ARITMETICA e CALCOLATRICE 1) Cifre e numeri

ARITMETICA e CALCOLATRICE 1) Cifre e numeri 755 è un numero composto di tre cifre. Mentre i numeri sono infiniti, le cifre sono solo dieci, sono i 10 simboli (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) che costituiscono i dieci numeri (con una sola cifra) che vanno da 0 a 9. I numeri più grandi del 9 si scrivono seguendo queste tre regole [ a), b) e c) ]: a) - Dieci unità formano una decina; (10) - Dieci decine formano un centinaio; (100) - Dieci centinaia (mille unità) formano un migliaio;(1.000; in inglese thousand 1,000) - Dieci migliaia formano una decina di migliaia; (10.000; in inglese 10,000) - Dieci decine di migliaia formano un centinaio di migliaia; (100.000; in inglese 100,000) - Dieci centinaia di migliaia (mille migliaia) formano un milione; (1.000.000; inglese million 1,000,000) - Dieci milioni formano una decina di milioni; (10.000.000; in inglese 10,000,000) - Dieci decine di milioni formano un centinaio di milioni; (100.000.000; in inglese 100,000,000) - Dieci centinaia di milioni (mille milioni) formano un miliardo (1.000.000.000; in inglese billion 1,000,000,000) - Dieci miliardi formano una decina di miliardi; (10.000.000; in inglese 10,000,000) - Dieci decine di miliardi formano un centinaio di miliardi; (100.000.000; in inglese 100,000,000) - Dieci centinaia di miliardi (mille miliardi) formano un trilione (1.000.000.000.000; in inglese trillion 1,000,000,000,000) b) Il valore attribuito alle cifre che formano il numero dipende dalla loro posizione: la cifra più a destra indica le unità, quella alla sua sinistra le decine, la terza da sinistra le centinaia, poi le migliaia ecc. Riprendiamo il numero 755, formato dalle tre cifre 7, 5 e 5 ; in esso il valore del 5 più a destra è di 5 unità, quello della cifra al centro del numero è di 5 decine (= 50), mentre il 7 vale 7 centinaia (= 700). Facendo la somma dei valori delle tre cifre (5 + 50 + 700) si ottiene il valore del numero (755). c) Quando il numero è composto da quattro o più cifre, per facilitarne la lettura lo si scompone in gruppi di tre cifre, da destra a sinistra, separando con uno spazio o un puntino un gruppo dall altro. Così, ad esempio, il numero degli abitanti in Cina ( 1356268702 ) è più facilmente leggibile se viene scritto così ( 1 356 268 702 ) oppure con il puntino separatore delle migliaia: 1.351.268.702 (un miliardo trecentocinquantaseimilioni duecentosessantottomila settecentodue). Attenzione: alcune calcolatrici evidenziano i numeri usando, per separare i gruppi, non il puntino ma la virgola, e questo perché nei paesi anglosassoni le funzioni del punto e della virgola sono invertite rispetto ai nostri usi. Ecco perché, nelle calcolatrici così come nelle tastiere dei P.C., il tasto della virgola è segnalato con un puntino. Ri-attenzione: quando il risultato del calcolo è un numero molto grande, molte calcolatrici lo evidenziano in una forma strana, la cosiddetta notazione scientifica. Con la vostra calcolatrice provate, ad esempio, a moltiplicare 1.000.000 per 30.000: a meno che sul display appaia error (perché il risultato è costituito da un numero composto da più di 9 cifre e la vostra calcolatrice è troppo piccola ), è probabile che come risultato appaia 3 10 oppure 3E10 o qualcosa di analogo. Il significato è 3 seguito da 10 zeri, cioè 30.000.000.000 (trenta miliardi). 1

