Nuovi Scenari per la Matematica

Costruire la sezione aurea di un segmento Nuovi Scenari per la Matematica Salerno 28-30 agosto 2012

FINALITÀ Riorganizzare la didattica della matematica in funzione dei risultati di apprendimento da perseguire e da raggiungere L argomento è stato affrontato dai gruppi di lavoro nel corso dei Seminari di Torino e di Bari. Entrambi i gruppi, lavorando in modo autonomo e indipendente uno dall altro, sono giunti alle stesse conclusioni, seguendo un percorso articolato in diverse fasi.

COSTRUIRE LA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO Bari Torino: 2 lavoro di gruppo Revisione a cura di : Patrizia Gioffreda e Tania Graziosi

IMPOSTAZIONE Un ragazzo è stimolato ad apprendere se coinvolto emotivamente. Uno scienziato nel suo laboratorio non è soltanto un tecnico, è anche un fanciullo posto di fronte a fenomeni naturali che lo impressionano come un racconto di fate (Marie Curie) Partire da un esempio preso dalla realtà come le tessere di uso comune (tessera dello studente, sanitaria, codice fiscale, postepay, figc, etc.) e misurare il rapporto tra la dimensione maggiore e quella minore.

PREREQUISITI Costruzioni con riga e compasso (punto medio, perpendicolare ad una retta condotta per un suo punto,quadrato). Proporzioni. Teorema di Pitagora. Circonferenza. Numeri irrazionali. Equazioni di secondo grado

Collegamenti con alcuni dei risultati proposti nella lista: la divisione di un segmento in n parti proporzionali la radice di 2 è un numero irrazionale fattorizzare un trinomio di 2 grado dimostrare il teorema di Pitagora a : approssimazione numerica e costruzione geometrica

Organizzazione di un percorso e sua collocazione nella progettazione didattica complessiva L'argomento viene collocato nella progettazione didattica della seconda classe all interno di una unità di apprendimento che coinvolga altre discipline (scienze, italiano e, dove presenti, disegno, storia dell arte, musica, filosofia, informatica) per il raggiungimento della competenza "Confrontare ed analizzare figure geometriche individuando invarianti e relazioni" e in riferimento all'abilità di "eseguire costruzioni geometriche elementari utilizzando riga e compasso o strumenti informatici" (linee guida biennio).

ATTIVITÀ 1 Osservazione di una serie di rettangoli in oggetti (tessere) e immagini tratte dall arte

ATTIVITÀ 2 Calcolo del rapporto delle dimensioni dei rettangoli e scoperta del numero φ Prendete la carta dello studente o una qualsiasi tessera simile. Ora misurate il lato maggiore e quello minore e fate il rapporto, scoprirete che per tutti i tipi di tessere il numero ottenuto è sempre costante e corrisponde a 1,618 I rettangoli che hanno questa proprietà si chiamano rettangoli aurei. Ma perché è stata utilizzata questa proporzione sempre costante in questi rettangoli? La risposta come vedremo sta nel rapporto aureo. Tale rapporto, sin dall antichità, è stato considerato universalmente come la giusta proporzione affinché due elementi appaiano armoniosi all occhio umano. Il valore numerico che abbiamo riscontrato nei rapporti delle dimensioni delle tessere, viene chiamato numero d oro e indicato con la lettera greca φ (phi). In matematica questo valore veniva indicato fino al XX secolo con la lettera greca Ί (tau), ma fu il matematico Mark Barr a introdurre l'uso, oggi consolidato, della φ (phi), dall'iniziale dello scultore greco Fidia (in greco Φειδίας), il quale avrebbe usato il rapporto aureo nel Partenone.

ATTIVITÀ 3 Esempi di costruzione geometrica da effettuare con riga e compasso e/o con software a)rettangolo aureo b)sezione aurea del segmento e la matematica per interpretare il bello (dall armonia dei rettangoli alla codificazione in linguaggio matematico) prima costruzione legame con φ e il suo reciproco riflessione seconda costruzione riflessione costruzione con GeoGebra c) costruzione attraverso la piegatura di un foglio (Math 2012) d)la spirale logaritmica

ATTIVITÀ 3: il rettangolo aureo 1) Costruire il quadrato ADFE che ha come lato la dimensione minore di un oggetto rettangolare di uso comune tra gli studenti 2) Determinare il punto medio A del segmento DF. 3) Con centro in A e apertura di compasso uguale ad A E individuare sul prolungamento di DF il punto C. 4) Determinare sulla perpendicolare per C a DC il punto B tale che BC sia congruente ad AD. 5) Calcolare il rapporto tra le misure di AB e BC. 6) Il numero ottenuto si avvicina a 1,618 (il numero d oro). Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo

ATTIVITÀ 3: sezione aurea del segmento Fin dall antichità si è interessati al problema di dividere un dato segmento in due parti, tali che la maggiore sia media proporzionale tra l intero segmento e la parte rimanente. Proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide. Dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l intero segmento e la parte rimanente sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore Considerato un segmento AB e un suo punto interno C, il segmento AC è la sezione aurea di AB se e solo se: AB : AC = AC : CB Definizione: si dice sezione aurea di un segmento la parte del segmento media proporzionale tra l intero segmento e la parte rimanente È possibile costruire la sezione aurea con riga e compasso? La risposta è affermativa. Vediamone alcuni esempi

ATTIVITÀ 3: prima costruzione 1) Dall estremo B di un segmento AB si traccia la retta r perpendicolare alla retta AB 2) Si determina il punto medio M di AB 3) Con centro in B si traccia la circonferenza passante per M e si indica con P uno dei suoi due punti di intersezione con la retta r 4) Con centro in P, si traccia la circonferenza passante per B e si indica con Q il suo punto di intersezione con il segmento AP 5) Con centro in A si tracci la circonferenza che passa per Q e si indica con C il suo punto di intersezione con il segmento AB AC è la sezione aurea di AB

ATTIVITÀ 3: prima costruzione giustificazione algebrica: legame con φ segue

giustificazione algebrica: legame con φ

ATTIVITÀ 3: riflessioni prima costruzione 1) Si è costruito un triangolo rettangolo APB in cui il cateto PB è la metà del cateto AB AC è la sezione aurea di AB 2) Sull ipotenusa AP si è ottenuto un segmento AQ dato dalla differenza tra l ipotenusa del triangolo costruito e il cateto PB 3) Si è riportato sul cateto AB un segmento AC congruente ad AQ segue

ATTIVITÀ 3: riflessioni prima costruzione

ATTIVITÀ 3: seconda costruzione Capovolgendo il problema e cioè volendo trovare quel segmento di cui la lunghezza AB sia la sezione aurea, si può procedere diversamente, utilizzando di fondo lo stesso metodo attraverso cui si ottiene un rettangolo aureo. Dato un segmento AB 1) si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari ad AB; 2) si trova il punto medio C del segmento AB 3) con apertura pari CD (ipotenusa del triangolo CBD) si riporta la lunghezza sul prolungamento di AB, trovando così BE AE è il segmento cercato, di cui AB è la sezione aurea

ATTIVITÀ 3: riflessioni seconda costruzione Riprendiamo la costruzione 2 Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento AB valore unitario, cioè 1 DC, per il teorema di Pitagora, vale: sommando si ricava: che è il numero aureo.

ATTIVITÀ 3: costruzione attraverso la piegatura di un foglio (Math 2012)

ATTIVITÀ 3: la spirale logaritmica Se partiamo da un rettangolo aureo e costruiamo sul lato minore un quadrato interno al rettangolo, quello che rimane è ancora un rettangolo aureo. L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano sempre rettangoli aurei. Tracciando in ogni quadrato un quarto di circonferenza, com'è indicato in figura, otteniamo una spirale logaritmica, nota come la "spirale d'oro". segue

ATTIVITÀ 3: la spirale logaritmica La spirale logaritmica, che si ritrova sovente in natura, è l'unico tipo di spirale che, allungandosi, mantiene sempre la stessa forma. Lo sviluppo armonico della forma è legato alla necessità degli esseri viventi di accrescere "secondo natura" in maniera ottimale e meno dispendiosa possibile. L accrescimento avviene in modo che l oggetto si mantenga simile a se stesso e questa proprietà è collegata al numero d oro, infatti solo in un rettangolo aureo, ritagliando il quadrato interno al rettangolo e costruito sul lato minore, si ottiene un rettangolo simile a quello originale. Per esempio, le conchiglie di alcuni molluschi (come il Nautilus), hanno proprio la forma della spirale logaritmica, forma che non cambia quando la conchiglia cresce. La loro conchiglia, sezionata, ha come contorno una spirale aurea.

