UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA GESTIONALE Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Tesi di Laurea di Primo Livello INTERESSE CONTINUO E SUE APPLICAZIONI A PROBLEMI EOQ RELATORE: PROF. MAURO GAMBERI LAUREANDO: EMANUELE MURA ANNO ACCADEMICO 2011-2012
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Dedico questo lavoro ai miei genitori, ringraziandoli per avermi fatto raggiungere codesto obiettivo. Emanuele Mura 3
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INDICE INTRODUZIONE... 7 CAPITOLO 1 INTERESSE E FORMULE RELATIVE... 9 1.1.Interesse semplice e composto... 11 1.1.1.Interesse semplice... 11 1.1.2.Interesse composto... 11 1.2.Descrizione dei flussi di cassa nel tempo... 11 1.3.Formule dell interesse, capitalizzazione annuale, pagamenti annuali degli interessi.. 13 1.3.1.Il fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento... 14 1.3.2.Il fattore di attualizzazione per un singolo pagamento... 14 1.3.3.Il fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali... 15 1.3.4.Il fattore delle rate d ammortamento per una serie di pagamenti uguali... 16 1.3.5.Il fattore di recupero del capitale per una serie di pagamenti uguali... 17 1.3.6.Il fattore di attualizzazione per una serie di pagamenti uguali... 17 CAPITOLO 2 TASSI DI INTERESSE CHE VARIANO NEL TEMPO... 19 2.1.Tassi di interesse nominali ed effettivi... 21 2.2.Capitalizzazione continua... 22 2.3.Formule dell interesse, pagamenti annuali con capitalizzazione continua... 23 2.4.Formule dell interesse, pagamenti continui degli interessi in regime di capitalizzazione continua... 26 CAPITOLO 3 APPLICAZIONE A PROBLEMI EOQ... 31 3.1.Confronto tra le quantità ordinate usando il metodo del costo medio annuo e il metodo del costo attualizzato... 33 3.1.1.Introduzione... 33 5
3.1.2.Costo medio annuo e costo attualizzato... 33 3.1.3.Confronto tra i valori di Q... 35 3.2. Principio per determinare il corretto costo del capitale di prodotti in corso di lavorazione e mantenuti a magazzino... 37 3.2.1.Introduzione... 38 3.2.2.Misura della redditività a lungo termine... 38 3.2.3.Modelli di lotti elementari... 40 3.3. Politiche di riordino e di immagazzinamento con cambiamenti nel prezzo unitario del prodotto... 42 3.3.1.Introduzione... 43 3.3.2.L impostazione generale e il modello... 44 3.3.3.Applicazione al caso di prezzo c costante per ogni unità di prodotto... 46 CONCLUSIONI... 51 BIBLIOGRAFIA... 53 6
INTRODUZIONE Il termine capitale si riferisce al patrimonio, sotto forma di denaro o di beni, che può essere impiegato per generare ulteriore ricchezza. La maggior parte delle analisi di economia applicata all ingegneria ha a che fare con situazioni in cui il capitale viene impegnato a questo scopo per lunghi periodi, e quindi l effetto del tempo deve essere preso in considerazione. A questo proposito, è ben noto che un euro oggi ha un valore superiore a quello che avrà tra uno o più anni, a causa dell interesse (o profitto) che questo può nel frattempo produrre. Quindi, il denaro ha un valore che dipende dal tempo. Perché è importante considerare il rendimento del capitale? Ci sono alcuni motivi fondamentali per cui il rendimento del capitale (sotto forma di interessi e profitti) rappresenta un elemento essenziale degli studi di economia applicata all ingegneria. Per prima cosa, l interesse e il profitto remunerano chi investe il proprio capitale per il fatto di rinunciare al suo uso nel periodo in cui esso viene utilizzato da altri. Il fatto che chi presta capitale possa ottenere un rendimento agisce come un incentivo all accumulo del capitale stesso attraverso i risparmi, rimandando quindi il consumo immediato in favore della creazione di ricchezza nel futuro. In secondo luogo, l interesse e il profitto rappresentano una remunerazione per il rischio che l investitore affronta quando