forma italiana nome italiano forma inglese nome inglese forme scientifiche 1 unità 1 10 0 10^0 1E0 10 10 10 1 10^1 1E1 100 100 10 2 10^2 1E2 1.000 mille 1,000 thousand 10 3 10^3 1E3 10.000 10,000 10 4 10^4 1E4 100.000 100,000 10 5 10^5 1E5 1.000.000 milione 1,000,000 million 10 6 10^6 1E6 10.000.000 10,000,000 10 7 10^7 1E7 100.000.000 100,000,000 10 8 10^8 1E8 1.000.000.000 miliardo 1,000,000,000 billion 10 9 10^9 1E9 10.000.000.000 10,000,000,000 10 10 10^10 1E10 100.000.000.000 100,000,000,000 10 11 10^11 1E11 1.000.000.000.000 trilione 1,000,000,000,000 trillion 10 12 10^12 1E12 Fino a ora abbiamo visto numeri interi. Se però dividiamo una unità per un qualsiasi numero (che sia però diverso da 1 e da 0) otteniamo un numero con la virgola ; in particolare: se dividiamo una unità in 10 parti uguali otteniamo 1/10 un decimo 0,1; se dividiamo una unità in 100 parti uguali otteniamo 1/100 un centesimo 0,01; se dividiamo una unità in 1.000 parti uguali otteniamo 1/1.000 un millesimo 0,001; ecc. Nel caso capitassero numeri compresi fra 0 e 1 e con solo l ultima cifra diversa da zero, per facilitarne la lettura potete ricorrere a questo sistema: per rendersi conto se il numero esprime decimi o centesimi o millesimi ecc. contate gli zeri, compreso quello prima della virgola. Ad esempio: 0,000003 presenta sei zeri, gli stessi di un milione. Il numero quindi è leggibile come 3 milionesimi. Oppure: 0,009 si legge 9 millesimi (essendoci tre zeri come nelle migliaia); oppure ancora: 0,04 (con due zeri come le centinaia) si legge quattro centesimi ecc. Le cifre decimali si scrivono alla destra delle unità intere e sono da queste separate da una virgola. Attenzione: come ho già scritto più sopra, alcune calcolatrici adottano il modo inglese e quindi separano le cifre decimali dalle unità intere con un puntino al posto della virgola. Controlla la tua calcolatrice: scrivi, ad esempio, 40000 7 (quarantamila diviso sette) e guarda se il risultato appare al modo nostro (5.714,28571 ) oppure nella forma anglosassone (5,714.28571 ). Che sia scritto in un modo o nell altro, il numero 5.714,285 ha come parte intera 5.714 e come parte decimale 285. Il valore di queste cifre è il seguente: 5 7 1 4, 2 8 5 migliaia centinaia decine unità decimi centesimi millesimi Per leggere il numero si comincia con la parte intera e si fa poi seguire la parte decimale aggiungendo il nome delle unità decimali dell ultima cifra: cinquemilasettecentoquattordici e duecentottantacinque millesimi (o, anche, virgola duecentottantacinque). Ricordati: un numero decimale rimane invariato se a destra dell ultima cifra decimale si aggiungono solo uno o più zeri (12,34 = 12,340 = 12,34000 = 12,3400000000000000000000) 2

2) La moltiplicazione. Sperando che tutti conosciate, abbiate capito e sappiate fare somme e sottrazioni, prima di parlare della divisione faccio solo un accenno alla moltiplicazione, che è un applicazione particolare della somma; infatti: moltiplicare un numero per un altro significa sommare uno dei due con sé stesso per un numero di volte pari all altro. Ad esempio, moltiplicare 7 4 significa sommare 4 volte il 7 o anche 7 volte il 4: 7 x 4 = 7 + 7 + 7 + 7 oppure anche 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 3) La divisione. Anche la divisione può essere considerata un applicazione particolare della somma; infatti: dividere un numero per un altro significa trovare quante volte bisogna sommare il secondo numero per se stesso per arrivare al primo. Ad esempio: trovare il risultato di 20 diviso 5 (e, in simboli, si può scrivere sia 20 : 5 che 20 / 5 o anche 20 5 ) significa trovare quante volte occorre sommare 5 per arrivare a 20 (e cioè trovare 4). Infatti: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 (4 volte 5 = 20). Ecco perché 20 / 5 = 4 Questo spiega, tra l altro, perché