prodotto e somma, tale che siano soddisfatti gli assiomi seguenti. x,y K, x + y = y + x K 0 K : x + 0 = x, x K x K : x + ( x) = 0 x,y,z K, x,y K, x + (y + z) = (x + y) + z x y K 1 0 K : x 1 = 1 x = x x,y,z K, x (yz) = (xy) z x K\ {0} x 1 K : x x 1 = x 1 x = 1 x,y,z K, x,y,z K, x (y + z) = (x y) + (x z). (y + z) x = (y x) + (z x). I primi quattro assiomi definiscono la coppia (K, +) come gruppo abeliano (o commutativo) denotato additivamente. In defintiva un corpo K è un insieme tale che in esso si possono effettuare le quattro operazioni elementari, addizione sottrazione, moltiplicazione e divisione. Un corpo in cui il prodotto è commutativo si dice campo. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 15

Osserviamo che l insieme (R, +, ) dei numeri reali è un campo rispetto alle ordinarie operazioni di somma e di moltiplicazione. Anche l insieme dei numeri complessi (C, +, ) è un campo. Nel caso in cui le coordinate di un punto varino in un corpo K si ha un piano costruito sul corpo K o a coordinate in K, denotato P 2,K. È chiaro che le proprietà algebriche del corpo K si rifletteranno sulle proprietà geometriche di P 2,K, e viceversa. Equazione di una retta Siano P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ) due punti distinti del piano. Vogliamo determinare le coordinate del punto P(x,y) variabile sulla retta r = P 1 P 2. Per il Teorema di Talete, se r non è parallela a nessuno degli assi, si ha (vedi Figura 2.8): P 1 P P 2 P = A 1A A 2 A = k, (2.3) con k R. Tenuto conto della definizione di coordinate di un punto si ha x x 1 x x 2 = y y 1 y y 2 = k. Da queste si ricava x = x 1 kx 2 1 k, y = y 1 ky 2 1 k. Se r è parallela all asse y (x), si ha ovviamente x 1 = x 2 (y 1 = y 2 ) e quindi tutti i punti di r hanno la stessa ascissa (ordinata) dei punti P 1 e P 2 onde il punto P di r ha in tal caso un ascissa (ordinata) x = x 1 = x 2 (y = y 1 = y 2 ). Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 16

y r B 2 P 2 B P B 1 P 1 O A 1 A A 2 x Figura 2.8 Per il punto P(x,y) della retta r = P 1 P 2 vale allora la relazione ossia x x 1 x x 2 = y y 1 y y 2 x(y 1 y 2 ) y(x 1 x 2 ) = x 2 y 1 x 1 y 2. (2.4) La (2.4) è soddisfatta da tutti e soli i punti della retta P 1 P 2 e pertanto si chiama l equazione della retta r = P 1 P 2. Se la retta r è parallela all asse y (x), essa ha equazione x = x 1 (y = y 1 ). Posto a = y 1 y 2, b = (x 1 x 2 ), c = x 2 y 1 x 1 y 2, (2.5) la (2.4) è della forma ax + by + c = 0, (2.6) Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 17

con a e b non contemporaneamente nulli, perché i punti P 1 e P 2 sono distinti. y. Essa è un equazione lineare, cioè di primo grado, nelle due variabili x e Viceversa, ogni equazione lineare in x e y rappresenta l equazione di una retta per i due punti P 1 ( c a b,a ), P 2 ( c a, 0 ), qualora sia a diverso da zero. Infatti, posto x 1 = c a b, y 1 = a, x 2 = c a, y 2 = 0, sono soddisfatte le (2.5). Se invece a = 0, sarà b 0 e allora la (2.6) è l equazione della retta per i due punti P 1 ( b, c b ), P 2(0, c b ). Si può quindi affermare che ogni equazione lineare in x e y, nella quale i coefficienti di x e y siano entrambi non nulli, rappresenta l equazione di una retta. Se una retta è rappresentata dalla (2.6), la stessa retta, ossia lo stesso luogo o insieme di punti, è rappresentata da tutte le equazioni della forma λax + λby + λc = 0. Si può perciò affermare che le rette del piano dipendono da tre parametri omogenei (cioè definiti a meno di un comune fattore di proporzionalità non nullo), a, b e c, con a e b non simultaneamente nulli, ovvero da due parametri essenziali. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 18

