Capitolo 5 PROBLEMI DI PRIMO GRADO Nel risolvere un problema con metodo algebrico alcuni elementi, richiesti o esseniali per la risoluione del problema stesso, vengono assunti come incognite e, in funione di queste, l enunciato del problema viene interpretato tramite una equaione o più equaioni, il cui numero dovrà essere uguale al numero delle incognite, che dovranno essere verificate contemporaneamente (sistema di equaioni). Qualora i dati del problema sono numerici l equaione o il sistema risolvente il problema risultano numerici e la risoluione del problema è rappresentata dalle soluioni dell equaione o del sistema. Se, invece, i dati del problema dipendono da uno o più parametri l equaione o il sistema risolvente il problema risultano parametrici e la risoluione del problema è rappresentata dalla discussione dell equaione o del sistema stesso. Si dicono problemi algebrici di primo grado tutti quei problemi che sono risolvibili tramite una equaione di primo grado o un sistema di primo grado. Problema 5. Trovare quel numero che sottratto ai suoi dà 8. Risoluione Osserviamo innani tutto che nella risoluione di un qualsiasi problema algebrico è fondamentale la scelta opportuna dell incognita o delle incognite nel problema dato indicato con il numero richiesto, i suoi si scrivono. Interpretando quindi l enunciato del problema si ha: Gli del Numero Numero 8 cioè 8 questa è l equaione che risolve il problema, infatti 7 8 8 7. Tenuto conto che con si è indicato il numero richiesto, concludiamo che esso è il numero.
Problema 5. Trovare quel numero per il quale è - la somma dei suoi e dei suoi. Risoluione Se è il numero richiesto, si ha che : i suoi si indicano con i suoi si indicano con Interpretando quindi l enunciato del problema si ha: i del numero i del numero - Ovvero che è l equaione che risolve il problema, infatti 9 858 6 6 858 858 66. Il numero richiesto è il numero -66. Problema 5. Di un numero si sa che la somma della sua metà e del suo tero, aumentata della quarta parte della 5 suddetta somma, è. Trovare il numero. 6 Risoluione Se è il numero richiesto si ha che: la sua metà è il suo tero o la sua tera parte è pertanto, passando alla formaliaione del problema, possiamo scrivere: equaione che risolta dà la soluione richiesta, infatti 5 6
5 8 6 6 6 75 8 8 50 75 75 50. Il numero richiesto è quindi. Problema 5. Trovare due numeri sapendo che il maggiore è doppio del minore e che il triplo del minore aumentato del maggiore è uguale a. Risoluione Se è il minore dei due numeri, il maggiore, essendo doppio del minore, è pertanto la formaliaione del problema è la seguente equaione che risolta da la soluione del problema, infatti: 5 5 Quindi il minore dei due numeri, mentre il maggiore, doppio del minore, è. Problema 5.5 Trovare due numeri interi consecutivi sapendo che la settima parte del minore aumentata della quinta parte del maggiore è uguale a 5. Risoluione Se è il minore dei due numeri, il successivo è pertanto algebricamente il problema risulta interpretato dalla seguente equaione 5 che risolta dà: 7 5 5 7 7 75 5 5 68 75 7 68. I due numeri sono dunque e 5
Problema 5.6 Trovare tre numeri interi consecutivi sapendo che la differena tra il quadrato del maggiore e quello del minore è uguale al numero aumentato del prodotto del minore per l intermedio. Risoluione Se è il numero intermedio, il minore è -, mentre il maggiore è pertanto l enunciato del problema può tradursi come segue: equaione che risolviamo 5 0 ( ) ( ) ( ) L equaione risolvente il problema è di secondo grado essa risulta facilmente risolvibile, con le conoscene fino a questo momento in nostro possesso, se riusciamo a scomporre il suo primo membro ed applicando, quindi, la legge di annullamento del prodotto. Nel nostro caso, per un noto criterio di scomposiione di un trinomio di secondo grado, l equaione si può scrivere ( )( ) 0. Per la legge di annullamento del prodotto si deduce che ( )( ) 0 0 oppure 0 Quindi si hanno le due terne di soluioni 0,, e,, 5 Problema 5.6 I termini di una fraione sono tali che, aumentandoli di, la fraione risulta uguale a di 6, essa risulta uguale a. Trovare la fraione. 5 5 e diminuendoli 7 Risoluione Sia 5 7 la fraione richiesta per la prima relaione fornita dal problema si ha che, mentre per la seconda relaione si ha che 6 6 Le due relaioni del problema devono sussistere contemporaneamente, quindi i termini della fraione e costituiscono la soluione del seguente sistema 5 7 6 6 5 Supposto e 6, si ha 5.