ATTIVITÀ 4 Il triangolo aureo e i lati del decagono e del pentagono regolari inscritti in una circonferenza Un triangolo aureo è un triangolo isoscele con angolo al vertice (36 ) congruente a metà degli angoli alla base In un triangolo aureo la bisettrice di uno degli angoli alla base divide il lato opposto in due segmenti, tali che quello contenente il vertice è la parte aurea del lato obliquo. Si dimostra che in un triangolo aureo, la base è congruente alla sezione aurea del lato obliquo.

ATTIVITÀ 4: pentagono e decagono La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato, o stella a cinque punte, ottenendolo dal decagono regolare mediante la congiunzione di un vertice sì e uno no. A questa figura, che i Pitagorici chiamarono pentagramma, è stata attribuita per millenni un importanza misteriosa, probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea. I Pitagorici lo assunsero come simbolo dell armonia e loro segno di riconoscimento segue

ATTIVITÀ 4 Il pentagono regolare presenta due notevoli proprietà legate alla sezione aurea: il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale il punto di intersezione tra due diagonali divide l ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo In un decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio R, il lato è congruente alla sezione aurea del raggio. Infatti, tracciando i raggi dal centro ai vertici del poligono, si formano triangoli isosceli aurei.

ATTIVITÀ 5: la successione di Fibonacci In matematica, il numero d oro, interviene nello studio della successione di Fibonacci: una successione in cui ogni termine è uguale alla somma dei due termini che lo precedono, dati i due termini iniziali 1 e 1. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 Il rapporto tra un termine della successione di Fibonacci e quello che lo precede si avvicina sempre di più a φ al crescere dei termini della successione. LA RIPRODUZIONE DEI CONIGLI Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese? Fibonacci Liber Abaci Come si vede dal grafico all inizio dell esperimento si ha 1 coppia di conigli. Dopo un mese c è sempre 1 coppia di conigli. Dopo 2 mesi la femmina ha generato un altra coppia di conigli, quindi nel recinto ne abbiamo 2. Al terzo mese la prima coppia ne ha generata un altra, mentre la seconda non è stata in grado di procreare, quindi nel recinto ci sono 3 coppie di conigli. Passato un altro mese le prime due coppie generano altre due coppie mentre la terza non procrea, quindi nel recinto ci sono 5 coppie di conigli e cosi via di mese in mese.

ATTIVITÀ 5: la successione di Fibonacci LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI IN BOTANICA La sequenza di Fibonacci si trova in molte piante e fiori. Ne è un esempio l Achillea ptarmica. La crescita di questa pianta segue lo schema qui disegnato. Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare. Al primo mese quindi abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via.

ATTIVITÀ 5 il numero d oro nell architettura e nella pittura La sezione aurea riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole è stata usata come base per la composizione di quadri o di elementi architettonici. In realtà è dimostrato che la percezione umana mostra una naturale preferenza e predisposizione verso le proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artisti tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti. segue

ATTIVITÀ 5 il numero d oro nell architettura e nella pittura Per questo il numero d'oro ha ispirato i grandi artisti, del passato come dei giorni nostri. Dagli architetti che inserirono il numero d'oro nella costruzione della piramide di Cheope, a Fidia che partecipò alla costruzione del Partenone, seguendo le auree proporzioni, a Leonardo che ebbe sempre presente le "divine proporzioni", a Dalì, insospettabile, grande cultore della matematica.

ATTIVITÀ 5 il numero d oro nell architettura e nella pittura Il Partenone è chiuso in un rettangolo aureo, tale cioè che il lato più lungo diviso per quello più corto è uguale al numero d'oro e nella sua struttura sono diverse le sezioni auree che si possono osservare e le stesse auree proporzioni ritroviamo nei palazzi rinascimentali, le cui finestre sono rettangoli aurei o più vicino a noi nelle costruzioni di Le Corbusier. Il rettangolo aureo è stato particolarmente apprezzato in architettura e, in generale nell arte, per le sue proporzioni. segue

ATTIVITÀ 5: il numero d oro nell architettura architettura greca Nella struttura del Partenone si possono riconoscere molti rettangoli aurei, alcuni dei quali sono evidenziati nella figura. architettura gotica Nell'immagine sono indicate le proporzioni auree che risultano nella struttura della cattedrale di Notre Dame di Laon, in Piccardia, fotografata nell'immagine di destra