Forme notevoli dell equazione di una retta Osserviamo che le rette di equazione ax + by = 0 sono tutte e sole quelle passanti per l origine delle coordinate, le rette di equazione by + c = 0 sono tutte e sole le rette parallele all asse x, le rette di equazione ax + c = 0 sono tutte e sole le rette parallele all asse y. Se la retta r di equazione ax + by + c = 0 non è parallela all asse y, è b 0 e l equazione di r può scrivere nella forma y = mx + q, posto m = a b, q = c b. Forma segmentaria dell equazione della retta Se r non passa per l origine e non è parallela agli assi si ha a 0, b 0, c 0 e l equazione della retta può scriversi nella forma x p + y q = 1, (2.7) Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 19

posto p = c a, q = c b. La (2.7) si chiama equazione segmentaria di r perché i numeri p e q rappresentano le misure dei segmenti staccati dalla retta rispettivamente sugli assi x e y. Ciò equivale a dire che la retta r passa per i punti (p, 0), (0,q). Retta per due punti Siano P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ) due punti distinti. La retta per essi deve essere tale che siano soddisfatte le due condizioni ax 1 + by 1 + c = 0, ax 2 + by 2 + c = 0. (2.8) La (2.8) è un sistema di due equazioni lineari omogenee nelle tre incognite a,b,c, dal quale a,b,c vengono determinate a meno di un fattore di proporzionalità. Dalle (2.5) si ha che l equazione della retta assume la forma (y 1 y 2 )x (x 1 x 2 )y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0. (2.9) La (2.9) si può anche scrivere nella forma x y 1 x 1 y 1 1 = 0, (2.10) x 2 y 2 1 Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 20

come si ha sviluppando il determinante secondo gli elementi della prima riga. Infine, se x 1 e y 1 sono distinti rispettivamente da x 2 e y 2, l equazione della retta P 1 P 2 si può scrivere nella forma x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1. (2.11) La (2.11) si chiama anche equazione della retta in forma di rapporti uguali. Posto x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 = t, per il punto variabile sulla retta P 1 P 2, si ha x = x 1 + t(x 2 x 1 ), y = y 1 + t(y 2 y 1 ). (2.12) La (2.11), posto l 1 = x 2 x 1, l 2 = y 2 y 1, si scrive: x x 1 l 1 = y y 1 l 2. I due numeri l 1,l 2 si dicono parametri direttori della retta l 2 (x x 1 ) = l 1 (y y 1 ). Dalla (2.12), si ha x = x 1 + l 1 t, y = y 1 + l 2 t. (2.13) Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 21

Le (2.12) e le (2.13) si sicono equazioni parametriche di una retta e da esse risulta che i punti di una retta dipendono da un parametro. La (2.10) dà automaticamente la condizione di allineamento di tre punti P 1 (x 1,y 1 ), P 2 (x 2,y 2 ), P 3 (x 3,y 3 ), data da x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0. x 3 y 3 1 Punto di intersezione e condizione di parallelismo di due rette Siano date due rette r ed s, le cui equazioni rispettive siano ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0. Determinare il punto di intersezione delle due rette equivale a risolvere il sistema ax + by + c = 0, a x + b y + c = 0. (2.14) Viceversa, il problema algebrico di risolvere il sistema (2.14) nelle incognite x e y, si può interpretare geometricamente come il problema di determinare il punto comune a due rette. Se e soltanto se il determinante dei coefficienti ab a b è non nullo, il sistema (2.14) ammette una e una sola coppia di soluzioni data da x = bc b c ab a b, y = a c ac ab a b, e il sistema si dice determinato. Se è ab a b = a c ac = bc b c = 0 Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 22

ciò equivale alle condizioni a a = b b = c c e quindi le due rette r e s coincidono e il sistema (2.14) è indeterminato. Se è ab a b = 0, e a c ac e bc b c non sono contemporaneanente nulli, il sistema (2.14) è impossibile, cioè le due rette sono parallele e distinte. Quindi, per il sistema (2.14) i tre casi: determinato, indeterminato, impossibile, corrispondono dal punto di vista geometrico al fatto che le due rette siano incidenti, coincidenti o parallele e distinte. Poiché la coincidenza di due rette si considera come caso particolare del parallelismo, si può affermare che Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che sia ab a b = 0, cioè a a = b b. Pertanto se e soltanto se due rette sono parallele, le loro equazioni differiscono per il solo termine noto. Retta per un punto parallela a una retta data La retta parallela alla retta r : ax + by + c = 0 e passante per il punto P 0 (x 0,y 0 ), ha equazione a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0. (2.15) Infatti, la retta (2.15) passa per il punto P 0 (x 0,y 0 ) ed è parallela alla retta r. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 23

