Università di Modena e Reggio E. Scuola di Specializzazione per l nsegnamento Secondario cl. A03 ciclo MODULO: Circuiti elettrici in corrente alternata Unità d apprendimento 3: Rappresentazione di grandezze sinusoidali mediante numeri complessi, trasformata di Steinmez. Unità d apprendimento : Circuiti in c.a. regime sinusoidale e transitorio (applicazioni di segnali cisoidali) Prampolini Katia Michelini Alberto a.a. 00/005
Grandezze elettriche alternate Una grandezza elettrica alternata è una grandezza variabile e periodica, ossia che dopo un intervallo di tempo T (detto periodo) riassume il valore iniziale. (t 0 +T) (t 0 ) ; T T Figura Oppure si può anche dire che una grandezza è alternata se nell unità di tempo si ripete con una frequenza f pari a /T. La grandezza /T viene chiamata appunto frequenza, ed esprime quante volte al secondo la grandezza elettrica si ripete. L unità della misura della frequenza si chiama Hz. Maggiore è il periodo con cui la grandezza elettrica si ripete, minore sarà il numero di volte con cui lo fa in un secondo e viceversa. Per esempio una grandezza che ha frequenza pari a 00 Hz, vuol dire che si ripete 00 volte in un secondo, avrà un periodo T /f 0.0 sec. Se invece la frequenza aumenta di 0 volte (000 Hz) il periodo diventa 0 volte più piccolo T 0.00 sec msec. Una grandezza elettrica variabile si dice sinusoidale se varia nel tempo con legge sinusoidale (o armonica) segnale sinusoidale freq. 50 Hz Periodo T 0.0s Figura Dalla cinematica del punto sappiamo che un esempio di moto di tipo armonico si può avere da un moto circolare uniforme, proiettandone il moto su di un diametro. Seguendo infatti un moto circolare uniforme di un punto materiale, suddividendo il periodo di rivoluzione in 8 istanti diversi ad uguale distanza tra loro, si proiettano sul diametro le posizioni che il punto assume in quegli istanti. Successivamente si possono riportare in un diagramma temporale le distanze delle proiezioni dal centro del cerchio sull asse delle ordinate, e gli 8 istanti diversi sull asse delle ascisse che diventa quindi l asse dei tempi.
Figura 3 Come si deduce dal diagramma, la legge con cui la posizione sul diametro si muove nel tempo è di tipo cosinusoidale (curva di colore rosso), dove l argomento (cioè l angolo) è quello che è descritto dal raggio del cerchio che individua il punto, che nella figura 3 è indicato con θ. n effetti la proiezione è data dal prodotto RAGGO*COS θ 3 θ 0 8 L angolo θ varia nel tempo e se il moto del punto è circolare uniforme, il raggio che lo individua descrive angoli uguali in tempi uguali, quindi la velocità con cui l angolo varia è costante: ω Δθ / Δt 5 0 6 7 y e verrà chiamata velocità angolare (misurata in radianti al secondo) e la legge con cui l angolo varia è di tipo lineare θ ω t Dopo un tempo pari al periodo T il punto ha percorso un giro e torna nella posizione iniziale, l angolo descritto è quindi pari a π radianti. Un altra relazione per ω è quindi : 3 5 6 7 8 ω π / T ; Ugualmente in un secondo il punto compierà /T f rivoluzioni quindi: ω π f ; La legge che descrive il movimento della proiezione sul diametro è quindi : Y(t) R cos (ω t) ; Se ora immaginiamo che il punto si muova partendo da una posizione più in avanti rispetto prima di un angolo φ, cosa cambierà nella legge oraria? Ovviamente in ogni istante il punto si troverà leggermente avanti rispetto al caso precedente, anticipando la posizione angolare di un angolo pari proprio a φ (FG. curva di colore blu) θ ω t + φ ; y(t) R cos(ω t + φ) ; La seconda grandezza alternata si dice in anticipo rispetto alla prima, con angolo di anticipo pari a φ. Ugualmente se il punto si muoveva partendo da una posizione più arretrata, di un angolo pari ad α ad esempio, la funzione che rappresentava il movimento della proiezione sul diametro era : y(t) R cos (ωt - α) ; La grandezza ora si dice che è in ritardo rispetto alla prima, di un angolo α 3
