Progressioi ritmetiche e geometriche 7. Progressioi ritmetiche. Defiizioe. Si dt l successioe umeric:,, 3,, 5,...,,.... Ess rppreset u progressioe ritmetic se l differez fr qulsisi termie dell successioe ed il suo precedete è costte, cioè: = d (7.) d viee chimt rgioe dell progressioe. Quidi si vrà: = + d = + d = + d 3 = + d = + 3d... 3 (7.) I geerle, per il termie -esimo vremo: = + ( ) d (7.3) che rppreset l relzioe fodmetle fr il termie -esimo dell progressioe ritmetic, il termie e l rgioe costte d. Se volessimo ricvre il termie s- esimo (per es. il 7 ) cooscedo l r-esimo (per es. il 6 ) e l rgioe d o dovremmo fre ltro che usre l formul (7.3) mettedo l posto di -> s e di ->r, ossi: = + ( s r) d (7.) s r Dll (7.3) o (7.) si possoo ovvimete ricvre le relzioi iverse che permettoo di determire u icogit picere cooscedo le ltre due. Iserimeto di m medi ritmetici fr due estremi. U problem iteresste cosiste ell iserire m medi fr due estremi che chimimo e b. Per risolverlo dobbimo solo trovre l rgioe d dell progressioe ritmetic. Dll (7.3) si ottiee: b d = = (7.5) m + dove =m+. U esempio istruttivo cosiste ell iserire medio fr due estremi. Dll (7.5) si ottiee llor (m=):
b b d = = (7.6) m + b + b e quidi il medio m è ell posizioe: m = + = cioè m è proprio l medi ritmetic dei due umeri e b. Somm di termii cosecutivi di u progressioe ritmetic. Si rccot che il mestro delle elemetri di quello che srà chimto il re dei mtemtici, F. Guss (uo dei tre mtemtici più grdi di tutt l stori um ssieme d Archimede e Newto), propose questo problem sperdo di impegre i suoi studeti per lmeo or: Sommre i primi 00 umeri turli. Quello che chiedev il mestro er determire il risultto di: 00 = S00 = + + 3 +... + 00. = Guss risolse il problem i molto meo di or, sez sbgli e scopredo u modo per eseguire l somm o solo dei primi 00 umeri turli, m che dei primi 000 o 0000 i poco tempo. Ecco come fece. Dispose i umeri d 00 i ordie crescete e poi li riscrisse llieti i colo ordidoli i modo decrescete. Ifie eseguì l somm i colo scopredo che otteev 0 ogi volt, ossi 00 volte (7.7).,, 3,..., 98, 99,00 00,99,98,..., 3,, (7.7) 0,0,0,...,0,0,0 00 Il risultto dell somm dei primi 00 umeri risultv essere quidi: + 00 S00 = 00 = 5050 (7.8) E fcile or estedere il rgiometo di Guss d u successioe quluque di cui si vogli determire l somm di termii cosecutivi di cui si oto il primo e l ultimo, otteedo l formul geerle: + S = (7.9) Quest formul richim d vicio l re di u trpezio: Somm delle bsi ( + ) per ltezz () diviso. I effetti possimo ttribuire ll (7.9) u sigificto geometrico cosiderdo l figur sottostte:
L somm S o è ltro quidi che il umero di pllii eri coteuti el trpezio rettgolo di bsi e e di ltezz. 7. Progressioi geometriche. Defiizioe. Si dt l successioe umeric:,, 3,, 5,...,,.... Ess rppreset u progressioe geometric se il rpporto fr qulsisi termie dell successioe ed il suo precedete è costte, cioè: = q (7.0) q viee chimt rgioe dell progressioe geometric. Quidi si vrà: = q = q = q 3 3 = q 3 = q... (7.) I geerle, per il termie -esimo vremo: q = (7.) che rppreset l relzioe fodmetle fr il termie -esimo dell progressioe geometric, il termie e l rgioe costte q. Se volessimo ricvre il termie s- esimo (per es. il 7 ) cooscedo l r-esimo (per es. il 6 ) e l rgioe q o dovremmo fre ltro che usre l formul (7.) mettedo l posto di -> s e di ->r, ossi: s r = q (7.3) s Dll (7.) o (7.3) si possoo ovvimete ricvre le relzioi iverse che permettoo di determire u icogit picere cooscedo le ltre due. r 3
