Esercizi sui sistemi trifase Esercizio : Tre carichi, collegati ad una linea trifase che rende disponibile una terna di tensioni concatenate simmetrica e diretta (regime AC, frequenza 50 Hz, valore efficace 80V), sono costituiti come in figura. Calcolare le potenze attiva e reattiva assorbite dai carichi e U, il fattore di potenza del carico U = +U +U e la capacità necessaria a rifasare a cos Φ = 0.9 l utilizzatore U con una terna di condensatori a triangolo. Ω Ω Ω U U P = 8 kw cos φ = 0.9 Q > 0 Soluzione I carichi ed U sono, rispettivamente, un carico a triangolo equilibrato di impedenze Z = 4 +7 j ed un carico a stella equilibrato di impedenze Z Y = 5 + j. Le potenze complesse assorbite sono pari a: N N ( 80) = = 665 485 j P = 6.6 kw, Q = 4.85 kvar 4 7 j + ( 0) = = 496 00 j P = 4. kw, Q = 0. kvar 5 j + La potenza apparente del carico U è N = P /cos φ = 8888 VA, quindi la potenza reattiva è pari a Q = N P 87 VAR, e la potenza complessa è pari a N = 8000 + 87 j. Per l additività = delle potenze, la potenza complessa assorbita dal carico U = +U +U è pari a N = N + N + N = 890 + 905 j. Quindi complessivamente i tre carichi assorbono P = 8.9 kw e Q = 9 kvar P P con un fattore di potenza pari a: cos Φ = = = 0. 85 N P + Q A parità di potenza attiva assorbita, se il carico U avesse un fattore di potenza 0.9 la potenza reattiva, quindi il banco di condensatori deve assorbire assorbita sarebbe Q = ( P / 0.9) P = 4 kvar una potenza Q C = Q' Q = 5 kvar. Dato che i condensatori sono a triangolo Q C = ωc V e quindi risulta C =.69 0 5 F 7 µf.
Esercizio : Due carichi, collegati ad una linea trifase che rende disponibile una terna di tensioni concatenate simmetrica e diretta (regime AC, frequenza 50 Hz, valore efficace 400 V), sono costituiti come in figura (sono indicate le reattanze a 50 Hz). Calcolare: il valore efficace della corrente I, il valore efficace della corrente I R, il fattore di potenza del carico U = +U, e la capacità C Y necessaria a rifasare a cos Φ = 0.9 l utilizzatore U = + U con una terna di condensatori a stella. Suggerimento: visto che la stella è equilibrata ogni fase è soggetta alla corrispondente tensione principale di fase. Si può quindi fare riferimento al circuito equivalente per una fase. I U P = kw cos φ = 0.85 Q > 0 0 Ω Ω 0 Ω Ω 0 Ω Ω I R I = 9. A I R = 7. A cos Φ U = 0.787 C Y = 4 µf Il carico è un carico a stella equilibrato, pertanto la tensioni sulle tre fasi sono le tensioni principali di fase, con valore efficace E = V/ = 400/ = 0 V e fasi 0, 0 e 0. Si può quindi fare riferimento al circuito equivalente di una fase (E,0 = 0 exp(j0)). I j + 40j 0 L impedenza equivalente del parallelo è: Z p = 0 (40j)/(0+40j) = 9.+4.4j. Quindi la corrente I è data da: I = 0/(j +Z p ) E quindi I = 0/ j +Z p = 0/ (9. +6.4 ) = 9. A La corrente I R è data da: I R = V AB /0 = Z p I/0. Quindi I R = Z p I /0 = 7.87 A ( 0) La potenza complessa assorbita da è pari a: N = = 4779 + 408j 9. 6.4j La potenza apparente del carico U è pari a: N = 000/0.85 = 5 VA Quindi Q = (5 000 ) = 40 VAR e N = 000 + 40j La potenza complessa assorbita da U è pari a: N U = N + N = 6779 +5j E dunque cos Φ U = P U / N U = 6779/ (6779 + 5 ) = 0.7866 La potenza apparente del carico rifasato è pari a: N' = 6779/0.9 = 75 VA Quindi Q' = (75 6779 ) = 8 VAR e la potenza reattiva che devono assorbire i condensatori è quindi Q C = Q' Q U = 8 5 = 09 VAR. Dato che Q C = ωc Y E si ha: C Y = Q C /(ωe ) = 09/( 4.6 0 ) = 4.09 0 5 F = 40.9 µf A B I R 0 Esercizio : Calcolare il fattore di potenza del carico + U. I carichi sono alimentati da una rete trifase (in AC) simmetrica diretta con un valore efficace della tensione concatenata pari a 400 V alla frequenza di 50 Hz. Suggerimento: si noti che i due resistori sono soggetti alla tensione concatenata.