permette a un altra persona o a un impresa di utilizzare il suo capitale. Nelle situazioni tipiche, gli investitori devono decidere se il rendimento atteso del loro capitale sia sufficiente a giustificare la partecipazione a un progetto o a un iniziativa imprenditoriale. Se il capitale viene investito in un progetto, gli investitori si aspetterebbero, come minimo, di ricevere una somma almeno pari a quella a cui hanno rinunciato non investendolo in un altra possibile opportunità con rischio paragonabile. L interesse, o il profitto, ricavabile da un investimento alternativo rappresenta il costo opportunità dell utilizzo del capitale nell iniziativa proposta. Di conseguenza il capitale impiegato ha un costo, nel senso che il progetto e l iniziativa devono fornire un rendimento sufficiente a renderli economicamente attraenti per i finanziatori esterni o interni (gli imprenditori). Per riassumere, ogni qualvolta progetti di ingegneria o altre iniziative di business richiedono del capitale, è essenziale prestare la dovuta considerazione al suo costo (ossia, come vedremo, al suo valore nel tempo). I primi due capitoli di questo lavoro di tesi esaminano i principi relativi al valore del denaro nel tempo, essenziali per la corretta valutazione dei progetti di ingegneria che costituiscono la base della competitività di un impresa e, di conseguenza, della sua stessa sopravvivenza. 7
Il terzo capitolo invece è costituito da tre articoli, tradotti in lingua italiana, che evidenziano i concetti precedentemente discussi applicandoli a problemi relativi al lotto economico di riordino. Il primo articolo presenta una discussione sul costo medio annuo e sul costo attualizzato ed in esso vengono ricavate le rispettive formule. In seguito vengono confrontate le quantità ottimali di riordino ottenute dalla minimizzazione di questi costi. L articolo successivo illustra una breve analisi sul corretto costo del capitale di prodotti in fase di lavorazione o mantenuti a magazzino. Verrà presentato il principio del Net Present Value e verranno calcolati i flussi di cassa annui di due modelli di lotti elementari. Nell ultimo articolo invece viene preso in considerazione il fatto che, in condizioni normali, il costo della merce a magazzino non è costante ma varia nel tempo dipendendo in maniera diretta da altri costi. Ciò comporta delle variazioni nelle formule del calcolo della quantità di riordino, che presenteremo e discuteremo in seguito. 8
CAPITOLO 1 INTERESSE E FORMULE RELATIVE 9
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1.1.Interesse semplice e composto Di solito, il saggio di rendimento di una somma di denaro viene espresso come la percentuale della somma che deve essere pagata per il suo uso per il periodo di un anno. Il tasso di interesse può essere specificato anche per periodi diversi da un anno, noti come periodi di interesse. Questo paragrafo confronta i metodi dell interesse semplice e composto per determinare l effetto del valore nel tempo del denaro. 1.1.1.Interesse semplice Nel caso dell interesse semplice, l interesse da pagare su un debito è proporzionale alla lunghezza del periodo di tempo per cui si prende a prestito la somma. L interesse I che si guadagnerà può essere calcolato come segue. Poniamo il capitale uguale a P, il periodo dell interesse uguale a n e il tasso d interesse uguale a i. In questo modo I = Pni Un debito a interesse semplice può essere contratto per qualunque periodo di tempo. Il capitale e gli interessi devono essere rimborsati solo alla fine del periodo stabilito. Quando bisogna calcolare gli interessi dovuti per una frazione di un anno, solitamente si considera l anno di dodici mesi con trenta giorni l uno, cioè di 360 giorni. 