Iserimeto di m medi geometrici fr due estremi. U problem iteresste cosiste ell iserire m medi geometrici fr due estremi che chimimo e b. Per risolverlo dobbimo solo trovre l rgioe q dell progressioe geometric. Dll (7.) si ottiee: b q = m+ (7.) dove =m+. U esempio istruttivo cosiste ell iserire medio geometrico fr due estremi. Dll (7.) si ottiee llor (m=): b q = (7.5) b e quidi il medio m è ell posizioe: m = = b cioè m è proprio l medi geometric dei due umeri e b. Il medio geometrico fr due estremi corrispode l medio proporziole di u proporzioe cotiu del tipo: : x = x : b x = b (7.6) E fcile dimostrre che l medi ritmetic è mggiore dell medi geometric. Scrivimo iftti: + b > b + b > b ( + b) > b + b b > 0 (7.7) ( b) > 0, b b Si ottiee l ugugliz delle due medie solo el cso ble i cui i vlori estremi e b sio uguli. Agli studeti quidi, coviee sempre frsi mettere el registro l medi ritmetic dei voti piuttosto che quell geometric. Qulche esempio.. Si dt l successioe: 3,,,. Dire se rppreset u progressioe 6 8 5 geometric e clcolre l rgioe. Per essere u progressioe geometric è ecessrio e sufficiete che il rpporto fr due termii cosecutivi quluque si costte e vlg q, l rgioe. Si vede fcilmete che ciò è vero per l successioe riportt i quto il rpporto fr due termii cosecutivi è sempre q = 3.. Iserire medi geometrici fr e 86. Dll (7.) otteimo: = = = per cui l progressioe divet:, 6, 8, 5, 6, 86. 86 5 q + 3 3
3. Determire il termie di u progressioe geometric cooscedo = e 5 5 = 00. Questo esercizio si risolve determido prim l rgioe dell progressioe, e poi il termie. Si ottiee: 5 q = = = = = ± 5 00 : 00 5 5 5 Nell ultimo pssggio bbimo ggiuto il sego ± dvti l 5 perché l idice dell rdice,, è pri e quidi si q=+5 che q= 5 possoo essere cosiderte rgioi ccettbili. Le due progressioi soo quidi: q=+5:,,, 0, 00 5 5 q=-5:,,, 0, 00 5 5 e quidi esistoo termii ccettbili: -0 e 0.. Determire l prte x di u segmeto lugo l che si medio proporziole fr il tutto e l prte rimete. Ossi x è l medi geometric fr il tutto e l prte rimete del segmeto. Questo problem clssico, permette di trovre l cosiddett sezioe ure di u segmeto. Di dti del problem si h: l : x = x : ( l x) (7.8) che risolt forisce: x 5 = 0.68 (7.9) l Questo umero è di strordiri importz soprttutto ell rte (rchitettur, scultur, pittur, music) perché esprime i sé u proporzioe rmoic fr le prti. Esso er già be oto i popoli tichi dgli egizii i greci fio tutto il medioevo e l riscimeto. Per ulteriori pprofodimeti leggere l dispes NUMERI. I quest sede voglimo otre come l sezioe ure di u segmeto poss essere determit clcoldo il limite: lim dell successioe di Fibocci: + = + (7.0) = e = I primi termii di quest successioe soo:,, 3, 5, 8, 3,, 3, 55, 89, Fermdoci solo questi, si otterrebbe per l sezioe ure u vlore pprossimto: 5
