Budini, torte, biscotti 7 coppie e un gruppo da tre Tutte le coppie calcolano esattamente i litri di latte necessari per le torte e per i budini. Per i biscotti (2,5 litri di latte al giorno) si hanno i seguenti calcoli e risultati Litri totali per 7 giorni 2,5 x 7 = 17,5 ( 5 coppie) 2,5 x 7 = 21,5 ( 1 coppia) 2,5 x 7 = 175 ( 1 coppia) risultato corretto aggiungendo per 7 volte 2,5 Litri totali per 30 giorni 2,5 x 30 = 75 ( 3 coppie) 2,5 x 30 = 60 + 10 = 70 ( 1 coppia) 2,5 x 30 = 16,0 ( 1 coppia) 2,5 x 30 = 7 500 ( 1 coppia) 2,5 x 30 = 6,0 ( 1 coppia) 1 coppia non ha eseguito il calcolo Litri totali per 365 giorni 2,5 x 365 = 9 125 ( 2 coppie) 2,5 x 365 = 730 + 30 = 760 ( 1 coppia) 2,5 x 365 = 74,5 ( 1 coppia) 16 x 12 = 192 ( 1 coppia) 3 coppie non hanno eseguito il calcolo Una coppia di bambini, Stefan e Davide, somma i litri al giorno di ogni dolce (2 + 2,5 + 3 = 7,5) e poi moltiplica per 7, per 30 e per 365. I risultati sono esatti nelle prime due moltiplicazioni. All inizio della discussione, l insegnante chiede: Quale quantità di latte vi ha messo più in difficoltà? Perché? Michele: Ci hanno messo in difficoltà i 365 giorni dell anno Thomas: A noi il 2,5 perché non era intero Insegnante: Siete d accordo con Michele o con Thomas?. Tutti i bambini confermano di avere avuto più difficoltà nell eseguire i calcoli con il 2,5. L insegnante comunica che in effetti tutti i bambini hanno calcolato esattamente i litri di latte totali per le torte per i budini e vengono compilate le due tabelle fotocopiate. Invece per i biscotti ci sono stati risultati differenti. Così scrive alla lavagna una tabella riassuntiva dei risultati avuti per i litri di latte dei biscotti. 7 giorni 30 giorni 365 giorni 1) 17,5 75 9 125 2) 175 60 + 10 = 70 730 + 30 = 760 3) 17,5 75 non eseguito 4) 21,5 non eseguito non eseguito 5) 17,5 16 192 6) 17,5 6 74.5
7) 17,5 7 500 non eseguito 8) 17,5 75 9 125 non è necessario mettere tutte le strategie, basta mettere le diverse tipologie e di solito i preferiscono non dire di chi sono ma chiedere ai bambini in quale strategia di riconoscono. In questo modo anche quella di Stefan e Davide doveva essere scritta alla lavagna come tipologia differente, così il loro lavoro risulta sminuito. L ateblal riasuntiva non fa vvedre i calcoli fatti che invece dovevano essere oggetto di discussione perché lì c era l ostacolo!. Nella tabella non compare il calcolo di Stefan e Davide. L insegnante lo comunica e chiede ai bambini: Voi due come avete ragionato per eseguire i calcoli? Davide: Abbiamo prima messo insieme tutti i litri usati per fare i budini, le torte e i biscotti in un giorno, poi abbiamo moltiplicato il risultato per 7, 30, 365. Insegnante: Bene avete usato un altra strategia. Comunque dato che la maggioranza ha calcolato i litri di latte separatamente, li considereremo in questo modo. Dopo controlleremo anche i vostri calcoli. Insegnante: Consideriamo adesso i calcoli con il 2,5. Come avete proceduto Marco e Lorenzo (numero1)? Lorenzo: Per i 2 e i 3 litri abbiamo sempre fatto la moltiplicazione. Invece per il 2,5, lo abbiamo aumentato sempre: 2,5 + 2,5 + 2,5..per 7 volte e abbiamo ottenuto 17,5. Volevamo provare anche per il mese e l anno, ma è diventato più difficile. Qui bisognava far spiegare ed eventualmente far scrivere i calcoli fatti alla lavagna per discutere tutti insieme sulla modalità da seguire Insegnante: Infatti ho visto che poi avete provato a fare le moltiplicazioni in colonna. Alcuni di voi, anche se non l ho trovato scritto, ha provato a fare come loro, cioè sommare il 2,5, almeno per la settimana?. Quasi tutte le coppie affermano di averlo fatto a mente per controllare se la moltiplicazione era giusta. Insegnante: E voi Giulio e Greta (numero2)? Cosa significano 60 + 10 e 730 + 30?
