Ricostruzione e sperimentazione sull uso di una Meridiana ad emiciclo di Alberto Parri (Gruppo Archeologico di Villadose) Generalità La meridiana ad emiciclo trovò un ampia diffusione come orologio solare nel mondo greco romano. Derivò da una geniale intuizione del babilonese Beroso (IV sec. a. C.): l emispherium che consisteva in una semisfera che riproduceva rovesciata la volta celeste con al centro uno gnomone verticale di lunghezza pari al raggio della sfera. L estremità del raggio si proiettava su un punto della semisfera, in tal modo ad ogni posizione del sole corrispondeva un punto della semisfera e ad ogni arco descritto dal sole nel cielo dal suo sorgere al tramonto corrispondeva un arco di cerchio che n era l immagine. Quest arco veniva quindi suddiviso, com era usanza del tempo, in 12 parti (le 12 ore dell arco diurno della giornata). Con questo artificio era possibile determinare non solo l ora del giorno, ma anche, in maniera grossolana, la data, poiché giornalmente variava la declinazione del sole e quindi la lunghezza d ombra dello gnomone. Il passaggio dall emispherium all emiciclo avvenne mediante eliminazione delle parti superflue della semisfera in cui non cadeva mai l ombra dello gnomone e ponendo di conseguenza lo gnomone in posizione orizzontale anziché verticale al centro della sfera (parte eliminata). In seguito al ritrovamento di un frammento di meridiana ad emiciclo (circa la metà) avvenuta a Mardimago in località Bernardetta (sito A39), il Gruppo Astrofili Polesani è stato incaricato a ricostruirne un modello che ne riproducesse l intera sembianza originale. La suddivisione oraria dell emiciclo venne effettuata in porzioni uguali di 15 ognuna perché così sembrava essere stata effettuata sull originale ritrovato e così appariva nelle diapositive di alcune meridiane antiche (meridiana del III sec. a.c. del Museo della Scienza e della Tecnica di Milano e meridiana di Pompei). Suddivisione della meridiana ad emiciclo in 12 parti di eguale ampiezza Per verificare questa ipotesi è stata costruita una seconda meridiana suddivisa secondo il criterio anzidetto e sottoposta quindi a verifica sperimentale intorno ai giorni dell equinozio di primavera dell anno 1995 (in modo da avere tempi costanti della durata di un ora). L ombra dello gnomone ha raggiunto le linee orarie con le seguenti durate (espresse in minuti primi): 1 rigo: 84 2 rigo: 73 3 rigo: 62 4 rigo: 53 5 rigo: 46 6 rigo: 42 Come si può osservare questa suddivisione non fornisce tempi uguali di un ora per ogni linea. Per suddividere l emiciclo in 12 parti di tempi uguali occorre diminuire l ampiezza delle linee laterali ed aumentare quelle centrali. Suddivisione della meridiana ad emiciclo in 12 parti di tempi uguali La suddivisione dell emiciclo in 12 parti di tempi uguali può essere intrapresa secondo due modalità: una teorica utilizzando le formule matematiche che forniscono l angolo dell ombra dello gnomone in funzione del tempo e quindi riportando quest angolo nell emiciclo; oppure praticamente marcando ad intervalli costanti di tempo l ombra proiettata direttamente nell emiciclo. In un primo momento venne utilizzata la seconda modalità perché più sbrigativa e precisa. Questa seconda suddivisione effettuata sulla stessa meridiana e sovrapposta alla precedente ne metteva in evidenza la forte discrepanza. In controllo veniva ripetuto dopo una ventina di giorni e si poteva constatare che anche la seconda suddivisione non rispondeva più alla nuova situazione ma presentava dei leggeri scostamenti, che andavano accentuandosi man mano che i controlli venivano ripetuti nei giorni successivi andando verso il solstizio estivo. E a questo punto che è stata presa in considerazione la necessità di effettuare uno studio teorico in modo da stabilire in maniera precisa come dovesse avvenire la suddivisione per avere una corretta utilizzazione della meridiana.