x 55 0.6797753 l = vicio l vlore estto dto dll (7.9) meo di u prte su 89 0000! Somm dei termii di u progressioe geometric. Procedimo similmete quto bbimo già ftto per le progressioi ritmetiche clcoldo l somm S dei primi termii di u progressioe geometric. Scrivimo: S = + +... + + qs = + +... + + 3 + Fcedo l differez fr l prim e l secod ottegmo: + q S qs = + S = = q q ossi: q S = q (7.) L formul (7.) si può estedere quluque umero si vogli di termii. Risult subito chiro che se q> l somm di u umero eorme di termii di u progressioe geometric o h lcu seso perché il sigolo elemeto dell progressioe tede divetre sempre più grde e quidi tutt l somm diverge, ossi tede ll ifiito. I sitesi si può scrivere che: lim S = (q>). Il discorso è ivece completmete diverso se 0<q< perché i questo cso i termii tedoo divetre sempre più piccoli e l limite tedoo zero, ossi: lim = 0. Cos succede llor ll S? Coverge o diverge? Ad u primo rgiometo superficile verrebbe d dire che, sommdo ifiiti termii tutti di vlore fiito, l somm dovrebbe essere ifiit e quidi lim S = che per 0<q<. Ivece, come si dicev, le cose sto i modo completmete diverso; dll (7.) si vede che q 0 e quidi otteimo: S = (7.) q L somm di u ifiito umero di termii positivi tutti fiiti coverge verso u umero preciso! Adesso che lo bbimo dimostrto rigorosmete cpimo che ciò è rgioevole. Pesimo iftti di sommre le frzioi: + + + +... +... = 0. otteedo pputo 0. Quest è che 0 00 00 0000 6
l somm di u serie geometric di vlore iizile /0 e rgioe /0 che per l (7.) forisce come risultto: 0 0. = + + + +... +... = = =. Così fcedo, simo 0 00 00 0000 0 0 9 9 0 riusciti determire l frzioe geertrice di u umero decimle periodico. Vedimo di ricvrci l regol che bbimo imprto memori ei primi i di scuol: L frzioe geertrice di u umero decimle periodico si ottiee mettedo l umertore il umero privto dell virgol meo il umero formto dll prte iter e dll tiperiodo (se c è) e l deomitore tti 9 qute soo le cifre del periodo e tti zeri qute soo le cifre dell tiperiodo. Esempi.. Frzioe geertrice di u umero periodico semplice. Determire l frzioe geertrice del umero:,53 ossi:,5353535353.. Scrivimo,53 =+ 0,53=+ 53 + + +... 00 0000 000000. L espressioe tr pretesi è u serie geometric di termie iizile /00 e di rgioe /00 per cui 00 per l (7.) si h: = = per cui otteimo: 00 00 99 99 00 53 98 + 53 53,53 = + = = che è proprio l regol eucit. 99 99 99. Frzioe geertrice di u umero periodico composto. Determire l frzioe geertrice del umero:,76 ossi:,76666666666... Scrivimo il umero come,7+ 0, 6 =+ 7 6 +... 0 + + + 00 000 0000. L espressioe tr pretesi è u serie geometric di termie iizile /00 e di rgioe /0 per cui 0 per l (7.) si h: = = per cui otteimo: 00 00 9 90 0 7 90 + 7 9 + 6 00 + 7 0 + 6 ( 0 + 7 ) 76 7, 76 = + + 6 = = = 0 90 90 90 90 che è proprio l regol eucit. Il prdosso dell dicotomi e di Achille e l trtrug. Si rccot che el V secolo.c. il filosofo greco Zeoe di Ele ivetò lcui prdossi che poi divetroo fmosi. Fr questi sicurmete primeggio il prdosso dell dicotomi e di Achille e l trtrug. I u gr cmpestre, Achille deve percorrere l distz di Km. Zeoe, ttrverso u rgiometo sottile, coclude che Achille o rggiugerà mi l fie dell cors. Vedimo come 7
