PREVISIONE DEL TIPO DI NUMERO DECIMALE GENERATO DA UNA FRAZIONE di Luciano Porta Lo studio dei numeri decimali, se non si limita all utilizzo non ragionato di formule, ci può condurre molto lontano e ci permette di capire meglio i numeri interi. Il percorso inizia con la giustificazione del concetto di frazione come quoziente tra due numeri, prosegue con l esame dei resti e dei quozienti di alcune divisioni, e arriva a una previsione ragionata del tipo di decimale generato dividendo numeratore per denominatore. Infine saranno svolte alcune considerazioni finali sulla classificazione dei numeri decimali generati dalla divisione tra due numeri. Giustifichiamo il concetto di frazione come quoziente tra numeratore e denominatore: es. 2:3 = 2/3 perché 2:3 = (1+1):3 = 1:3+1:3 = 1/3+1/3 = 2/3 es. 3:4 = 3/4 perché 3:4 = (1+1+1):4 = 1:4+1:4+1:4 = 1/4+1/4+1/4 = 3/4 Esaminiamo resti e quozienti di alcune divisione: Notiamo che, ovviamente tranne nella divisione (1), dividendo e divisore sono numeri primi tra di loro. Infatti a noi interessa più che il quoziente tra due numeri specifici il loro rapporto (proprietà invariantiva della divisione e delle frazioni). Osserviamo che se nella divisione (1), sbagliando, avessimo ottenuto come quoziente 96 avremmo avuto come resto 13. Notiamo che nelle divisioni (2) (3) (4) le cifre dopo la virgola del quoziente dipendono dai resti ottenuti ogni volta nella sottrazione: se i resti non si ripetono non si ripetono neppure le cifre del quoziente. Osserviamo nelle divisioni (3) e (4) che quando si ripetono i resti comincia la ripetizione delle cifre del periodo. Domandiamoci: quanti sono i resti possibili? Ma per quale motivo nella divisione (4) tra virgola e periodo c è una cifra che non ripete? 1
Poniamoci una domanda: nella divisione (2) si poteva prevedere il numero di cifre dopo la virgola? Poniamoci un altra domanda: di quante cifre può, data una divisione, essere la lunghezza massima del periodo e di quante cifre deve essere l antiperiodo? Cominciamo a dare delle risposte che si riferiscono a una divisione del tipo (3), in cui cioè dividendo e divisore sono primi tra di loro e il divisore non contiene come fattori il 2 o il 5 o entrambi: il gruppo di cifre del periodo deve essere inferiore di almeno una unità alle cifre del divisore poiché il resto deve variare da 1 a un numero inferiore rispetto al divisore di una unità: ad es. se il divisore è 13, il periodo al massimo avrà 12 cifre, se il divisore è 23, il periodo al massimo avrà 22 cifre Consideriamo infine una divisione del tipo (4), in cui cioè dividendo e divisore sono primi tra di loro e il divisore contiene come fattori il 2 o il 5 o entrambi: il 2 e il 5 contribuiscono a determinare l antiperiodo nello stesso modo in cui gli altri fattori primi determinano il periodo? Potremo dare una risposta al termine di questo percorso. Costruiamo la regola di previsione: 1) Esaminiamo le frazioni decimali (anche non irriducibili, col denominatore = 10, 100, 1000 ). Sapendo che la divisione equivale a una frazione, se il denominatore è una potenza di dieci, è ovvio che le frazioni decimali generino numeri decimali limitati (o finiti): 23/10 = 2,3; 346/100 = 3,46; 345/1000 = 0,345 Notiamo che 10 = 2 1 *5 1 ; 100 = 2 2 *5 2 ; 1000 = 2 3 *5 3 Possiamo però ottenere numeri decimali limitati anche da frazioni non decimali (anche non irriducibili), ma che possano dare origine a frazioni decimali equivalenti ad esse. Consideriamo cioè frazioni in cui il denominatore, scomposto in fattori primi, presenti come fattori solo il 2 (o sue potenze), il 5 (o sue potenze), prodotti di potenze di 2 e di potenze di 5. Applicando la proprietà invariantiva delle frazioni possiamo moltiplicare il denominatore per le opportune potenze di due e di 5 per ottenere una frazione decimale con denominatore 10, 100, 1000 e così via. Naturalmente affinché la frazione così ottenuta sia equivalente a quella data dobbiamo moltiplicare anche il numeratore per quel numero: Osserviamo che, se la frazione è irriducibile, le cifre dopo la virgola sono tante quante le unità dell esponente maggiore tra la potenza di 2 e di 5 presenti (si tiene conto o solo del 2 o solo del 5 e non di entrambe). Riassumendo: se i fattori primi in cui il denominatore di una frazione data è stato scomposto sono solo 2, 5, potenze di 2 e di 5 anche moltiplicate tra di loro, poiché possiamo sempre 2
