1 Definizione di sistema lineare omogeneo.

Geometria Lingotto. LeLing1: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata. Concetto di soluzione. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari e primo accenno al metodo di Gauss-Jordan. Ēsercizi consigliati: Geoling 1, Geoling 2. 1 Definizione di sistema lineare omogeneo. Un sistema di equazioni della forma: a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + + a 1 n x n = a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + + a 2 n x n = a 3 1 x 1 + a 3 2 x 2 + + a 3 n x n =... a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + + a m n x n = si chiama sistema d equazioni lineari omogeneo con n incognite ed m equazioni. Esempio 1.1. Ecco due esempi: { x y = x + y = B = { 3x1 x 2 + x = x 5 x 6 = E facile ricordare il sistema tramite la matrice dei coefficienti : a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a 3 1 a 3 2 a 3 n.... a m 1 a m 2 a m n Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 1 Geometria

1.1 Concetto di soluzione. Geometria Lingotto. Esempio 1.2. Ecco le due matrici corrispondenti agli esempi precedenti: ( 1 1 1 1 B = ( 3 1 1 1 1 Dunque una matrice A e una tabella di numeri a i j, cioe numeri con due indici i, j. Di solito si scrive (a i j per indicare una matrice il cui elemento nella riga i-esima e colonna j -esima e a i j. Notare il collegamento tra la incognita x 1 e la prima colonna della matrice A, tra la incognita x 2 e la seconda colonna della matrice A, etc. Inoltre notare il collegamento tra le equazioni del sistema S e le righe della matrice A. Osservazione 1.3. Si deve fare molta attenzione nel passagio{ dal sistema alla matrice per evitare errori gravi. Ad esempio la matrice del sistema non e 3x + y = 3y + x = ( 3 1 3 1. 1.1 Concetto di soluzione. Se i numeri r 1, r 2,, r n si sostituiscono alle incognite x 1, x 2,, x n del sistema S e tutte le equazioni sono soddisfatte allora r 1, r 2,, r n e chiamata una soluzione del sistema. Siccome l ordine di questi numeri e importantissimo conviene ordinare questi numeri come una colonna. Ossia si intende, per soluzione del sistema S, una colonna: R = Dunque durante questo corso per soluzione di un sistema S si intende una colonna R = (r i tale che, se il numero r i si sostituisce all incognita x i, tutte le equazioni di S sono soddisfatte. Esempio 1.. r 1 r 2 r 3. r n { x y = x + y = B = { 3x1 x 2 + x = x 5 x 6 = Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 2 Geometria

1.2 Sistemi equivalenti. Geometria Lingotto. ( Il sistema A ha la colonna come UNICA soluzione. Invece le colonne 1,,, 1 8 13 8 13 sono tutte soluzione del sistema B, cioe il sistema (b non ha soluzione UNICA. Osservazione 1.5. Un sistema omogeneo ha sempre una soluzione chiamata soluzione banale. Eccola qui: = Dato un sistema S possiamo raccogliere tutte le soluzioni in un insieme S chiamato appunto l insieme delle soluzione di S. Notare che S e un sottoinsieme dell insieme di tutte le colonne di lunghezza n. Osservare che la proposizione precedente afferma S. Il primo argomento di questo corso e imparare a calcolare tutte le soluzioni di un sistema S, cioe imparare a scrivere tutte le colonne che sono soluzioni di un dato sistema.. 1.2 Sistemi equivalenti. L idea chiave per scrivere tutte le soluzione di un sistema S e il concetto di sistemi equivalenti. Definizione 1.6. Due sistemi S, S (entrambi con n incognite si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Se S, S sono equivalenti si scrive S S. Esempio 1.7. I seguenti sistemi sono equivalenti: { x y = x + y = S = { x = y = Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 3 Geometria

1.3 Operazioni elementari. Geometria Lingotto. Se sappiamo in anticipo che due sistemi S, S sono equivalenti possiamo scegliere quello piu semplice per calcolarne le soluzioni. Ad esempio, nell esempio precedente S e certamente piu facile da risolvere di S. Questo ci porta in modo naturale a chiederci come si possa sapere in anticipo se due sistemi sono equivalenti. 1.3 Operazioni elementari. Esistono tre operazioni (molto semplici che applicate a un sistema S producono un sistema equivalente S. OPE 1 : Scambio dell ordine di due equazioni Si passa di un sistema S a uno equivalente semplicemente scambiando l ordine di due equazioni, ad esempio: E 1 = E 2 =. E m = S = E 2 = E 1 =. E m = Per ricordare questa operazione elementare si scrive: E i E j. OPE 2: Moltiplicazione d una equazione per una costante non nulla Si ottiene un sistema equivalente moltiplicando una equazione per una costante c non nulla, ad esempio: E 1 = E 2 =. E m = S = ce 1 = E 2 =. E m = Per ricordare questa operazione elementare si scrive: E i ce i. OPE 3 : Sostituire una equazione con la sua somma con un altra Si ottiene un sistema equivalente sommando ad una equazione un altra, ad esempio: Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 Geometria

1. Tutto dal punto di vista matriciale. Geometria Lingotto. E 1 = E 2 = E 3 =. E m = S = E 1 = E 2 + E 1 = E 3 =. E m = Per ricordare questa operazione elementare si scrive: E i E i + E j. 1. Tutto dal punto di vista matriciale. Avviamo visto che i sistemi si rappresentano piu economicamente tramite una matrice A, cioe a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a 3 1 a 3 2 a 3 n... a m 1 a m 2 a m n = dove R 1 = (a 1 1 a 1 2 a 1 n, R 2 = (a 2 1 a 2 2 a 2 n, etc, sono le righe. Dunque le tre operazioni elementari sono: OPE 1 : Scambio dell ordine tra due righe. Notazione R i R j. OPE 2 : Moltiplicazione d una riga per una costante non nulla c R i. OPE 3 : Sostituire una riga con la sua somma con un altra R i + R j. E anche piu semplice fare un uso contemporaneo delle OPE 2 e la OPE 3, cioe R i + c R j. R 1 R 2 R 3. R m Esempio 1.8. 1 3 2 1 7 3 R 3 3R 2 1 3 2 1 7 2 21 Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 5 Geometria