il risultato della divisione di un numero per un altro più piccolo di 1 (ma maggiore di 0) è un numero più grande di quello di partenza. Ad esempio: 5 / 0,2 = 25 in quanto per arrivare a 5 devo sommare un sacco di volte (25 volte) il piccolo numero 0,2; e così ancora, se con la calcolatrice provate a fate: 120 / 0,001 troverete come risultato 120.000 in quanto per arrivare a 120 bisogna sommare 120.000 volte il numero (piccolissimo) 0,001 (un millesimo). Ecco perché si può anche dire che la divisione è l operazione inversa della moltiplicazione: dividere per un numero è la stessa cosa che moltiplicare per l inverso del numero Ad esempio: 120 0,001 = 120 1.000 e ciò perché ----------------------------------------------------- E così ancora: 8 5 = 8 ----------------------- Ricordatevi: 1 (un 5 1 (0,001 1.000 cioè un millesimo) è l inverso di 1.000. quinto è l inverso di 5); 60 2 = 60 ½ (un mezzo è l inverso di 2) ecc. io uso indifferentemente tutte queste forme: 30 : 5 --------------------------------------------- 30 1 30 5 30 / 5 30 ------------------------ 5 5 così come per indicare l operazione di moltiplicazione uso indifferentemente e l asterisco * o, in presenza di lettere, anche nessun simbolo (a x b = a*b = ab) 3

4) L uso della calcolatrice. 3.1) I calcoli in sequenza. Spero che tutti sappiate fare, con la calcolatrice, questa operazione: 45 22 (= 990), e anche questa: 1.836 36 (= 51). Ancora nessun problema dovreste avere con questo calcolo: 21,5 12 7 (= 1.806), e anche con questo: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 35 0,78 5 (= 12 11,375). 30 5,6 Provate ora con questo: --------------------------------------------- ; 12 1,25 è probabile che qualcuno di voi abbia prima moltiplicato 30 5,6 e scritto da qualche parte il risultato (168) e poi abbia fatto 12 1,25 memorizzando anche questo risultato (15), e infine abbia calcolato 168 15 trovando così il risultato finale corretto (11,2). Chi avesse fatto in questo modo avrebbe sprecato un po di tempo e rischiato inutilmente di commettere qualche errore nello scrivere i risultati parziali del numeratore e del denominatore (rispettivamente 168 e 15). Il modo più efficace di fare i calcoli con la calcolatrice quando sono presenti solo moltiplicazioni e divisioni (e non ci sono, quindi, anche somme o sottrazioni) è fare tutte le operazioni di seguito, senza trascrivere alcun risultato parziale. Il calcolo, cioè, può essere fatto digitando in questa sequenza: 30 5,6 12 1,25 (oppure anche quest altra: 30 1,25 5,6 12 o anche 5,6 12 1,25 30 o qualsiasi altra combinazione che veda il 30 e il 5,6 agire come fattori e il 12 e l 1,25 funzionare da divisori) e il risultato è sempre corretto (11,2); in caso di presenza di sole moltiplicazioni e divisioni l ordine con cui si effettuano le operazioni è ininfluente. Attenzione! Sia il 12 che l 1,25 sono dei divisori (sono al denominatore della frazione), e quindi prima di essi occorre digitare il tasto. Digitando, invece, 30 5,6 12 1,25 si commetterebbe un errore grossolano. In questo modo si moltiplicherebbe per 1,25 anziché dividere per quel numero, arrivando così al risultato sbagliato di 17,5. Il risultato corretto è 11,2 e se a qualcuno è risultato 17,5 (o altro) ha sbagliato. Quando in un calcolo ci sono, oltre a moltiplicazioni e divisioni, anche delle somme o delle sottrazioni, l ordine con cui si fanno le operazioni fa cambiare il risultato. In assenza di parentesi, le moltiplicazioni e le divisioni hanno la precedenza sulle somme e sulle sottrazioni. Ad esempio, in 10 + 6 5 3 prima si moltiplica 6 5 e poi si fa il resto (+ 