trasformare la frazione data in una frazione decimale equivalente, essa genererà numeri decimali limitati. Osserviamo che i fattori 2 e 5 sono i fattori della base 10 da noi usata. ---------------------------- 2) Esaminiamo ora invece una frazione, ridotta ai minimi termini, il cui denominatore fattorizzato non contenga il fattore 2, il fattore 5, loro potenze o prodotti delle loro potenze: In nessun caso con questi fattori al denominatore potremo, applicando la proprietà invariantiva, ottenere al denominatore 10, 100, 1000, poiché queste potenze di 10 sono divisibili solo per potenze di 2 e di 5. Quindi non otterremo mai un numero decimale limitato. Queste divisioni avranno un resto, potremo avere tanti valori diversi di resto quanto la differenza tra il divisore e 1; quando si ripete il resto si ripetono le cifra del periodo (che al massimo ha un numero di cifre uguale alla differenza tra il divisore e 1). Le frazioni date devono essere irriducibili. Es. /13 (il resto può variare da 1 a 12 e le cifre del periodo sono al massimo 12; es. /17 (il resto può variare da 1 a 16 e le cifre del periodo sono al massimo 16) Riassumendo: Se in una frazione ridotta ai minimi termini tra i fattori primi in cui il denominatore è stato scomposto non vi è né il 2, né il 5, né loro potenze o prodotti di loro potenze viene generato un numero decimale illimitato periodico semplice. ---------------------------------- 3) Esaminiamo infine una frazione, ridotta ai minimi termini, il cui denominatore termini con 0, 00, 000 e che contenga però anche fattori che non siano il 2 o il 5. Essa può essere scritta come prodotto di una frazione trattata al punto 2) per una frazione decimale con numeratore 1: Da frazioni di questo tipo si generano numeri decimali illimitati periodici misti. Ma si possono generare numeri decimali illimitati periodici misti anche da frazioni irriducibili il cui denominatore non termina con 0, 00, 000, ma che contengono come fattori 2 (o sue potenze), 5 (o sue potenze) o prodotti di potenze di 2 per potenze di 5 e anche fattori che non sono il 2 o il 5. 3
Infatti possiamo scrivere queste frazioni come prodotto di una frazione del tipo di quelle trattate al punto 2) e di una frazione con numeratore 1 e con denominatore uguale al prodotto delle potenze di 2 e/o di 5 presenti nella frazione originale. Mentre la prima frazione genera un numero decimale illimitato periodico semplice, la seconda è una frazione decimale che moltiplicata per la prima genera un antiperiodo formato da tante cifre quante sono le unità dell esponente maggiore tra il fattore 2 e/o quello 5 presenti (anche se sono presenti entrambi si considera solo l esponente del 2 o del 5 maggiore). Le cifre del periodo sono, al massimo, tante quante le unità del quoziente, diminuito di 1, tra il divisore e il prodotto delle potenze di 2 e 5 presenti nel divisore. Esponiamo ora sinteticamente il metodo di previsione e la sua utilità: Ricordiamo che data una frazione, per ottenere il numero decimale corrispondente, dobbiamo dividere il numeratore per il denominatore (non importa se la frazione è ridotta o meno ai minimi termini). Spesso però le cifre del periodo sono così numerose che non possiamo evidenziarle tutte. Da ciò emerge l importanza di prevedere il tipo di numero decimale senza eseguire la divisione. Possiamo suddividere il metodo in alcuni punti: 1) si deve, se non è già ridotta, ridurre la frazione ai minimi termini (altrimenti la previsione spesso viene falsata); 2) si deve fattorizzare il denominatore; 3) si esaminano i fattori primi del denominatore: - se sono presenti come fattori solo il 2 e/o il 5 o potenze di 2 e 5 è generato un numero decimale limitato o finito; - se non vi è né il 2, né il 5, è generato un numero decimale illimitato periodico semplice; - se oltre al 2 e/o al 5 sono presenti anche altri fattori viene generato un numero decimale illimitato periodico misto. 4
Considerazioni finali sui numeri con la virgola: Queste ultime riflessioni porranno la solita classificazione dei numeri decimali, chiamati ora deliberatamente numeri con la virgola (la parola decimale si riferisce in modo appropriato a tutti i numeri scritti in base 10 interi o no), in una luce diversa dal solito. Consideriamo ad esempio la corrispondenza dei numeri scritti in base 10 e in base 3: BASE 10 0 1 2 3 4 BASE 3 0 1 2 10 11 Eseguiamo alcune divisioni con i numeri corrispondenti: Osserviamo che la distinzione tra numeri con la virgola limitati e numeri con la virgola illimitati periodici dipende solo dalla base scelta nel sistema di numerazione. L unica vera distinzione rimane tra numeri razionali e numeri irrazionali (numeri con la virgola illimitati non periodici). Ed ora facciamo un ultima riflessione: Spesso dimentichiamo che lo 0 è un numero come tutti gli altri. www.webalice.it/lucianoporta i Pitagorici DIDATTICA E DIVULGAZIONE DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE LEZIONI QUATTRO 5