lo rgio. Achille, prim di percorrere il chilometro che lo sepr dl trgurdo deve percorrere mezzo chilometro. Dopo che h percorso il mezzo chilometro, prim di rrivre i fodo, deve percorrere ¼ di Km. ecc. Siccome per ogi trtto che percorre ci mette u tempo fiito (perché ciscu trtto per quto piccolo è sempre fiito) e dto che i trtti soo i umero ifiito il tempo totle è ifiito ed Achille o rggiugerà mi l fie. Il prdosso st el ftto che, ovvimete, Achille tglierà il trgurdo i u tempo dto d s/v dove s=km e v l su velocità (costte) lugo l gr; m llor dove st l errore? All luce di quto detto è fcile dre l rispost. Achille, del chilometro che lo sepr dll met, percorre i trtti:,,,,,... che soo u serie geometric 8 6 3 di termie iizile ½ e di rgioe ½. Se, per semplicità, mmettimo che l su velocità si di Km/miuto, Achille impieg proprio ½ miuto per il primo trtto, ¼ di miuto per il secodo ecc. L somm di quest serie o è ifiit come sosteev Zeoe, pur essedo costituit d u somm ifiit di termii tutti fiiti. Iftti per l solit formul (7.) ess forisce come risultto (miuto)! Quidi si h: = + + + +... = 8 6 = (7.3) E quest l grde scopert dei greci: scrivere come l somm ifiit di poteze di ½. Il secodo e più oto prdosso di tutt l tichità è u vrite del primo. Achille sfid u trtrug i u gr di velocità lugo u percorso di km. L trtrug prte co 00 m. di vtggio rispetto d Achille che come è oto er il più veloce di tutti gli Achei. Nell reltà Achille rggiuge e super co fcilità l let trtrug, m Zeoe, co u rgiometo simile quello precedete, dimostr che ciò o può ccdere. Iftti qudo Achille rggiuge il puto s 0 d cui è prtit l trtrug, ess si srà spostt el puto s ; qudo Achille vrà llor rggiuto il puto s, l trtrug si srà spostt el puto s ecc. I questo modo, che se Achille si vvicierà sempre più ll trtrug, o l rggiugerà mi! Acor u volt simo cduti el trello delle somme ifiite che ituitivmete ci fo pesre d u risultto ifiito. Suppoimo, cor per semplicità, che Achille viggi d u velocità di m/s e che si 0 volte mggiore di quell dell trtrug. Dopo 00 secodi Achille srà ell posizioe s 0 metre l trtrug si srà spostt ell posizioe s =0 m. Dopo ltri 0 s, Achille vrà rggiuto l posizioe s m l trtrug si srà spostt ell posizioe s = m. I solo secodo Achille colmerà questo metro m l trtrug si srà spostt di ltri /0 di m. E chiro che l serie dei tempi di percorrez di Achille co cui bbimo che fre è: 00+0++/0+/00+. che rppreset u serie geometric di termie iizile 00 e rgioe /0. L somm di quest serie (sempre per l (7.)) è, s 8
cioè dopo +/9 s dll prtez Achille vrà rggiuto l trtrug e ll istte successivo l vrà supert. 9
Nome file: Progressioi Directory: C:\Roberto\WEB_scuol\Dispese Modello: C:\WINDOWS\Applictio Dt\Microsoft\Modelli\Norml.dot Titolo: Dispese di mtemtic Oggetto: Autore: Roberto Ftii Prole chive: Commeti: Dt crezioe: //00.07 Numero revisioe: 6 Dt ultimo slvtggio: //00.56 Autore ultimo slvtggio: Roberto Ftii Tempo totle modific5 miuti Dt ultim stmp: //00.57 Come d ultim stmp complet Numero pgie: 9 Numero prole:.987 (circ) Numero crtteri: 7.07 (circ)