Fascio di rette Dicesi fascio di rette la totalità delle rette del piano passanti per un punto, ovvero parallele a una retta data. Nel primo caso il fascio si dice proprio e il punto comune a tutte le rette del fascio si dice centro del fascio. Nel secondo caso il fascio si dice improprio e si dice che le rette hanno tutte la stessa direzione. Si osservi ora che due rette distinte r ed s individuano un fascio di rette, a cui esse appartengono. Se infatti r ed s sono incidenti, il fascio da esse individuato è il fascio delle rette passanti per il loro punto di intersezione e a tale fascio appartengono r ed s. Se invece r ed s sono parallele, il fascio da esse individuato è il fascio di tutte le rette parallele a r (e a s), al quale appartengono anche r ed s. Si supponga che le due equazioni (2.14) siano rispettivamente le equazioni di r ed s. Allora tutte e sole le rette del fascio hanno equazione λ(ax + by + c) + µ(a x + b y + c ) = 0, (2.16) con λ e µ non ambedue nulli. Diremo che l equazione del fascio individuato da r ed s è data dalla combinazione lineare, con i parametri omogenei λ e µ, delle equazioni di r ed s. Infatti se il fascio individuato da r ed s è proprio, le coordinate del punto P = r s, soddisfano a entrambe le equazioni (2.14) e, quindi, alla (2.16), qualunque siano λ e µ. Se il fascio è improprio, sarà ab a b = 0, (2.17) ma allora ogni retta della forma (2.16) è parallela a r, perché dalla (2.17) Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 24

segue a(λb + µb ) (λa + µa )b = 0, qualunque siano λ e µ. Pertanto, ogni retta del tipo (2.16) appartiene al fascio individuato da r ed s. Viceversa, se t è una retta del fascio individuato da r ed s, essa si può sempre scrivere nella forma (2.16). Infatti, se P 0 (x 0,y 0 ) è un punto di t distinto da P = r s, se il fascio è proprio, vi è una e una sola retta del tipo (2.16) che passa per P 0. Infatti, imponendo alla (2.16) il passaggio per il punto P 0, si ottiene l equazione λ(ax 0 + by 0 + c) + µ(a x 0 + b y 0 + c ) = 0, (2.18) che è un equazione di primo grado, nel rapporto λ o µ. Pertanto la (2.18) µ λ determina λ e µ a meno di un fattore di proporzionalità non nullo. Rimane cosí individuata una retta del tipo (2.16) che coincide con t, avendo con essa in comune i due punti distinti P e P 0, se il fascio è proprio, ed essendo la parallela a r per P 0, se il fascio è improprio. Pertanto le rette di un fascio dipendono da due parametri omogenei, ovvero da un parametro essenziale (il rapporto λ µ o µ λ ). 2.4 Esercizi Esercizio 2.1. Scrivere l equazione della retta congiungente i punti P 1 (2, 3) e P 2 (5, 2). Soluzione n. 1. L equazione di una retta congiungente due punti P 1 (x 1,y 1 ), Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 25

P 2 (x 2,y 2 ) è x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1. Con semplici calcoli, si ottine l equazione 5x + 3y 19 = 0. (2.19) Si può verificare che i punti dati appartengano all equazione sostituendo i valori delle loro coordinate al posto di x e y. Si ha per P 1 e P 2, rispettivamente: 5 2 + 3 3 19 = 0, 5 5 3 2 19 = 0. Soluzione n. 2 L equazione della retta cercata è del tipo ax + by + c = 0. (2.20) Affinché il punto P 1 appartenga alla retta (2.20), le sue coordinate devono soddisfare all equazione della retta stessa. Allora, deve essere 2a + 3b + c = 0. Procedendo analogamente per P 2 si ha: 5a 2b + c = 0. In definitiva si ha il sistema 2a + 3b + c = 0, 5a 2b + c = 0. Si tratta di un sistema di due equazioni lineari in tre incognite, pertanto i valori delle incognite non possono essere univocamente determinati. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 26