Figura α φ Quest ultimo caso lo si può notare nella figura, dove la grandezza in ritardo è stata rappresentata in colore nero. Le grandezze che caratterizzano una funzione alternata sono quindi:. ampiezza, (fig.5) che corrisponde al raggio della circonferenza;. frequenza, (fig. 6)più essa è grande più piccolo è il periodo e quindi più rapide si fanno le rivoluzioni attorno al cerchio; 3. fase iniziale (fig. 7), che corrisponde all angolo da cui comincia il moto circolare; ariazione d ampiezza y Figura 5 AMPEA Aumento della frequenza Figura 6 FRUENA α R cos α Figura 7 FASE
Per le grandezze elettriche alternate ( o segnali elettrici) l ampiezza non corrisponde esattamente al valore massimo che essa può assumere ma al valore efficace, o valore quadratico medio. Per definire il valore efficace di una grandezza alternata consideriamo una resistenza R sottoposta alla grandezza alternata in esame, corrente o tensione, e supponiamo di aver potuto misurare la potenza che in essa è dissipata per effetto. Ora sottoponiamo la stessa resistenza ad una grandezza elettrica equivalente, tensione o corrente ma continua, in modo tale da dissipare in calore la stessa potenza di prima. l valore della grandezza continua che provoca dissipa la stessa potenza della grandezza alternata (sulla stessa resistenza), viene detto valore efficace della grandezza alternata. Per ora considereremo solamente segnali armonici, per i quali il valore efficace è pari a : MAX /. n conclusione le grandezze elettriche sinusoidali sono rappresentate da espressioni del tipo (t) eff cos(ω t + φ) dove (t) è in questo caso una tensione elettrica (ma potrebbe essere anche una corrente) e il suo valore viene chiamato valore istantaneo. Per i casi reali che si affrontano nei circuiti elettrici, i segnali sono tutti isofrequenziali, cioè hanno la stessa frequenza. Ne consegue che per definire completamente ed univocamente una grandezza alternata basta definire due variabili: ampiezza e fase. Questo aiuta ad introdurre la rappresentazione matematica utilizzata per le grandezze alternate. n effetti per eseguire i vari calcoli con le grandezze elettriche alternate, riuscirebbe difficile farlo attraverso i valori istantanei, ma potremmo considerare il vettore che nell esempio del moto circolare, ruotava con velocità angolare ω in senso anti orario. Anch esso può definire in modo univoco la grandezza elettrica: esso ha, come tutti i vettori, due caratteristiche pertinenti: modulo e direzione che dalle figure 3 e, si vede come esse rappresentino rispettivamente il modulo e la fase del vettore e quindi anche della grandezza elettrica. Quindi ogni grandezza elettrica sinusoidale con ampiezza A, frequenza angolare ω e fase φ si può rappresentare con un vettore avente modulo A efficace, che ruota con velocità angolare ω in senso anti orario e che forma all istante t0 con l asse delle ascisse un angolo pari alla fase φ. Tale vettore prenderà il nome di fasore. Attraverso i fasori si possono eseguire tutte le operazioni matematiche che si eseguono con i vettori, il risultato sarà un favore che rappresenta una nuova grandezza sinusoidale. B A + B A + B A B A Come rappresentare matematicamente il fasore? Come per tutti i vettori possiamo usare i due modi classici per rappresentarlo : forma cartesiana e forma polare, ma con una novità. n effetti delle due componenti cartesiane potrei considerarne solo una, per esempio l ascissa. Essa infatti contiene tutte le informazioni che dobbiamo sapere per individuare il vettore (e quindi la grandezza alternata) : modulo e fase: se è l ampiezza e φ è la fase la componente del vettore sull asse x è cos (φ ) Questa espressione contiene sia il modulo che la fase. Per semplicità di calcoli conviene però conservare le due componenti cartesiane, per poi attribuire φ significato fisico reale solo ad una. n matematica esistono dei numeri che soddisfano pienamente le nostre richieste: i numeri complessi. Essi infatti hanno cos φ 5