50 Ω 50 Ω U 00 mh 00 mh 00 mh P = 0. kw cos φ = 0.5 Q < 0 cos Φ = 0.9 Il carico non è un carico a stella né un carico a triangolo. Si può risolvere, nel dominio simbolico, rappresentando la rete tramite generatori a stella o a triangolo, per dedurre le correnti e le potenze assorbite. Oppure si possono utilizzare le trasformazioni stella-triangolo per determinare un carico equivalente a triangolo la cui soluzione è semplice (ogni impedenza è soggetta ad una tensione concatenata, quindi le correnti e le potenze complesse assorbite sono immediatamente calcolabili). Tuttavia è più semplice notare che, per come è costituito, può essere rappresentato come segue: Il carico quindi è costituito da due resistori soggetti a tensioni concatenate (400 V) ed una stella equilibrata ( reattanze uguali, ωl =., soggette alle tensioni principali di fase 400/ = 0 V) Grazie 50 50 all additività delle potenze in AC, la potenza complessa assorbita da è pari a: ( 400) ( 0) N = + j = 6400 + 5054j 50.4 Il carico U è ohmico-capacitivo. P = 00 W, N = 00/0.5 = 000 VA. La potenza reattiva assorbita è quindi Q = (000 00 ) = 977 VAR ed N = 00 977 j. La potenza complessa assorbita è pari a: N = N + N = 6700 +077j. Quindi cos Φ = P/ N = 6700/ (6700 +077 ) = 0.9..4 j.4 j.4 j Esercizio 4: Calcolare i fattori di potenza del carico, del carico U e del carico U = + U. I carichi sono alimentati da una rete trifase (in regime AC) simmetrica diretta. Nota: sullo schema del circuito sono riportati direttamente i valori delle reattanze associate agli induttori (ωl) ed ai condensatori (/ωc in modulo) alla U 0 Ω 0 Ω 0 Ω Soluzione cos Φ = 0.45 cos Φ = 0.7 cos Φ = 0.84
Il carico è un carico a stella equilibrato, pertanto la tensioni sulle tre fasi sono le tensioni principali di fase, con valore efficace E = V/. L impedenza di ogni fase è Z = 0 + 0j. Quindi la potenza complessa assorbita da è pari a: N = E /Z* = V /Z* = V /(0 0j) = V (+j)/50, da cui P = V /50 ed N = V / 500. E dunque cos Φ = P /N = / 5 = 0.447 (si noti che il valore di V non influisce sul fattore di potenza: come nel caso monofase il cos Φ dipende solo dal carico). Il carico U è un carico a triangolo equilibrato, pertanto la tensioni sulle tre impedenze Z = 0 0j sono le tensioni concatenate, con valore efficace V. Quindi la potenza complessa assorbita da U è pari a: N = V /Z * = V /(0 + 0j) = V ( j)/0, da cui P = V /0 ed N = V / 00. E dunque cos Φ = P /N = / = 0.707. Infine la potenza complessa assorbita dai due carichi è pari a: N = N + N = V (0.0+0.04j) + V (0.5 0.5j) = V (0.7 0.j). Quindi cos Φ = P/ N = 0.7/ (0.7 +0. ) = 0.84. (si noti che ovviamente N = 0.05V = N + N N + N = 0.0447V + 0.V = 0.568V ) Esercizio 5: Calcolare il fattore di potenza del carico illustrato. La rete trifase (in regime AC) è simmetrica diretta. Suggerimento: semplificare il circuito notando che i rami delle due stelle sono a due a due