ATTIVITÀ 5: il modulor di Le Corbusier Nel XX secolo l'architetto Le Corbusier (1887-1965) ha sviluppato una scala di proporzioni che ha chiamato Le Modulor, basato su un corpo umano, la cui altezza è divisa in una sezione aurea che ha il suo punto centrale nell'ombelico. "Il Modulor è uno strumento di misura nato dalla statura umana e dalla matematica. Un uomo con il braccio alzato fornisce nei punti determinanti dell'occupazione dello spazio, il piede, il plesso solare, la testa, l'estremità delle dita, essendo il braccio alzato, tre intervalli che generano una sere di sezioni auree dette di Fibonacci. D'altra parte, la matematica offre la variazione più semplice e nello stesso tempo più significativa di un valore: il semplice, il doppio, le due sezioni auree". (da Le Corbusier: Il Modulor, 1949)

ATTIVITÀ 5: il rettangolo aureo nella pittura Ne L Ultima cena, Gesù,è dipinto con le proporzioni divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo Il volto della Gioconda è racchiuso in un rettangolo d'oro segue

ATTIVITÀ 5: il rettangolo aureo nella pittura Importanti anche i dipinti del pittore ottocentesco Pierre Mondrian, autore di numerosi quadri astratti in cui domina l'uso di rettangoli aurei Tra i disegni sulla spirale mirabile, spicca la bellissima costruzione Vortici dell artista e matematico olandese M. C. Escher (1898 1972)

ATTIVITÀ 5: la sezione aurea in natura Cosa hanno in comune una galassia, l'accrescimento biologico di alcune specie animali, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi di girasole? Tutti presentano schemi riconducibili a quello della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci.

ATTIVITÀ 5: la sezione aurea in natura Ecco qui rappresentata una serie di esempi in cui l espressione matematica della sezione aurea si manifesta nella bellezza e dell eleganza della natura. L'elemento comune di tutte figure è rappresentato dalla spirale logaritmica detta anche "spirale aurea", attraverso la quale l accrescimento avviene in modo che l oggetto si mantenga simile a se stesso.

ATTIVITÀ 5: rapporto aureo e corpo umano L'uomo ha acquisito nel corso del tempo un concetto di bellezza che si credeva fosse dovuto ad un puro istinto Se andiamo ad esaminare un volto che definiamo "bello" è facile scoprire come le distanze tra gli elementi che compongono il viso sono strettamente legati alla proporzione aurea. segue

ATTIVITÀ 5: rapporto aureo e corpo umano Se misuriamo le dita della nostra mano, noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei. Così come è aureo il rapporto tra la lunghezza del braccio e l'avambraccio, tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore. segue

VERIFICA Costruire la sezione aurea

Esercizio 1 Verifica che nella Donna scapigliata la testa è racchiusa in un rettangolo aureo ed il volto è in proporzione aurea rispetto alla fascia dei capelli.

Esercizio 1 Verifica che nella Donna scapigliata la testa è racchiusa in un rettangolo aureo ed il volto è in proporzione aurea rispetto alla fascia dei capelli.

Esercizio 2 Disegna un rettangolo aureo e, all interno di esso, un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo; il rettangolo differenza sarà anch esso un rettangolo aureo. Ripeti l operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Puntando il compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo, traccia l arco che unisce gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Ripeti l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua. Verifica che gli archi successivi, collegati fra loro, formino una spirale che riproduce la forma del Nautilus

Esercizio 3 Dimostra che il segmento DC è sezione aurea del lato AC ordinando la sequenza dei passaggi N.B. La sequenza proposta è quella corretta 1. Costruisci il segmento AB 2. Costruisci l angolo BAB =72 3. Costruisci l asse del segmento AB 4. Interseca la semiretta AB con l asse del segmento AB 5. Congiungi i punti C e B 6. Considera il triangolo ABC 7. Considera la bisettrice dell angolo CBA 8. Indica con D il punto di intersezione della bisettrice con il lato AC

ALTRI ESERCIZI 4. Dato un quadrato di lato 10 cm determina l altra dimensione del rettangolo aureo associato al quadrato. 5.Determina le dimensioni del rettangolo aureo di area 50 6.Determina la sezione aurea del segmento AB = 1 7.Traccia una circonferenza di raggio r. Riporta un segmento congruente al raggio e costruisci la sua sezione aurea. Successivamente utilizza questa per inscrivere nella circonferenza un decagono regolare. 8.Calcola il valore del numero aureo con l'approssimazione alla quarta cifra decimale utilizzando un foglio di calcolo e l'algoritmo babilonese