due rappresentazioni (cartesiana e polare) come le nostre grandezze. numeri complessi sono rappresentati su di un diagramma che differisce dal diagramma cartesiano tradizionale, e che si chiama diagramma di Gauss. n tale diagramma nelle ascisse mettiamo i numeri reali, mentre nelle ordinate metteremo i numeri immaginari che hanno come unità j -. Ogni punto del piano individua un vettore il quale rappresenta un numero complesso, avente cioè una componente reale ed una immaginaria. Û cos φ + j sen φ; Ma di tale fasore, come già detto, interesserà ai fini pratici solamente Asse immaginario la parte reale. Come concilia questa notazione derivata dai numeri complessi con la nostra grandezza sinusoidale (t) cos (ωt + φ )? j sen φ Cioè come fa il fasore a ruotare con velocità ω? φ l numero complesso che considereremo sarà quello già definito prima che corrisponde alla posizione all istante iniziale, moltiplicato Asse reale per un altro numero complesso che avrà modulo unitario ma fase cosφ variabile, ossia sarà un vettore rotante al fine di giustificare il significato del termine fasore. l secondo numero complesso è quindi U cosωt + j senωt Esso infatti è un vettore che ruota con velocità angolare ω, il numero complesso complessivo sarà quindi (t) (cosφ + jsenφ)(cosωt + j senωt) cosφ cosωt - senφ senωt j Da questo prodotto interessa solamente la parte reale: (t) cosφ cosωt - senφ senωt cos (ωt + φ ) c.v.d. La trasformazione che permette di passare diretamente da un segnale sinusoidale di valore efficace eff e fase φ ad un numero complesso eff (cosφ + jsenφ) si chiama trasformata di Steinmez. Essa può essere espressa in tre modi diversi : forma cartesiana (o trigonometrica) Forma polare Forma esponenziale eff (cosφ + jsenφ) eff φ eff e jφ Ad esempio rappresentare nelle forme complesse conosciute la grandezza sinusoidale (t) 0 cos (ωt + 30) forma cartesiana (o trigonometrica) 0 (cos30 + jsen30) 8,7 + j5 Forma polare 0 30 Forma esponenziale 0 e j30 Per ritornare dalla forma complessa a quella istantanea si procede così: eff a + jb valore efficace eff a + b fase φ arctg (b/a); ad esempio nel caso precedente: eff 8,7 + 5 0 ; φ arctg (5 / 8,7) 30 (t) 0 sen (ω t + 30 ); 6
PROPRETA ALGEBRCHE DE NUMER COMPLESS. Somma algebrica : si sommano tra loro le parti reali e le parti immaginarie. Ad esempio: 0 cos (π 00 t + 5 ) + 5 cos ( π 00 t - 60 ) + 0 cos5 + j 0 sen 5 + 5 cos 60 - j 5 sen 60 7 + j 7 +,5 - j,3 9,5 - j,7 eff (forma cartesiana) 9,5 +,7 9,8 φ arctg ( -0, / 6,7) -6 9,8-6 (forma polare) moltiplicazione per J e per -J moltiplicando per j si ottiene un fasore ruotato di 90 in senso orario rispetto all originale: ad esempio + j,8 5 j j ( + j) j -,8 35 j moltiplicando per j il fasore invece ruota di 90 ma in senso anti orario -j - j ( + j) - j +,8-5 j - -j complesso coniugato ogni numero complesso ha un coniugato, cioè un complesso che ha stessa parte reale ma parte immaginaria opposta. La somma di un complesso con il suo coniugato è un numero reale pari al doppio della parte reale del primo complesso. + j 3 - j 3; Moltiplicazione ( a + j b ) ( c + j d) a c - b d + j ( a d + b c); derivazione rispetto al tempo d d t d (cosωt + jsinωt) dt ( cosφ + jsinφ) jω [ jsin ( ωt + φ ) + cos( ωt + φ)] jω ( ωsinωt + jωcosωt ) ( cosφ + jsinφ) ωsin ( ωt + φ ) + jωcos( ωt + φ) equivale alla moltiplicazione per j ω: sen (α) cos (α - 90 ) ; - cos (α) cos (80 - α);. d (0 cos (ω t + 30 ) - ω 0 sen (ω t + 30 ) - ω 0 cos (ω t + 30-90 ) ω 0 cos(ω t + 0 ) ω 0 0 j ω 0 30 7