collegati in parallelo. cos Φ = 0.8 In figura si rappresenta il carico trifase (nel dominio simbolico) evidenziando i collegamenti in parallelo fra le impedenze. A destra è mostrato lo stesso carico in cui si sono sostituiti ai paralleli le impedenze equivalenti. Il carico trifase è quindi costituito da una terna di impedenze a stella dello stesso valore. Il carico è quindi equilibrato e la potenza complessa assorbita è: E E N = = ( + j) j 9E E P P =, N = cos Φ = = = 0. 8 N + j + j + j
Esercizio 6: Calcolare i valori efficaci delle correnti su ogni fase del carico di figura; calcolare la potenza attiva e la potenza reattiva assorbite; calcolare il fattore di potenza. La rete trifase con neutro (in regime AC) è simmetrica diretta con un valore efficace della tensione concatenata pari a 80 V alla frequenza di 50 Hz. n U Ω Ω I = 8.8 A I = 6.9 A I = 44 A P =. kw Q = 9.7 kvar Assorbite cos Φ = 0.75 Ogni impedenza del carico è collegata tra una fase ed il neutro. Pertanto sono soggette alle tensioni principali di fase, con valore efficace E = V/ = 80/ = 0 V. Quindi i valori efficaci delle correnti sono: I = 0/ 4+7j = 0/ (4 +7 ) = 8.8 A, I = 0/ +5j = 0/ ( +5 ) = 6.9 A, I = 0/ +4j = 0/ ( +4 ) = 44 A. Grazie all additività delle potenze in AC, la potenza complessa assorbita da U è pari a N = N + N + N = 0 /(4 7j) + 0 /( 5j) +0 /( 4j) = 00 + 970j. Quindi P =. kw, Q = 9.7 kvar. Infine cos Φ = P/ (P +Q ) = 0.75. Esercizio 7: Un carico trifase, collegato ad una linea trifase che rende disponibile una terna di tensioni concatenate simmetrica e diretta (AC, frequenza 50 Hz, valore efficace 80 V), è costituito da tre impedenze uguali collegate a triangolo. Ciascuna impedenza del carico è costituita come in figura. Calcolare il valore efficace della corrente circolante su ogni condensatore, la potenza attiva assorbita dal carico trifase, il fattore di potenza del carico, la capacità necessaria a rifasare a cos Φ = 0.9 l utilizzatore con una terna di condensatori a stella. 50 mh µf 4 I C =.54 A P = 8.8 kw cos Φ = 0.46 C Y = 4 µf Le reattanze induttiva e capacitiva sono ωl = 5.7 Ω, /ωc = 96.4. Il condensatore è in parallelo al resistore da 4, quindi l impedenza equivalente del parallelo è Z p = /(/45 +/( 96.46j)) = /(0.0 +0.004j) = 6.9 7.j. Questa è in serie al resistore da, e l impedenza equivalente della serie è Z s = 5 + Z p = 4.9 7.j. Infine Z s è in parallelo all induttore, quindi l impedenza di ogni fase del triangolo è pari a Z = /(/(4.9 7.j) +/(5.7j)) = /(0.004 0.055j) = 5.89 5.94j. Il valore efficace della corrente circolante su ogni condensatore è I C = jωc V p = jωc Z p (V/Z s ) = ωcv Z p / Z s =.54 A. La potenza complessa assorbita dal carico è N = V /Z * = 886 + 90j, quindi P = 8.8 kw e cos Φ = P/ N = 0.46. Infine Q' = ((P/0.9) P ) = 480 VAR, da cui Q C = Q' Q = 960 VAR = ωc Y E. Dato che E = V/, si ha anche C Y = Q C /(ωv ) = 960/(4.6 80 ) = 4 µf.