10 e 3 o anche prima 3 e dopo + 10) (R. 37); a meno che non abbiate una calcolatrice particolare, digitare i tasti nell ordine in cui i calcoli appaiono porta a un risultato sbagliato (schiacciando i tasti con questo ordine: 10 + 6 5 3 il visore di una calcolatrice normale segnala un risultato di 77). Nel caso di calcoli come, ad esempio, questo -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 + 4 2,5 3 9 14,5 in cui, oltre a moltiplicazioni e divisioni, ci sono anche somme o sottrazioni, è inevitabile dover scrivere o memorizzare dei risultati parziali (a meno di avere e di saper usare una calcolatrice sofisticata, ad esempio con le parentesi). 4

Nell esempio appena fatto alla fine della pagina precedente, se si ha una calcolatrice normale si deve procedere in questo modo: 4 2,5 + 8 (R parz.1 : 18); 3 9 14,5 (R parz.2 : 12,5); 18 12,5 = 1,44 Fare, quando è possibile, i calcoli in sequenza (cioè, lo ripeto, senza interrompere la digitazione sulla calcolatrice per scrivere dei risultati parziali) permette spesso di arrivare al risultato finale preciso; se invece si interrompe la digitazione sulla calcolatrice per scrivere uno o più risultati parziali si arriva a un risultato finale non del tutto corretto ogni volta che il risultato parziale è un numero con molte cifre decimali (= molte cifre dopo la virgola). Provate, ad esempio, a fare questo calcolo: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 17. Il risultato corretto è 218,837535 ; 0,112 0,012 Se, invece di fare i calcoli in sequenza, avete annotato anche solo un risultato parziale per poi riscriverlo e arrivare al finale, allora avreste potuto arrivare al risultato esatto solo prestando molta attenzione nel ricopiare tutte le cifre decimali. Provate ora a fare questo calcolo: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 17 + 4 6. 3 11 + 0,13 Il risultato corretto è 2,385694685 ; A differenza dell esempio di prima, qui non è possibile (a meno, come già detto, di avere una calcolatrice con le parentesi e di saperla usare) fare tutti i calcoli in sequenza, e quindi è quasi inevitabile utilizzare dei risultati parziali, un po come è inevitabile interrompere i lunghi viaggi procedendo per tappe lungo il percorso. Attenzione! Quando scrivete i risultati parziali dovete ricopiare tutte le loro (eventuali) cifre decimali Se non lo fate rischiate di arrivare a un risultato finale impreciso in misura tale da non poter essere accettato come valido. Provate a fare gli ultimi due esempi limitandovi a riportare solo tre cifre decimali e constaterete (= verificherete, vi accorgerete) quanto ho appena scritto. Queste ultime righe ci portano a parlare del prossimo argomento. 3.2) Gli arrotondamenti. Capita spesso che il risultato di un calcolo sia un numero con molte cifre decimali, non di rado addirittura infinite; ad esempio: 18 7 = 2,571428571 E chiaro che in casi come questi è necessario interrompere, presto o tardi, la scrittura delle cifre decimali. Ad esempio, quando si esprimono dei valori monetari ci si limita quasi sempre alla seconda cifra decimale (cioè ci si ferma al centesimo, come 13,75 (euro) o 99,99 $ (dollari) o 4,20 CHF (franchi svizzeri)). Ogni volta che non si scrivono tutte le cifre decimali, però, si commette un errore più o meno grande; nell esempio di prima (18 7 = 2,571428571 ), se mi limito a scrivere una sola cifra dopo la virgola (2,5) scrivo un numero che è inferiore di oltre 0,071 (cioè di oltre 71 millesimi) al risultato corretto dell operazione; e se proseguo fino alla seconda cifra (scrivendo 2,57) commetto (= faccio) un errore certamente inferiore (poco più grande di 0,001 cioè di un millesimo) ma continuo comunque a non esprimere il risultato corretto. 5