LOGLNG DMOSTRAONE DELLA CORRSPONDENA TRA UNA GRANDEA SNUSODALE cos (ωt + φ ) E LA PARTE REALE D UN NUMERO COMPLESSO CORRSPONDENTE ALLA TRASFORMATA D STENME.. (t) max cos (ωt + φ) ;. U cosωt + j senωt ; 3. eff ( cosφ + j sinφ) ;. φ ; eff 5. (t) Re[ U ] ; la relazione () La relazione () Rappresenta È un numero complesso solo la parte reale 5 Rappresenta Rappresenta Un numero complesso Di modulo eff solo la parte immaginaria raccogliendo J 5 esprime / dalla moltiplicazione di ottiene / Una grandezza che varia nel tempo Un vettore unitario l cui modulo è eff max 3 E di fase φ Considero solamente la parte reale c.v.d. 5 Con legge sinusoidale 3 Che ruota vocabolario 3 E la fase è Re( ) φ arctg m( ) Espresso in forma polare 3 Con frequenza ω Con velocità angolare ω E si definisce trasformata di Steinmez Per dimostrare la (5) E fase φ La relazione (3) La relazione () Si moltiplica la () per la (3) 8
CRCUT N CORRENTE ALTERNATA Ora si studieranno i comportamenti di risposta di alcuni circuiti, quando sono sottoposti ad una tensione (oppure una corrente) alternata sinusoidale. erranno trascurati tutti i fenomeni transitori connessi, considerando quindi il comportamento elettrico dopo un tempo idealmente infinito dalla chiusura dell interruttore. Questa situazione elettrica viene definita regime sinusoidale permanente. Obiettivo finale sarà : ricavare la corrente (o la tensione) in modulo e fase, con cui il circuito risponde ad una nota tensione ( o corrente). l primo circuito che si studia è il circuito puramente ohmico. Esso è costituito da un generatore di tensione alternata collegato ad una resistenza, ed è rappresentato nella figura. figura La legge di Ohm risulta valida anche in questo caso, quindi il valore istantaneo della corrente sarà proporzionale al valore istantaneo della tensione. La costante in gioco è la resistenza elettrica, che è una costante reale e quindi tra le due grandezze alternate non vi è sfasamento. loro fasori quindi sono in fase. ( t) eff cos( ω t + φ) ( t) () R R φ 30 R CRCUTO PURAMENTE CAPACTO E realizzato collegando un condensatore in serie ad un generatore di tensione (fig. ). Questa è una situazione che raramente può realizzarsi in pratica ed è da ritenersi un caso ideale, un modello matematico per capire la teoria del fenomeno. figura Sappiamo dall elettrostatica che la tensione che è ai capi di un condensatore è direttamente proporzionale alla carica accumulata sulle sue armature. Questa relazione viene estesa anche al caso dinamico come quello in oggetto quindi: Q C () C La tensione C ovviamente è la stessa che eroga il generatore ε(t) ε cos (ωt + φ). Dalla definizione di corrente ricaviamo: 9
( ωt + φ) dq d[ c ε ( t)] d [ ε eff cos ( t) C C ω ε eff sen dt dt dt φ 90 (3) ( ωt + φ) C ω cos( ωt + + ) La relazione (3) mostra come la corrente non sia in fase con la tensione, ma risulti in sfasata di 90 in anticipo rispetto ad essa. noltre il suo modulo è proporzionale alla tensione, ma anche alla frequenza. Nel simbolismo di Steinmez la relazione tra tensione e corrente contiene un fattore immaginario j per giustificare il loro sfasamento. Dovendo infatti essere il fasore della corrente in anticipo di 90 su quello della tensione, il n complesso che rappresenta quest ultima grandezza dovrà essere moltiplicato per j, come si sa dalle proprietà dei numeri complessi. La legge di Ohm nel circuito capacitivo, nella notazione simbolica di Steinmez, è quindi: jω C () ( ) l numero immaginario x C è l equivalente della resistenza per il circuito in esame, ed ha infatti la j ω C stessa dimensione: Ω. A tale grandezza viene dato il nome di reattanza capacitiva. Ma quale giustificazione fisica trova lo sfasamento tra corrente e tensione? Sappiamo che la corrente che