ESEMPI Risolvere i seguenti problemi 1. Una ditta deve effettuare delle spedizioni di un certo tipo di merce. Ha la possibilità di scegliere una o l altra delle due tariffe seguenti: a) 2.500 lire al quintale più una quota fissa di 100.000 lire; b) 1.800 lire al quintale più una quota fissa di 150.000 lire. Quale tariffa è più conveniente? Si indica con x il numero di quintali di merce da spedire e con il costo corrispondente. Per la tariffa a) si ha la seguente funzione di costo: (1) = 2.500 x + 100.000 Per la tariffa b) si ha, invece: (2) = 1.800 x + 150.000. La (1) e la (2) rappresentano il modello matematico della spesa che bisogna sostenere per qualunque quantitativo di merce. La (1) e la (2) sono due rette. Le ascisse rappresentano il peso e le ordinate, la corrispondente spesa. Si rappresentano graficamente qui a fianco le due Fig. 1 funzioni. Le due rette si intersecano nel punto A(80; 300.000). (1) Le coordinate si ottengono, risolvendo il sistema: 300.000 150.000 100.000 (2) A 0 80 x Dal grafico si nota che: La funzione della spesa può essere rappresentata nel modo seguente: = 2.500x + 100.00 = 1.800x + 150.000 per 0<x <80 le ordinate della (1) sono minori di quelle della (2); per x >80, invece, le ordinate della (2) sono minori di quelle della (1). 1
2.500x + 100.000 per 0 x 80 = 1.800x + 150.000 per x > 80 Il grafico della spesa è rappresentato dai tratti in rosso. La scelta della tariffa più conveniente può essere fatta, osservando attentamente il grafico. Si ha: per 0 x <80 è più conveniente la tariffa a); per x >80 è più conveniente la tariffa b); per x =80 la scelta è indifferente. Quindi, se si deve spedire un quantitativo di peso inferiore a 80 quintali, è da preferire la tariffa a); per un quantitativo di peso superiore a 80 quintali, invece, è da preferire la tariffa b); se si spediscono esattamente 80 quintali è indifferente la scelta. 2. Un utente può scegliere fra tre tariffe di luce elettrica: a) 150 lire al KWh (chilovattora) con un diritto fisso di 8.000 lire al trimestre; b) 100 lire al KWh con diritto fisso di 13.000 lire; c) 250 lire al KWh senza alcun diritto fisso. Qual è la tariffa più conveniente? Si indicano con x il numero di KWh che si possono consumare in un trimestre e con la corrispondente spesa che bisogna sostenere. Si trovano le seguenti funzioni: = 150 x + 8.000 tariffa a) = 100 x + 13.000 tariffa b) = 250 x tariffa c). Nella figura seguente sono rappresentate le tre funzioni. 23.000 20.000 13.000 8.000 Fig. 2 b a 0 80 100 x c La prima e la terza si incontrano nel punto (80; 20.000). La prima e la seconda, invece, si incontrano nel punto (100; 23.000). Dal grafico si trae che: per un consumo inferiore a 80 KWh la c) è la tariffa più conveniente; per un consumo compreso fra 80 e 100 KWh la tariffa più conveniente è la a); per un consumo superiore a 100 KWh la tariffa da preferire è la b). per un consumo di 80 KWh esatti la scelta è indifferente fra la c) e la a); per un consumo di 100 KWh esatti la scelta è indifferente tra la a) e la c). 2
3. Una nave può effettuare un carico con due tipi di merce A e B. Il prezzo del trasporto è di 20.000 lire ogni tonnellata di merce A è di 30.000 lire per ogni tonnellata di merce B. Si sa che ogni tonnellata di merce A occupa un volume di 1 metro cubo, mentre ogni tonnellata di merce B occupa 1,5 metri cubi. La nave può trasportare un peso massimo di 5.000 tonnellate e un volume massimo di 6.000 metri cubi. Come bisogna distribuire il carico per realizzare il massimo guadagno? Indicando con x il numero di tonnellate di merce A, con quello di merce B e con z il guadagno, si ha la seguente funzione: z = 20.000 x + 30.000 (1) x e si dicono variabili d azione e la (1) si chiama funzione obiettivo. Il problema consiste nel determinare i valori di x e che rendono massima la funzione obiettivo, che rappresenta il guadagno. Le variabili x e possono assumere soltanto valori compatibili con le condizioni seguenti: + 5.000 x + 1,5 6.000 (2) Le condizioni (2) costituiscono i vincoli del problema. La prima delle (2) dice che la somma dei pesi dev essere minore o uguale a 5.000 tonnellate, che è la massima portata della nave. La seconda condizione afferma che la somma dei volumi occupati dai due quantitativi di merce dev essere minore o uguale alla massima portata volumetrica che è di 6.000 metri cubi. Inoltre, le variabili d azione non devono essere negative. La