Insomma, spesso è opportuno (o addirittura necessario) togliere una o più cifre finali a un numero, ed è chiaro che in questo modo il numero cambia e quindi è inevitabile commettere un errore. Una volta deciso il numero di cifre decimali da indicare occorre, però, commettere l errore più piccolo, e per fare questo bisogna imparare ad arrotondare (si dice anche ad approssimare ) i numeri nel modo giusto, quello appunto che minimizza (= fa diventare più piccolo possibile) l errore.. arrotondare significa commettere l errore minore. Non ci si può limitare a troncare (a cancellare, a non scrivere) le cifre decimali successive a quelle che si è stabilito di conservare, bisogna anche verificare se l ultima cifra decimale deve o no essere modificata. Rimanendo all esempio di prima (18 7 = 2,57142 ), se si scrive il risultato fermandosi alla prima cifra decimale (si dice anche approssimando alla prima cifra decimale o approssimando al decimo), occorre scrivere 2,6 e non 2,5! Infatti, scrivendo 2,5 si fa un errore maggiore; si indica un valore inferiore a quello corretto di oltre 7 centesimi (2,5714... meno 2,5 = 0,07142...), mentre se si scrive 2,6 l errore (2,6 meno 2.5714 = 0,02858 ) è di meno di 3 centesimi, cioè meno della metà di prima; scrivendo 2,6 si è perciò ridotto l errore. Quando si arrotonda indicando un valore superiore al reale si dice che si approssima (o si arrotonda) per eccesso, quando invece si arrotonda riportando un numero inferiore a quello preciso, allora si dice che si è scritto un numero approssimato (o arrotondato) per difetto. Quando l approssimazione per eccesso e quella per difetto causano un errore esattamente uguale, allora stabiliamo di arrotondare per eccesso. Così se nel calcolo 2.121,025 1.850 vi dico di approssimare il risultato (1,1465) alla terza cifra decimale, voi dovrete scrivere 1,147 e non 1,146 A meno che non vi siano date indicazioni diverse (= a meno che non vi venga detto di fare diversamente), nei calcoli e nei problemi che farete dovrete scrivere i risultati numerici arrivando almeno fino alla seconda cifra decimale. Quindi, se vi chiedessi di determinare quanto ho pagato al litro il gasolio sapendo che ho speso 77,40 per comprarne 50 litri, (77,40 50 = 1,548 /l): - se vi dico di arrotondare alla seconda cifra decimale voi dovete indicare 1,55 /l (approssimando perciò in eccesso per commettere un errore di + 2 millesimi; se, invece, scriveste 1,54 approssimando per difetto, fareste un errore di 8 millesimi, il quadruplo dell errore precedente, e io vi boccerei); - se vi dico di arrotondare alla prima cifra decimale voi dovete scrivere il risultato 1,5 /l (arrotondando questa volta in difetto per commettere un errore di 48 millesimi che è più piccolo dell errore, di + 52 millesimi che si farebbe arrotondando per eccesso a 1,6); - se vi dico di arrotondare all unità intera dovete scrivere 2 (con un errore di 0,452 e cioè 452 millesimi) e non 1 (perché in questo caso l errore sarebbe di 0,548 o 548 millesimi e quindi maggiore di prima) - se vi dico nulla sulle cifre decimali da tenere, allora voi potete sia scrivere 1,548 /l, senza approssimare il risultato, sia arrotondare alla seconda cifra decimale, e però dovete arrotondare correttamente e scrivere quindi 1,55 e non 1,54. Scrivendo 1,5 questa volta sbagliereste (nonostante l arrotondamento fatto alla prima cifra sia quello giusto) perché la nostra regola è di tenere, quando non ci sono indicazioni diverse, almeno due cifre dopo la virgola. 6