1.1.2.Interesse composto Quando si concede un prestito per un tempo pari a parecchi periodi d interesse, si considera che l interesse guadagnato sia dovuto alla fine di ogni periodo d interesse. Esiste un ampia gamma di piani per il rimborso dei prestiti che va dalla possibilità di pagare l interesse quando matura (cioè alla fine di ogni periodo) all opzione di capitalizzare l interesse fino al termine della durata del prestito. Se il debitore può trattenere gli interessi fino alla scadenza dell intero prestito (montante + interessi), il debito aumenterà di una somma uguale agli interessi dovuti alla fine di ogni anno. In questo caso non sono richiesti pagamenti annuali degli interessi e si dice che l interesse è composto. 1.2.Descrizione dei flussi di cassa nel tempo Nella maggior parte degli studi di economia per ingegneri, vengono presi in considerazione soltanto piccoli elementi di una impresa. Ad esempio, frequentemente vengono fatti degli 11
studi per valutare le conseguenze dell acquisto di un singolo impianto in un sistema produttivo complesso. In casi come questo, sarebbe desiderabile isolare il singolo pezzo dall intero facendo uso di strumenti analoghi al diagramma del corpo libero della meccanica. Così sarebbe necessario dettagliare tutte le entrate e tutte le uscite di cassa che sorgerebbero dall acquisizione e dal funzionamento dell impianto considerato. Allora le uscite potrebbero venire detratte dalle entrate. La differenza rappresenterebbe un profitto o un guadagno, in base al quale si potrebbe calcolare il rendimento dell investimento. Per rendere più agevole l identificazione e la registrazione degli effetti economici di investimenti alternativi, si può usare una descrizione grafica delle transazioni di cassa di ciascuna alternativa. Questa descrizione grafica, nota come diagramma del flusso di cassa, fornirà le informazioni necessarie per analizzare un progetto di investimento. Un diagramma del flusso di cassa rappresenta le entrate relative ad un certo periodo di tempo come una freccia rivolta verso l alto (un aumento di cassa) collocata alla fine del periodo. L altezza della freccia può essere proporzionale all entità delle entrate di quel periodo. In modo simile, le uscite che si verificano in un certo periodo sono rappresentate da una freccia rivolta verso il basso (una diminuzione di cassa). Queste frecce sono poi collocate su una scala temporale che abbraccia tutti i periodi di tempo coperti dal progetto. Esempio di diagramma del flusso di cassa. E importante notare che le direzioni del flusso di cassa nei diagrammi dipendono dal punto di vista che si assume. Quando una alternativa di investimento è tale per cui introiti e spese si verificano simultaneamente, si può calcolare un flusso di cassa netto. Il flusso di cassa netto è la 12
somma aritmetica delle entrate (+) e delle uscite (-) che si verificano allo stesso momento del tempo. Per facilitare la descrizione dei flussi di cassa degli investimenti, si adotterà la seguente notazione. Sia F = flusso di cassa netto al tempo k dove F < 0 rappresenta un uscita netta di cassa F > 0 rappresenta un entrata netta di cassa. Negli studi di economia per ingegneri, si suppone che le spese sostenute per implementare un alternativa abbiano luogo all inizio del periodo abbracciato dall alternativa. Si ipotizza che le entrate e le uscite che si verificano durante la vita dell alternativa abbiano luogo alla fine dell anno o del periodo di interesse in cui si verificano. Questa convenzione di fine anno viene adottata per descrivere i flussi di cassa nel tempo e per sviluppare diagrammi del flusso di cassa applicabili. 