Giulio: Abbiamo moltiplicato la parte intera per 30 e per 365, poi il virgola 5 l abbiamo considerato come uno e poi abbiamo trovato la metà la metà di che cosa? Insegnante: Il procedimento è giusto, ma avete sbagliato i calcoli. Non è vero che hanno sbagliato i calcoli, hanno sbagliato qualcos altro secondo me. 2 x 7 = 14 1x7 = 7 la metà 3,5 14 + 3,5 = 17,5 invece loro hanno fatto 14 + 1 quell 1 da dove esce? È la metà di che cosa? Del 2? 2 x 30 = 60 1 x 30 = 30 la metà 15 60 + 15 = 75 invece loro scrivono 60 + 10 quel 10 è la metà di che cosa? Del 20 cioè il 2 con uno 0? 2 x 365 = 730 1 x 365 = 365 la metà 182,5 730 + 182.5 = 912,5 invece loro scrivono 730 + 30 quel 30 è la metà di che cosa? Alla lavagna viene rispiegato a tutti i bambini il ragionamento seguito dai due compagni vorrei capirlo anch io! e insieme si rifanno i calcoli. Sono come i miei di sopra? Insegnante: Voi, Stefano e Francesco (numero 5)? Stefano: Per una settimana abbiamo moltiplicato 2,5 x 7, invece per un mese, siccome non sapevamo fare la moltiplicazione, abbiamo ripetuto il 2,5 per 30 volte Insegnante: Siete sicuri di avere aggiunto sempre 2,5 per 30 volte dato che il risultato a cui siete arrivati è 16? Stefano: No, è troppo piccolo! e allora? È stato rifatto? Era interessante trovare delle strategie per accorciare ad esempio fare 2,5 per 10 volte e vedere che faceva 25 Insegnante: Invece per l anno come avete fatto? Attenzione perché solo loro hanno fatto in questo modo Stefano: Abbiamo ripetuto i litri del mese per 12 mesi, per non usare il 365 e ci è venuto 192 Insegnante: Questo è un altro modo per pensare l anno, vederlo formato da 12 mesi, però attenzione che non tutti i mesi hanno 30 giorni. Dopo verificheremo se il risultato è corretto perché non subito? Siccome l insegnate vuole passare in rassegna tutti ha fretta, se alla lavagna c erano solo 3 o 4 strategie diverse si poteva puntare di più sul capire gli errori e trovare le consonanze e le dissonanze fra le diverse strategie Insegnante: Federico e Alessandro (numero 4), avete solo calcolato il latte per una settimana e il vostro risultato è diverso da tutti gli altri, come avete fatto? 2/5 di 7 farebbe 7:5 = 1,4 1,4 x 2 = 2,8 come hanno trovato 21,5? Federico: Abbiamo fatto 2,5 come se fosse due quinti. (Da poco i bambini hanno imparato a calcolare la frazione di un numero) evidentemente non hanno ancora integrato il significato di frazione con quello di numero decimale perché se pensano che 2,5 e 2/5
siano la stessa cosa è un po un guaio, comunque non è giusto nemmeno questo calcolo perché non sanno fare la divisione con la virgola (immagino) I compagni in coro affermano che 2,5 non è due quinti che invece significa 2 diviso 5. ma 2 diviso 5 è ancora una cosa diversa da 2/5 operatore su una quantità Tutte le altre coppie affermano di essere arrivati ai vari risultati provando a fare le moltiplicazioni in colonna. A questo punto, l insegnante dice ai bambini che bisogna verificare quali sono i risultati giusti, così vengono fatte le moltiplicazioni con la calcolatrice e si completa la tabella, appendendola insieme alle tabelle degli altri dolci. 2 x 7 = 14 2,5 x 7 = 17,5 3 x 7 = 21 2 x 30 = 60 2,5 x 30 = 75 3 x 30 = 90 2 x 365 = 730 2,5 x 365 = 912,5 3 x 365 = 1095 I bambini osservano che tanti hanno trovato il risultato giusto per i litri di latte dei biscotti in una settimana, mentre ci sono più errori in quelli di un mese e di un anno; Giulio fa notare che in qualche caso le cifre sono giuste, ma è sbagliata la virgola. Come mai? Insegnante: Cosa osservate guardando i risultati dei tre dolci? (Le tabelle sono appese una accanto all altra, partendo da quella dei 2 litri) Eduardo: I litri di latte dei