7( ) 5( ) 5( 6) 6 7 5 5 5 0 6 7 5 6 5 sistema che risolviamo col metodo di confronto: 7 5(5 ) 6 7 5 0 6 8 6 5 5 5 7 5 7 7 7 quindi la fraione richiesta è. Problema 5.7 Trovare quattro numeri interi consecutivi sapendo che la loro somma è 50. Risoluione Se è il minore dei quattro numeri, gli altri tre ad esso consecutivi sono:,, per la relaione del problema si può scrivere ( ) ( ) ( ) 50 che risolta dà il primo dei quattro numeri infatti 6 50. Quindi i quattro numeri sono:,,, Problema 5.8 Di un numero di tre cifre, si sa che quella delle unità, quella delle decine e quella delle centinaia sono, nell ordine, numeri consecutivi crescenti. Trovare il numero sapendo che è 9 la differena tra il triplo del numero che si ottiene scambiando tra di loro le cifre delle centinaia e delle unità e il doppio de numero che si ottiene scambiando tra di loro le cifre delle centinaia e delle decine. Risoluione Se è la cifra delle unità, si avrà: cifra delle decine cifra delle centinaia quindi il numero nella sua forma polinomiale si presenta nella forma 00 ( ) 0 ( ) La forma polinomiale del numero che si ottiene dal dato scambiando tra loro le cifre delle centinaia e delle unità è: 00 0 ( ) ( ) 5
La forma polinomiale del numero che si ottiene dal dato scambiando tra loro le cifre delle centinaia e delle decine è: 00 0 ( ) ( ) La relaione del problema è quindi 00 0 00 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ] 9 che andiamo a risolvere 00 0 0 6 00 00 0 0 9 0 9. Quindi la cifra delle unità del numero richiesto è e, per le posiioni iniiali fatte, la cifra delle decine è mentre quella delle centinaia è 5 in definitiva il numero richiesto è il numero 5. Problema 5.9 Un padre di anni ha due figli di 9 e anni, rispettivamente. Tra quanti anni la somma delle età dei figli uguaglierà quella del padre? Risoluione Se è il numero di anni necessario perché si verifichi la condiione del problema, tra anni l età del padre sarà, mentre quella dei due figli sarà rispettivamente 9 e. In quel periodo dovrà aversi ( 9 ) ( ) che è l equaione che risolve il problema, infatti: ( 9 ) ( ) 0 Quindi la somma delle età dei figli uguaglierà quella del padre dopo anni. Problema 5.0 Dieci anni fa, l età di una persona era il doppio di quella di un altra mentre tra 6 anni l età della prima sarà i di quella della seconda. Calcolare l età attuale di ciascuna delle due persone. Risoluione L età della seconda persona, che oggi ha anni, dieci anni fa era 0 a quell epoca l età della prima persona, che oggi ha anni, era 0 ( 0) quest ultima relaione ci permette di esprimere l età di oggi della seconda persona in funione dell età che ha oggi della prima e cioè: 6
a) 0 0 0. Tra sedici anni la seconda persona avrà 6 anni, mentre la seconda persona avrà 6 ( 6) da cui 6 6 6 b) 6 6 Le relaioni dei punti a) e b) esprimono entrambe l età che oggi ha la prima persona, quindi i loro secondi membri devono essere uguali, cioè 6 0 equaione che fornisce l età di oggi della seconda persona, infatti: 6 0 6 6. Quindi oggi la seconda persona ha anni, mentre la prima ne ha 6 9 6 08 6. Coloro i quali conoscono i sistemi di equaioni avranno certamente capito che il procedimento risolutivo adottato ricalca implicitamente il metodo del confronto per la risoluione del sistema seguente 0 6 ( 0) ( 6). Problema 5. Il costo complessivo di quattro paia di scarpe è di 88, euro il secondo paio costa.6 euro in più del primo, il tero costa,0 euro in meno del secondo e il triplo della differena del quarto e del tero supera di, euro il costo del primo. Calcolare il costo di ciascun paio di scarpe. Risoluione Sia euro il costo del primo paio di scarpe si avrà pertanto: costo del secondo paio di scarpe:,6 euro costo del tero paio di scarpe: (,6) -,0 euro,96 euro Per quanto concerne il costo del quarto paio di scarpe, dalle indicaioni del problema si sa che [ - (,96) ], da cui ricaviamo la : - - 5,88, 7,0 7,0 Considerato infine che il costo totale delle quattro paia di scarpe è 88. euro, si ha che: 7,0 (,6) (,96 ) 88, 7