1.3.Formule dell interesse, capitalizzazione annuale, pagamenti annuali degli interessi Le formule che seguono riguardano la capitalizzazione annuale degli interessi e dei pagamenti annuali. Saranno usati i seguenti simboli. Poniamo: i = tasso annuale d interesse; n = numero dei periodi degli interessi misurati in anni; P = capitale iniziale o valore attuale; A = un pagamento singolo, in una serie di n pagamenti uguali, effettuato alla fine di ogni periodo d interesse; F = montante che si avrà dopo n anni d interesse a partire dal presente. Nella derivazione e nell uso dei fattori di interesse per i pagamenti annuali si applicano quattro importanti convenzioni: 1) La fine di un anno è l inizio dell anno successivo. 2) P è all inizio di un anno in un momento considerato come presente. 3) F è al termine dell n-esimo anno calcolato da un momento che si suppone il presente. 4) Un A si verifica alla fine di ciascun anno del periodo considerato. 13
Quando sono coinvolti P e A, il primo A della serie si verifica un anno dopo P. Quando sono coinvolti F e A, l ultimo A della serie si verifica simultaneamente a F. 1.3.1.Il fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento Se una somma di P euro viene investita in un certo istante temporale e i è il tasso d interesse per periodo, la somma aumenterà a P + Pi = P(1 + i) alla fine di un periodo; sarà pari a P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i) alla fine di due periodi; a P(1 + i) (1 + i) = P(1 + i) alla fine di tre periodi; e alla fine di n periodi la somma arriverà a: F = P(1 + i) (1-1) Il fattore (1 + i) viene comunemente chiamato fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento ed è indicato con (F/P, i, n). Di conseguenza, l equazione (1-1) può essere espressa come: F = P(F/P, i, n) (1-2) In generale, un buon modo per interpretare una relazione come quella data dall equazione (1-2) è che la somma calcolata, F, in un dato momento futuro, è equivalente al valore noto P nel momento presente al tasso d interesse o di profitto dato i. Ossia, a quel tasso, si è indifferenti tra avere F tra n periodi o P ora. Esempio 1 Equivalente futuro di una somma presente Si supponga di prendere a prestito 8.000, pattuendo di restituire tra quattro anni la somma presa a prestito più gli interessi accumulati ad un tasso di interesse del 10% l anno. Quanto si deve restituire alla fine dei quattro anni? Soluzione In generale, utilizzando la formula (1-1) otteniamo: F = 8.000(1 + 0,1) = 11.713 1.3.2.Il fattore di attualizzazione per un singolo pagamento Dalla relazione della capitalizzazione composta in un unico pagamento possiamo ricavare P come segue: 14
P = F () (1-3) Il fattore risultante, (), è noto come fattore di attualizzazione in un unico pagamento ed è indicato con (P/F, i, n). Quindi l equazione (1-3) diventa: P = F(P/F, i, n) (1-4) Questo fattore può essere utilizzato per trovare il valore attuale, P, di un montante, F. Esempio 2 Equivalente attuale di una somma futura Un investitore possiede un opzione di acquisto per un appezzamento di terreno che tra sei anni si prevede avrà un valore di 10.000. Se il valore dei terreni aumenta dell 8% all anno, quanto sarà disposto a pagare ora per questo appezzamento? Soluzione Il prezzo di acquisto può essere determinato dall equazione (1-3) come segue: 1 P = 10.000 (1 + 0,08) = 6.302 1.3.3.Il fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali Se un flusso di cassa di ammontare pari ad A euro ha luogo alla fine di ciascun periodo per n periodi e i è il tasso d interesse, il valore futuro equivalente F alla fine del periodo n si ottiene sommando i valori equivalenti futuri di ciascun flusso di cassa. Di conseguenza: F = A(F/P, i, n 1) + A(F/P, i, n 2) + A(F/P, i, n 3) + + A(F/P, i, 1) + A(F/P, i, 0) = A[(1 + i) + (1 + i) + ((1 + i) + + (1 + i) + (1 + i) ]. I termini tra parentesi quadre costituiscono una serie geometrica con ragione (1 + i ) -1. Quindi, con le opportune semplificazioni possiamo scrivere: F = A () (1-5) Il fattore {[(1 + i) 1/i]} è definito come fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali ed è indicato con (F/A, i, n). L equazione (1-5) diventa: F = A(F/A, i, n) (1-6) 15