biscotti finiscono tutti con il 5 Giulio: 2,5 è a metà tra 2 e 3 Insegnante: E i risultati della settimana, del mese e dell anno? Giulio: Anche loro sono a metà! ottimo, da verificare sulla retta dei numeri almeno per il primo valore 17,5 vedendo che la distanza da 14 e da 21 è la stessa, per il secondo si fa a mente per il terzo si deve fare qualche calcolo Insegnante: Come mai avete sbagliato in tanti i calcoli con il 2,5 e non quelli con il 2 e il 3? Martina: Perché non ci hai insegnato le moltiplicazioni con i numeri decimali Federico: Alcuni però hanno sbagliato proprio il calcolo, non c entra la virgola Insegnante: Avete ragione tutti e due. Vogliamo provare a vedere qualche moltiplicazione di chi ha provato a farle in colonna? L insegnante copia alla lavagna tre moltiplicazioni in colonna trovate sui fogli dei bambini e precisamente 2,5 x 7 = 17,5 2,5 x 7,0 = 175,0 2,5 x 365,0 = 9 125,0 (Si precisa che da poco gli alunni hanno imparato a eseguire le addizioni e le sottrazioni con i numeri decimali e quando incolonnano pareggiano sempre le cifre decimali con gli zeri). Ovviamente questa strategia influisce e loro pensano di doverlo sempre fare, bisognerebbe evitare queste strategie slegate da un significato, l ho fatto anch io qualche volta ma poi non l ho più fatto perché poi si fatica ancora di più a far capire che nella moltiplicazione lo zero non serve Insegnante: La prima moltiplicazione è esatta, le altre due no. Avete qualche osservazione da fare? Lorenzo: Si può mettere anche il numero intero sotto le cifre decimali e il risultato viene giusto Eduardo: Non bisogna pareggiare con lo zero, perché poi fa venire il risultato sbagliato Melissa: Noi abbiamo messo la virgola nello stesso posto dei numeri e ci è venuta giusta. Insegnante: Facendo così, sono venute esatte anche le altre due moltiplicazioni? Tutti affermano di no. Stefano: Forse bisogna mettere la virgola nello stesso posto dei numeri e poi spostarsi di un posto a sinistra (Stefano ha notato infatti che facendo così verrebbero giuste le due moltiplicazioni sbagliate)
Insegnante: La tua regola non è esatta perché non va bene per la prima moltiplicazione (2,5 x 7 = 17,5) che viene già giusta senza spostarsi di un posto a sinistra. Provate a osservare le cifre decimali dei fattori Federico: Si mette la virgola nello stesso posto dei numeri solo se c è una cifra sola Insegnante: Una cifra di che tipo? Eduardo: Una cifra decimale. Nelle altre due moltiplicazioni ci sono due cifre decimali Michele: Dove è sbagliato, ce ne sono due! E se metto la virgola dopo due posti, il risultato viene giusto! Giulio: Quindi c entrano quante cifre decimali ci sono nei due numeri per mettere la virgola nel risultato Insegnante: Allora, cosa avete imparato a proposito delle moltiplicazioni in colonna con i numeri decimali? Giulio: Per fare le moltiplicazioni in colonna con i numeri decimali, non dobbiamo fare come nelle addizioni e sottrazioni, cioè incolonnare i numeri interi sotto la parte intera e poi la virgola nel risultato non va messa nello stesso posto ma perché succede tutto ciò? C è un significato dietro o è solo una regola per farle venire giuste come dice la calcolatrice? Non devono appoggiare le loro certezze sul calcolo ma sul significato dei numeri. A questo punto si riassumono quali potrebbero essere le regole per eseguire le moltiplicazioni in colonna con i numeri decimali Mi sembra che ci sia stata troppa enfasi sulle regole per calcolare e si sia perso di vista il significato. Farei un po di travasi di litri di acqua per recuperare almeno fino a 10 volte il 2,5 che fa 25 litri e poi da lì si capiscono gli altri, aggancerei anche cn l addiiozne che aiuta i più deboli a capire