D altronde, ciò è ovvio se si pensa che una retta determina i coefficienti della sua equazione a meno di un coefficiente di proporzionalità non nullo. Ne segue, quindi, che a uno dei coefficienti può essere dato un valore arbitrario non nullo. Posto, per esempio, c = 1, il sistema diviene: Si trova: 2a + 3b = 1, 5a 2b = 1. a = 5 19, b = 3 19, c = 1 e, quindi, l equazione 5 19 x 3 x + 1 = 0. (2.21) 19 Moltiplicando la (2.21) per 19 essa si riduce alla (2.19). Esercizio 2.2. Verificare che i tre punti P 1 (2, 3), P 2 (3, 5), P 3 (4, 1) non 2 sono allineati. Soluzione n. 1 Il problema può essere risolto determinando l equazione della retta, ad esempio, per i punti P 1 e P 2, e quindi verificando che le coordinate di P 3 non soddisfano all equazione trovata. Soluzione n. 2 Il problema può essere facilmente risolto verificando che i tre punti non soddisfino alla condizione di allineamento di tre punti, cioè verificando che non è nullo il determinante 2 3 1 3 5 1. 4 1 1 2 Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 27

Sviluppando il determinante si ha che esso vale 27, per cui i tre punti 2 non sono allineati. Esercizio 2.3. Determinare il punto di intersezione delle due rette di equazioni 2x + 3y 13 = 0, 5x + 7y 31 = 0. Soluzione. Determinare il punto di intersezione delle due rette equivale a determinare la coppia di numeri x,y soddifacenti al sistema: 2x + 3y 13 = 0, 5x + 7y 31 = 0. Tale coppia esiste certamente ed è univocamente determinata (se le due rette sono non parallele e non coincidenti). Ciò equivale, dal punto di vista analitico a che il determinante dei coefficienti sia non nullo. Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer. Si ha: 13 3 2 13 31 7 5 31 x = = 2, y = = 3. 2 3 2 3 5 7 5 7 Il punto (2, 3) è il punto di intersezione delle due rette date. Come verifica del risultato, si può provare che sostituendo al posto di x e y rispettivamente 2 e 3, nelle equazioni delle rette date, si ottengono due identità. Esercizio 2.4. Detto P il punto di intersezione delle rette r : 2x + y 17 = 0, s : 3x 7y + 34 = 0, Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 28

scrivere l equazione della retta passante per P e a) parallela all asse x o all asse y (Sol.: y 7 = 0, x 5 = 0); b) passante per il punto Q(2, 3) (Sol.: 4x 3y + 1 = 0); c) passante per il punto M(3, 11) (Sol.: 2x + y 17 = 0); d) staccante il segmento 5 sull asse x (Sol.: 7x 10y + 35 = 0); e) staccante sugli assi x e y rispettivamente due segmenti che stanno fra loro come 6 : 7 (Sol.: 7x + 6y 77 = 0). Soluzione. a) Si calcolino le coordinate del punto di intersezione delle due rette, come nell esercizio precedente. Si trova che il punto ha coordinate (5, 7). Le infinite rette per P hanno equazione del tipo: a(x 5) + b(y 7) = 0. Una retta parallela all asse x ha equazione del tipo y = k, con k costante. Se tale retta deve passare per P(5, 7) deve essere k = 7. L equazione della retta per il punto P parallela all asse x ha dunque equazione: y = 7. Analogamente nel secondo caso. Il problema proposto può essere risolto senza calcolare preliminarmente le coordinate del punto P. Il fascio di rette di Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 29

centro P ha equazione: λ(2x + y 17) + µ(3x 7y + 34) = 0. Dividendo per µ e posto λ/µ = k, si può scrivere l equazione del fascio in forma non omogenea: 3x 7y + 34 + k(2x + y 17) = 0. Si deve ora determinare k soddisfacente alla condizione imposta. Se la retta del fascio deve essere parallela all asse x, deve essere nullo il coefficiente della x, cioè deve aversi: 3 + 2k = 0 = k = 3 2. Sostituendo nell equazione del fascio, si ottiene: 17 2 y + 119 2 = 0, ossia, molptiplicando per 2 17 : y 7 = 0. b) Se la retta del fascio λ(2x + y 17) + µ(3x 7y + 34) = 0 deve passare per il punto Q(2, 3), ponendo x = 2, y = 3, nell equazione del fascio, si ottiene 4x 3y + 1 = 0. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 30