circola nel circuito rappresenta il movimento delle cariche mentre caricano il condensatore, accumulandosi sulle sue armature. La quantità di carica che può accumularsi sulle armature di un condensatore è proporzionale alla tensione che è applicata ai suoi capi. Se varia la tensione varia anche la carica. Osservando quindi il diagramma e temporale della tensione sinusoidale, si può evincere che ci sarà variazione di carica sulle armature del condensatore (e quindi passaggio di corrente nel circuito) in tutti gli istanti esclusi quelli dove la tensione raggiunge i valori massimi e minimi (fig. 3 ). x C C Punti di corrente max Punti di corrente nulla Figura 3 Punti di corrente min Negli altri istanti vi sarà sempre un trasporto di carica, e quindi passaggio di corrente nel circuito, con intensità diverse. Gli istanti dove è massima la corrente sono quelli dove la tensione varia di più a parità di tempo; nel grafico questi punti sono quelli in cui la curva della tensione ha massima o minima pendenza rispetto l asse delle ascisse. Precisamente i punti in questione sono quelli in cui la curva della tensione interseca l asse dei tempi: nei punti dove la tensione è crescente avremo un aumento di carica nelle armature del condensatore, e quindi una corrente positiva; nei punti dove la tensione è decrescente avremo una diminuzione di carica nelle armature del condensatore, e quindi una corrente negativa. Ora non rimane che unire i punti della fig. 3 per ottenere l andamento temporale della corrente: φ 0
CRCUTO PURAMENTE NDUTTO Anche in questo caso il circuito studiato è una situazione ideale che non trova riscontro nella realtà: non si può collegare un generatore ad una sola induttanza. Anche in questa circostanza avremmo comunque una resistenza in serie all induttanza dovuta alla resistenza del filo di rame, anche se molto debole. figura Un induttanza percorsa da una corrente variabile è soggetta ad una tensione di autoinduzione d i( t) ε ( t) L dove il segno meno è il contributo della legge di Lenz, per la quale la tensione indotta dt deve creare un flusso magnetico che si opponga alla variazione del flusso dovuto alla tensione applicata. La tensione applicata, che coincide con quella del generatore, dovrà essere quindi in ogni istante opposta a quella indotta, in questo modo in effetti si evita il corto circuito. d i( t) La tensione ai capi dell induttanza è legata alla corrente quindi dalla seguente relazione: ( t) L dt () che è un equazione differenziale dove l incognita è la corrente. n regime sinusoidale, grazie alla notazione complessa del metodo simbolico, questa relazione diventa più semplice: j ω L X L (6) La relazione (6) mostra che: la corrente è sfasata in ritardo di 90 rispetto alla tensione; essa è data dal rapporto che rappresenta la legge di Ohm del circuito, nella quale XL è un numero X L immaginario chiamato reattanza induttiva e si misura in Ω. Quale giustificazione fisica trova lo sfasamento tra tensione e corrente? Consideriamo l andamento di corrente nel tempo come in figura 5. Dall equazione () sappiamo che la tensione è proporzionale alla variazione di corrente, nella figura 5 vediamo che i punti dove la corrente non varia sono i punti di massimo e di minimo. n quegli istanti avremo una tensione nulla. noltre la massima variazione di corrente, a parità di variazione di tempo, avviene negli istanti in cui la curva interseca gli assi: quando la corrente aumenta avremo tensione positiva, se invece diminuisce la tensione sarà negativa. Punti di variazione massima di corrente Punti di variazione nulla di corrente Figura 5 Punti di variazione minima di corrente Collegando i vari punti di tensione massima minima e nulla si ottiene il suo andamento nel tempo, dal quale si evince lo sfasamento esistente.