scelta dei quantitativi di merce dei due tipi dev essere compatibile con i vincoli espressi dalle (2). Si possono rappresentare graficamente le relazioni (2). Dall intersezione dei due semipiani rappresentati dalle prime due relazioni bisogna considerare soltanto la parte compresa nel primo quadrante, tenuto conto del segno delle due variabili. Il grafico della (2) rappresenta il campo di scelta del problema. Si possono rappresentare graficamente le relazioni (2). Dall intersezione dei due semipiani rappresentati dalle prime due 5.000 relazioni bisogna considerare soltanto la parte compresa nel primo quadrante, tenuto conto del C 4.000 segno delle due variabili. Il grafico della (2) rappresenta il campo di scelta del problema. Il campo di scelta è rappresentato dal poligono 2.000 L OMLC. La scelta dei valori delle due variabili è lecita se il punto corrispondente è interno al campo di scelta. Per ogni coppia di valori x,, la funzione obiettivo assume un certo valore. Il M massimo valore della funzione obiettivo si avrà 0 3.000 5.000 6.000 x in corrispondenza della scelta espressa dalle coordinate di uno dei vertici del poligono fig. 3 OMLC. Per determinare le coordinate dei vertici del poligono OMLC si risolvono i seguenti sistemi: 3
+ = 5.000 = 5.000 M + = 5.000 = 3.000 L + 1,5 = 6.000 = 2.000 C + 1,5 = 6.000 = 4.000 ( 5.000; 0) ( 3.000; 2.000) ( 0; 4.000) Si calcolano ora i valori della funzione obiettivo in tali vertici: Si ottiene: In 0(0; 0) z = 20.000 0 + 30.000 0=0; In M(5.000; 0) z = 20.000 5.000 + 30.000 0 = 100.000.000 ; In L(3.000; 2.000) z = 20.000 3.000 + 30.000 2.000 = 120.000.000 ; In C(0; 4.000) z = 20.000 0 + 30.000 4.000 = 120.000.000. Si può realizzare il massimo guadagno caricando la nave con 3.000 tonnellate di merce A e 2.000 tonnellate di merce B oppure caricando soltanto 4.000 tonnellate di merce B. In entrambi i casi, il guadagno è di 120 milioni. Tuttavia, la scelta migliore è la seconda: così la nave sfrutta al massimo la sua capienza volumetrica con un carico inferiore come peso a quello della sua portata, che è di 5.000 tonnellate. La nave, essendo più leggera, consumerà meno carburante. La funzione obiettivo è massima nei punti L(3.000; 2.000) e C(0; 4.000). Il massimo della funzione obiettivo è di 120 milioni. Con due alimenti P e Q si vuole costituire un preparato dietetico che abbia almeno 2.000 calorie e almeno 5.000 unità di vitamina C. Si sa che un kg di alimento P ha 1.500 calorie, 2.000 unità di vitamina C e costa 800 lire; un kg 4. di alimento Q, invece, contiene 1.000 calorie, 4.000 unità di vitamina C e costa 600 lire. Come dev essere costituita la dieta in modo che si abbia il minimo costo? I dati del problema vengono riassunti nella seguente tabella. P Q Calorie per kg 1.500 1.000 Vitamina per kg 2.000 4.000 Prezzo per kg 800 600 Si indica con x il numero di kg di alimento P e con quello di alimento Q che si devono utilizzare per costituire la dieta con le caratteristiche prescritte. Se si indica con z il costo, si ha la seguente funzione obiettivo: z = 800 x +600. I vincoli del problema sono: 1.500x + 1.000 2.000 3x + 2 4 2.000x + 4.000 5.000 2x + 4 5 Per determinare il campo di scelta i vincoli vengono rappresentati in un piano cartesiano. Il campo di scelta è infinito e rappresentato dalla parte di piano del primo quadrante delimitata dalla 4
poligonale aperta di vertici L(2,5; 0), R(0,75; 0,875), e S(0; 2). 2 S 0,875 R L 0 0,75 2,5 Fig. 4 x Le coordinate dei punti R, L, S si ottengono risolvendo rispettivamente i sistemi: 3 x 3x 2 4 = + = 4 R( 0,75; 0,875) 2x + 4 = 5 7 = 8 5 2x + 4 = 5 x = = 2,5 2 L 3x + 2 = 4 S = 2 ( 0; 2). ( 2,5; 0) Si calcola ora il valore della funzione obiettivo nei vertici della poligonale: In L(2,5; 0), si ha: In R(0,75; 0,875), si ha: In S(0; 2), si ha: z = 800 2,5 + 600 0 = 2.000 lire; z = 800 0,75 + 600 0,875 = 1.037,5 lire; z = 800 0 + 600 2= 1.200 lire. Il costo minimo del preparato dietetico si ottiene mescolando 0,75kg di alimento P con 0,875kg di alimento Q. In altri termini, utilizzando 750 grammi di alimento P e 875 grammi di alimento Q, si ottiene il preparato dietetico prescritto al prezzo di 1.037,5 lire. Come si è visto, problemi di natura completamente diversa si possono risolvere mediante lo stesso modello matematico. Un problema di scelta si dice di programmazione lineare se la funzione obiettivo è di primo grado, come nei casi trattati. 5