Uno studio teorico del funzionamento della meridiana ad emiciclo non era mai stato intrapreso nell antichità classica perché basato sulla trigonometria sferica. Questo studio avrebbe potuto trovare una sua soluzione nel Rinascimento, ma di fatto non risulta essere mai stato effettuato perché questo tipi di meridiana ad ore ineguali era già stato superato nel tardo medioevo ed era ormai subentrato il principio di suddividere l intera giornata in 24 parti uguali anziché dividere il solo arco diurno al sorgere al tramonto del sole in 12 parti uguali. Studio matematico della meridiana ad emiciclo Le equazioni matematiche che regolano lo studio delle meridiane ad emiciclo sono le seguenti: 1) sen = sen sen + cos cos cos 2) ctg = cos tg /sen sen ctg 3) tg = tg /sen : elevazione del sole ( =0 sorgere o tramonto del sole) : declinazione del sole dall equatore celeste : percorso angolare del sole nella sfera celeste, = 15t (t = tempo espresso in ore) : azimut del sole ad iniziare dal punto cardinale sud : valore angolare dell ombra dello gnomone sull emiciclo ( = 0 bordo superiore; = 90 posizione al culmine) : latitudine del luogo Le prime due equazioni forniscono le coordinate altoazimutali del sole in funzione del trascorrere del tempo; la terza equazione fornisce il valore angolare dell ombra dello gnomone ( ) in funzione della posizione del sole in cielo (valori e precedentemente calcolati). Dall analisi delle equazioni riportate oltre a dedurre la non linearità della posizione dell ombra dello gnomone in funzione del tempo si deduce pure che essa dipende anche dalla latitudine del luogo e dalla declinazione del sole e pertanto variabile di giorno in giorno come sperimentalmente accertato. Suddivisione delle linee orarie in parti uguali (angoli di 15 ) Anche se è già stato accertato che una suddivisione dell emiciclo in 12 parti di uguale ampiezza angolare non funziona correttamente, ma a titolo di pura curiosità, nella tabella sottostante sono stati riportati i tempi impiegati nelle singole suddivisioni orarie dall ombra dello gnomone utilizzando le formule sopraccitate. La tabella riporta solo le ore mattutine (in ora e minuti) per ogni variazione di = ± 4 e per latitudine di 45. Le ore pomeridiane risultano di durata simmetrica a questi valori. 24 1.34 1.33 1.23 1.13 1.06 1.01 20 1.32 1.26 1.19 1.09 1.02.58 16 1.30 1.24 1.15 1.06.58.55 12 1.28 1.22 1.11 1.02.56.51 8 1.26 1.19 1.09.58.53.48 4 1.25 1.16 1.05.56.49.45 0 1.24 1.13 1.02.53.46.42-4 1.22 1.11.59.49.43.39-8 1.21 1.08.56.46.40.36-12 1.20 1.06.53.42.37.33-16 1.20 1.03.49.39.33.30-20 1.19 1.00.45.35.30.27-24 1.18.56.41.31.27.23 Suddivisione delle ore in tempi uguali Le tre equazioni citate permettono di calcolare i valori angolari assunti dall ombra dello gnomone per determinati valori costanti di tempo.
Nella tabella sottostante sono riportati i valori angolari delle singole linee mattutine per ogni variazione di = ± 4 e per latitudine di 45. Le ore pomeridiane risultano simmetriche a questi valori. 24 12.95 12.57 13.43 15.14 17.21 18.70 20 12.58 12.45 13.42 15.23 17.37 18.94 16 12.21 12.31 13.40 15.30 17.56 19.22 12 11.85 12.13 13.35 15.37 17.76 19.54 8 11.48 11.94 13.28 15.42 17.98 19.90 4 11.11 11.72 13.18 15.47 18.22 20.30 0 10.72 11.48 13.06 15.50 18.48 20.76-4 10.33 11.21 12.90 15.52 18.76 21.28-8 9.91 11.08 12.72 15.54 19.05 21.89-12 9.48 10.56 12.49 15.72 19.38 22.60-16 9.00 10.18 12.21 15.42 19.75 23.44-20 8.49 9.72 11.86 15.25 20.13 24.49-24 7.91 9.20 11.46 15.10 20.57 25.81 Misura totale dell angolo dal bordo estremo (in gradi e centesimi di grado) -24 7.91 17.11 28.52 43.62 64.19 90.00-20 8.49 18.21 30.07 45.38 65.51 90.00-16 9.00 9.18 31.39 46.81 66.56 90.00-12 9.48 20.04 32.53 48.02 67.40 90.00-8 9.91 20.82 33.54 49.06 68.11 90.00-4 10.33 21.54 34.44 49.96 68.72 90.00 0 10.72 22.20 35.26 50.76 69.24 90.00 4 11.11 22.83 36.01 51.48 69.70 90.00 8 11.48 23.42 36.70 52.12 70.10 90.00 12 11.85 23.98 37.33 52.70 70.46 90.00 16 12.21 24.52 37.92 53.22 70.78 90.00 20 12.58 25.03 38.46 53.69 71.06 90.00 24 12.95 25.52 38.95 54.09 71.30 90.00 Dall analisi dei dati tabellari risulta evidente che il valore angolare delle singole linee orarie va man mano crescendo dal solstizio invernale al solstizio estivo. Com è possibile effettuare la suddivisione in 12 parti tale da essere valida per l intero arco dell anno? L unica soluzione consiste nel tenere conto non di tutta l ombra dello gnomone ma solamente della parte estrema di esso e quindi man mano che l ombra si allunga dal solstizio invernale al solstizio estivo fare incurvare le singole linee orarie verso il centro. In tal modo l ora può essere letta osservando dove cade la parte estrema dell ombra e può indicare altresì, in maniera un po grossolana, anche in giorno dell anno (funzione di calendario). A questo punto ci potremmo chiedere in che modo gli antichi romani effettuavano la taratura delle loro meridiane dal momento che i principi sopra esposti non sembrano essere stati rispettati (meridiane di Milano e di Pompei sopra ricordate)? Per rispondere a tale domanda si è proceduto ad una verifica sperimentale con l unica meridiana disponibile: il frammento di meridiana di Villadose.