equaione questa che risolve il problema, infatti 7,0 8.99 9 7,0 8,97,67,67 8,59. In conclusione il primo paio di scarpe costa 8,59, il secondo paio,95 il tero paio 0.55 e 8,59 7,0 7, il quarto paio di scarpe. Problema 5. La somma delle età del figlio, del padre e del nonno è di 7 anni. Calcolare le tre età sapendo che quando è nato il figlio, l età del padre era 5 7 di quella del nonno e che, tra 5 anni, quella del figlio sarà i di quella del nonno. Risoluione Sia, e rispettivamente le età attuali del figlio, del nonno e del padre in tal modo il 7 padre, che quando è nato il figlio aveva ( ) anni, oggi ha quegli anni più quelli del figlio, 5 cioè 7 7 7 7 8 ( ). 5 5 5 5 5 Tra 5 anni l età del figlio, che oggi ha anni, sarà 5 anni che corrisponderanno ai di quella che avrà il nonno, cioè sarà 5 ( 5) ricavando la da quest ultima relaione si ha che l età attuale del nonno è 65 50 ( 5) 5 5 e sostituendo tale valore nella presente nella relaione che dà l età del padre, si ha 7 50 8 9 70 8 5 5 5 5 9 5 5 Essendo infine che la somma delle tre età attuali è di 7 anni, si ha la relaione del problema: 7 ovvero 50 5 70 7 5 9 che andiamo a risolvere 8 70 9
5 95 750 5 50 575 5 5 76 575 00 65. 55 Essendo l età del figlio se ne deduce quindi che oggi: il figlio ha anni 5 70 95 70 85 il padre ha anni 5 9 5 9 5 50 69 50 9 il nonno ha 7 anni. Problema 5. I debiti di un negoiante nei riguardi di tre fornitori sono direttamente proporionali ai numeri 8, 9 e e viene concordato tra le parti che le rate di pagamento dovranno ridurre ciascun debito della sua quarta parte. Sapendo che all atto della scadena della prima rata il negoiante ha pagato complessivamente 77.7, calcolare la somma pagata dal negoiante ai singoli fornitori con la suddetta prima rata e l entità globale del debito. Risoluione Se k è il fattore di proporionalità diretta, allora i tre debiti saranno espressi da numeri del tipo 8 k, 9 k e k Il debito globale è dunque D 8 k 9k k 0k All atto della scadena della prima rata ciascun debito è stato ridotto della sua quarta parte, quindi la prima rata di pagamento di ciascun debito risulta un quarto di ciascun debito, cioè 9 8k k, 9k k e k k Essendo che all atto della scadena della prima rata il negoiante ha pagato complessivamente 77.7, si ha la seguente relaione del problema 9 k k k 77,7 che risulta una equaione lineare nell incognita k che andiamo a risolvere 8k 9k k 09,88 0k 09,88 09,88 k 0,. 0 9
Quindi l ammontare della prima rata relativa a ciascun debito è: 0. 0. 9 0., 0.. il primo 66 il secondo il tero 57 mentre l entità globale del debito e di 0 0. 09, 90 Problema 5. Una persona deve salire gli gradini della scala di un edificio. Dopo averne superato i, è costretto a tornare indietro per dei gradini già superati. Ricomincia a salire e dopo aver superato i dei 5 rimanenti gradini, si ferma temporaneamente 8 gradini sotto il pianerottolo terminale. Di quanti gradini è formata la scala di quell edificio? Risoluione La persona in un primo momento sale gradini, ma scende subito di di essi, cioè di i gradini saliti sono dunque, fino a questo momento,, mentre i 9 9 9 gradini che si devono ancora salire sono 5. 9 9 Ricominciata la salita la persona si ferma nuovamente dopo aver percorso altri 5 gradini e a questo punto rimangono da salire ancora 8 gradini della scala 5 9 7 pertanto si ha la seguente relaione del problema 8 9 7 equaione che andiamo a risolvere 6 7 7 7 6 08. La scala è quindi costituita di 08 gradini. 0