Esempio 3 Equivalente futuro di una serie di pagamenti uguali Si supponga di effettuare 15 versamenti annuali uguali di 1000 ciascuno in un deposito bancario che riconosce il 5% d interesse l anno. Il primo versamento avverrà tra un anno a partire da oggi. Quanto potrà essere prelevato immediatamente dopo il quindicesimo versamento? Soluzione Il valore di A è pari a 1000, n è uguale a 15 anni e i = 5% l anno. Immediatamente dopo il quindicesimo pagamento, usando la formula (1-5), la somma equivalente futura è: F = 1.000 (1 + 0,05) 1 = 21.578,60 0,05 1.3.4.Il fattore delle rate d ammortamento per una serie di pagamenti uguali Dalla relazione del montante di una serie di pagamenti uguali possiamo ricavare A nel modo seguente: A = F (1-7) () Il fattore risultante i/[(1 + i) 1] è noto come fattore delle rate d ammortamento per una serie di pagamenti uguali ed è indicato con (A/F, i, n). Questo fattore può essere utilizzato per trovare i pagamenti di fine anno, A, necessari per formare una somma futura F. Quindi l equazione (1-7) diventa: A = F(A/F, i, n) (1-8) Esempio 4 Risparmiare ogni anno per la vecchiaia Una studentessa di 20 anni vuol fare in modo che i suoi risparmi personali ammontino a 1.000.000 quando andrà in pensione all età di 65 anni. Quale importo deve risparmiare ogni anno, versandolo in un fondo d investimento che rende il 7% in media all anno per i prossimi 45 anni, per raggiungere il suo obiettivo? Soluzione La somma futura, F, è di 1.000.000. L importo che la studentessa deve depositare con cadenza annuale in un fondo di investimento che raggiunga 1.000.000 in 45 anni a un interesse annuo del 7% è, da (1-7): 16
0,07 A = 1.000.000 (1 + 0,07) 1 = 3500 1.3.5.Il fattore di recupero del capitale per una serie di pagamenti uguali E stato dimostrato in precedenza che F è correlato ad A tramite il fattore delle rate di ammortamento di una serie di pagamenti uguali e che F e P sono legati dal fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento. Se sostituiamo P(1 + i) al posto di F nella relazione delle rate di ammortamento per una serie di pagamenti uguali, abbiamo: A = P(1 + i) () () = P (1-9) () Il fattore risultante, i(1 + i) /[(1 + i) 1] è noto come fattore di recupero del capitale di una serie di pagamenti uguali ed è indicato con (A/P, i, n). Quindi l equazione (1-9) si può ora scrivere nel modo seguente: A = P(A/P, i, n) (1-10) Esempio 5 Rimborso di un prestito Per procedere al rinnovo di un macchinario obsoleto, un imprenditore tessile contratta con un istituto di credito un prestito di 75.000, da rimborsarsi in 6 rate annuali di importo costante in base al tasso di interesse dell 8% annuo. A quanto ammonta l importo di ogni singola rata? Soluzione Utilizzando la formula (1-9) possiamo facilmente ricavare il valore di A come segue: 0,08(1 + 0,08) A = 75.000 (1 + 0,08) 1 = 16.223,7 1.3.6.Il fattore di attualizzazione per una serie di pagamenti uguali Dal fattore del recupero del capitale in una serie di pagamenti uguali possiamo ricavare P come segue: P = A () () (1-11) 17
Il fattore risultante [(1 + i) 1]/i(1 + i) è noto come fattore di attualizzazione di una serie di pagamenti uguali ed è indicato con (P/A, i, n). Otteniamo dunque: P = A(P/A, i, n). (1-12) Esempio 6 Valore presente di un pagamento a rate Una motocicletta viene acquistata oggi con l accordo acquirente-venditore di effettuare il pagamento mediante 5 versamenti annuali, al termine di ogni anno, del valore di 1.700 ciascuno. Sapendo che il tasso di interesse concordato è del 7% annuo, si determini il valore della motocicletta. Soluzione Utilizzando la (1-11), possiamo ricavare il valore di P nel modo seguente: P = 1.700 (1 + 0,07) 1 0,07(1 + 0,07) = 6970,34 Le formule ricavate in questo paragrafo si riferiscono a interessi in regime di capitalizzazione discontinua o discreta; ossia l interesse viene capitalizzato (composto) al termine di ciascun periodo di lunghezza specificata. Inoltre, le formule presuppongono la presenza di flussi di cassa discreti collocati in corrispondenza della fine/inizio dei periodi di capitalizzazione. 18
CAPITOLO 2 TASSI DI INTERESSE CHE VARIANO NEL TEMPO 19
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2.1.Tassi di interesse nominali ed effettivi Può accadere che il periodo di composizione, o l intervallo temporale tra due composizioni successive degli interessi, sia inferiore all anno. La consuetudine vuole comunque che si indichino i tassi d interesse su base annua, precisando il periodo di composizione se diverso dall anno. Per esempio, se il tasso d interesse è del 6% per periodo d interesse e questo periodo è di sei mesi, si parla di tasso del 12% composto semestralmente. Questo tasso annuale d interesse, pari al 12% nel caso citato, viene definito come tasso nominale e si indica con r. Chiaramente il tasso reale (o effettivo) annuo non è del 12%, bensì superiore, in quanto la composizione avviene due volte nel corso dell anno. E possibile stabilire una relazione fra il tasso di interesse effettivo per ogni intervallo di tempo e il tasso di interesse nominale annuo. Siano: r = tasso di interesse nominale per anno, i = tasso di interesse effettivo nell intervallo di tempo, l = durata dell intervallo di tempo (in anni), m = reciproco della durata del periodo di capitalizzazione (in anni). Il tasso di interesse effettivo per ogni intervallo di tempo è dato da i = 1 + 1. (2-1) Se l interesse è composto solo una volta nell intervallo di tempo, allora l m = 1 e i =. (2-2) Per trovare il tasso di interesse effettivo applicabile per ogni intervallo di tempo, si può usare la seguente relazione: i = 1 + 1 (2-3) dove c (c 1) è il numero dei periodi di capitalizzazione nell intervallo di tempo (c = l m). Quando c = 1 l equazione (2-3) si riduce alla (2-2). 21
Esempio 7 Tasso effettivo annuo Una banca addebita un tasso d interesse del 1,375% al mese sugli scoperti di conto corrente. Il tasso d interesse annuale comunicato dalla banca è di 12(1,375%)=16,5%. Qual è il tasso d interesse effettivo applicato? Soluzione Utilizzando l equazione (2-3) otteniamo: i = 1 + 0,165 12 1 = 0,1781 = 17,81% 2.2.Capitalizzazione continua Nella maggior parte delle transazioni commerciali e delle applicazioni economiche, l interesse viene composto al termine di periodi discreti e, come discusso in precedenza, si presuppone che i flussi di cassa siano importi discreti alla fine di ciascun periodo. Tuttavia, è evidente che nella maggior parte delle imprese il denaro entra ed esce continuamente. Poiché il denaro può essere investito ogni qualvolta sia disponibile, esiste l opportunità che si verifichino capitalizzazioni molto frequenti. Per trattare e modellare questa situazione, nelle analisi economiche si ricorre qualche volta ai concetti di composizione e di flusso di cassa continui. In realtà, nella maggior parte dei casi i risultati ottenuti da questa procedura non si discostano di molto da quelli ottenuti tramite una composizione discreta. La capitalizzazione continua presuppone che i flussi di cassa abbiano luogo a intervalli discreti (per esempio, una volta l anno), ma che la composizione del tasso sia continua sull intero intervallo. Si può dunque supporre che gli interessi vengano capitalizzati un numero infinito di volte in un anno, cioè continuamente. In queste condizioni, il tasso di interesse effettivo per la capitalizzazione continua può essere ricavato dall equazione (2-1) con l = 1 come segue: i = lim 1 + r m 1 ma dato che 1 + = 1 + 22
e lim 1 + = e = 2,7182 allora i = lim 1 + 1 = e 1 Quindi quando l interesse è calcolato in regime di capitalizzazione continua i = tasso di interesse effettivo annuale = e 1 (2-4) 2.3.Formule dell interesse, pagamenti annuali con capitalizzazione continua Questo paragrafo presenta le formule di interesse da usare nei casi in cui appaiono più convenienti i pagamenti annuali con capitalizzazione continua. Saranno usati i seguenti simboli. Poniamo: r = tasso d interesse nominale annuo; n = numero dei periodi annuali; P = capitale attuale; A = singolo pagamento, in una serie di n pagamenti uguali, effettuato alla fine di ogni periodo annuale; F = somma futura, a n periodi annuali a partire da adesso. Il fattore di capitalizzazione continua di un singolo pagamento. Il fattore di capitalizzazione composta di un singolo pagamento dipende dal numero dei periodi di capitalizzazione con le seguenti relazioni: Per la capitalizzazione annuale: F = P(1 + r) Per la capitalizzazione semestrale: F = P 1 + 23
Per la capitalizzazione mensile: F = P 1 + In generale, se in un anno vi sono m periodi di capitalizzazione F = P 1 + r m Quando si adotta la capitalizzazione continua, gli interessi ricavati vengono istantaneamente aggiunti alla somma principale alla fine di ogni periodo infinitesimale. Nella capitalizzazione continua, il numero dei periodi di capitalizzazione in ogni anno viene considerato infinito. Quindi F = P lim 1 +. Da questo si ha F = P lim 1 +. Ma lim 1 + = e = 2,7182. Perciò F = Pe. (2-5) Il fattore risultante, e, è il fattore di capitalizzazione continua di un singolo pagamento ed è indicato con (F/P, r, n). Si noti che ogni fattore discreto a capitalizzazione continua può essere ricavato dal suo corrispondente fattore a capitalizzazione discreta sostituendo il tasso continuo effettivo di interesse i. Per il fattore ricavato nell equazione (2-5) si sostituisca i = e 1 24
in (1 + i) e si ha e Il fattore di attualizzazione continua di un singolo pagamento. Dalla relazione della capitalizzazione continua in un singolo pagamento si può ricavare P nel modo seguente: P = F. (2-6) Il fattore risultante, e, è il fattore di attualizzazione continua di un singolo pagamento ed è indicato con (P/F, r, n). Il fattore di attualizzazione continua di una serie di pagamenti uguali. Se consideriamo singolarmente ogni pagamento della serie, il valore attuale totale della serie è dato dalla somma dei singoli valori attuali come segue: P = A(e ) + A(e ) + + A(e ) = Ae (1 + e + e + + e () ) che è uguale a Ae volte la progressione geometrica quindi P = Ae = A. (2-7) Il fattore risultante, (1 e )/(e 1) è il fattore di attualizzazione continua di una serie di pagamenti uguali ed è indicato con (P/A, r, n). Il fattore di recupero del capitale di una serie di pagamenti uguali. Dalla relazione del valore attuale di una serie di pagamenti uguali possiamo ricavare A come segue: A = P. (2-8) 25
Il fattore risultante, (e 1) / (1 e ), è il fattore di recupero del capitale per capitalizzazione continua degli interessi ed è indicato con (A/P, r, n). Esempio 8 Capitalizzazione continua e pagamenti annuali Si vuole calcolare quale somma A si potrebbe ricavare ogni anno per 10 anni versando adesso 1.000 in un deposito che gode di un tasso di interesse nominale annuo del 20% composto continuamente (M = ). Soluzione E necessario utilizzare la formula (2-8): A = 1.000 e, 1 1 e = 256 Il fattore della rate d ammortamento di una serie di pagamenti uguali. Se nella relazione del recupero del capitale di una serie di pagamenti uguali sostituiamo Fe al posto di P, otteniamo A = Fe = F. (2-9) Il fattore risultante, (e 1)/(e 1) è il fattore delle rate d ammortamento di una serie di pagamenti uguali per la capitalizzazione continua degli interessi ed è indicato con (A/F, r, n). Il fattore di capitalizzazione continua di una serie di pagamenti uguali. Dalla relazione delle rate d ammortamento di una serie di pagamenti uguali possiamo ricavare F come segue: F = A. (2-10) Il fattore risultante, (e 1)/(1 e ) è il fattore della capitalizzazione continua di una serie di pagamenti uguali ed è indicato con (F/A, r, n). 2.4.Formule dell interesse, pagamenti continui degli interessi in regime di capitalizzazione continua Nei calcoli precedenti si supponeva che i pagamenti fossero concentrati in momenti distinti nel tempo. Tuttavia in molti esempi è ragionevole supporre che le transazioni monetarie 26
avvengano su una base relativamente uniforme nel corso dell anno. Situazioni di questo tipo implicano un processo di flusso di fondi che può essere presentato in termini di tasso di flusso annuale. Saranno adoperati i seguenti simboli. Poniamo: r = tasso d interesse nominale annuo; n = tempo espresso in anni; P = capitale attuale; A = tasso del flusso uniforme del denaro per anno; F = quantità futura uguale al montante di un flusso uniforme del denaro nel tempo n. Quando non vi è il flusso dei pagamenti, come nel caso dei pagamenti annuali, i fattori di capitalizzazione e di attualizzazione sono identici a quelli dei pagamenti annuali degli interessi con capitalizzazione continua. Quindi F = Pe e P = Fe Il fattore di capitalizzazione continua di flusso di fondi. Per ricavare le formule relative agli interessi nel processo del flusso dei fondi ci serviremo dei simboli seguenti. Poniamo: F = somma futura uguale alla somma composta P. Questa somma futura si avrà t anni dopo il tempo n. A = tasso uniforme del flusso di denaro per anno. Poiché abbiamo dimostrato che F = Pe, F = Pe Ma P = A t quindi F = A e t Se supponiamo che t tenda a zero, abbiamo 27
df = A e t E, per l intero intervallo compreso tra 0 e n F = df = A e dt A e F = = A e r r e r F = A. (2-11) Il fattore risultante, (e 1)/r è definito il fattore di capitalizzazione continua del flusso di fondi ed è indicato con (F/A, r, n). Il fattore delle rate d ammortamento del flusso di fondi. Dalla relazione della capitalizzazione continua del flusso dei fondi possiamo ricavare A come segue: A = F. (2-12) Il fattore risultante, r/(e 1) è il fattore delle rate d ammortamento del flusso di fondi ed è indicato con (A /F, r, n). Il fattore di recupero del capitale nel flusso di fondi. Usando la relazione della capitalizzazione continua di un singolo pagamento F = Pe, e la relazione delle rate d ammortamento del flusso dei fondi appena ricavato, si ha che A = Pe r e 1 A = P. (2-13) Il fattore risultante, (re )/(e 1), è il fattore di recupero del capitale nel flusso di fondi ed è indicato con (A /P, r, n). 28
Il fattore di attualizzazione continua del flusso dei fondi. Dalla relazione del recupero del capitale nel flusso dei fondi di può ricavare P come segue: P = A. (2-13) Il fattore risultante, (e 1)/(re ) è il fattore di attualizzazione continua del flusso di fondi ed è indicato con (P/A, r, n). Il fattore di conversione del flusso dei fondi. I valori tabulati dei fattori relativi agli interessi con pagamenti annuali a capitalizzazione continua possono venire modificati ed impiegati per i fattori relativi al flusso di fondi. Il fattore di conversione necessario può essere ottenuto trovando l ammontare di fine anno equivalente alla somma di un numero infinito di pagamenti che avvengono durante l anno. Il fattore di capitalizzazione di una serie di pagamenti uguali dell equazione (2-10) può essere modificato come segue per considerare m periodi d interesse all anno: F = A 1 m e e = A 1 m e 1 e 1 Ma lim e 1 A m e 1 e = lim A m 1 e = A e 1 1 r F = A. (2-14) L equazione (2-14) esprime l equivalenza tra un flusso continuo e uniforme di fondi per un anno, A, e una somma futura alla fine dell anno, F. Per un intervallo di tempo superiore ad un anno, lo stesso fattore permette di calcolare l equivalenza tra un flusso uniforme di fondi al tasso A per ogni anno e somme annue uguali, A, alla fine di ogni anno. Quindi, per intervalli di tempo superiori ad un anno, si ha: 29