Esperienza condotta il 25.09.1995 con la meridiana di Villadose Per verificare in che modo nell antichità romana venisse effettuata la taratura delle linee orarie si è proceduto ad una verifica sperimentale con l unica meridiana disponibile: il frammento di meridiana conservato presso la mostra permanente di Villadose. L equinozio era avvenuto il 23 settembre alle ore 12.14 ma, a causa della rifrazione dei raggi del sole nel passaggio dall atmosfera terrestre, di fatto il sole resta visibile per 12 ore ed otto minuti primi. Per avere l effettiva durata della visibilità del sole nell arco del cielo per 12 ore esatte si è ricorso alla data del 25 settembre, in tal modo si otteneva il passaggio dell ombra del sole attraverso le linee successive ad intervalli di ora. L esperienza è stata condotta completando le parti mancanti della meridiana con polistirolo ed inserendo nel punto opportuno uno gnomone di cm 9,2. Poiché da una prima analisi sulle linee orarie era stata evidenziata una loro curvatura verso la parte centrale, rispondente perciò ai requisiti detti in precedenza, la lunghezza dello gnomone aveva la sua importanza sui risultati dell esperienza; quindi con un unico gnomone sono state evidenziate le due lunghezze di cm 5,7 e cm 9,2 e, di conseguenza, sono stati rilevati i dati relativi a queste due distanze. Il valore effettivo corrispondente all esatta lunghezza dello gnomone originario doveva essere intermedio ai due valori estremi presi in considerazione. Il giorno precedente è stato dedicato a livellare ed orientare la meridiana in maniera perfetta. I risultati sono riportati nella sottostante tabella dalla cui analisi si traggono le seguenti conclusioni: 1. pur essendo stato recepito il principio che l intervallo delle singole ore non deve essere ad ampiezza costante, ma deve essere diminuito per le ore laterali ed aumentato per le ore centrali, tuttavia l operazione di suddivisione è stata effettuata in maniera molto approssimativa e grossolana (in particolare l ampiezza della quinta ora risulta eccessivamente errata); 2. è stato recepito inoltre anche il principio che le singole righe devono procedere dal centro alla periferia curvando verso il centro (il fatto anche se appena percettibile a vista può essere meglio evidenziato osservando che l ombra dello gnomone non si adagia perfettamente su una linea ma forma una specie di secante sulla stessa).
Ipotetica div. In 15 Meridiana di Villadose Gnomone cm 5,7 Gnomone cm 9,2 Ora Durata Ora Durata Ora Durata Bordo 6.03 6.03 6.03 1 Riga 7.30 87 7.15 72 7.30 87 2 Riga 8.43 73 8.27 72 8.36 66 3 Riga 9.45 32 9.35 68 9.38 62 4 Riga 10.37 52 10.28 53 10.28 50 5 Riga 11.23 46 11.13 45 11.15 47 6 Riga 12.05 42 12.05 52 12.05 50 In definitiva, si può concludere che la meridiana di Villadose, pur risultando migliore sotto l aspetto della precisione rispetto alle altre menzionate, è ancora troppo approssimativa rispetto ad uno standard ideale. Ci si può chiedere perché gli antichi romani pur essendo stati così abili in altri campi tecnici e ingegneristici, abbiano difettato sotto questo particolare aspetto delle meridiane. Una risposta definitiva non può essere data, però lo stesso Plinio ne riconosceva la lacuna, là dove riporta con amara ironia che ci siano voluti 99 anni per accorgersi che la meridiana portata a Roma dalla Sicilia a seguito della prima guerra punica non era idonea a funzionare correttamente a Roma. Seneca a sua volta affermava che in fatto di misura del tempo esistevano tali discordanze di opinione per cui sarebbe stato più facile mettere d accordo i filosofi anziché i costruttori di quadranti. Non dobbiamo meravigliarci eccessivamente di questo fatto dal momento che (come oggi sappiamo) entrano in gioco tanti parametri connessi con l astronomia posizionale che avrebbero trovato una soluzione da Copernico in poi.