Problema 5.5 Un chiodo di lunghea cm deve essere piantato interamente in un muro. Calcolare sapendo che con un primo colpo di martello, esso penetra dei della sua lunghea, con un secondo colpo di martello penetra 0 5 ulteriormente dei della parte esterna, con un tero colpo di martello penetra dei della parte ancora 5 9 restante e con un ultimo colpo di martello, penetra dei rimanenti,8 cm. Risoluione Dopo il primo colpo di martello il chiodo penetra di 7 del chiodo fuori dal muro sarà cm. 0 0 0 cm nel muro e la parte restante 7 7 Con la seconda martellata il chiodo penetra ancora nel muro cm, 5 0 5 7 7 lasciando il chiodo fuori dal muro di cm. 0 5 50 5 7 Con il tero colpo di martello il chiodo penetra ancora nel muro di cm e, 9 50 0 infine, con l ultimo colpo il chiodo penetra nel muro dei suoi rimanenti,8 cm ancora esterni. Si ha quindi la relaione del problema equaione che risolviamo 5 5 0 50 50 50 8 0 5. 0 La lunghea del chiodo è pertanto di 5 cm. 7 7, 8 5 0 Problema 5.6 Come conseguena dell inflaione, il preo di un libro è stato aumentato dopo un anno di 00 lire e, l anno successivo, di altre 700 lire. Calcolare i tre prei di copertina del libro sapendo che la tera parte della somma del primo e del tero è uguale al secondo diminuito di 700 lire, e calcolare i tassi annui di inflaione Risoluione Sia il preo iniiale del libro dopo un anno il suo costo era di 00 lire e di lire 00 700 00 ancora l anno successivo. La relaione del problema è pertanto
equaione che andiamo a risolvere. 00 00 00 6900 0000 ( 00) ( 00) 700 In conclusione i tre prei di copertina del libro sono stati rispettivamente di 0.000 lire,.00 lire e.00 lire. Sia r il tasso di inflaione legato al primo anno e che ha determinato un incremento del 0000 r preo del libro di lire 00 essendo che 00, si ricava che r 0 0. 00 Analogamente sia t il tasso di inflaione legato al secondo anno e che ha determinato un incremento del preo del libro di lire 700 00 t essendo che 700 00 si ha t,9 0 0. Problema 5.7 Un soprammobile è costituito da una statuetta di brono, incastrata in una base di noce che sovrasta, a sua volta, una seconda base di marmo. Si sa che il soprammobile pesa complessivamente g, che la quarta parte della somma dei pesi della statuetta e della base di marmo supera di 99,5 g la sesta parte della differena tra il peso della base di marmo e quello della base di noce e che la somma del doppio del peso della statuetta e del triplo del peso della base di noce supera di 6 g il doppio del peso della base di marmo. Calcolare il peso dei ciascuna delle parti del soprammobile. Risoluione Siano rispettivamente, e i pesi della statua di brono, della base di noce e della base di marmo. Si sa che: ( ) ( ) 99, 5 6 6. Le tre relaioni del problema devono essere verificate contemporaneamente, quindi la soluione del problema è rappresentata dalla soluione del seguente sistema 6 6 ( ) ( ) 99, 5
che intanto riduciamo nella forma normale 9 6 9 6 Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer, determinando innani tutto i determinanti ( ) ( 6 ) ( 9 ) 7 8 5 6 9 6 9 6 6 9 ( 78 7) ( 76 6) ( 8 ) 9 70 690 80 0 9 6 9 6 6 9 ( 08 788) ( 6 8) ( 9 ) 76 680 8 66 9 6 9 6 6 9 ( 7 78) ( 6 76) ( 9 ) 8 70 070 80 780. Quindi 0 50 6 7 6 780 6 In conclusione, dalle posiioni iniiali fatte, si può concludere che la statuetta di marmo pesa 50 g, la base di noce pesa 7 g e la base di marmo g.