CRCUTO RLC SERE. Ora consideriamo un circuito dove compaiono tutti gli elementi circuitali visti in precedenza, resistenza induttanza e capacità, collegati in serie ad un generatore di tensione sinusoidale. Anche in c.a. gli elementi in serie sono attraversati dalla stessa corrente, applicando la legge di maglia al circuito si ottiene: d i( t) Q ( t) R + L + C R i( t) + L + passando al metodo simbolico dt C R + jω L + jω C R + X L + X C R + jωl + jωc l equazione (7) rappresenta la legge di Ohm in c.a., dalla quale si comprende come anche in corrente alternata vi sia proporzionalità tra tensione e corrente. La costante di proporzionalità è detta impedenza, ed è però un numero complesso che si misura in Ω, è l equivalente della resistenza per i circuiti in c.a.. R + j ω L ; ω C R + ω L ω C ω L φ arctg ω C R l fatto che sia un n complesso suggerisce che tra tensione e corrente vi sia uno sfasamento, non di 90 come nei circuiti puramente induttivi o capacitivi, ma pari proprio all angolo φ che è la fase dell impedenza. Essa infatti ha parte reale pari alla resistenza R e parte immaginaria pari alla somma algebrica tra le reattanze X L ed X C. Tracciando il diagramma fasoriale del circuito (ponendo il fasore della corrente sull asse reale per semplicità) C Si può da esso ricavare la tensione del generatore come L somma vettoriale delle tre tensioni R L C. Lo sfasamento è evidente dal diagramma. Notare che la R è in fase con la corrente quindi φ è l angolo formato tra R e. Ora se R ricostruiamo la somma vettoriale delle tre tensioni, otterremmo un triangolo rettangolo (detto triangolo delle tensioni) i cui cateti sono R e la differenza L - C mentre l ipotenusa è la tensione. L - C (8) (7) φ Se immaginiamo di dividere tutti e tre i lati del triangolo delle tensioni per il valore della corrente, otterremmo un altro triangolo rettangolo con lati più piccoli, ma con angoli uguali (in particolare φ). Cioè avremmo un triangolo simile a quello delle tensioni e si chiama triangolo delle impedenze, i cui lati hanno le R il cateto verticale sarebbe dimensioni in Ω; precisamente il cateto orizzontale sarebbe la resistenza R R la reattanza X L X C L C ω L ω C R φ X
mentre l ipotenusa coincide con il modulo dell impedenza R + ω L. ω C Ricordando che la corrente è in fase con la R, e che l impedenza risulta in fase con la tensione, lo sfasamento esistente tra tensione e corrente è quindi determinabile con la terza delle relazioni (8). n un circuito in c.a. la fase dell impedenza equivalente coincide con lo sfasamento esistente tra la tensione e la corrente. Nel caso in oggetto la fase φ è positiva perché la reattanza induttiva è maggiore di quella capacitiva, la tensione quindi è in anticipo sulla corrente e il circuito si dice a carattere induttivo. Se al contrario fosse la reattanza capacitiva maggiore di quella induttiva avremmo la corrente in anticipo sulla tensione ed il carattere del circuito sarebbe capacitivo. nfine se le due reattanze fossero state uguali in modulo, avremmo avuto una reattanza equivalente nulla. L impedenza sarebbe formata solo dalla resistenza, la fase φ sarebbe nulla tensione e corrente sarebbero state in fase tra loro ed il circuito si direbbe a carattere ohmico, o anche in risonanza. Schema riassuntivo X L > X C R + ω L ω C X L < X C Comportamento Diagramma vettoriale Triangolo impedenze induttivo capacitivo φ>0 φ X L -X C R R R + ω L ω C φ< 0 φ X C -X L X L X C ohmico R φ 0 R Per qualsiasi valore di reattanza (induttiva e capacitiva) è sempre possibile che si verifichi il fenomeno della risonanza. n effetti se le reattanze sono diverse è sempre possibile trovare una frequenza alla quale esse diventano uguali. La frequenza alla quale si verifica il fenomeno della risonanza è legata ai parametri L e C: A questo valore di frequenza nel circuito circola la massima corrente possibile, a parità di ampiezza di tensione. Questo fenomeno viene sfruttato in diversi campi (sintonizzazione radio, rifasamento elettrico). 3
LOGLNG RSOLUONE D UN CRCUTO RLC SERE: DETERMNAONE DELLA CALCOLO DELLA FASE E DEL MODULO DELLA CORRENTE, DSEGNO DEL DAGRAMMA ETTORALE. d i( t) Q. ( t) R + L + C R i( t) + L + dt C. R + jω L + R + X L + X C jω C 3. X + ; + ; R JX R X φ arctg R ; La relazione () Rappresenta la legge di Kirchoff la relazione () Si ottiene applicando della maglia RLC; La trasformata di dell equazione () L equazione (3) riguarda La serie del Steinmez (metodo circuito simbolico) La relazione (3 bis) consente Di calcolare il La relazione (3 tris) Permette modulo della Di conoscere La fase del circuito Se la fase è positiva l circuito ha comportamento induttivo Se la fase è negativa l circuito ha comportamento capacitivo La corrente è in Se la fase è nulla anticipo sulla tensione La corrente è in ritardo sulla tensione l circuito è ohmico Corrente e tensione sono in fase
MPEDENE N SERE Consideriamo un circuito realizzato collegando due impedenze qualsiasi in serie ad un generatore di tensione sinusoidale, che eroga la tensione ( t) sen( ω t + ϕ) che con il metodo simbolico diventa cos ϕ + jsenϕ Le impedenze siano R + j X R + j X Essendo collegate in serie ovviamente sono attraversate dalla stessa corrente; la legge di maglia di Kirchoff quindi ci permette di scrivere: + + ( ) L impedenza equivalente serie è quindi il risultato della somma vettoriale delle due impedenze; cioè la è un numero complesso che ha per parte reale la somma delle due resistenze delle impedenze, e per parte immaginaria la soma algebrica delle due reattanze. R + j X + R + j X R + R + j X + X R + jx i cui modulo e fase sono: ( ) ( ) R + X X φ arctg R l modulo della corrente è Ovviamente anche in questo caso il comportamento elettrico del circuito è determinato dal segno della fase φ della Esempio Tensione 0 sen (π0 3 t + 5 ) mpedenze 0 + j - j Determiniamo innanzitutto il valore efficace della tensione: L impedenza equivalente è + 0 + j + + j0; j eff 0 7 Poi determiniamo modulo e fase dell impedenza per poi calcolare la corrente. + 0 0 Ω 0 φ arctg 35,5 eff 7 0,35 A 0 l circuito ha comportamento induttivo, la corrente è quindi in ritardo rispetto alla tensione di 35,5. l diagramma vettoriale del circuito è il seguente: Φ 35 5
MPEDENE N PARALLELO Come per i circuiti in c.c. anche in c.a. gli elementi in parallelo sono attraversati da correnti diverse, mentre ai loro capi hanno la stessa tensione. Consideriamo ancora due impedenze R + j X R + j X in parallelo con ai loro capi il generatore di tensione che eroga la tensione ( t) sen( ω t + ϕ) che si rappresenta in forma complessa cos ϕ + jsenϕ Le correnti nei due rami si determinano mediante la legge di Ohm, utilizzando la tensione del generatore: ; Per la legge del nodo di Kirchoff le corrente totale è la somma delle due corenti nei rami: + + + + Ritroviamo quindi la stessa formula della resistenza equivalente in parallelo, per i circuiti in c.c. Ora però la stessa operazione viene eseguita mediante i numeri complessi. Per quanto riguarda modulo e fase dell impedenza equivalente, vale quanto esposto per le impedenze serie. Per il diagramma vettoriale l unica novità rispetto prima è che ora le correnti che attraversano le due impedenze sono diverse, e vanno riferite alla tensione comune del generatore. Esempio Analizziamo ora un esempio che sfrutta il circuito della figura precedente, con gli stessi dati dell esempio sulle impedenze in serie. Determiniamo l impedenza equivalente ( + j) ( j) 0 0,8 j0,8 ; + 0,8, Ω; φ arctg + 0 + j + j l circuito ha quindi comportamento capacitivo, la corrente totale sarà in anticipo sulla tensione. eff 7 l modulo della corrente è,7 A mentre le due correnti di ramo sono:, eff 7 eff 7 0,5 A,56 A Come si può notare, le correnti e sommate 5,6,5 darebbero un valore maggiore della tot. Ciò è dovuto al fatto che tali correnti non sono in fase, ma sono sfasate rispetto alla tensione del generatore comune con angoli diversi. Tali angoli corrispondono alle fasi delle due impedenze e. X X φ arctg arctg 50 φ arctg arctg 6, 6 R 0 R Quindi non si deve commettere l errore di sommare le correnti e in modulo per ottenere la corrente tot, ma bisogna usare la loro forma complessa. Φ 5 Φ 6
Risonanza parallelo Potenze 7