c) Operando come nell esercizio precedente si ottiene l assurdo: 34 = 0. Il presentarsi dell equazione assurda è conseguenza dell aver scritto l equazione del fascio in forma non omogenea, cioè dell aver posto k = λ µ. Tale posizione è possibile solo per µ = 0, per cui l equazione del fascio in forma non omogenea non rappresenta tutte le rette del fascio, ma solo quelle per cui µ 0. Se si pone µ = 0 in λ(2x + y 17) + µ(3x 7y + 34) = 0, si ottiene la retta 2x + y 17 = 0, che è la retta cercata, come si può ad esempio dimostrare partendo dalla generica equazione per il punto P: a(x 5) + b(y 7) = 0 e ivi sostituendo le coordinate di M. Se invece si fosse partiti dall equazione omogenea del fascio λ(2x + y 17) + µ(3x 7y + 34) = 0, sostituendo in essa x = 3 e y = 11, si sarebbe ottenuto 34µ = 0 = µ = 0, Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 31

che sostituito nell equazone omogenea del fascio, avrebbe dato: 2x + y 17 = 0, in accordo con quanto per altre vie trovato. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 32

Capitolo 3 Nozioni metriche Le nozioni metriche sono quelle coinvolgenti i concetti di distanza di due punti, angolo di due rette, aree di figure piane, nozioni legate al concetto di misura. Nel seguito supporremo di usare riferimenti cartesiani ortogonali e monometrici. Il piano sarà orientato positivamente verso l osservatore e il verso positivo delle rotazioni nel piano sarà quello antiorario. Ogni fascio proprio di rette del piano risulterà allora automaticamente orientato. 3.1 Distanza di due punti Dati due punti P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ) (vedi Figura 3.1), si tracci da P 1 la parallela all asse x fino a incontrare in P la perpendicolare all asse x da P 2. Essendo gli assi ortogonali, la retta P 2 P è parallela all asse y. Ne segue che la lunghezza del segmento P 2 P è misurata dalla differenza delle ordinate di P 2 e P 1, ossia da y 2 y 1. Similmente, si ha P 1 P = x 2 x 1. Per Il Teorema di Pitagora, applicato al triangolo P 1 P P 2, rettangolo in P, si ha 2 P 1 P 2 = P1 P 2 + P 2 P 2, 33

y P 2 P 1 P O x Figura 3.1 ossia P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2. Pertanto la distanza di due punti in un riferimento cartesiano ortogonale e monometrico è data dalla radice quadrata positiva della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate omonime dei due punti. 3.2 Coseni direttori Sia r una retta orientata, r la stessa retta orientata in verso opposto. Siano x e y gli assi x e y, orientati positivamente. Le due quantità cos x r e cos y r si chiamano coseni direttori della retta orientata r. Se si inverte il verso fissato come positivo sulla retta r, si ha cos x r = cos x r, cos y r = cos y r, Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 34

y r O x Figura 3.2 sicché si ha che: Cambiando il verso su r i suoi coseni direttori cambiano simultaneamente di segno. Quindi se la retta r è non orientata, i suoi coseni direttori sono determinati a meno di un simultaneo cambiamento di segno. Tra i coseni direttori di una retta r, vale la relazione: cos 2 x r + cos 2 y r = 1. Infatti, supposto r passante per l origine, si ha sin x r = sin ( π 2 r y ) = cos r y = cos y r, (3.1) onde cos 2 x r + cos 2 y r = cos 2 x r + sin 2 x r = 1. Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 35

3.3 Equazione normale di una retta orientata Come si è visto, la (2.6) è l equazione di una retta. Vogliamo ora determinare l equazione di una retta orientata. Sia r una retta orientata; orientiamo la normale alla retta r in modo che sia n r = π 2, ossia orientata in modo tale che la coppia n r sia sovrapponibile in direzione e verso alla coppia x n. Per un punto P(x,y) (vedi y y n r K P y P(x,y) H O P x x Figura 3.3 Figura 3.3) della retta r si ha, con le notazioni in figura: OK = OH + HK e OH = x cos x n, HK = y sin x n = y cos y n. Quindi, posto OK = p (distanza di O da r, valutata sulla normale orientata Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie G.Tallini - n.153 36