1.5 Operazioni elementari e Sistemi equivalenti. Geometria Lingotto. 1.5 Operazioni elementari e Sistemi equivalenti. Ecco un teorema fondamentale. Teorema 1.9. Siano A 1, A 2 le matrici di due sistemi S 1, S 2. Se A 2 si ottiene da A 1 tramite le operazioni elementari OPE 1, OPE 2, OPE 3, allora i sistemi S 1, S 2 sono equivalenti, cioe risolvere S 1 e la stessa cosa che risolvere S 2. La dimostrazione e molto facile ed e lasciata come esercizio al lettore. Esempio 1.1. Ecco un esempio: se { x + 3y = ( 1 3 2 7 e la matrice del sistema 2x + 7y = allora ( 1 3 2 7 R 2 2R 1 ( 1 3 1 R 1 3R 2 ( 1 1 ( 1 dunque il sistema S e equivalente al sistema associato alla matrice { 1 x = soluzioni di S sono le soluzioni di, cosa abbastanza ovvia. y = x + y z w = Esempio 1.. Ecco un altro esempio: x + 2y + 5z w = 2x + y + 3z + 2w = 1 2 5 1 2 1 3 2 1 6 R 2 R 1 R 3 1 1 7 1 2 1 1 6 2 1 3 2 1 6 1 R 1 R 2 R 3 2R 1 R 2 6R 3 1 17 1 2 1 1 6 1 5, cioe le ; eseguiamo R 3+R 2 1 2 R 1+R 3 1 Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 6 Geometria

Geometria Lingotto. cioe percio risolvere S e come risolvere il sistema associato alla matrice 17w 2 w w w 1 17 1 2 1 x + 17w = y 2w = e allora possiamo esprimere tutte le soluzione del sistema S come z + w = cioe come i multipli della colonna Esempio 1.12. Ecco un terzo esempio: 17 2 1. x + 2y + 3z + w = x + 6y + 7z + 8w = 5x + 8y + 1z + 12w = 1x + 16y + 2z + 2w = dopo qualche operazione elementari risulta che S e equivalente al sistema la cui matrice 1 2 5 e 1 2, cioe risolvere S e la stessa cosa che risolvere: x 2z w = y + 5z + w = 2 x + y + z + w = x + y + z + w = = { x 2z w = y + 5 2 z + w = Risolvere quest ultimo sistema e molto facile poiche abbiamo messo in evidenza x, y 2z + w come funcioni di z, w. Dunque le soluzioni sono : 5z w 2 z w 2 Cenni sul metodo di Gauss-Jordan. I due esempi precedenti mostrano che se vogliamo risolvere un sistema dobbiamo cercare di usare le operazioni elementari in modo da arrivare a una matrice il cui sistema sia facile da risolvere. Dunque la domanda naturale e : Quali caratteristiche ha una matrice il cui sistema e facile da risolvere? Nel primo esempio il sistema e equivalente a uno la cui matrice e ( 1 1, nel secondo esempio il sistema facile da risolvere ha come, Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 7 Geometria

Geometria Lingotto. matrice 17 1 1 2 1 associato alla matrice della forma:, e infine, nel terzo esempio, il sistema facile da risolvere e 1 2 5 1 2. Dunque osserviamo che queste matrici sono 1 1.......... 1........ Il metodo di Gauss-Jordan ci permete in modo organizzato di arrivare alla matrice di un sistema facile da risolvere. ( Vediamo come funziona analizzando un esempio: 2 6 Prendiamo il sistema. 6 7 Al posto del 2 vogliamo un 1, dunque usiamo la operazione R 1 2 e otteniamo ( 1 3 ; adesso ci serve un al posto del 6. Dunque usando l 1 della prima 6 7 riga e facile ottenere ( lo desiderato al posto del 6 tramite la operazione R 2 6R 1 e 1 3 cosi otteniamo. Adesso ci serve un 1 al posto del -2. Dunque eseguimo la 2 ( operazione R 2 1 3, e si arriva alla 2 1. Dunque osserviamo che l idea e semplice. Dopo avere ottenuto un 1 in una colonna lo si usa per procurarsi sotto di esso, tramite la operazione R i +cr j lungo tutta la colonna. 1 3 5 Vediamo ancora questo con la matrice 7 1 8. Applichiamo R 2 7R 1 cosi 3 5 che il 7 scompare, sostituito dallo. Dopodiche applichiamo R 3 + 3R 1 e scompare il 1 3 3 lasciando il suo posto a uno. Cioe si ottiene: 2 27. 1 19 Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 8 Geometria

Geometria Lingotto. Con cio finisce il lavoro sulla prima colonna e possiamo ora cercare di mettere un 1 al posto del -2. Questo e facile, poiche possiamo eseguire R 2, che ci procura: 2 1 3 27 1. Adesso usando questo 1 possiamo procurarci uno al posto del 1 2 1 19 1 3 usando la operazione elementare R 3 1R 2. Cosa che ci porta alla 1 27. 2 1 1 1 3 Infine la operazione 1R 3 ci porta alla 1 27. 2 1 Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 9 Geometria