Problema 5.8 7 In una gara di salto in alto, il salto del vincitore è risultato uguale ai della somma dei salti del secondo e del tero il salto del secondo è risultato uguale alla tera parte della differena tra il salto del primo e quello del tero, aumentata di,98 m e il salto del tero è risultato uguale alla semisomma dei salti del primo e del secondo, diminuita di cm. Calcolare le altee superate dai tre atleti. Risoluione Anche questo problema possiamo risolverlo tramite un sistema lineare nelle incognite, e, che rappresentano rispettivamente le altee superate dal primo, dal secondo e dal tero classificato si hanno infatti le seguenti tre relaioni nel seguente sistema, nelle quali si è avuto cura di esprimere le lunghee tutte in metri ( cm 0, m) 7 ( ),98 0, che andremo a risolvere ad esempio con il metodo di sostituione. Sostituiamo il valore dell incognita dato dalla prima relaione nella seconda 7 ( ) 7 ( ),98 0, 7 ( ) 7,98 0, 7 ( ) 7 7,98 0, 7 ( ) 99 7 790,0 99 99 0, 7 ( ) 790,0 6 0, sostituendo il valore dato dalla seconda relaione nella prima si ha:
5 0, 6 790,0 6 790,0 7 0, 6 790,0 6 6 790,0 7 0, 6 790,0 6 66 790,0 7 0, 6 790,0 6 6,6 sostituendo il valore ed rispettivamente della prima e seconda relaione nella tera si ha: 0, 6 790,0 6 6,6 6 790,0 6 6,6 0, 6 790,0 6,6 6 790,0 6 6,6 0, 6 6,8 6 790,0 6 6,6 6 68,6 6,8 6 790,0 6 6,6
,6 6 6 790,0 6 6 5,6,6 6 6 790,0 6 8 5,6,6 6 6 790,0 6,9 Sostituendo infine il valore di nella prima e seconda relaione, determineremo anche i valori di e,6 6,9 6 790,0,9 6,9,6 80, 6 790,0 5, 6,9 7,9 6 67,8 6,9,9,07,9 Quindi, viste le posiioni iniiali fatte, dei tre atleti il vincitore ha superato i,9 m, il secondo classificato ha superato i,07 m e il tero classificato ha saltato,9 m. Problema 5.9 Dividere un segmento di lunghea 88 cm in due parti direttamente proporionali ai numeri e 7. Risoluione Sia AB il segmento dato, e le lunghee delle due parti in cui lo si vuole dividere. Dire che le due parti devono risultare proporionali ai numeri e 7 vuol dire che il rapporto delle loro misure è, ovvero che. Questa circostana permette di asserire che esiste un 7 7 opportuno valore numerico h per cui (5.9.) h e 7h 6
Il problema risulta quindi risolto se riusciremo a determinare tale valore di h infatti, la seguente relaione del problema, 88 per le (5.9.) possiamo scriverla equaione lineare nell incognita h che risolta dà: h 7h 88 h 8 Quindi per le (5.9.) le due parti in cui il segmento AB resta diviso misurano rispettivamente cm e 56 cm. Problema 5.0 Internamente ad un segmento AB a determinare il punto C in corrispondena del quale il quadrato costruito su AC e il triangolo equilatero costruito su BC abbiano lo stesso perimetro. Risoluione A C B Dati: AB a P( ) ( ) quadrato P triangolo Richiesta: AC BC Sia la distana del punto C dall estremo A del segmento AB, si ha: a. AC e Il perimetro del quadrato costruito su AC è P AC, mentre il perimetro del triangolo equilatero di lato BC è P BC a Per la relaione del problema deve risultare P P, ovvero Che risolviamo ( a ) ( ) 7
In conclusione il punto C dista a 7 a a 7 a dall estremo A del segmento AB. 7 Problema 5. Sul prolungamento oltre B di un segmento AB a determinare il punto C in corrispondena del quale il triangolo equilatero costruito su AC e il quadrato costruito su BC abbiano lo stesso perimetro. Risoluione A B C Dati:. Sia la distana del punto C dall estremo B, posto per ipotesi sul prolungamento oltre B del segmento AB si ha: BC e AC a. Il perimetro del quadrato costruito su BC è P BC, mentre il perimetro del triangolo equilatero di lato AC è P AC a Per la relaione del problema deve risultare P, P ( ) ovvero ( a ) Che risolviamo 6a 6a In conclusione il punto C dista 6 a dall estremo B posto, per ipotesi, sul prolungamento oltre B del segmento AB. 8
ERROR: undefined OFFENDING COMMAND: FS9YFFFFFF STACK: