Corso di Laurea in Economia e Finanza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispondenti a 48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 27
Numeri indici e rapporti statistici In molti casi è interessante studiare l evoluzione di un fenomeno nel tempo. Per esempio è di grande interesse per il governo di un paese tenere sotto controllo l andamento delle principali variabili macro-economiche (tasso di disoccupazione, inflazione, consumi, etc). L osservazione sistematica nel tempo di un fenomeno permette di costruire una serie storica. Definizione Si definisce serie storica una sequenza di osservazioni x 1, x 2,..., x t,..., x T di un generico fenomeno X in T istanti temporali. Le osservazioni possono succedere di mese in mese, come accade nelle rilevazioni dei salari mensili, o di anno in anno, come nelle rilevazioni del PIL di una nazione. 2 / 27
Esempio. Di seguito è riportata la serie storica del PIL relativo agli anni 2000/2007. Anno 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 PIL 1187 1259 1297 1346 1387 1423 1481 1561 Un primo modo per valutare la variazione della serie storica osservata è tramite le differenze x t+1 x t, ovvero PIL 72 38 49 41 36 58 80 Note: occorre osservare che le variazioni calcolate in precedenza risultato di difficile interpretazione poiché le differenze dipendono dall unità di misura dei dati. 3 / 27
La variazione da un periodo all altro può essere misurata rapportando il valore x t+1 con il valore immediatamente precedente, ovvero x t. Si definisce tasso di variazione percentuale il rapporto: x t+1 x t 100, mentre di definisce variazione relativa percentuale la quantità: ( ) x t+1 x t xt+1 100 = 1 100. x t x t Con riferimento alla serie storica del PIL si ricava: Tasso di variazione percentuale 106.07 103.02 103.78 103.05 102.60 104.08 105.40 Variazione relativa percentuale 6.07 3.02 3.78 3.05 2.60 4.08 5.40 4 / 27
PIL (ml di euro) 1200 1300 1400 1500 Variazione relativa percentuale 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2001/2000 2002/2001 2003/2002 2004/2003 2005/2004 2006/2005 2007/2006 Anni 5 / 27
In generale, quando si è interessati a misurare l entità dei mutamenti in una serie storica, si possono effettuare dei rapporti tra due o più valori della serie. Le quantità così ottenute prendono il nome di numeri indici. Si distinguono due tipologie di numeri indici: i. numero indice semplice: deriva dal rapporto di due o più valori della serie; ii. numero indice complesso (o sintetico): consente di sintetizzare con un unico indice statistico le variazioni subite contemporaneamente da più serie. 6 / 27
Numeri indici semplici Le serie dei numeri indici semplici possono essere costruite in due modi diversi: a base fissa o a base mobile. Definizione Una serie di numeri indici a base fissa esprime l intensità o frequenza di un fenomeno in ogni periodo di tempo come una quota dell intensità o frequenza in un periodo di riferimento chiamato base. Formalmente, il numero indice al tempo t con base s è definito dal seguente rapporto: I t/s = xt x s. Se la quantità precedente è moltiplicata per 100 si ottengono degli indici percentuali. Particolare rilevanza ha l andamento dei prezzi dei beni e dei servizi nel valutare molte grandezze economiche. Per esempio, la spesa media annua per il consumo di beni alimentari potrebbe aumentare o diminuire, anche tenendo costanti le quantità di beni consumate di anno in anno, per il solo effetto della variazione dei prezzi dei beni. Per tale motivo risulta rilevante lo studio delle variazioni avvenute nella serie storica del prezzo unitario del bene o servizio, evidenziate in particolare dalla serie percentuale dei numeri indici dei prezzi a base fissa. 7 / 27
Esempio. Nella seguente tabella è riportato il prezzo unitario di un certo bene dal 2001 al 2004. Anno Prezzo unitario Numero indice % Numero indice % (base 2001) (base 2003) 2001 40 100 50.0 2002 66 165 82.5 2003 80 200 100.0 2004 92 230 115.0 La terza e quarta colonna riportano gli indici a base fissa per l anno base 2001 e per l anno base 2003. Il numero indice per l anno 2002 nella serie con base il 2001 è pari a: (66/40) = 165. Questo vuol dire che il prezzo del 2002 è il 65% in più del prezzo del 2001. Dalla serie a base fissa 2003, si trova che il prezzo per l anno 2001 è, invece, il 50% in meno di quello del 2003. Note. Osserviamo che non esiste differenza sostanziale tra il numero indice, per esempio, I 2002/01 = x 2002 /x 2001 100 = 165 e la corrispondente variazione relativa percentuale dei prezzi, (x 2002 /x 2001 1) 100 = I 2002/01 100 = 65. 8 / 27
L esempio precedente solleva la questione relativa alla scelta dell anno da utilizzare come base per la definizione dei numeri indici a base fissa. Di seguito si riportano alcune indicazioni di carattere pratico: i. il periodo di tempo preso come base di riferimento della serie dei numeri indici deve, quanto può possibile, rappresentare una situazione di normalità caratterizzata dall assanza di eventi esterni che possano aver influito in modo rilevante ed anomalo sull andamento del fenomeno; ii. è conveniente scegliere come base uno tra i periodi centrali della serie in maniera che sia rappresentativo sia per le prime sia per le ultime osservazioni della serie. Per questo motivo, passato un certo periodo di anni, è necessario calcolare la serie dei numeri indici rispetto ad una base più aggiornata. Il cambiamento di base si rende necessario anche quando si vogliono confrontare due serie con basi diverse. 9 / 27
Un altro modo di analizzare l andamento di un fenomeno è quello di confrontare l intensità o la frequenza di un certo periodo con l intensità o la frequenza del periodo immediatamente precedente. Definizione Una serie di numeri indici a base mobile esprime l intensità o frequenza di un fenomeno in ogni periodo di tempo come rapporto con l intensità o frequenza nel periodo di tempo immediatamente precedente. 10 / 27
Esempio. Considerando la serie storica del numero di divorzi in Italia dal 1997 al 2001, possiamo costruire la corrispondente serie percentuale a base mobile: Anno 1997 1998 1999 2000 2001 Numero divorzi 33342 33510 34341 37573 40051 Numero indice 100.5 102.5 109.4 106.6 Come possiamo osservare, il numero di divorzi nel 2000 è cresciuto del 9.4% rispetto a quello dell anno precedente. Il numero assoluto di divorzi è sempre aumentato in tutti gli anni considerati. L esempio mostra che non è possibile determinare il numero indice per l anno 1997 dato che dalla serie non è disponibile il numero di divorzi dell anno 1996. 11 / 27
Passaggio da una base fissa ad un altra base fissa Per passare da una serie percentuale di numeri indici a base fissa ad una serie percentuale con una nuova base fissa, è sufficiente dividere ogni numero indice per il numero indice del periodo preso come nuova base e moltiplicare per 100. 12 / 27
Esempio. Si consideri la serie percentuale dei numeri indici a base fissa 1999, relativamente ai divorzi in Italia dal 1997 al 2001: Serie dei numeri indici % (base 1999) 1997 1998 1999 2000 2001 97.1 97.6 100 109.4 116.6 Si determini la serie dei numeri indici con base 2000. Sulla base della precedente proprietà è sufficiente dividere tutti gli indici con base 1999 per 109.4 e moltiplicarlo per cento. Serie dei numeri indici % (base 2000) 100 88.8 1997 97.1 109.4 97.6 1998 109.4 100 1999 109.4 109.4 2000 109.4 116.6 2001 109.4 100 89.2 100 91.4 100 = 100.0 100 106.6 13 / 27
Passaggio da una base fissa ad una base mobile Dividendo ogni numero indice della serie a base fissa per quello precedente è moltiplicando per cento si ottiene la corrispondente serie percentuale dei numeri indici a base mobile. 14 / 27
Esempio. Si consideri la seguente serie percentuale di numeri indici dei prezzi di un certo bene a base fissa (base uguale al periodo 4). Periodo 1 2 3 4 5 6 Numero indice 59.05 72.38 80.95 100.00 116.67 142.86 Determinare la corrispondente serie percentuale a base mobile. Serie dei numeri indici percentuali (base mobile) 1 72.38 2 59.05100 122.57 100 111.84 3 80.95 72.38 100.00 4 80.95 116.67 5 100.00 142.86 6 116.67 100 123.53 100 116.67 100 122.45 15 / 27
Passaggio da una base mobile ad una base fissa 1. si pone uguale ad 1 il numero indice della serie a base mobile relativo al periodo t scelto come base; 2. il numero indice a base fissa corrispondente a un periodo k precedente a t (k < t) si ottiene calcolando l inverso del prodotto dei numeri indici a base mobile dal tempo k + 1 fino al t incluso; 3. il numero indice a base fissa corrispondente ad un periodo h successivo a t (t < h) si ottiene moltiplicando il corrispondente numero indice a base mobile per tutti quelli che lo precedono fino al periodo t + 1. Moltiplicando per cento ogni numero indice si ottiene la serie percentuale dei numeri indici a base fissa. 16 / 27
Esempio. Consideriamo la seguente serie percentuale di numeri indici dei prezzi di un certo bene a base mobile. Periodo 1 2 3 4 5 6 7 122.57 111.84 123.53 116.67 122.45 120.32 Calcolare la serie dei numeri indici a base fissa con base il periodo 4. Numeri indici percentuali a base fissa (base 4) Periodo 1 (1.2353 1.1184 1.2257) 1 = 0.5905 59.05 2 (1.2353 1.1184) 1 = 0.7238 72.38 3 1.2353 1 = 0.8995 89.95 4 1 100 5 1.1667 116.67 6 1.1667 1.2245 = 1.4286 142.86 7 1.1667 1.2245 1.2032 = 1.7189 171.89 17 / 27
Numeri indici complessi In molti casi il fenomeno di cui si vuole osservare l andamento nel tempo è troppo complesso perché possa bastare l analisi di una sola variabile. Ad esempio, quando si considera una serie storica relativa al prezzo di una classe di beni, come la carne, per i prodotto tessili, per i prodotti in gomma e plastica etc., è necessario determinare una sintesi dell andamento dei prezzi dei singoli beni che costituiscono tale classe. Per esempio, l andamento del prezzo delle bevande può essere ottenuto rilevando congiuntamente l andamento dei prezzi dell alcol etilico di fermentazione, dei vini e bevande a base di vino, dei prodotti di birreria, etc. In tutti questi casi si devono utilizzare i numeri indici complessi che sintetizzano in un unico indice le variazioni subite dai diversi fenomeni. Per costruire tali indici si possono due possibili metodi: i. si calcola il numero indice delle somme ponderate delle intensità o frequenze dei singoli fenomeni; ii. si calcola una media ponderata dei numeri indici semplici dei singoli fenomeni. 18 / 27
Supponiamo di aver rilevato M beni ed indichiamo con p 1t, p 2t,..., p mt,..., p Mt i prezzi unitari degli m beni rilevati al tempo t. La quantità del bene m-esimo mediamente o tipicamente consumata nei periodi di tempo considerati è indicata con q ma, dove con l indice a si indica un periodo di tempo medio o un periodo di tempo rappresentativo. Utilizzando la notazione introdotta in precedenza si ricava che la somma complessiva per gli M beni nel periodo t è data da p 1t q 1a + p 2t q 2a +..., p mt q ma +..., p Mt q Ma = M p mt q ma Se indichiamo con p m0 il prezzo del bene m-esimo nel periodo di tempo preso come base che indicheremo con 0, la spessa complessiva per gli M beni nel periodo base è: M p m0 q ma. m=1 m=1 19 / 27
Il numero indice dei prezzi per il periodo t con il metodo delle somme ponderate dei prezzi dei singoli beni è dato dal rapporto dei due costi complessivi moltiplicato per 100. Definizione Indicando con 0 il periodo base, il numero indice percentuale dei prezzi per il periodo t con il metodo delle somme ponderate dei prezzi dei singoli beni è dato da: I t = M m=1 p mtq ma M m=1 p m0q ma 100 20 / 27
Esempio. Supponiamo che un impresa di pulizie voglia costruire un indice dei prezzi complesso relativo al prezzo unitario in euro dei prodotti casalinghi utilizzati negli anni 2005/2007 per svolgere la propria attività. Nella seguente tabella si riportano i prezzi dei prodotti più rappresentativi e le quantità mediamente consumate. Prezzo unitario Quantità 2005 2006 2007 Prodotti q ma p m0 p m1 p m2 Detergenti per vetri 200 2.5 2.7 3 Cera per pavimento 160 5.3 5.8 6.0 Scopa 40 10.5 11.5 12 Straccio 150 0.6 0.65 0.68 Detersivo A 90 3.2 3.4 4.0 Detersivo B 250 4.4 4.5 4.8 Calcolare la serie dei numeri indici con il metodo delle somme ponderate e utilizzando come base 2005. 21 / 27
Per calcolare la serie dei numeri indici con il metodo delle somme ponderate si deve prima determinare la spesa nei prodotti nei tre anni considerati: p m0q ma p m1q ma p m2q ma 500 540.0 600 848 928.0 960 420 460.0 480 90 97.5 102 288 306.0 360 1100 1125.0 1200 3246 3456.5 3702 La tabella riporta il costo totale per ogni anno e da questo si può ricavare facilmente la serie percentuale dei numeri indici complessi con base 2005: I 2005 = 3246 3456.5 3702 100 = 100 I2006 = 100 = 106.5 I2007 = 100 = 114.1 3246 3246 3246 Note. L esempio mostra che nella costruzione dei numeri indici si sono mantenuti costanti di anno in anno sia i prodotti considerati che le quantità consumate; ne consegue che le variazioni ottenute sono dovute esclusivamente al prezzo dei prodotti. Il numero indice del 2006 (I 2006 = 106.5) indica che il prezzo pagato dalla ditta di pulizie per l aggregato di prodotti è aumentato del 6.5% rispetto al 2005 a parità di quantità. 22 / 27
In merito alla scelta della quantità di riferimento q ma, in letteratura trovano particolare rilievo gli approcci dovuti a Laspeyres e Paasche. Definizione Il numero indice dei prezzi di Laspeyres è definito utilizzando come quantità di riferimento quelle relative al periodo di base (q ma = q m0 ), da cui si ricava I L t = M m=1 p mtq m0 M m=1 p m0q m0 100. Definizione Il numero indice dei prezzi di Paasche è definito utilizzando come quantità di riferimento le quantità relative a ogni dato periodo di riferimento (q ma = q mt ), da cui si ricava M It P m=1 = p mtq mt M m=1 p 100. m0q mt 23 / 27
Gli indici dei prezzi di Laspeyres e Paasche si differenziano oltre che per le formule di sintesi anche per il modo di descrivere l andamento della variazione dei prezzi. L indice di Laspeyres tende a essere superiore all indice di Paasche quando i prezzi aumentano, mentre tende ad essere inferiore quando i prezzi diminuiscono. Un numero indice complesso che consente di considerare contemporaneamente l informazione fornita dai due indici dei prezzi è quello che si ottiene dalla formula ideale di Fisher: It F = It L It P Il valore di tale indice, essendo una media, è sempre intermedio ai valori degli indici di Laspeyres e Paasche. 24 / 27
Il secondo metodo per la costruzione dei numeri indici complessi è il metodo della media ponderata dei numeri indici semplici a base fissa dei singoli beni. Questo metodo considera una media ponderata dei numeri indici semplici a base fissa con dei pesi che non corrispondono alle semplici quantità in quanto devono essere espressi tutti nella stessa unità di misura. Come pesi vengono normalmente presi dei valori monetari come, per esempio, il prodotto tra la quantità media q ma e un presso medio p ma. In generale tali pesi vengono denotati con i simboli: s 1a, s 2a,..., s ma,..., s Ma. Definizione Il numero indice dei prezzi per il periodo t con il metodo della media ponderata dei numeri indici a basa fissa dei singoli beni è dato da ( ) M pmt m=1 p m0 100 s ma Ī t = M m=1 s ma 25 / 27
Esempio. Consideriamo nuovamente l esempio relativo all impresa di pulizie e calcoliamo il numero indice dei prezzi con il metodo della media ponderata. Come peso del generico m-esimo bene consideriamo il prodotto tra il prezzo dell anno 2005 e la quantità media consumata: s ma = p m0 q ma. Prezzo unitario Peso 2005 2006 2007 Prodotti s ma (p m0 /p m0 )100 (p m1 /p m0 )100 (p m2 /p m0 )100 Detergenti per vetri 500 100 108.0 120.0 Cera per pavimento 848 100 109.4 113.2 Scopa 420 100 109.5 114.3 Straccio 90 100 108.3 113.3 Detersivo A 288 100 106.3 125.0 Detersivo B 1100 100 102.3 109.1 Totale 3246 26 / 27
Prezzo unitario 2005 2006 2007 Prodotti s ma (p m0 /p m0 )100 s ma (p m1 /p m0 )100 s ma (p m2 /p m0 )100 Detergenti per vetri 50000 54000.0 60000.0 Cera per pavimento 84800 92771.2 95993.6 Scopa 42000 45900.0 48006.0 Straccio 9000 9747.0 10197.0 Detersivo A 28800 30614.4 36000.0 Detersivo B 110000 112530.0 120010.0 Totale 324600 345652.6 370206.06 da cui segue la seguente serie di numeri indici complessi: Ī 05 = 324600 3246 = 100 Ī 06 = 345652.6 = 106.5 Ī 06 = 370206.06 = 114.1 3246 3246 Note: come si può notare i numeri indici ottenuti assumono lo stesso valore di quelli trovati nell esempio precedente con il metodo delle somme ponderate. Ciò deriva dal fatto che i pesi s ma sono riferiti al periodo base. Se si fossero utilizzati i prezzi di un altro periodo di tempo si sarebbero ottenuti valori diversi. 27 / 27